【人教A版】2017学年高中数学选修4-5全册配套ppt课件3.1
2
2
.
【解题探究】本例证明的关键是什么? 提示:关键是根据不等式的结构特征,改变一下多项式 的形态结构,达到利用柯西不等式解题的目的.
【证明】因为 ( x12 x 22 y12 y22 )2 =(x12+x22)+(y12+y22)+ 2 (x12 x 2 2 )(y12 y2 2 ), 由柯西不等式,得(x12+x22)( y12+y22)≥(x1y1+x2y2)2, 其中当且仅当x1y2=x2y1时,等号成立.
x1 y1 x 2 y 2 .
2 2
其中等号当且仅当x1y2=x2y1时成立.
【方法技巧】利用柯西不等式的代数形式证明不等式
的方法
利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时,有时需 要将待证不等式进行变形,以具备柯西不等式的运用条
件,这种变形往往要认真分析题目的特征,根据题设条
又a2+b2=5,ma+nb=5, 所以m2+n2≥5,所以 m2 n 2 5.
答案:
5
【知识探究】 探究点 二维形式的的柯西不等式
1.在二维形式的柯西不等式的代数形式中,取等号的
条件可以写成 a c 吗?
b d
提示:不可以.当b=d=0时,等号成立,但 a c 不成立.
b d
2.用柯西不等式求最值时的关键是什么? 提示:利用柯西不等式求最值问题,通常设法在不等式
件,利用添项、拆项、分解、组合、配方、数形结合等
方法,才能找到突破口.
【变式训练】1.设a,b,c为正数,求证: + c2 a 2 ≥
2 (a+b+c).
a 2 b2
+
b 2 c2
【解题指南】根据不等式的结构,分别使用柯西不等式.
【证明】由柯西不等式: 即
a 2 b2
a 2 b2
2.已知a1,a2,b1,b2为正实数,求证:(a1b1+a2b2)· ( a1 + a 2 )≥(a1+a2)2.
b1
b2
【证明】(a1b1+a2b2)(
a1 b1
+ a2 )
b2
a1 b1
=［( a1b1 )2+( a 2 b2 )2］［( ≥( a1b1 · =(a1+a2)2.
a1 b1
)2+(
12 12
≥a+b,
2 ≥a+b. 2 ≥b+c,
同理 b2 c2
c2 a 2
2 ≥c+a.
将上面三个同向不等式相加得
2 2 2 ( a b + b 2 c2 +
c2 a 2 )≥2(a+b+c),
于是
a 2 b2
+ b2 c2 + c2 a 2 ≥ 2 (a+b+c).
(3)三角形式中当P1(x1,y1),P2(x2,y2),O(0,0)三点共线 且P1,P2在原点O两旁时取等号.
3.“二维”的含义 “二维”是对向量的个数来说的,在平面上一个向量有
两个量:横坐标与纵坐标,因此“二维”就要有四个量,
还可以认为是四个数组合成的一种不等关系.
4.二维形式的柯西不等式的变式 (1) a 2 b2
a2 b2
)2]
+ a 2 b2·
a2 b2
)2
类型二
利用柯西不等式求最值
a b x y
【典例】已知x,y,a,b∈R&#.
【解题探究】解答本例如何将x+y变形,向着柯西不 等式的形式转化?
提示:关键是构造两组数
［
a b 使得x+y= x， y； ， ， x y
x
即2x+y的最大值为 3 .
2.已知 a 1 b2 b 1 a 2 =1,则以下成立的是( A.a2+b2>1 B.a2+b2=1
)
C.a2+b2<1
D.a2b2=1
【解析】选B.由柯西不等式,得 a 1 b b 1 a
2
2
2
≤[a2+(1-a2)][(1-b2)+b2]=1,
一边得到一个常数,并寻求不等式等号成立的条件.
【归纳总结】 1.柯西不等式三种形式的关系
根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯
西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不 等式的向量形式的坐标表示.
2.理解并记忆三种形式取“=”的条件 (1)代数形式中当且仅当ad=bc时取等号.
(2)向量形式中当 α =k β 或 β =0时取等号.
c2 d2 ≥|ac+bd|. c2 d 2
(2) a 2 b2
(3) a 2 b2
≥|ac|+|bd|.
≥ac+bd.
c2 d 2
类型一
利用柯西不等式证明不等式
x x 2 y y2
2 1 2 2 1 2
【典例】求证:
x1 y1 x 2 y 2
第三讲
一
柯西不等式与排序不等式
二维形式的柯西不等式
【自主预习】 二维形式的柯西不等式
(ac+bd)2
| α || β |
(x1 x 2 )2 (y1 y2 ) 2
【即时小测】 1.已知2x2+y2=1,则2x+y的最大值为 ( )
A. 2
B.2
C. 3
D.3
【解析】选C.3=(2x2+y2)(2+1)≥(2x+y)2, 所以- 3 ≤2x+y≤ 3 .
所以 (x12 x 22 )(y12 y22 ) ≥x1y1+x2y2, 所以 ( x12 x 22 y12 y22 )2 ≥(x12+x22)+(y12+y22)
+2(x1y1+x2y2)=(x1+y1)2+(x2+y2)2.
所以
x12 x 2 2 y12 y 2 2
2 1 b 当且仅当 时,上式取等号, a 1 a2
b
所以ab= 1 a 2 1 b2， 化为a2b2=(1-a2)(1-b2), 于是a2+b2=1.
3.设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则 m 2 n 2 的 最小值为_________.
【解析】由柯西不等式知(a2+b2)(m2+n2)≥(am+bn)2,
2
a 2 b 2 y ］ [( ) ( ) ]. x y
2
【解析】构造两组实数 因为x,y,a,b∈R+, 所以x+y=[(
x
a b x y
y
a b x， y； ， . x y
=1,
a 2 b [( ) ( )2 ] x y
)2+(
) 2]
a b .
2
当且仅当 等号成立.
x
2
.
【解题探究】本例证明的关键是什么? 提示:关键是根据不等式的结构特征,改变一下多项式 的形态结构,达到利用柯西不等式解题的目的.
【证明】因为 ( x12 x 22 y12 y22 )2 =(x12+x22)+(y12+y22)+ 2 (x12 x 2 2 )(y12 y2 2 ), 由柯西不等式,得(x12+x22)( y12+y22)≥(x1y1+x2y2)2, 其中当且仅当x1y2=x2y1时,等号成立.
x1 y1 x 2 y 2 .
2 2
其中等号当且仅当x1y2=x2y1时成立.
【方法技巧】利用柯西不等式的代数形式证明不等式
的方法
利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时,有时需 要将待证不等式进行变形,以具备柯西不等式的运用条
件,这种变形往往要认真分析题目的特征,根据题设条
又a2+b2=5,ma+nb=5, 所以m2+n2≥5,所以 m2 n 2 5.
答案:
5
【知识探究】 探究点 二维形式的的柯西不等式
1.在二维形式的柯西不等式的代数形式中,取等号的
条件可以写成 a c 吗?
b d
提示:不可以.当b=d=0时,等号成立,但 a c 不成立.
b d
2.用柯西不等式求最值时的关键是什么? 提示:利用柯西不等式求最值问题,通常设法在不等式
件,利用添项、拆项、分解、组合、配方、数形结合等
方法,才能找到突破口.
【变式训练】1.设a,b,c为正数,求证: + c2 a 2 ≥
2 (a+b+c).
a 2 b2
+
b 2 c2
【解题指南】根据不等式的结构,分别使用柯西不等式.
【证明】由柯西不等式: 即
a 2 b2
a 2 b2
2.已知a1,a2,b1,b2为正实数,求证:(a1b1+a2b2)· ( a1 + a 2 )≥(a1+a2)2.
b1
b2
【证明】(a1b1+a2b2)(
a1 b1
+ a2 )
b2
a1 b1
=［( a1b1 )2+( a 2 b2 )2］［( ≥( a1b1 · =(a1+a2)2.
a1 b1
)2+(
12 12
≥a+b,
2 ≥a+b. 2 ≥b+c,
同理 b2 c2
c2 a 2
2 ≥c+a.
将上面三个同向不等式相加得
2 2 2 ( a b + b 2 c2 +
c2 a 2 )≥2(a+b+c),
于是
a 2 b2
+ b2 c2 + c2 a 2 ≥ 2 (a+b+c).
(3)三角形式中当P1(x1,y1),P2(x2,y2),O(0,0)三点共线 且P1,P2在原点O两旁时取等号.
3.“二维”的含义 “二维”是对向量的个数来说的,在平面上一个向量有
两个量:横坐标与纵坐标,因此“二维”就要有四个量,
还可以认为是四个数组合成的一种不等关系.
4.二维形式的柯西不等式的变式 (1) a 2 b2
a2 b2
)2]
+ a 2 b2·
a2 b2
)2
类型二
利用柯西不等式求最值
a b x y
【典例】已知x,y,a,b∈R&#.
【解题探究】解答本例如何将x+y变形,向着柯西不 等式的形式转化?
提示:关键是构造两组数
［
a b 使得x+y= x， y； ， ， x y
x
即2x+y的最大值为 3 .
2.已知 a 1 b2 b 1 a 2 =1,则以下成立的是( A.a2+b2>1 B.a2+b2=1
)
C.a2+b2<1
D.a2b2=1
【解析】选B.由柯西不等式,得 a 1 b b 1 a
2
2
2
≤[a2+(1-a2)][(1-b2)+b2]=1,
一边得到一个常数,并寻求不等式等号成立的条件.
【归纳总结】 1.柯西不等式三种形式的关系
根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯
西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不 等式的向量形式的坐标表示.
2.理解并记忆三种形式取“=”的条件 (1)代数形式中当且仅当ad=bc时取等号.
(2)向量形式中当 α =k β 或 β =0时取等号.
c2 d2 ≥|ac+bd|. c2 d 2
(2) a 2 b2
(3) a 2 b2
≥|ac|+|bd|.
≥ac+bd.
c2 d 2
类型一
利用柯西不等式证明不等式
x x 2 y y2
2 1 2 2 1 2
【典例】求证:
x1 y1 x 2 y 2
第三讲
一
柯西不等式与排序不等式
二维形式的柯西不等式
【自主预习】 二维形式的柯西不等式
(ac+bd)2
| α || β |
(x1 x 2 )2 (y1 y2 ) 2
【即时小测】 1.已知2x2+y2=1,则2x+y的最大值为 ( )
A. 2
B.2
C. 3
D.3
【解析】选C.3=(2x2+y2)(2+1)≥(2x+y)2, 所以- 3 ≤2x+y≤ 3 .
所以 (x12 x 22 )(y12 y22 ) ≥x1y1+x2y2, 所以 ( x12 x 22 y12 y22 )2 ≥(x12+x22)+(y12+y22)
+2(x1y1+x2y2)=(x1+y1)2+(x2+y2)2.
所以
x12 x 2 2 y12 y 2 2
2 1 b 当且仅当 时,上式取等号, a 1 a2
b
所以ab= 1 a 2 1 b2， 化为a2b2=(1-a2)(1-b2), 于是a2+b2=1.
3.设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则 m 2 n 2 的 最小值为_________.
【解析】由柯西不等式知(a2+b2)(m2+n2)≥(am+bn)2,
2
a 2 b 2 y ］ [( ) ( ) ]. x y
2
【解析】构造两组实数 因为x,y,a,b∈R+, 所以x+y=[(
x
a b x y
y
a b x， y； ， . x y
=1,
a 2 b [( ) ( )2 ] x y
)2+(
) 2]
a b .
2
当且仅当 等号成立.
x
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高中数学选修4-5全册配套ppt课件.3
三 排序不等式
【自主预习】 1.顺序和、乱序和、反序和的概念 设有两个有序实数组:a1≤a2≤…≤an;b1≤b2≤…≤bn, c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任意一个排列.
(1)顺序和:_a_1_b_1+_a_2_b_2_+_…__+_a_nb_n_. (2)乱序和:_a_1_c_1+_a_2_c_2_+_…__+_a_nc_n_. (3)反序和:_a_1_b_n+_a_2_b_n_-1_+_…__+_a_nb_1_.
3
【补偿训练】已知a,b,c为正数,用排序不等式证明: 2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).
【证明】取两组数a,b,c;a2,b2,c2.不管a,b,c的大小如 何,a3+b3+c3都是顺序和,而a2b+b2c+c2a及a2c+b2a+c2b都 是乱序和,因此, a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a, a3+b3+c3≥a2c+b2a+c2b. 所以2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b).
2.排序不等式(排序原理)
设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2, …,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则_a_1_b_n+_a_2_b_n_-1_+_…__+_a_n_b_1 ≤a1c1+a2c2+…+ancn≤_a_1_b_1_+_a_2b_2_+_…__+_a_n_b_n ,当且仅当 a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,反序和等于顺序和.
【自主预习】 1.顺序和、乱序和、反序和的概念 设有两个有序实数组:a1≤a2≤…≤an;b1≤b2≤…≤bn, c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任意一个排列.
(1)顺序和:_a_1_b_1+_a_2_b_2_+_…__+_a_nb_n_. (2)乱序和:_a_1_c_1+_a_2_c_2_+_…__+_a_nc_n_. (3)反序和:_a_1_b_n+_a_2_b_n_-1_+_…__+_a_nb_1_.
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【补偿训练】已知a,b,c为正数,用排序不等式证明: 2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).
【证明】取两组数a,b,c;a2,b2,c2.不管a,b,c的大小如 何,a3+b3+c3都是顺序和,而a2b+b2c+c2a及a2c+b2a+c2b都 是乱序和,因此, a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a, a3+b3+c3≥a2c+b2a+c2b. 所以2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b).
2.排序不等式(排序原理)
设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2, …,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则_a_1_b_n+_a_2_b_n_-1_+_…__+_a_n_b_1 ≤a1c1+a2c2+…+ancn≤_a_1_b_1_+_a_2b_2_+_…__+_a_n_b_n ,当且仅当 a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,反序和等于顺序和.
高中数学人教A版选修4-5课件：本讲整合1
知识建构
综合应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
真题放送
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
(3) 2 ≥ ������������的几何解释:
������+������
如图,以 a+b 为直径作圆,在直径 AB 上取一点 C,过点 C 作弦 DD' ⊥AB 交 AB 于点 C,则 CD2=CA· CB=ab,从而 CD= ������������, 则半径
3 解法一：∵y=2x2+
3 ������
= ������
3 1 2 2������2 + ������ + ������≥3
2������ 2 · · = 3 4, ������ ������
3
1 2
3
∴ymin=3 4. 解法二：y=2x2+ ������ ≥ 2 2������ 2 · = 2 6������, 当且仅当 2������2 = ������ , ������ 即������ =
������+������ ≥CD= 2
������������.
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
应用 已知 x,y>0,设 Q(x,y)= ������������, ������(������, ������) = 1
2
������2 +������2 , ������(������, ������) 2
然只有选项 D 成立,由 y=
答案：D
1 ������ 2
是减函数,且 a>b,知
1 ������ 2
3.1不等式的基本性质(1)(人教A版选修4-5)
作业
一、课本 P10 2
二、补充
1．比较 ( x 5)( x 7)与( x 6) 的大小．
2
2．如果x 0,比较 ( x 1) 2 与( x 1) 2 的大小． 3．已知 a 0，比较 (a 2 2a 1)( a 2 2a 1)
与 (a 2 a 1)(a 2 a 1) 的大小．
2.
0
基本理论
Ｘ
• 1.实数在数轴上的性质:
• 研究不等式的出发点是实数的大小关系。数 轴上的点与实数1-1对应，因此可以利用数 轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：
Ａ a a<b
Ｂ b x
Ｂ b a>b
Ａ a x
设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是 A,B,那么,当点A在点B的左边时,a<b;当点A在点B的右 边时,a>b. 关于a,b的大小关系,有以下基本事实:如果a>b,那么 a-b是正数;如果a=b,那么a-b等于零;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来也对.
2
（3）
a
2
b
（4）
2 2
a
b
• • • • • • • • • • •
小结
主要内容 基本理论: a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b 基本理论四大应用之一：比较实数的大小. 一般步骤： 作差－变形－判断符号—下结论。 变形是关键： 1°变形常用方法:配方法，因式分解法。 2°变形常见形式是：变形为常数；一个常数与几 个平方和；几个因式的积。
• 同向不等式： • 在两个不等式中,如果每一个的左边都大于右边,或每一个的 左边都小于右边（不等号的方向相同）. • 异向不等式： • 在两个不等式中,如果一个不等式的左边大于右边,而另一个 的左边小于右边（不等号的方向相反）. • 同解不等式 • 形式不同但解相同的不等式。 • 其它重要概念 • 绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式
高中数学 第三节 柯西不等式课件 新人教A版选修4-5
等号成立.
3.一般形式的柯西不等式 设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则 (a12+a22+a32+…+an2)(b12+b22+b32+…+bn2)≥ ___(_a_1b_1_+_a_2_b_2+_a_3_b_3_+_…__+_a_nb_n_)_2__,当且仅当_b_i=_0_(_i_=_1_,_ _2_,_3_,_…__,_n_)_或_存__在__一__个__数__k_,_使__得__a_i=_k_b_i_(_i_=_1_,_2_,_3_,_…__,_n_)_ 时,等号成立.
【解析】(1)错误.当b，d=0时，柯西不等式成立，但
a 不c 成立.
bd
(2)错误.当b1,b2,b3都为零时,
柯西不等式成立.
a1 a不2 成a立3 ，但此时
b1 b2 b3
(3)错误.当 =0时， || .
答案：(1)× (2)× (3)×
考向 1 二维柯西不等式代数形式的应用
【典例1】设a,b∈R+且a+b=2.求证： a2 b2 2.
【互动探究】本例条件不变，试求4a+8b+27c的最小值.
【解析】 (123)4a8b27c
a bc
［ (1 )2 (2 )2 (3 )2 ］ ［ 4 a2 8 b2 2 7 c2 ］ a bc
( 1 4a2 8b3 27c)2
a
b
c
=(2+4+9)2=225,
又∵ 1 2 ∴34a2+, 8b+27c≥
第三节 柯西不等式
1.二维形式的柯西不等式
3.一般形式的柯西不等式 设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则 (a12+a22+a32+…+an2)(b12+b22+b32+…+bn2)≥ ___(_a_1b_1_+_a_2_b_2+_a_3_b_3_+_…__+_a_nb_n_)_2__,当且仅当_b_i=_0_(_i_=_1_,_ _2_,_3_,_…__,_n_)_或_存__在__一__个__数__k_,_使__得__a_i=_k_b_i_(_i_=_1_,_2_,_3_,_…__,_n_)_ 时,等号成立.
【解析】(1)错误.当b，d=0时，柯西不等式成立，但
a 不c 成立.
bd
(2)错误.当b1,b2,b3都为零时,
柯西不等式成立.
a1 a不2 成a立3 ，但此时
b1 b2 b3
(3)错误.当 =0时， || .
答案：(1)× (2)× (3)×
考向 1 二维柯西不等式代数形式的应用
【典例1】设a,b∈R+且a+b=2.求证： a2 b2 2.
【互动探究】本例条件不变，试求4a+8b+27c的最小值.
【解析】 (123)4a8b27c
a bc
［ (1 )2 (2 )2 (3 )2 ］ ［ 4 a2 8 b2 2 7 c2 ］ a bc
( 1 4a2 8b3 27c)2
a
b
c
=(2+4+9)2=225,
又∵ 1 2 ∴34a2+, 8b+27c≥
第三节 柯西不等式
1.二维形式的柯西不等式
人教数学选修4-5全册精品课件
不等式的综合应用 不等式的应用主要体现在两大方面：一是不 等式作为一种重要工具在研究解答数学学科 本身有关问题及其他学科有关问题方面的应 用；二是解决现实生活、生产及科学技术领 域中的实际问题．
不等式应用主要是：利用不等式求函数的定 义域、值域；利用不等式求函数最大值、最 小值；利用不等式讨论方程根及有关性质； 利用不等式解应用题．
1 则 f(x)＝ (1－t2)， 2 1 2 ∴y＝f(x)＋ 1－2fx＝ (1－t )＋t 2 1 1 1 ≤ t ≤ ＝－ (t－1)2＋1 . 2 2 3 1 1 ∵在 t∈ ， 上函数 y 是增函数， 2 3 1 7 ∴当 t＝ 时，y 有最小值为 ， 3 9 1 7 当 t＝ 时，y 有最大值为 . 2 8
例4
【思路点拨】 首先应根据函数单调性去掉 函数符号，转化为关于 sinx的不等式恒成立 问题． 【解】 ∵f(x)在(－∞，1]上是减函数，
∴k－sinx≤k2－sin2x≤1.
假设存在实数k符合题设．
∵k2－sin2x≤1即k2－1≤sin2x对一切x∈R恒 成立，且sin2x≥0， ∴k2－1≤0，－1≤k≤1.①
本讲优化总结
本 讲 优 化 总 结
知识体系网络
专题探究精讲
讲末综合检测
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专题探究精讲
柯西不等式证法一 构造二次函数(ai≠0，i＝1,2，„，n) 2 2 2 f(x ) ＝ (a 1 ＋a2 ＋„＋an )x2 － 2(a1b1 ＋ a2b2 ＋ „ ＋ 2 2 anbn)x＋(b2 ＋ b ＋„＋ b 1 2 n)． ∵ f(x)＝ (a1x－b1)2＋ (a2x－ b2)2＋„＋ (anx－ bn)2≥0， 2 2 ∴ Δ ＝ 4(a1b1 ＋ a2b2 ＋„＋ anbn)2 － 4(a 1 ＋a2 ＋„＋ 2 2 2 2 an )· (b1 ＋b2 ＋„＋bn )≤0. 2 2 2 ∴ (a1b1＋ a2b2＋„＋ anbn)2≤(a2 ＋ a ＋„＋ a )( b 1 2 n 1＋ 2 2 b2＋„＋bn)．
高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式二2.绝对值不等式的解法2
(3)若不等式的解集为∅，m 只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最 大值即可，即 m≥1，m 的取值范围为[1，＋∞)．
法二：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋ 2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，
可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1. (1)若不等式有解，则 m∈(－∞，1)． (2)若不等式解集为 R，则 m∈(－∞，－1)． (3)若不等式解集为∅，则 m∈[1，＋∞)．
法三：原不等式的解集就是 1<(x－2)2≤9 的解集，即
x－22≤9， x－22>1，
解得－x<11≤或xx≤>35，，
∴－1≤x<1 或 3<x≤5.
∴原不等式的解集是[－1,1)∪(3,5]．
(2)由不等式|2x＋5|>7＋x，
可得 2x＋5>7＋x 或 2x＋5<－(7＋x)，
整理得 x>2 或 x<－4.
∴原不等式的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．
(3)①当 x2－2<0 且 x≠0，即－ 2<x< 2，且 x≠0 时，原不 等式显然成立． ②当 x2－2>0 时， 原不等式可化为 x2－2≥|x|，即|x|2－|x|－2≥0， ∴|x|≥2，∴不等式的解为|x|≥2， 即 x≤－2 或 x≥2. ∴原不等式的解集为(－∞，－2]∪(－ 2，0)∪(0， 2)∪[2， ＋∞)．
法三：将原不等式转化为|x＋7|－|x－2|－3≤0， 构造函数 y＝|x＋7|－|x－2|－3，
即 y＝－2x＋12，2，x－＜－7≤7，x≤2， 6，x＞2.
作出函数的图象，由图可知，当 x≤－1 时，有 y≤0， 即|x＋7|－|x－2|－3≤0， ∴原不等式的解集为(－∞，－1]．
最新人教版高三数学选修4-5全册课件【完整版】
引言
最新人教版高三ห้องสมุดไป่ตู้学选修4－5全册 课件【完整版】
第一讲 不等式和绝对值不等 式
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一 不等式
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1.不等式的基本性质
最新人教版高三数学选修4－5全 册课件【完整版】目录
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引言 一 不等式 2.基本不等式 二 绝对值不等式 2.绝对值不等式的解法 一 比较法 三 反证法与放缩法 一 二维形式柯西不等式 三 排序不等式 一 数学归纳法 学习总结报告
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2.基本不等式
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3.三个正数的算术-几何平均不 等式
最新人教版高三数学选修4－5全册 课件【完整版】
人教A版高中数学选修4-5第一讲二绝对值不等式上课课件
证明
3x 2 y 3a 3b 3 x a 2 y b
2 xa 3 yb
3 2 5
所以：3x 2 y 3a 2b 5 .
例2
两个施工队分别被安排在公路沿线的两 个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑 的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两 个施工队的共同临时生活区，每个施工队每 天在生活区和施工区地点之间往返一次。要 使两个施工队每天往返的路程之和最小，生 活区应该建在何处？
分析
本题是绝对值不等式的应用，第一把 实际问题划归为数学问题，即归结为求解 形如y x a x b 的函数的极值问题， 这类问题借助于绝对值三角不等式解答。
解：设生活区建于公路路碑的第xkm处，两个施 工队每天往返的路程之和为S(x)km,
则S x 2 x 10 x 20 .
因 ：x 10 x 20 x 10 20 x 10, 且 x 1020 x 0 取等 。
因此：a b a b .
其几何意义是三角形的两边之和大于 第三边（如下图）。
x
a+b b
由此可称 定理1为绝 对值三角
不等式
a
y
0
(2)当向量a,b共线时，分以下两种情况： 如果向量a,b方向相同时，a b a b ; 如果向量a,b方向相反时，a b a b .
一般地，我们有 a b a b .
.. . . x . . .. x
0 a b a+b
a+b b a 0
图1
(2)当ab<0时，又可以分a>0,b<0和a<0,b>0两 中情况.
如果a>0,b>0时，如图2-1，a b a b .
.. b a+b
3x 2 y 3a 3b 3 x a 2 y b
2 xa 3 yb
3 2 5
所以：3x 2 y 3a 2b 5 .
例2
两个施工队分别被安排在公路沿线的两 个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑 的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两 个施工队的共同临时生活区，每个施工队每 天在生活区和施工区地点之间往返一次。要 使两个施工队每天往返的路程之和最小，生 活区应该建在何处？
分析
本题是绝对值不等式的应用，第一把 实际问题划归为数学问题，即归结为求解 形如y x a x b 的函数的极值问题， 这类问题借助于绝对值三角不等式解答。
解：设生活区建于公路路碑的第xkm处，两个施 工队每天往返的路程之和为S(x)km,
则S x 2 x 10 x 20 .
因 ：x 10 x 20 x 10 20 x 10, 且 x 1020 x 0 取等 。
因此：a b a b .
其几何意义是三角形的两边之和大于 第三边（如下图）。
x
a+b b
由此可称 定理1为绝 对值三角
不等式
a
y
0
(2)当向量a,b共线时，分以下两种情况： 如果向量a,b方向相同时，a b a b ; 如果向量a,b方向相反时，a b a b .
一般地，我们有 a b a b .
.. . . x . . .. x
0 a b a+b
a+b b a 0
图1
(2)当ab<0时，又可以分a>0,b<0和a<0,b>0两 中情况.
如果a>0,b>0时，如图2-1，a b a b .
.. b a+b
高中数学人教A版选修4-5第一讲 一 3.三个正数的算术—几何平均不等式 课件
当且仅当x－a＝x－1 a2即x＝a＋1时，取等号．
∴2x＋x－1 a2的最小值为3＋2a. 由题意可得3＋2a≥7，得a≥2.
答案：2
8．设a，b，c∈R＋，求证：
(a＋b＋c)a＋1 b＋b＋1 c＋a＋1 c≥92. 证明：∵a，b，c∈R＋， ∴2(a＋b＋c)＝(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥
6．若a>2，b>3，则a＋b＋a－21b－3的最小值为________．
解析：a>2，b>3，∴a－2>0，b－3>0. 则a＋b＋a－21b－3＝(a－2)＋(b－3)＋a－21b－3＋5
3 ≥3
a－2×b－3×a－21b－3＋5＝8.
当且仅当a－2＝b－3＝
解析：设圆柱半径h＝πr2·6－2 4r＝πr2(3－2r)≤πr＋r＋33－2r3＝π. 当且仅当r＝3－2r，即r＝1时取等号．
答案：B
5．设0<x<1，则x(1－x)2的最大值为 ________.
解析：∵0<x<1，∴1－x>0. 故3 2x1－x1－x ≤2x＋1－x3＋1－x＝23. ∴x(1－x)2≤247当且仅当x＝13时取等号. 答案：247
解：∵6＝x＋3y＋4z＝
x 2
＋
x 2
＋y＋y＋y＋
4z≥66 x2y3z， ∴x2x3z≤1当x2＝y＝4z时，取“＝”. ∴x＝2，y＝1，z＝14时，x2y3z取得最大值1.
10．有一块边长为36 cm的正三角形铁皮，从它的 三个角上剪下三个全等的四边形后做成一个无 盖的正三棱柱容器，要使这个容器的容积最大，剪下的 三个四边形面积之和等于多少？最大容积是多少？ 解：剪下的三个全等的四边形如图所示，设A1F1＝ x，则AF1＝ 3x， ∴A1B1＝F1F2＝36－2 3x. ∴V＝ 43(36－2 3x)2·x ＝32 3(6 3－x)(6 3－x)·2x.
人教版高中数学选修4-5课件：专题总结4 (共48张PPT)
第30页
高考调研 ·新课标 ·数学（选修4-5）
例 8 证明：不等式212＋312＋…＋n12<1，其中 n≥2，n∈N*.
第31页
高考调研 ·新课标 ·数学（选修4-5）
【证明】 原不等式成立可强化为 212＋312＋…＋n12<1－1n.① 对①运用数学归纳法证明： (1)当 n＝2 时，①显然成立． (2)设 n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式①成立，即
第21页
高考调研 ·新课标 ·数学（选修4-5）
【证明】 设 f(n)＝n2＋2n＋2. (1)当 n＝1 时，一条直线将平面分成两部分， f(1)＝2，∴n＝1 时命题成立． (2)假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时， k 条直线将平面分成k2＋2k＋2个部分．
第22页
高考调研 ·新课标 ·数学（选修4-5）
高考调研 ·新课标 ·数学（选修4-5）
第四讲 专题总结
第1页
高考调研 ·新课标 ·数学（选修4-5）
专题讲解
第2页
高考调研 ·新课标 ·数学（选修4-5）
在使用数学归纳法证明时，一般说来，第一步验证比较简明， 而第二步归纳步骤情况较复杂．因此，熟悉归纳步骤的证明方法 是十分重要的．其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题， 归纳假设“P(k)成立”是问题的条件，而“命题 P(k＋1)成立”就 是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归 纳步骤中的关键，下面简要分析一些常用技巧．
第33页
高考调研 ·新课标 ·数学（选修4-5）
专题训练
第34页
高考调研 ·新课标 ·数学（选修4-5）
1．设{an}是首项为 1 的正项数列，且(n＋1)·an＋12－nan2＋an＋ 1·an＝0(n＝1，2，3，…)，则它的通项 an＝________．
高考调研 ·新课标 ·数学（选修4-5）
例 8 证明：不等式212＋312＋…＋n12<1，其中 n≥2，n∈N*.
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【证明】 原不等式成立可强化为 212＋312＋…＋n12<1－1n.① 对①运用数学归纳法证明： (1)当 n＝2 时，①显然成立． (2)设 n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式①成立，即
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高考调研 ·新课标 ·数学（选修4-5）
【证明】 设 f(n)＝n2＋2n＋2. (1)当 n＝1 时，一条直线将平面分成两部分， f(1)＝2，∴n＝1 时命题成立． (2)假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时， k 条直线将平面分成k2＋2k＋2个部分．
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高考调研 ·新课标 ·数学（选修4-5）
第四讲 专题总结
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专题讲解
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在使用数学归纳法证明时，一般说来，第一步验证比较简明， 而第二步归纳步骤情况较复杂．因此，熟悉归纳步骤的证明方法 是十分重要的．其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题， 归纳假设“P(k)成立”是问题的条件，而“命题 P(k＋1)成立”就 是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归 纳步骤中的关键，下面简要分析一些常用技巧．
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专题训练
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高考调研 ·新课标 ·数学（选修4-5）
1．设{an}是首项为 1 的正项数列，且(n＋1)·an＋12－nan2＋an＋ 1·an＝0(n＝1，2，3，…)，则它的通项 an＝________．