湖南省长郡中学2019届高三上学期第三次月考数学(理) 含答案
ex 1 (其中 e 为自然对数的底数)的图象大致为 x(e x 1)
11.锐角△ABC 中，a，b，c 为角 A，B，C 所对的边，点 G 为△ABC 的重心，若 AG⊥BG，则 cos C 的取值范围为 A. [ , ]
3 5 2 3
B. [ , ]
5 3 6 2
C. [ , ]
6 5
i 3
ix
表示的复数的模为 .
y 1 ★ 14.设变量 x,y 满足约束条件 x y 2 ，若使 z ax y 取得最大值的最优解有无穷 3 x y 14
多个，则实数 a 的取值集合是 .
★15.用！2,3,4,5,6 组成数字不重复的六位数，满足 1 不在左、右两端，2, 4,三个偶数中 有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为 16.正四棱锥的体积为 .
h0 a0 a1 , h1 h0 a2 , 的运算规则为: 0 0 0,0 1 1,1 0 1,1 1 0 ㊉0(!1
㊉.例如原信息为 111，则传输信息为 01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信 息出错，则下列接收信息一定有误的是 A. 11 010 B. 01 100 C. 10 111 D. 00 011
7.在数列{ an }中，若 a4 1, a12 5 ,且任意连续三项的和都是 15,则 a2018 A.5 B. 7 C. 9 D.1
8.函数 f ( x ) cos(x A. [ , ]
3 ] ，则 的取值范围是 )( >0)在[0， ]内的值域为 [1, 6 2
19.(本小题满分 12 分） 某学校用简单随机抽样方法抽取了 100 名同学，对其日均课外阅读时间(单位:min)进行 调查，结果如下:
若将日均课外阅读时间不低于 60 分钟的学生称为“读书迷”。 （1）将频率视为概率，估计该校 4 000 名学生中“读书迷”有多少人？ （2）从已抽取的 8 名“读书迷”中随机抽取 4 名同学参加读书日宣传活动。 (i)求抽取的 4 名同学中既有男同学又有女同学的概率； (ii)记抽取的“读书迷”中男生人数为 X，求 X 的分布列和数学期望。 20.(本小题满分 12 分) 如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， PA 丄平面 ABCD，AB=2， ABC 60 ，E、F 分别 是 BC，PC 的中点。 （1）证明：AE 丄 PD； （2）设 H 为线段 PD 上的动点，若线段 EH 长的最小值为 5 ,求二面角 E—AF—C 的余弦值。 21.(本小题满分 12 分） 设函数 f ( x ) ( x 2 x ) ln x ( a ) x 2(1 a ) x a . （1）讨论 f ( x ) 的单调性； （2）当 a<—2 时，讨论 f ( x ) 的零点个数，并证明。 (二)选考题:共 10 分。请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线 l : x 0 ,圆 C: ( x 1) ( y 1 2 ) 1 ，以坐标原点为 极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 （1）求直线 l1 和圆 C 的极坐标方程；
5 3 6 5 5 C. [ , ] D. [ , ] 6 2 5 6 3 4 9.设 a log 2 3, b , c log 3 4 ，则 a，b，c 的大小关系为 3
B. [ , ] A. b＜a＜c B. c＜a＜b C. a＜b＜c D. c＜b＜a
3 5 2 3
10.函数 f ( x )
3 x 2 2 x ，则 A B
1 2
B. [ ,2]
2 3
C. ( ,1] D. ( , )
2 3
1 2 2 3
★2. 若关于 x 的不等式 x 1＜a 成立的充分条件是 0＜x＜4] ，则实数 a 的 取值范围是 A. a 1
3 B. a＜1 C. a＞
D. a 3
2 2
1 6
B.
1 2
C.
1 3
D.
3 8 10 b , a b a ，则如图所示的程序框图输出的 S= 3
5.已知 a>1，b>1，且 log a b logb a
A.
2
B. 2
C.
3
D.3
★6.为提高信息在传输中的抗干扰能力， 通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输 信息。设定原信息为 a0 , a1 , a2 , ai 0,1(i 0,1,2) ，传输信息为 h0 , a0 , a1 , a2 , h1 ，1，其中
长郡中学 2019 届高三月考试卷(三) 数学（理科）
长郡高三理数备课组组稿 得分: 本试卷共 8 页，时量 120 分钟，满分 150 分。 一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知全集 U=R，集合 A x log 3 (2 x 1) 1， B xy A. ( ,1]
3. 设向量 a=(m，1)，b= (-1， 2)，且 ( a b) ( a b) a b )，则 m A.2 B.
.
3 1
C.
5 1
D.4Leabharlann 4.某中学高三第二次月考后， 对全校的数学成绩进行统计， 发现数学成绩的频率分布直方图 形状与正态分布 （(95， 82)的密度曲线非常拟合.据此统计:在全校随机抽取的 4 名高三同学 中，恰有 2 名同学的数学成绩超过 95 分的概率是 A.
a cos( B C ) cos A(2 3b sin C a ) .
（1）求角 A. （2）若△ABC 的周长为 8，外接圆半径为 3 ，求△ABC 的面积. ★ 18.(本小题满分 12 分） 设数列{ an }的前-项和为 S n ， 且满足 S n 2 an , n 1 ， 2,3,….又数列{ bn }满足 bn 1 ， 且 bn 1 bn an . (1)求数列{ bn }的通项公式. (2)设 cn n(3 bn ) ，数列{ cn }的前 n 项和为 Tn ，求 Tn .
2 ，则该正四棱锥的内切球体积的最大值为 3
三、解答题:本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17〜21 题为必 考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分. 17.(本小题满分 12 分） 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知
D. [ , ]
m x
5 5 6 3
12.设实数 m>0，若对任意的 x≥e(其中 e 为自然对数的底数），不等式 x 2 ln x me 成立，则 m 的最大值是 A.
0恒
1 e
B.
e 3
C. 2e
D. e
题 号 1 答 案
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
得分
选择题答题卡
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.欧拉公式 e cos x i sin x (i 为虚数单位)是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义 域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉 为“数学中的天桥”。根据欧 拉公式可知， e
2019年湖南长郡中学高三理科数学月考高考模拟试卷(附答案)
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数学理科参考答案
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湖南省长郡中学2019届高三月考试卷(一)理科数学
长郡中学2019届高三月考试卷（一）数学（理科）（考试时间：120分钟，满分150分）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.设复数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数除法运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可。
【详解】所以所以选D【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数模的定义，属于基础题。
2.2.已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，故，集合表示非负的偶数，故，故选C.3.3.若定义在上的偶函数满足且时，，则方程的零点个数是（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】【分析】根据函数的周期性和奇偶性，画出函数图像，根据函数图像的交点个数确定零点个数即可。
【详解】因为数满足，所以周期当时，，且为偶函数，所以函数图像如下图所示学。
科。
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网...由图像可知，方程有四个零点所以选C【点睛】本题考查了函数的奇偶性和周期性，绝对值函数图像的画法和函数零点的概念，关键是根据函数解析式能够正确画出函数的图像，属于基础题。
4.4.计算的结果为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式，化简三角函数值；再根据正弦的差角公式合并即可得到解。
2019年湖南长郡中学高三理科数学第三次月考高考模拟试卷(附答案)
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【全国百强校首发】湖南省长郡中学2019届高三上学期第三次月考数学(理)答案
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【答案】湖南省长郡中学2019届高三上学期第三次月考数学(理)答案
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湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第三次调研考试数学(理科)试题 Word版含解析
长郡中学2019届高三第三次调研考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解不等式得集合A，求定义域得集合B，再根据交集定义求结果.【详解】因为=,,所以,选B.【点睛】本题考查集合交集定义以及解不等式、求函数定义域，考查基本求解能力.2.已知复数（），其中i为虚数单位，若为实数，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b比值.【详解】因为))，所以因为，所以，选B.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3.如图所示的茎叶图记录了长郡中学的甲、乙两名同学在校级运动会的五次一千米训练成绩（单位：秒），通过茎叶图比较两人训练成绩的平均值及方差，并从中推荐一人参加运动会，①甲的成绩的平均值高于乙的成绩的平均值，推荐乙参加运动会②甲的成绩的平均值低于乙的成绩的平均值，推荐甲参加运动会③甲的成绩的方差高于乙的成绩的方差，推荐乙参加运动会④甲的成绩的方差低于乙的成绩的方差，推荐甲参加运动会其中正确结论的编号为A. ①③B. ②④C. ②D. ③【答案】A【解析】【分析】根据平均值及方差公式计算，推荐平均值差不多且方差小的参加运动会.【详解】甲同学平均值为，方差为乙同学平均值为，方差为，尽管乙同学平均值略低于甲同学，但乙同学方差远远小于甲同学，所以推荐乙参加运动会，选A.【点睛】均值大小代表水平高低，方差大小代表稳定性，本题考查基本求解能力，属基本题.4.函数的图象大致为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据奇偶性淘汰A,C，再根据函数最值确定选项.【详解】因为，所以为奇函数，不选A,C，又因为，所以选D.【点睛】由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复5.已知等比数列满足，且，则A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据条件确定首项与公比，再利用分组求和法求和.【详解】因为，所以，因为，所以，因此，选D.【点睛】本题采用分组转化法求和，将原数列转化为两个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）6.执行如图所示的程序框图，若输出S的值为55，则判断框中m的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】D【解析】【分析】执行循环，按终止循环条件列等式，解得结果.【详解】执行循环，得，所以，选D.【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先还原几何体，再根据圆锥以及柱体表面积公式求结果.【详解】还原几何体为两个圆锥与一个棱柱的组合体，其中小圆锥的底面半径为2，高为2；大圆锥的底面半径为2，高为4，棱柱的底面为正方形，边长为，高为1，因此该几何体的表面积为=，选D.【点睛】解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行求解.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，渐近线方程为，，点N在圆上，则的最小值为A. B. 2 C. D. 3【答案】C【解析】【分析】先根据条件确定M在双曲线右支上，再根据圆的性质以及三角形不等关系求最值.【详解】因为，所以点M在双曲线C右支上，因为渐近线方程为，所以圆，即，设圆心为,则有，选C.【点睛】本题考查双曲线的定义以及圆的性质，考查基本分析转化能力，属中档题.9.已知直三棱柱的底面为等边三角形，且底面积为，体积为，点，分别为线段，上的动点，若直线平面，点为线段的中点，则点的轨迹长度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图像可知点M的轨迹为线段，两个端点分别为和的中点，即为等边三角形的高线，由底面积求出等边三角形边长，进而求出三角形的高线，即M的轨迹.【详解】由题意可作如下图像：因为直线PQ与平面无交点所以与此平面平行，所以，当点P、点Q分别在点、C处时，此时中点M为中点，当点P、点Q分别在点、处时，此时中点M为中点，若D、E、F分别为三条棱的中点，则点M的轨迹为等边三角形的中线，设底面边长为x，由底面面积可得：，解得，所以轨迹长度为.故选D.【点睛】本题考查立体几何中，动点的轨迹问题，由题意找出图形中两个临界点，由题意两点之间的线段即为所求，注意计算的准确性.10.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，O1（1，0），阴影部分为不等式表示的平面区域，PQ与阴影部分相切于点T，交x轴正半轴于点P，交y轴正半轴于点Q，设，的面积为，若关于t的不等式存在唯一整数解，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求，再根据两个函数图象关系确定实数a的取值范围.【详解】设，从而,由得，由得，作图可得,其中因为所以，选B.【点睛】本题考查函数关系式以及函数图象，考查综合应用分析能力以及灵活转化能力，属难题.11.已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，点P、Q均在椭圆上，且均在x轴上方，满足条件PF1∥QF2，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据椭圆定义求P点横坐标，再根据相似求Q横坐标，最后根据椭圆定义得结果.【详解】设，则由椭圆定义得，同理得因为PF1∥QF2，所以，从而，选C. 【点睛】本题考查椭圆定义以及直线与椭圆位置关系，考查等价转化思想与计算能力，属中档题.12.已知存在，且，使得，其中，则实数的值可能为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】先根据诱导公式化简方程，再根据三角函数有界性得方程组，解方程组可得实数的取值范围，进而确定选项.【详解】由得,所以,即，因为，所以当时，，舍去；当时，，舍去；当时，，舍去；当时，，选D.【点睛】本题考查诱导公式、三角函数有界性以及三角函数特殊值，考查分类讨论思想与基本分析求解能力，属中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若的展开式中常数项为－12，则____．【答案】【解析】【分析】先根据二项式定理确定展开式常数项，解得a，再求定积分得结果.【详解】因为的展开式中常数项为，因此.【点睛】本题考查二项式定理以及定积分，考查基本分析求解能力，属基础题.14.在中，记，若，则的最大值为____．【答案】【解析】【分析】根据向量数量积得三角形边角关系，再利用三角形内角关系列函数关系式，最后利用基本不等式求最值，解得的最大值，即得的最大值.【详解】因为，所以,因此,因为,所以.即的最大值为【点睛】本题考查向量数量积、正弦定理、两角和正弦与正切公式、诱导公式以及基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属难题.15.长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是____．【答案】小学中级【解析】【分析】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为，根据条件列不等式组，推出取法，根据取法推测队长的学段及职称.【详解】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为，则所以，若则，若则矛盾队长为小学中级时，去掉队长则，满足；队长为小学高级时，去掉队长则，不满足；队长为中学中级时，去掉队长则，不满足；队长为中学高级时，去掉队长则，不满足；综上可得队长为小学中级.【点睛】本题考查不等式性质，考查论证推理能力，属难题.16.已知定义在上的函数满足，对任意，不等式恒成立，其中是的导数，则不等式的解集为____．【答案】【解析】【分析】构造函数，根据条件研究性质：奇偶性与单调性，再根据性质解不等式，即得结果.【详解】构造函数,因为，所以为上偶函数，由，得，所以因为，所以当时，由得，即时单调递增，由偶函数得当时单调递减，因此由不等式得或，所以或，解集为.【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等三、解答题（共70分。
2019届长郡高三月考试卷(三)理数
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【答案】湖南省长郡中学2019届高三上学期第三次月考数学(文)答案
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湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第三次调研考试数学(理科)试题(精编含解析)
长郡中学2019届高三第三次调研考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解不等式得集合A，求定义域得集合B，再根据交集定义求结果.【详解】因为=,,所以,选B.【点睛】本题考查集合交集定义以及解不等式、求函数定义域，考查基本求解能力.2.已知复数（），其中i为虚数单位，若为实数，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b比值.【详解】因为))，所以因为，所以，选B.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3.如图所示的茎叶图记录了长郡中学的甲、乙两名同学在校级运动会的五次一千米训练成绩（单位：秒），通过茎叶图比较两人训练成绩的平均值及方差，并从中推荐一人参加运动会，①甲的成绩的平均值高于乙的成绩的平均值，推荐乙参加运动会②甲的成绩的平均值低于乙的成绩的平均值，推荐甲参加运动会③甲的成绩的方差高于乙的成绩的方差，推荐乙参加运动会④甲的成绩的方差低于乙的成绩的方差，推荐甲参加运动会其中正确结论的编号为A. ①③B. ②④C. ②D. ③【答案】A【解析】【分析】根据平均值及方差公式计算，推荐平均值差不多且方差小的参加运动会.【详解】甲同学平均值为，方差为乙同学平均值为，方差为，尽管乙同学平均值略低于甲同学，但乙同学方差远远小于甲同学，所以推荐乙参加运动会，选A.【点睛】均值大小代表水平高低，方差大小代表稳定性，本题考查基本求解能力，属基本题.4.函数的图象大致为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据奇偶性淘汰A,C，再根据函数最值确定选项.【详解】因为，所以为奇函数，不选A,C，又因为，所以选D.【点睛】由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复5.已知等比数列满足，且，则A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据条件确定首项与公比，再利用分组求和法求和.【详解】因为，所以，因为，所以，因此，选D.【点睛】本题采用分组转化法求和，将原数列转化为两个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）6.执行如图所示的程序框图，若输出S的值为55，则判断框中m的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】D【解析】【分析】执行循环，按终止循环条件列等式，解得结果.【详解】执行循环，得，所以，选D.【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先还原几何体，再根据圆锥以及柱体表面积公式求结果.【详解】还原几何体为两个圆锥与一个棱柱的组合体，其中小圆锥的底面半径为2，高为2；大圆锥的底面半径为2，高为4，棱柱的底面为正方形，边长为，高为1，因此该几何体的表面积为=，选D.【点睛】解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行求解.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，渐近线方程为，，点N在圆上，则的最小值为A. B. 2 C. D. 3【答案】C【解析】【分析】先根据条件确定M在双曲线右支上，再根据圆的性质以及三角形不等关系求最值.【详解】因为，所以点M在双曲线C右支上，因为渐近线方程为，所以圆，即，设圆心为,则有，选C.【点睛】本题考查双曲线的定义以及圆的性质，考查基本分析转化能力，属中档题.9.已知直三棱柱的底面为等边三角形，且底面积为，体积为，点，分别为线段，上的动点，若直线平面，点为线段的中点，则点的轨迹长度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图像可知点M的轨迹为线段，两个端点分别为和的中点，即为等边三角形的高线，由底面积求出等边三角形边长，进而求出三角形的高线，即M的轨迹.【详解】由题意可作如下图像：因为直线PQ与平面无交点所以与此平面平行，所以，当点P、点Q分别在点、C处时，此时中点M为中点，当点P、点Q分别在点、处时，此时中点M为中点，若D、E、F分别为三条棱的中点，则点M的轨迹为等边三角形的中线，设底面边长为x，由底面面积可得：，解得，所以轨迹长度为.故选D.【点睛】本题考查立体几何中，动点的轨迹问题，由题意找出图形中两个临界点，由题意两点之间的线段即为所求，注意计算的准确性.10.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，O1（1，0），阴影部分为不等式表示的平面区域，PQ与阴影部分相切于点T，交x轴正半轴于点P，交y轴正半轴于点Q，设，的面积为，若关于t的不等式存在唯一整数解，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求，再化简不等式，最后根据唯一整数解确定实数a的取值范围.【详解】设，从而,由得，因此，所以，即，选B.【点睛】本题考查函数关系式以及不等式整数解，考查综合应用分析能力以及灵活转化能力，属难题. 11.已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，点P、Q均在椭圆上，且均在x轴上方，满足条件PF1∥QF2，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据椭圆定义求P点横坐标，再根据相似求Q横坐标，最后根据椭圆定义得结果.【详解】设，则由椭圆定义得，同理得，由，得，因为PF1∥QF2，所以，从而，选C.【点睛】本题考查椭圆定义以及直线与椭圆位置关系，考查等价转化思想与计算能力，属中档题.12.已知存在，且，使得，其中，则实数的值可能为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】先根据诱导公式化简方程，再根据三角函数有界性得方程组，解方程组可得实数的取值范围，进而确定选项.【详解】由得,所以,即，因为，所以当时，，舍去；当时，，舍去；当时，，舍去；当时，，选D.【点睛】本题考查诱导公式、三角函数有界性以及三角函数特殊值，考查分类讨论思想与基本分析求解能力，属中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若的展开式中常数项为－12，则____．【答案】【解析】【分析】先根据二项式定理确定展开式常数项，解得a，再求定积分得结果.【详解】因为的展开式中常数项为，因此.【点睛】本题考查二项式定理以及定积分，考查基本分析求解能力，属基础题.14.在中，记，若，则的最大值为____．【答案】【解析】【分析】根据向量数量积得三角形边角关系，再利用三角形内角关系列函数关系式，最后利用基本不等式求最值，解得的最大值，即得的最大值.【详解】因为，所以,因此,因为,所以.即的最大值为【点睛】本题考查向量数量积、正弦定理、两角和正弦与正切公式、诱导公式以及基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属难题.15.长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是____．【答案】小学中级【解析】【分析】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为，根据条件列不等式组，推出取法，根据取法推测队长的学段及职称.【详解】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为，则所以，若则，若则矛盾队长为小学中级时，去掉队长则，满足；队长为小学高级时，去掉队长则，不满足；队长为中学中级时，去掉队长则，不满足；队长为中学高级时，去掉队长则，不满足；综上可得队长为小学中级.【点睛】本题考查不等式性质，考查论证推理能力，属难题.16.已知定义在上的函数满足，对任意，不等式恒成立，其中是的导数，则不等式的解集为____．【答案】【解析】【分析】构造函数，根据条件研究性质：奇偶性与单调性，再根据性质解不等式，即得结果.【详解】构造函数,因为，所以为上偶函数，由，得，所以因为，所以当时，由得，即时单调递增，由偶函数得当时单调递减，因此由不等式得或，所以或，解集为.【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等三、解答题（共70分。
湖南长沙长郡中学2019届高三上学期第三次调研考试数学(理)PDF版试题含答案
1 ，则 A B x2
D． 3, 2
A． 2,
1 2
B． 2, 2
1
C． 3, 2
2．已知复数 z1 2 3i, z2 a bi （ a, b R, 且b 0 ） ，其中 i 为虚数单位，若 z1 z2 为实
2 0 ，其 2
D．4
12．已知存在 , , 2 ，且 ，使得 sin 5 cos 中 0 ，则实数 的值可能为 A．1 B．2 C．3 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．若
线方程为 y
1 x ， MF1 MF2 2 ， 点 N 在 圆 Ω : x2 y 2 2 y 0 上 ， 则 2
M N M1 F的最小值为
A．
3 2
B．2
C．
5 2
D．3
2019 届调研考试（三）数学（理）试题—2
9． 已知直三棱柱 ABC A1B1C1 的底面为等边三角形， 且底面积为 分别为线段 A1B, B1C 上的动点，若直线 PQ 点，则点 M 的轨迹长度为 A．
3 3 ， 体积为 ， 点 P, Q 4 4
平面ACC1 A1 ，点 M 为线段 PQ 的中
2 4
2
B．
3 4
C．
2 2
D．
3 2
10．如图 4，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，O1（1，0） ，阴影部分为 不等式 x 1 y 1 y 0 表示的平面区域， PQ 与阴影部分相切于
图2
4 2 B． 4 4 5 4 2 4 2 C． 8 8 5 8 2 4 2 D． 8 4 5 4 2 4 2