浙江省杭州市高考数学命题比赛模拟(一)

浙江省杭州市高考命题比赛模拟（一）数 学本试卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。

满分150分，考试时间120分钟。

考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题卷规定的位置上。

2.答题前，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：若事件,A B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 棱柱的体积公式V Sh = 若事件,A B 相互独立，则()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次 棱锥的体积公式 13V Sh =独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高()(1),(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-= 球的表面积公式台体的体积公式 24S R π=)(312211S S S S h V ++=球的体积公式 其中S 1，S 2分别表示棱台的上、下底面积，h 表示 334R V π=棱台的高 其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题1}215412{≤-=xx M ，}1{x y x N -==，那么=N M （ ） }1<≤x B ．}12{≤≤-x x C ．}2{-<x xD ．}2{≤x x 2．（原创）设ααsin 2sin =，)0,2(πα-∈，则tan 2α的值是 （ ）A ．3B ．3-C ．33 D ．33- 3．（原创）若复数i z +=1(i 是虚数单位)，则 （ ） A ．01222=--z z B ．01222=+-z z C ．0222=--z z D ．0222=+-z z 4．(摘抄)已知q 是等比数列}{n a 的公比，则“1>q ”是“数列}{n a 是递增数列”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．(摘抄)已知n m ,为异面直线，βα,为两个不同平面，α⊥m ，β⊥n ，且直线l 满足m l ⊥，n l ⊥，α⊄l ，β⊄l ，则 （ ） A ．βα//且α//l B ．βα⊥且β⊥lC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l6．（改编）若正数,a b 满足111a b +=，则14111a b +=--的最小值为 （ ）A ．4B ．6C ．9D ．167．（原创）已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，若点2F 关于直线x aby =的对称点M 也在双曲线上，则该双曲线的离心率为 （ ）A ．25 B ．2 C ．5 D ．28．（原创）已知关于x 的方程2(2)0ax a b x mb +-+=有解，其中,a b 不共线，则参数m 的解的集合为（ ）A ．{0}或{2}- B. {0,2}- C.{|20}m m -≤≤ D.Φ9．(摘抄)已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，,,A B C 为抛物线C 上三点，当0FA FB FC ++=时，称ABC∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．3个 D ．无数个10．(摘抄)已知函数2()f x x ax b =++，,m n 满足m n <且()f m n =，()f n m =，则当m x n <<时， （ ）A ．()f x x m n+<+B ．()f x x m n+>+ C ．()0f x x -< D ．()0f x x ->非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．（原创）二项式61(2)2x x-的展开式中，（1）常数项是 ；（2）所有项的系数和是 ． 12．(摘抄)正四面体（即各条棱长均相等的三棱锥）的棱长 为6，某学生画出该正四面体的三视图如下，其中有一个视 图是错误的，则该视图修改正确后对应图形的面积为______， 该四面体的体积为_________.13．(原创)若将向量(2,3)a =围绕起点按逆时针方向旋转23π到向量b ，则向量b 的坐标为_____，与b 共线的单位向量=14．（原创）在1,2,3,,9这9个自然数中，任取3个数， （1）这3个数中恰有1个是偶数的概率是 ；（用数字作答）（2）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时ξ的值是2）．则随机变量ξ的数学期望E ξ= ． 15．（原创）若变量,x y 满足：2202403110x y x y x y -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，且满足：(1)(2)0t x t y t ++++=，则参数t 的取值范围为______________． 16．（原创）若点G 为ABC ∆的重心，且BG AG ⊥，则C sin 的最大值为_________________． 17．（改编）若存在[]1,2a ∈，使得方程22()()x x a a a t -=+有三个不等的实数根，则实数t 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，满分74分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分）EC1AA（原创）在ABC∆中，内角,,A B C的对边分别为,,a b c，且sin5B c=，11cos14B=．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设BC边的中点为D，AD=，求ABC∆的面积．19．（本小题满分15分）（原创）正方体1111ABCD A B C D-的棱长为1，E是边11D C的中点，点F在正方体内部或正方体的面上，且满足：//EF面11A BC。

（Ⅰ）求动点F轨迹在正方体内形成的平面区域的面积；（Ⅱ）设直线1BD与动点F轨迹所在平面所成的角记为θ，求cosθ．20．（本小题满分15分）（原创）已知数列}{na是等差数列，32=a，65=a，数列}{nb的前n项和为nS，且22=-nnSb．（Ⅰ）求数列}{na、}{nb的通项公式；（Ⅱ）记nnnnn baaac⋅⋅=++12，若数列}{nc的前n项和为nT，证明：21<nT．21．（本小题满分15分）（原创）已知椭圆2212xy+=的左右焦点分别为1F，2F，直线l过椭圆的右焦点2F与椭圆交于,A B两点．（Ⅰ）当直线l的斜率为1，点P为椭圆上的动点，满足条件的P使得ABP∆的面积ABPS∆=的点有几个，并说明理由；（Ⅱ）1ABF∆的内切圆的面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值及此直线l的方程，若不存在，请说明理由．22．（本小题满分15分）(摘抄)已知函数),0()ln()(Rbaxbaxxf∈<-+=，且曲线()y f x=在点(2,(2))f处的切线方程为2y x =-．（Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）函数()(1)g x f x mx =+-有两个不同的零点1x ，2x ，求证：212x x e >．2019年高考模拟试卷数学卷答题卷本次考试时间120分钟，满分150分，所有试题均答在答题卷上一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11、 ， ； 12、 ， ； 13、 ， ；14、 ， ； 15、 ； 16、 ；17、 .三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．2019年高考模拟试卷数学卷参考答案与评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．B 2．A 3．D 4． D 5．D 6．A 7．C8．B 9．D 10．A二、填空题部分（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分） 11． 20-；7296412． 66，21813. 53(,)22-，)1421,1475(-与)1421,1475(- 14．1021；2315.423t -≤≤- 16．53 17．3(,0)18-三、解答题：本大题共5小题，共72分．18．本题主要考查两角和差公式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，同时考查运算求解能力．本题满分14分．（Ⅰ）由11cos 14B =，得53sin 14B =，……………………………………………………………… 1分又23sin 5a B c =，代入得37a c =，由sin sin a c A C=，得3sin 7sin A C =，……………………………………………………… 3分 3sin 7sin()A A B =+， 3sin 7sin cos 7cos sin A A B A B =+………………………………5分得tan 3A =-，23A π=…………………………………………………………………………7分（Ⅱ）419cos 222=⋅⋅-+B BD AB BD AB ，…………………………………………………………… 9分x1FM2F yGEC 11A4191411)67(2)67(22=⋅⋅-+c c c c ，3=c ，则7=a ………………………………………………11分 431514357321sin 21=⨯⨯⨯==B ac S …………………………………………………………14分19．本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识．同时考查空间向量的应用，考查空间想象能力和运算求解能力．满分15分． 解：（Ⅰ）如图，在正方体内作出截面EFGHIJ，（或画出平面图形）…………4分正六边形…………………………5分7分（Ⅱ）法一：如图，连11B D 交11A C 于O 点，连BO ，所求面//面11A BC ，∴所求角=1BD 与面11A BC 所成的角，面11A BC ⊥面11B D DB ，∴线1BD 在面11A BC 的投影为BO ，1D BO ∴∠即为所求的角…………………………………………11分在1BOD ∆中，由余弦定理知1cos 3D BO ∠=所以，cos θ=………………………………………………15分法二：以DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建议直角坐标系，则111(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,1)A B C D …………………………………………………………10分可求出平面11A BC 的法向量为(1,1,1)n =，又1(1,1,1)BD =--………………………………12分11cos ,3n BD ∴<>=-所以，cos 3θ=……………………………………………………………………………………15分20．本题主要考查等差数列、等比数列概念、通项公式、判定，一般数列的前n 项和n S 与n a 的关系等基础知识．同时考查数列单调性的探究方法，运算求解能力等．本题满分15分． （1）由已知得⎩⎨⎧=+=+64311d a d a ，解得1,21==d a ，所以1+=n a n ………………………………3分当1n =时，2211=-b b ，21=∴b （1）…………………………………………4分 ⎩⎨⎧=-≥=---2222211n n n n S b n S b 时，当，当2≥n 时，12-=n n b b （2）………………………6分由（1），（2）得nn b 2=…………………………………………………………………………7分（Ⅱ）由(Ⅰ)知，所以)2()1(23+⋅+⋅+=n n n c n n ……………………………………………………9分)2(21)1(211+⋅-+⋅=⇒-n n c n n n ……………………………………………………………12分)2(2121+⋅-=⇒n T n n …………………………………………………………………………14分21<⇒n T …………………………………………………………………………………………15分21．本题主要考查，直线、圆、圆锥曲线的方程，直线与椭圆的位置关系等基本知识．同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．解：（Ⅰ）由题意，得:1l y x =-代入椭圆方程2212x y +=中得2340x x -=，1240,3x x ==……1分得到12|||AB x x =-=2分设点P 到直线l 的距离为d ，由112||223ABP S AB d d ∆===得到d = (4)设00(,)P x y d ⇒=令001t x y =--，又220012x y +=，代入得到22002(1)2x x t +--=， 化简得到：220034(1)240x t x t t -+++=，则于0∆≥，得到11t ≤≤，当10t ≤<时，⇒椭圆上方的点到直线l >⇒椭圆上方存在两个这样的P 点，使得ABP ∆的面积23ABP S ∆=；当01t ≤≤⇒椭圆下方的点到直线l >⇒椭圆下方仅存在一个P 点，使得ABP ∆的面积23ABP S ∆=； 综上，椭圆上存在这样的P 点有三个………………………………………………………………7分（Ⅱ）设1ABF ∆的内切圆的半径为r ，1111(||||||)2ABF S AF BF AB r ∆⇒=++⨯11142ABF ABF S a r S ∆∆⇒=⨯⨯⇒=，∴要使内切圆的面积最大，即使得1ABF S ∆最大……9分设直线:1l x my =+，代入椭圆得到22(2)210m y my ++-=…………………………………………10分28(1)m ⇒∆=+，122||2y y m -==+…………………………………………………11分设点1F 到直线l 的距离为h11121|||22ABF S AB h y y h m ∆⇒=⨯⨯=-⨯==+…………………………………………………………………………………………………………………13分令1t =≥1211ABF S t t t∆⇒==++1t ⇒=时，即0m =时，1ABF S ∆取得最大值，所以1max ()ABF S ∆= max 12r ⇒=，∴1ABF ∆的内切圆面积的最大值为4π，此时直线l 的方程为1x =……………………15分 22．本题主要考查函数的基本性质、导数的概念、导数的应用等综合应用能力，同时考查逻辑推理能力和创新意识．满分15分．解：（1）由曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为2-=x y ，故⎩⎨⎧==-=0)2('022)2(f f ，……2分又x b a x x f -+=)ln()(，21)('x ba x x f ++=，………………………………………………4分所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+142102)2ln(b a b a ，解得0,1=-=b a ……………………………………………………6分（2）由（1）知，)1ln()(-=x x f ，故x x f ln )1(=+，所以)(ln )(R m mx x x g ∈-=， mx x x g -=ln )(的两个不同的零点21,x x ，不妨设021>>x x ， 因为0)()(21==x g x g ，所以2211ln ,ln mx x mx x ==，要证明221e x x >⋅，即证明2ln )ln(221=>⋅e x x ，而)()ln(2121x x m x x +=⋅故只需证明2)(21>+x x m 即可，…………………………………………………………8分又2121ln ln mx mx x x -=-，所以2121ln ln x x x x m --=，故只需证明2121212ln ln x x x x x x +>--………………………………………………………10分即需证212121)(2ln ln x x x x x x +->-，即证1)1(2ln 212121+->x x x xx x即只需证01)1(2ln 212121>+--x x x xx x 即可，…………………………………………………12分 令21x xt =，由于021>>x x ，故1>t ，设)1(1)1(2ln )(>+--=t t t t t F ，)1(,)1()1()1(41)('222>+-=+-=t t t t t t t F ， 显然0)('>t F ，故)1(1)1(2ln )(>+--=t t t t t F 是增函数，所以)1()(F t F >，又0)1(=F ，所以0)(>t F 恒成立，即)1(1)1(2ln >+->t t t t 成立，因此221e x x >⋅，得证……………………………………15分。