吉林省长春市南关区2020年中考数学一模试卷含答案解析

3

6.某简易房的示意图如图所示， 它是一个轴对称图形， 则坡屋顶上弦杆 AC 的长为（ ）

2020年吉林省长春市南关区中考数学一模试卷

?选择题（共8小题）

13的绝对值是（

C .

4 170 000元.4 170 000这个数用科学记数法表示为 （ ）

4.由四个完全相同的正方体组成的几何体如图所示，则这个几何体的俯视图是（ ）

5.如图，OC 是/ AOB 的平分线，直线I // OB .若/ 1= 50°,则/ 2的大小为（

）

A . 0.417X 107 B

. 4.17 X 106

C . 4.17X 107

D . 41.7X 105

3.不等式组

的解集在数轴上表示正确的是（

-o -1

2.某企业一个项目的总投资为

C .

A

C

Z

!

M

B . 60°

C . 65

D . 80

4

1

A . 50°

&如图，在平面直角坐标系中，点 C 、A 分别在x 轴、y 轴上，AB // x 轴，/ ACB = 90°,

反比例函数 尸生（x >0）的图象经过 AB 的中点M .若点A （ 0，4）、C （ 2，0）,则k 的值为（

C .

□

SsinCL

口

Sens a 7.如图，在？ABCD AD > AB ，用直尺和圆规在边 AD 上确定一点

E ,使AE = AB ，则下

米

llsind

llcasQ

中,

二.填空题（共6小题） 9.

:「 _____________ .

10. _________________________ 分解因式：ab - b 2= . 11.

关于x 的一元二次方程 x 2-5x+k = 0有两个不相等的实数根，则 k 可取的最大整数

为 _______ . 12.

用杠杆撬石头的示意图如图所示， P 是支点，当用力压

杠杆的 A 端时，杠杆绕P 点转

动，另一端B 向上翘起，石头就被撬动.现有一块石头要使其滚动，杠杆的

B 端必须向

上翘起8cm ,已知杠杆的动力臂 AP 与阻力臂BP 之比为4: 1，要使这块石头滚动，至少 要将杠杆的 A 端向下压 ______________ c m .

13 .如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 上一点，将厶ADE 沿DE 翻折，点A 恰好落在BC 上,

记为A 1，折痕为DE .再将/ B 沿EA 1向内翻折，点B 恰好落在DE 上，记为B 1.若AD =1，则AB 的长为 _________ .

14 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y = x 2- mx+4与y 轴交于点C ,过点C 作x 轴的平

行线交抛物线于点 B ，点A 在抛物线上，点 B 关于点A 的对称点D 恰好落在x 轴负半轴

上，过

B . 20

C . 32

D .

40

点A作x轴的平行线交抛物线于点 E .若点A、D的横坐标分别为1、- 1,则线段AE与线段CB的长度和为 ________ .

2

15 .先化简，再求值：—_旷］,其中x=- 3 .

x-1

16 .现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红

球，这些球除颜色外完全相同.从两个袋子中各随机摸出1个球，利用树状图或者列表的方法，求摸出的两个球颜色相同的概率.

17 .图①、图②均是6 X 6的正方形网格，每个小正方形的边长为1,小正方形的顶点称为

格点，点A、B、C、D均在格点上.用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法.

(1)在图①中以线段AB为腰画一个等腰三角形ABM，画出的厶ABM的面积是__________

(2)在图②中以线段CD为边画一个四边形CDEF，使/ FCD+ / EDC = 90 ° .

18 .如图，AB是O O的直径，/ A =Z CBD .

(1)求证：BC是O O的切线.

(2)若/ C = 35°, AB = 6,求"啲长(结果保留n).

19?某玩具厂计划加工2700个玩具，为了尽快完成任务，实际每天加工玩具的数量是原计划的1.2倍，结果提前3天完成任务?求该玩具厂原计划每天加工这种玩具的数量.

20.在新冠病毒疫情防控期间，某校“停课不停学”，开展了网络教学.为了解九年级学生

在网络学习期间英语学科和数学学科的学习情况，复课后从九年级学生中随机抽取60名学生进行了测试，获得了他们成绩(百分制)的数据，通过对成绩数据的整理、描述和分析，得到了如下部分信息.

①英语成绩的频数分布直方图如图：

(数据分成 6 组：40W x v 50, 50W x v 60, 60< x v 70, 70< x v 80, 80< x v 90, 90< x w 100.)

②英语和数学成绩的平均数、中位数、众数如表：

学科平均数中位数众数

英语74.8m83

数学72.27081

③英语成绩在70w x v 80这一组的数据是：

70 71 72 73 73 73 74 76 77 77 77 78 79 79

根据以上信息，回答下列问题：

(1) 表中m的值是________ .

(2) 在此次测试中，李丽的英语成绩为74分，数学成绩为71分，该名学生成绩排名更

靠前的学科是_______ .(填“英语”或“数学”)，理由是_________ .

(3) 若该校九年级共有500名学生，请你估计英语成绩超过77.5分的人数.

九年级砂名学生英语成豢频数分布直方團

频数/人数

f

18 ------------------------ —

14 12

0 60 70 ￡

21 .甲、乙两人开车匀速从同一地点到距离出发地

480千米处的景点旅游，甲出发半小时后,

乙以每小时80千米的速度沿同一路线行驶，两车分别到达目的地后停止.甲、乙两车之 间的距离y （千米）与甲车行驶的时间 x （小时）之间的函数关系如图所示.

（2）求乙车追上甲车后，y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量

x 的取值范围.

的延长线于点 M , F 是AC 1

求证：△ ABM ADM 1 .

【拓展】如图③ 琏结AC,若正方形ABCD 的边长为2，则△ ACC 1面积的最大值为

（1 ）甲行驶的速度是

千米/小时.

的中点, 连结DF .

【猜想】

如图①，/ FDM 的大小为 【探究】 如图 ②，过点A 作AM 1 / DF 交MD 的延长线于点 M 1,连结BM .

E 不与点B 、C 重合），连结

DE ，点 C 关于DE 的对称点为C 1，连结AC 1并延长交DE

23. 如图，在 Rt △ ABC 中，/ C = 90°, AC = 8, 秒5个单位长度的速度向终点 B 运动.当点P 不与点A 重合时，过点P 作PD 丄AC 于点

D 、P

E // AC ,过点D 作DE // AB , DE 与PE 交于点E .设点P 的运动时间为t 秒. (1)线段AD 的长为 _________ .(用含t 的代数式表示) (2) 当点E 落在BC 边上时，求t 的值.

(3) 设厶DPE 与厶ABC 重叠部分图形的面积为 S ,求S 与t 之间的函数关系式. (4) 若线段PE 的中点为Q ,当点Q 落在△ ABC 一边垂直平分线上时，直接写出t 的值.

24. 已知函数 (1 )当 n = 1 时,

① 点P (- 3, m )在此函数图象上，求 m 的值. ② 当-4w x w 3时，求此函数的最大值和最小值. (2)当x v n 时，若此函数的图象与坐标轴只有两个交点，求

n 的取值范围.

(3 )若 n > 0,当此函数的图象与以 A (0, 3)、B (5, - 2)、C (- 5, - 2 )、D (- 5, 3)为顶点的四边形的边有且只有四个公共点时，直接写出

BC = 6 .动点P 从点A 出发，沿AB 以每

(n 为常数)

n 的取值范围.

图①

J

图3

2020年吉林省长春市南关区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

.选择题（共8小题） 1 . - 3的绝对值是（ ） A . - 3

B . 3

C .丄

D .-

3

3

【分析】根据绝对值的定义，-3的绝对值是指在数轴上表示- 3的点到原点的距离，即 可得到正确答案.

【解答】解:|-3|= 3. 故-3的绝对值是3 . 故选：B .

2.某企业一个项目的总投资为 4 170 000元.4 170 000这个数用科学记数法表示为

（ ）

A . 0.417X 107

B . 4.17X 106

C . 4.17X 107

D . 41.7X 105

【分析】科学记数法的表示形式为

a X 10n 的形式，其中1 w |a|v 10，n 为整数.确定 n

的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同. 【解答】解：将4 170 000用科学记数法表示为：4.17X 106 . 故选：B .

【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集，

再得出选项即可.

不等式组■

的解集在数轴上表示正确的是（

-O -1

*-

?1

O

C .

【解答】解：*① 幺€1②

???解不等式①得：x>- 1 ,

又???不等式②的解集是x w 1 ,

???不等式组的解集是-1 v x w 1,

在数轴上表示为：

故选：A.

4.由四个完全相同的正方体组成的几何体如图所示，则这个几何体的俯视图是（

C. D.

【分析】找到从上面所看到的图形即可，注意所看到的棱都应在俯视图中.

【解答】解：从上面看有3个正方形,

故选：B.

5.如图，0C是/ AOB的平分线，直线I // 0B.若/ 1= 50°,则/ 2的大小为（）

A. 50°

B. 60°

C. 65°

D. 80°

【分析】根据平行线的性质可求/ AOB,再根据角平分线的定义求得/ BOC，再根据平行线的性质可求/ 2 .

【解答】解:J I // OB ,

???/ AOB= 180° -Z 1 = 130°,

?/ OC是/ AOB的平分线，

???/ BOC= 65°,

???/ 2=Z BOC= 65° .

故选：C.

6.某简易房的示意图如图所示，

它是一个轴对称图形， 则坡屋顶上弦杆 AC 的长为（ ）

c

3

米 C

D

c

43k

B

H ￡

B

C

A D

B

C

B 【解答】解：如图，过点 A 作AH 丄B

C 于H .

由题意 AB = AC , BC = 4+0.2+0.2 = 4.4 (m ), ?/ AH 丄 BC ,

BH = CH = 2.2 ( m ),

故选：D .

7.如图，在？ABCD 中, AD > AB ，用直尺和圆规在边 AD 上确定一点E , 使AE = AB ，则下

列作法错误的是（

）

0 2米

【分析】如图，过点A 作AH 丄BC 于H . 解直角三角形求出 AB 即可.

AC = AB = cosO. 2.2

(m),

5cos a

cos a

A . I l : ■ —米

B

. ——■—米

SsinCL

占米

【解答】解：A 、由作图可知，AB = AE ，本选项不符合题意. B 、由作图可知，/ ABE =Z EBC ， ?/ AD // BC ， ???/ AEB =Z EBC ， ???/ ABE =Z AEB ，

? AB = AE ，本选项不符合题意.

C 、由作图可知，四边形 ABCE 是等腰梯形,

? AB = EC ，

推不出AB = AE ，故本选项符合题意.

D 、由作图可知， AF 平分/ BA

E ，A

F 丄BE ，

???/ ABE =Z AEB ，

? AB = AE ，故本选项不符合题意. 故选：C .

&如图，在平面直角坐标系中，点 C 、A 分别在x 轴、y 轴上，AB / x 轴，/ ACB = 90°，

反比例函数y=K （x >0）的图象经过 AB 的中点M .若点A （0，4）、C （2，0），则k 的值为（

D 中，可以证明 AB = A

E ，由此判断即可

.

A . 16

B . 20

C . 32

D . 40

【分析】 过点B 作BD 丄x 轴于点D ，证明△ AOC CDB ，求得CD ，得出M 点坐标, 便可求得结果.

???/ AOC =Z ACB = 90°,

???/ OAC+ / OCA =Z OCA+

/ DCB = 90°, ???/ OAC =Z DCB , ???/ AOC =Z CDB = 90°, ? △ AOC s^ CDB , ? 0A JX 即 4 二 2

…-匚、打 ~T -，

? DC = 8 ,

AB = OD = 2+8= 10 , ?/ M 是AB 的中点，

?AM = 5 ,

? M ( 5 , 4),

???反比例函数(x> 0)的图象经过AB的中点M，

x

k= 5X 4 = 20 .

故选：B .

二 .填空题(共6小题)

9. ：■?- 「：=_?「'、_.

【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案.

【解答】解：原式=3 . ]-.「： = 2 .-：.

故答案为：2 .「:.

10 .分解因式：ab - b2= b (a- b) .

【分析】根据提公因式法，可得答案.

【解答】解：原式=b (a- b)，

故答案为：b (a- b).

11.关于x的一元二次方程x2- 5x+k= 0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为6

【分析】根据判别式的意义得到△=( - 5) 2- 4k>0,解不等式得kv-，然后在此范

4围内找出最大整数即可.

【解答】解：根据题意得△=( - 5) 2-4k> 0,

解得k v孚，

所以k可取的最大整数为 6 .

故答案为6 .

12 .用杠杆撬石头的示意图如图所示，P是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕P点转

动，另一端B向上翘起，石头就被撬动.现有一块石头要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起8cm,已知杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4: 1，要使这块石头滚动，至少

【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端

点A向下压的长度.

【解答】解：如图：AM、BN都与水平线垂直，即AM // BN ;

易知：△ APM BPN ；

???杠杆的动力臂 AP 与阻力臂BP 之比为5: 1, ???_1 = _!,即卩 AM = 4BN ;

BN 1

???当 BN > 8cm 时，AM > 32cm ; 故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点 A 向下压32cm .

13 .如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 上一点，将厶ADE 沿DE 翻折，点A 恰好落在BC 上,

???/ADE = 90° -Z AED = 30。，/ A 1DE = 90°-/ A 1EB 1= 30°,

? /ADE = / A 1DE = / A 1DC = 30 ° , 又T Z C = / A 1B 1D = 90°, DA 1= DA 1,

? △ DB 1A 1BA DCA 1 (AAS ),

? - DC = DB 1,

【解答】解: ???四边形ABCD 为矩形,

由翻折知，△ C =Z B = 90°, AB = DC ,

AED ◎△ A 1ED , △ A 1BE ◎△ A 1B 1E ,/ A 1B 1E =Z B =Z A 1B 1D = 90°,

A 1ED , / A 1E

B = / A 1EB 1, BE = B 1E , A 1ED = Z A 1EB = X 180°= 60° ,

故答案为：32 .

记为A 1，折痕为DE .再将/ B 沿EA 1向内翻折，点B 恰好落在DE 上，记为B 1.若AD

推出△ DB 1A 1BA DCA 1, CD = B 1D ，设AB = DC = x ,由DE 长度列出方程求得 x 便可.

/ C =/ A 1B 1D = 90°,

在 Rt △ AED 中, / ADE = 30° , AD = 1 , ? AE=—, DE =_L_

3 3

J B 1E+B 1D = DE ,

? X+X-.丄

3 ■ 3 x T

故答案为：丘.

2

14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线

y = x 2- mx+4与y 轴交于点C ,过点C 作x 轴的平

行线交抛物线于点 B ，点A 在抛物线上，点 B 关于点A 的对称点D 恰好落在x 轴负半轴 上 ,过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点 E .若点A 、D 的横坐标分别为1、- 1,则线

段AE 与线段CB 的长度和为 4

【分析】求得B 的纵坐标为4 ,然后根据题意求得 A 的纵坐标2,即可得到5 - m = 2,求 得m 的值，得到抛物线为 y = x 2-3x+4 ,根据坐标特征求得 B 、A 、E 的坐标即可求得结 果. 【解答】解：J 抛物线y = x 2- mx+4与y 轴交于点C ,

? C ( 0 , 4), J BC // x 轴，

?点B 的纵坐标为4 ,

J

点A 的横坐标为1 ,

把 x = 1 代入 y = x 2- mx+4 得,y = 5- m ,

? A (1 , 5- m ), J

点B 关于点A 的对称点D 恰好落在x 轴负半轴上，

设 AB = DC = x ,则 BE = B 1E =

V3

3

? AD = AB ,

???点A 的纵坐标为2,

? 5 - m = 2,

解得m = 3,

???抛物线为 y = x 2- 3x+4,

? B (3, 4), ? BC = 3,

把 y = 2 代入 y = x 2- 3x+4 得，2= x 2 - 3x+4, 解得x = 1和2, ? AE =2- 1= 1 ,

?线段AE 与线段CB 的长度和为4, 故答案为4 . 三.解答题（共10小题）

2

15 .先化简，再求值： 耳_旷1，其中x =- 3 .

x-1

【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把 即可求出值. 【解答】解：原式=zL -旦

X-1

1

2

x - (x+1)(x-1)

M-1 K-l

2 / X -(:

X

1

-1

当x =-3时，原式=-—

球，这些球除颜色外完全相同.从两个袋子中各随机摸出 1个球，利用树状图或者列表 的方法，求摸出的两个球颜色相同的概率.

【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式 计算可得.

【解答】解：根据题意列表如下:

x 的值代入计算

16 .现有两个不透明的袋子，一个装有

2个红球、1个白球，另一个装有 1个黄球、2个红

黄红红

红（黄，红）（红，红）

（红，红）

红（黄，红）（红，红）

（红，红）

白（黄，白）（红，白）

（红，白）

由表知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果，

所以摸出的两个球颜色相同的概率为A.

17 .图①、图②均是6 X 6的正方形网格，每个小正方形的边长为1,小正方形的顶点称为

格点，点A、B、C、D均在格点上.用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法.

（1）在图①中以线段AB为腰画一个等腰三角形ABM，画出的厶ABM的面积是7.5

（2 ）在图②中以线段CD为边画一个四边形CDEF，使Z FCD+ / EDC = 90 ° .

團①

【分析】（1）根据AB = 5,构造等腰厶ABM，使得AB = BM即可.

（2 ）根据要求画出图形即可（答案不唯一）

【解答】解：（1）如图，△ ABM即为所求.S^ABM =—X 5X 3= 7.5 .

故答案为7.5 .

（2）如图，四边形CDEF即为所求.

團①

團②

18.如图，AB 是O O 的直径，/ A =Z CBD .

A+ / ABD = 90 ° ,证出/ ABC =

(2)连接 OD ,证出/ ABD = Z C = 35°,由圆周角定理得出/ AOD = 2/ ABD = 70° , 再由弧长公式即可得出答案.

【解答】(1)证明：J AB 是O O 的直径，

? / ADB = 90 ° ,

? / A+Z ABD = 90° , JZ A =Z CBD ,

? Z CBD+ Z ABD = 90°,即Z ABC = 90° , ? BC 丄 AB , ? BC 是O O 的切线.

(2) 解：连接OD ,如图所示：

(1)求证：BC 是O O 的切线.

90°,即可得出结论；