第十一章级数
高等数学第11章 无穷级数
un
=
lim
n→∞
1 n
=
0.
∞
推论3 若 un →/ 0, 则级数 ∑ un必发散 .
n=1
小结:
un → 0
un →/ 0
∞
∑ u n 收敛
n=1 ∞
∑ u n 发散
n=1
二、典型例题
例1
判别级数
∞
∑
ln
n
+
1
的敛散性.
n=1 n
解 部分和
Sn
= ln 2 1
+ ln 3 2
+ ln 4 3
第十一章 无穷级数
本章基本要求
1. 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了 解无穷级数的基本性质和收敛的必要条件。
2．了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与 p—级数的敛散性，掌握正项级数的比值审敛法。
3．了解交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错 级数的截断误差。了解绝对收敛与条件收敛的概 念及二者的关系。
设收敛级数
S=
∞
∑ un,σ =
∞
∑ vn，则
n=1
n=1
∞
∑(un ±vn) 也收敛, 其和为 S ± σ .
n=1
注 1º 收敛级数可逐项相加（减） .
2o
∞
∑ ( un ± vn ) 的敛散性规律：
n=1
收收为收，收发为发，发发不一定发.
例如, 取 un = (−1)2n , vn = (−1)2n+1, 而 un + vn = 0
+
L
+
ln
n
+ n
1
拆项相消
高数11-1
常数项级数； 常数项级数； 幂级数； 幂级数； 傅立叶级数. 傅立叶级数.
1
第一节
称
常数项级数的概念与性质
= u1 + u2 +⋯+ un +⋯
（1） ） 一般项
一. 常数项级数的概念 级数： 设给定一个数列： 级数： 设给定一个数列： u1 , u2 ,⋯ , un ,⋯
∑u
n=1
(
)
a 1 − qn = 1−q
(
n 为奇数 发散; , 发散 n 为偶数
)
a 1 − qn lim s n = lim = ∞ , 发散 结论成立 发散. 结论成立. n →∞ n →∞ 1−q
∞ n
(
)
2 2 2 =6 例如 (1) ∑ n = ∑ 2 = 2 n=0 3 n =0 3 1− 3
i =1
n
性质2 性质 若 ∑ un = s ,
n=1
∞
i =1
∑v
n=1 n
∞
n
= σ , 则∑ (un ± v n ) = s ± σ .
n =1
n
∞
证 τ n = ∑ (ui ± v i ) =
i =1
n
∑u ± ∑v
i =1 i
i =1
i
= sn ± σ n
n→∞
lim τ n = lim (s n ± σ n ) = lim s n ± limσ n = s ± σ
若不然,设该级数收敛 若不然 设该级数收敛, 设该级数收敛
2 ∞ 1 2 1 则 ∑ =∑ n + − n 收敛 . n 2 n =1 n n =1 2 ∞ 2 ∞ 1 发散 . 矛盾 而 ∑ =∑ 2 ⋅ n n =1 n n =1
《高数》第十一章-习题课：级数的收敛、求和与展开
概念:
为收敛级数
若
收敛 , 称
若
发散 , 称
绝对收敛 条件收敛
Leibniz判别法: 若
且
则交错级数
收敛 , 且余项
4
例1. 若级数
均收敛 , 且
证明级数
收敛 .
证: 0 c n a n bn a n (n 1 , 2 , ), 则由题收敛
(1)n
n0
x2n ,
x (1,1)
arctan
x
x
01
1 x2
d
x
(1)n x2n1, n02n 1
x [1,1]
于是
f (x) 1 (1)n x2n (1)n x2n2
n1 2n 1
n02n 1
25
f
a 1 时收敛 ; a 1 时发散.
s 1 时收敛;
a 1 时, 与 p 级数比较可知 s 1 时发散.
7
P257 题3. 设正项级数 和 都收敛, 证明级数
也收敛 .
提示:
因
lim
n
un
lim
n
vn
0
,存在
N
>
0, 当n
>N
时
又因
2( un2 vn2 )
思考: 如何利用本题结果求级数
提示: 根据付式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有
e 1 1
2 n1
f (0 ) f (0 ) 1
2
2
28
作业
P257 6 (2); 7 (3); 9(1) ; 10 (1) ;
高等数学第十一章第六节函数项级数的一致收敛性课件.ppt
以后还建立了椭圆函
数的新结构.
他在分析学中建立了实数
理论,引进了极限的 – 定义,
定义及性质,
还构造了一个处处不可微的连续函数:
积分的逆转问题,
给出了连续函数的严格
为分析学的算术化作出了重要贡献 .
定理2.
若级数
则该级数在 [a, b] 上可逐项积分,
且上式右端级数在 [a, b] 上也一致收敛 .
证: 因为
所以只需证明对任意
一致有
根据级数的一致收敛性,
使当
n > N 时, 有
于是, 当 n > N 时, 对一切
有
因此定理结论正确.
证毕
说明:
若级数不一致收敛时, 定理结论不一定成立.
解:
显然所给级数对任意 x 都收敛 ,
且每项都有连续
导数,
而逐项求导后的级数
故级数②在 (－∞,+∞)
上一致收敛,
故由定理3可知
②
再由定理1可知
定理4 . 若幂级数
的收敛半径
则其和函
在收敛域上连续,
且在收敛区间内可逐项求导与
逐项求积分,
运算前后收敛半径相同,即
证: 关于和函数的连续性及逐项可积的结论由维尔斯
由条件2), 根据柯西审敛原理,
当
n > N 时,
对任意正整数 p , 都有
由条件1), 对 x ∈I , 有
故函数项级数
在区间 I 上一致收敛 .
证毕
推论.
若幂级数
的收敛半径 R > 0 ,
则此级
数在 (－R, R ) 内任一闭区间 [ a , b ] 上一致收敛 .
无穷级数的介绍
n1
un 称为级数的一般项，或通项.
级数的前n 项和称为级数的部分和，记为
n
sn u1 u2 un ui
i 1
当n取1,2,3,···，可得部分和数列
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 ,,
sn u1 u2 un ,
定义2 当n无限增大时,如果级数 un的部分和
1 2n 1
1 2
级数收敛, 和为 1 . 2
其余项为 rn s sn
即 s1 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2n 1 2 2n 1
例3
证明级数
n
n1 2n
收敛,并求其和.
证
因为
sn
1 2
2 22
3 23
n 2n
2sn
1
2 2
3 22
n 2n1
后式减前式,得
sn
1
(2n 1)(2n 1)
1 1 1 2 2n 1 2n 1
sn
1 1 3
1 35
(2n
1 1) (2n
1)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
sn
1 2
1
1 2n
1
lim
n
sn
lim 1 1 n 2
2n
n 1, 2n 2
假设调和级数收敛, 其和为s.
于是lim( s2n sn ) s s 0,
n
便有 0 1 (n ) 2
这是不可能的.
级数发散.
例4 判别下列级数的敛散性
(1)
n1
(2n
n3 2n 5 1)(2n 1)(2n
第十一章 无穷级数(答案)
第十一章 无穷级数(一)1．解：∵()∑=∞→-+=+-+=nk n n k k S 12212，(∞→n ),∴原级数发散。
2．解：∵()∑∑==→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=nk n k n n k k k k S 1141221212122121212221，(∞→n )，∴原级数收敛且和为41。
3．解：∵4121511511513113113151315131111+→-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑∑===n n nk k n k n k k k k n S43=，(∞→n )，∴原级数收敛且和为43。
4．解：∵()∞=++=∞→+∞→+∞→1001lim !100100!1lim lim 11n n n U U n n n n nn n ，∴由比值判别法知原级数发散。
5．解：∵()1111lim 1lim lim 11<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∞→+∞→+∞→e n n e n e e n U U en e n n en nn n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。
6．解：∵02121limlim ≠=+=∞→∞→n n U n n n ，∴原级数发散。
7．解：∵()()2332lim 1lim=++=∞→∞→n n n n nU n n n ，而∑∞=11n n发散，∴由比较判别法知原级数发散。
8．解：∵()()0111lim !!11lim lim 4441=⎪⎭⎫⎝⎛++=++=∞→∞→+∞→n n n n n n n U U n n nn n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。
9．解：∵13113lim 13lim lim <=+=⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→∞→∞→n n n n U n n nn n n n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。
10．解：∵≤，而2121l i m 21l i m =-=+∞→∞→nn n n n n ，故121l i m <=∞→n n n U ，∴由根值判别法知，原级数收敛。
级数知识点总结和例题
n
n
lim
un +1 u 1 或 lim n +1 不易计算或不存在时，不能用此法 (见例 6 评注、例 7(5)、例 9) 。 n u n u n n
5.用根植审敛法 (1)若 1 ，则
设 lim n un
n
un 收敛；(2)若 1(或 ) ，则 un 发散；
n
思路二：求 s2 n ,而 s2 n +1 =s2 n +u2 n +1 ,则 lim sn s lim s2 n lim s2 n 1 s .(见例 2 解法
n n n
1) 2.用收敛级数的性质判定级数的敛散性 (1)要判定某一级数的敛散性,可根据级数的性质将该级数转化成敛散性已知的级数来讨 论,(见例 2 解法 2,例 4,例 5).需要掌握下面三个最常用级数的敛散性: 等比级数
x
们将一些简单函数间接展开成幂级数. 11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在 [l , l ] 上的函数展开为傅 里叶级数，会将定义在 [0, l ] 上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和 函数的表达式.
11.2 基本题型及解题思路分析 题型 1 用级数敛散性的定义与性质判定级数的敛散性
例 5 (1991-研)已知级数
(1)n1 an 2 ， a2n1 5 ，则级数 an =__________.
n 1 n 1 n 1
【分析】此题关键是弄清三个级数的一般项之间的关系。 解：因为 an 2a2 n1 (1)
n 1
an ，又 (1) n 1 an ， a2 n 1 均收敛，故由收敛级数的
(完整版)级数的概念与性质
第十一章无穷级数教学内容目录：§1—§8本章主要内容：常数项级数：无穷级数及其收敛与发散的定义，无穷级数的基本性质，级数收敛的必要条件，几何级数，调和级数,P级数，正项级数的比较审敛法和比值审敛法，交错级数，莱布尼兹定理，绝对收敛和条件收敛。
幂级数：幂级数概念,阿贝尔(Abel)定理，幂级数的收敛半径与收敛区间，幂级数的四则运算,和的连续性、逐项积分与逐项微分。
泰勒级数，函数展开为幂级数的唯一性，函数（、e x cossin ln（1+x）、（1+x）m等）的幂级数展开式,幂级数在近似计算中的应用举例，“欧、x、x拉（Euler）公式。
函数项级数：函数项级数的一般概念，收效域及和函数.教学目的与要求：1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。
2、掌握几何级数和P—级数的收敛性。
3、掌握正项级数的比较审敛法,掌握正项级数的比值审敛法。
4、理解交错级数的审敛法（莱布尼兹定理）。
5、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。
6、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.7、掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求）。
8、了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。
9、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
10、掌握应用e x，sinx，cox,en(1+x）和(1+x)u的马克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的的函数间接展开成幂级数的方法。
11、了解函数展开为傅里叶（Fourier)级数的狄利克雷（Dirchet）条件，会将定义在（-π，π)上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在(—π,π）上的函数展开为正弦或余弦级数。
本章重点与难点：重点:正项级数的审敛法；将一些简单的的函数间接展开成幂级数难点：应用逐项积分、逐项微分的性质求和函数、本章计划学时：16学时(2节习题课）教学手段：课堂讲授、习题课、讨论,同时结合多媒体教学推荐阅读文献：1。
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第十一章 级数1．写出下列级数的前5项：(1) 11(1)3n nn -∞=-∑；(2) 113(21)242n n n ∞=⨯-⨯∑L L ；(3) 21(ln )nn n ∞=∑；(4) 1!n n n n ∞=∑ 解答：(1)23451111133333-+-+-L ； (2) 1131351357135792242462468246810••••••••••+++++••••••••••L ；(3) 2345611111(ln 2)(ln 3)(ln 4)(ln 5)(ln 6)+++++L ； (4)234511212312341234512345••••••••••+++++L 。
所属章节：第十一章第一节 难度：一级2．写出下列级数的通项：(1)2341357++++L ；(2)+L ；(3)2242468x x ++⨯⨯⨯⨯L 解答：(1) 21nn -；(2) 1(1)n --(3)2242n xn•L 。
所属章节：第十一章第一节 难度：一级3．已知级数的部分和S n ，写出该级数，并求和：(1) 1n n S n+=；(2) 212n n n S -=；解答：(1) 一般项为111121u S +===，111,2,3,1(1)n n n n n u S S n n n n n -+-=-=-==--L ，故该级数为212(1)n n n∞=--∑，该级数的和为1lim lim1n n n n S n→∞→∞+==；(2) 一般项为1112u S ==，11121211,2,3,222n n n n n n n n u S S n -----=-=-==L ，故该级数为112n n ∞=∑，该级数的和为21lim lim 12n n n n n S →∞→∞-== 。
所属章节：第十一章第一节难度：一级4．根据定义求出下列级数的和： (1)1326n n n n ∞=+∑；(2)11(2)n n n ∞=+∑；(3)1(1)(2)(3)n nn n n ∞=+++∑；(4)1n ∞=∑解答：(1) 111113211332()()1162321123nnn n n n n n ∞∞∞===+=+=+=--∑∑∑； (2) 1111111111113()(1)(2)222324354n n n n nn ∞∞===-=-+-+-+=++∑∑L ； (3)111123111111[()]()()2(1)(2)(3)2122322334n n n n n n n n n ∞∞===-+-⋅=-++⨯=++++++∑∑；(4)11n n ∞∞===-∑∑1n ∞==∑1==-所属章节：第十一章第一节难度：一级5．证明下列级数发散：(1)121n nn ∞=+∑；(2) 12nn n ∞=∑；(3) 11nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑；(4)111n nnn nn n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑解答：(1) 由于10212n n u n =→≠+，所以级数121n n n ∞=+∑发散； (2) 由于20n n u n =→+∞≠，所以级数12nn n ∞=∑发散； (3) 由于1()01n n n u n e =→≠+，所以级数11nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑发散； (4) 由于1111011(1)()(1)n n nn nn n nn nn n u n e n nn ++=≥=→≠+++，所以级数111n nnn nn n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑发散。
所属章节：第十一章第一节 难度：一级6．用比较判别法或极限形式的比较判别法判别下列级数的敛散性：(1) 11ln(1)n n ∞=+∑；(2)1πsin 2nn ∞=∑；(3) 2111n n n ∞=++∑；(4) n ∞=(5)1n ∞= (6) 11sin n n ∞=∑；(7)11(0)1nn a a∞=>+∑；(8) 1ln(1n ∞=+∑；(9) 1!(0)n n n a n a n∞=>∑ （第9小题是否应该放到下一题去用比值判别法？建议移至第7大题第7小题）参考答案：(1) 发散；(2) 收敛；(3) 发散；(4) 收敛；(5) 发散；(6) 发散；(7) 当a >1时收敛，当a ≤1时发散；(8) 收敛（参考答案有误？）；(9) 当a <e 时收敛，当a ≥e 时发散解答：(1) 由于11ln(1)n n >+，而级数11n n ∞=∑发散，故正项级数11ln(1)n n ∞=+∑发散；(2) 由于sin 22n n ππ≤，而级数1π2n n ∞=∑收敛，故正项级数1πsin 2n n ∞=∑收敛；(3) 由于2111n n n +⋅→+，所以正项级数2111n n n ∞=++∑发散；(4)由于321n →，所以正项级数1n ∞=(5)由于1n ≥，而级数11n n ∞=∑发散，所以正项级数1n ∞=(6) 由于1sin 1n n ⋅→，所以正项级数11sin n n ∞=∑发散；(7) 当1a >时，由于2101n n a ⋅→+，所以正项级数111nn a ∞=+∑收敛， 当1a ≤时，由于1112na ≥+，所以正项级数111n n a∞=+∑发散； (8)由于1n→，而调和级数11n n ∞=∑发散，所以正项级数1ln(1n ∞=+∑发散；(9) 当a e <时，由于111(1)!lim lim lim 11(1)!(1)n n n n n n n n n n u a n n a au n a n e n+++→∞→∞→∞+=⋅==<++，所以原级数收敛，当a e ≥时，由于111(1)!11(1)!(1)n n n n n n n u a n n a au n a n en++++=⋅=≥>++，所以原级数发散。
（注：本题已改用比值判别法所属章节：第十一章第二节 难度：二级7．用比值判别法或根值判别法判别下列级数的敛散性：(1) 1(21)!!3!nn n n ∞=-∑；(2) 213nn n ∞=∑；(3) 11ln (1)nn n ∞=+∑；(4) 132nnn n ∞=•∑；(5) 1!n n n n ∞=∑； (6)211()3n n n n n∞=+∑；(7) 211arcsin n n ∞=∑；(8) 11πtan 2n n n ∞+=•∑；(9) 1nn n b a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑，其中a n →a (n →∞)，a n 、b 、a 均为正数参考答案：(1) 收敛；(2) 收敛；(3) 收敛；(4) 发散；(5) 收敛；(6) 收敛（参考答案有误？）；(7) 收敛（无法用所给方法判别，建议移至上一大题）；(8) 收敛；(9) 当b <a 时收敛，当b >a 时发散，当b =a 时不能判定解答：(1) 由于11(21)!!3!212lim lim lim 13(1)!(21)!!3(1)3n n n n n n nu n n n u n n n ++→∞→∞→∞++=⋅==<+-+，所以正项级数1(21)!!3!nn n n ∞=-∑收敛； (2) 由于221122(1)3(1)1lim lim lim 1333n n n n n n nu n n u n n ++→∞→∞→∞++=⋅==<， 所以正项级数213n n n ∞=∑收敛；(3)由于1lim01ln(1)n n n →∞==<+，所以正项级数11ln (1)nn n ∞=+∑收敛； (4)由于312n n ==>， 所以正项级数132nnn n ∞=•∑发散； (5) 由于11(1)!11limlim lim 11(1)!(1)n n n n n n n n u n n u n n en++→∞→∞→∞+=⋅==<++， 所以正项级数1!nn n n∞=∑收敛； (6)由于1(1)1nn n e +==>，所以正项级数211()3n n n n n∞=+∑发散； (7) 由于221arcsin 11n n→，而级数211n n ∞=∑收敛，所以211arcsin n n ∞=∑收敛；（注：由于本题用比值判别法判别失效，本题已改用比较判别法）(8) 由于11(1)tan12limlim12tan 2n n n n nn n u u n ππ++→∞→∞+==<， 所以正项级数11πtan2n n n ∞+=•∑收敛； (9) 当a b >时，由于lim 1n n n b ba a →∞==<，所以1nn n b a ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛，当a b <时，由于lim 1n n nb b a a →∞==>，所以1nn n b a ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑发散，当a b =时，由于lim 1n n nb ba a →∞===，所以1n n nb a ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑的敛散性无法判定。
所属章节：第十一章第二节难度：二级8．用积分判别法判别下列级数的敛散性：(1)1n ∞=(2) 21en n n ∞-=∑；(3) 21arctan 1n nn ∞=+∑；(4)11(1)ln(1)pn n n ∞=++∑参考答案：(1) 发散；(2) 发散（原参考答案有误？）；(3) 收敛；(4) 当p >1时收敛，当p ≤1时发散 解答：(1)由于积分23113x +∞+∞==+∞⎰发散，所以由积分判别法知，原级数发散；(2) 由于积分22111122x x xe dx e +∞--+∞=-=⎰收敛，所以由积分判别法知，原级数收敛； (3) 由于积分22121arctan 13arctan 1232x dx x x π+∞+∞==+⎰收敛，所以由积分判别法知，原级数收敛； (4) 当p >1时，由于积分1111111ln (1)(1)ln (1)1(1)ln 2p pp dx x x x p p +∞-++∞-=+=++-+-⎰收敛，所以由积分判别法知，原级数收敛。
当1p =时，由于积分111ln ln(1)(1)ln (1)pdx x x x +∞+∞=+=+∞++⎰发散，所以由积分判别法知，原级数发散。
当1p <时，由于积分11111ln (1)(1)ln (1)1p pdx x x x p +∞-++∞=+=∞++-+⎰发散，所以由积分判别法知，原级数发散。
综合知，原级数当p >1时收敛，当p ≤1时发散。
所属章节：第十一章第二节 难度：二级9．利用级数收敛的必要条件，证明下列极限：(1) lim0!n n a n →∞=；(2) !lim 0n n n n→∞=；(3) 3lim 0!2n n n n →∞=• 解答：(1) 由于1limlim 011n n n nu au n +→∞→∞==<+，所以由比值判别法知正项级数级数1!nn a n ∞=∑收敛，于是由级数收敛的必要条件知lim 0!nn a n →∞=； (2) 由于11(1)!1lim lim 1(1)!n n n n n nu n n u n n e ++→∞→∞+=⋅=<+，所以由比值判别法知正项级数级数1!nn a n ∞=∑收敛，于是由级数收敛的必要条件知!lim0nn n n →∞=； (3) 由于1113!2lim lim 01(1)!23n nn n n n n nu n u n +++→∞→∞⋅=⋅=<+⋅， 所以由比值判别法知正项级数级数1!nn a n ∞=∑收敛，于是由级数收敛的必要条件知3lim0!2nnn n →∞=•。