高三数学直线的极坐标方程(PPT)5-2
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1.3.2 直线的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)
解析：在直线 l 上任取点 P(ρ，θ)，在△OPM 中，由正弦定 OM OP 2 ρ 理得 ＝ ，即 ＝ π 5π ，化简 sin ∠OPM sin ∠OMP sin 6－θ sin 6 1 1 得 ρ＝ ，故 f(θ)＝ . π π sin 6－θ sin 6－θ 1 答案： π sin 6－θ
[悟一法]
求直线极坐标方程的步骤： (1)设(ρ，θ)为直线上任一点的极坐标． (2)写出动点满足的几何条件． (3)把上述条件转化为ρ，θ的等式． (4)化简整理．
[通一类] 1．若将例题中的“平行”改为“垂直”，如何求解？
π 解：如图所示，在直线 l 上任意取点 M(ρ，θ)，∵A(2，4)， π ∴|OH|＝2cos 4＝ 2. 在 Rt△OMH 中， |OH|＝|OM|cos θ， ∴ 2＝ρcos θ，即 ρcos θ＝ 2. π ∴过 A(2，4)且垂直于极轴的直线方程为 ρcos θ＝ 2.
[小问题· 大思维]
1．在直线的极坐标方程ຫໍສະໝຸດ ，ρ的取值范围是什么？提示：ρ的取值范围是全体实数，即ρ∈R. 2．在极坐标系中，点M(ρ，θ)与点P(－ρ，θ)之间有什么关 系？ 提示：若ρ<0，则－ρ>0，因此点M(ρ，θ)与点P(－ρ，θ)关 于极点对称．
[研一题]
[例 1] π 求过点 A(2，4)且平行于极轴的直线的极坐标方程．
2
[答案]
3
点击进入 创新演练大冲关
标方程，然后在直角坐标系下研究所要求解的问题，最后再将 直角坐标方程转化为极坐标方程即可．
[通一类] 3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲线 ρ(cos θ＋sin θ)＝1 与 ρ(sin θ－cos θ)＝1 的交点的极坐标．
[悟一法]
求直线极坐标方程的步骤： (1)设(ρ，θ)为直线上任一点的极坐标． (2)写出动点满足的几何条件． (3)把上述条件转化为ρ，θ的等式． (4)化简整理．
[通一类] 1．若将例题中的“平行”改为“垂直”，如何求解？
π 解：如图所示，在直线 l 上任意取点 M(ρ，θ)，∵A(2，4)， π ∴|OH|＝2cos 4＝ 2. 在 Rt△OMH 中， |OH|＝|OM|cos θ， ∴ 2＝ρcos θ，即 ρcos θ＝ 2. π ∴过 A(2，4)且垂直于极轴的直线方程为 ρcos θ＝ 2.
[小问题· 大思维]
1．在直线的极坐标方程ຫໍສະໝຸດ ，ρ的取值范围是什么？提示：ρ的取值范围是全体实数，即ρ∈R. 2．在极坐标系中，点M(ρ，θ)与点P(－ρ，θ)之间有什么关 系？ 提示：若ρ<0，则－ρ>0，因此点M(ρ，θ)与点P(－ρ，θ)关 于极点对称．
[研一题]
[例 1] π 求过点 A(2，4)且平行于极轴的直线的极坐标方程．
2
[答案]
3
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标方程，然后在直角坐标系下研究所要求解的问题，最后再将 直角坐标方程转化为极坐标方程即可．
[通一类] 3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲线 ρ(cos θ＋sin θ)＝1 与 ρ(sin θ－cos θ)＝1 的交点的极坐标．
直线的极坐标方程
解：圆＝4 sin 的化为直角坐标方程是 x 2 y 2 4 y 0即x 2 ( y 2) 2 4 那么一条与此圆相切的 圆的方程为 x 2化为极坐标方程为 cos 2
7、曲线＝0，＝ ( 0)和＝4所围成的 3 面积 _________ .
练习：设点P的极坐标为A( a , 0) ，直 l 线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直 线l 的极坐标方程。 M 解：如图，设点 M ( , ) ﹚ 为直线 l 上异于的点 o A x 连接OM， MOA 中有 在
a sin( ) sin( ) 即
§1.3.2直线的极坐标方程
复习引入：
怎样求曲线的极坐标方程？
答：与直角坐标系里的情况一样，求 曲线的极坐标方程就是找出曲线上动 点Ｐ的坐标与之间的关系，然后列 出方程(,)=0 ，再化简并讨论。
新课讲授 例题1：求过极点，倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 M 分析： 如图，所求的射线 上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 / 4，其 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为 ( 0)
4、直线 cos 2关于直线＝ 对称的直线 4 方程为 ( B ) A、 cos 2, B、 sin 2 C、 sin 2, D、＝2sin
解：此题可以变成求直 x 2关于y x 线 的对称直线的问题 即y 2化为极坐标方程为 sin 2
1 3、极坐标方程 sin ( R)表示的曲线是 3 A、两条相交的直线 B、两条射线
C、一条直线
D、一条射线
1 2 2 解：由已知sin 可得 cos 3 3 2 y 2 所以得 tan 即 4 x 4 两条直线l1 : 2 x 4 y 0, l2 : 2 x 4 y 0 所以是两条相交直线
1.3.2 直线的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)
4、直线 cos 2关于直线＝ 对称的直线 4 方程为 ( B ) A、 cos 2, B、 sin 2 C、 sin 2, D、＝2sin
解：此题可以变成求直 x 2关于y x 线 的对称直线的问题 即y 2化为极坐标方程为 sin 2
1 3、极坐标方程 sin ( R)表示的曲线是 3 A、两条相交的直线 B、两条射线
C、一条直线
D、一条射线
1 2 2 解：由已知sin 可得 cos 3 3 2 y 2 所以得 tan 即 4 x 4 两条直线l1 : 2 x 4 y 0, l2 : 2 x 4 y 0 所以是两条相交直线
A
(2, ) 4
M
2
4 O 在Rt OMH中， ＝ OM sin , MH
H
即 sin 2 所以，过点A(2, )平行于极轴的直线方程 4 为 sin 2
2、求过A(2,3)且斜 角坐标系内直线方程为 2x y 7 0 设M ( , )为直线上的任意一点， 将x cos , y sin 代入直线方程 2 x y 7 0得 2 cos sin 7 0这就是所求的极坐标方 程
解：圆＝4 sin 的化为直角坐标方程是 x 2 y 2 4 y 0即x 2 ( y 2) 2 4 那么一条与此圆相切的 圆的方程为 x 2化为极坐标方程为 cos 2
7、曲线＝0，＝ ( 0)和＝4所围成的 3 面积 _________ .
4
思考： 5 1、求过极点，倾角为 的射线的极 4 5 坐标方程。 易得 ( 0)
高三极坐标方程知识点
高三极坐标方程知识点一、导言极坐标方程是数学中的一种坐标系表示方法，通过使用极径和极角来描述平面上点的位置。
在高三数学中，学习极坐标方程是必不可少的一部分。
本文将介绍极坐标方程的基本定义、图形表示以及相关的知识点。
二、基本概念1. 极坐标系：极坐标系是由极轴和极角组成的二维坐标系。
极轴是由原点O出发的射线，极角是用角度或弧度表示的射线与极轴的夹角。
2. 极坐标：一个点在极坐标系中的位置可以用极径r和极角θ来表示，记作(r,θ)。
其中，r表示点到原点O的距离，θ表示点所在射线与极轴的夹角。
三、极坐标方程的表示极坐标系下，一个点的坐标可以由极径r和极角θ来确定。
根据这个原理，可以得到极坐标方程的一般形式：r=f(θ)，其中f(θ)为一个函数。
极坐标方程描述了平面上所有满足该方程的点的集合。
四、极坐标方程的图形表示不同的方程对应不同的图形。
以下是一些常见的极坐标方程及其对应的图形表示：1. 极径为常数的方程：r=a，其中a为正实数。
该方程表示以极径为a的一个园。
2. 正弦曲线方程：r=a·sinθ，其中a为正实数。
该方程表示以极轴为对称轴的正弦曲线。
3. 余弦曲线方程：r=a·cosθ，其中a为正实数。
该方程表示以极轴为对称轴的余弦曲线。
4. 椭圆方程：r=a·(1-e·cosθ)，其中a和e为正实数。
该方程表示以极轴为对称轴的椭圆。
5. 双曲线方程：r=a·(1+e·cosθ)，其中a和e为正实数。
该方程表示以极轴为对称轴的双曲线。
六、其他相关知识点1. 极坐标方程与直角坐标方程互相转化：可以通过一定的数学运算将极坐标方程转化为直角坐标方程，或将直角坐标方程转化为极坐标方程。
2. 极坐标方程下的导数与曲线切线：使用导数的定义，可以求得极坐标方程下的导数及曲线的切线方程。
3. 高阶曲线的极坐标方程：对于一些高阶曲线，可以通过一定的数学方法求得其极坐标方程。
第15章第81讲坐标系与曲线的极坐标方程课件新人教A版课件
2
⊙C的极坐标方程为
ρ=8sinθ.
2点M 对应的直角坐标为0 , 4，直线?l的
直角坐标方程为 3x y 5 3 0，则圆心M
4 5 到直线l的距离d
3 9
3 5所以
2
2
直线l与e C相离.
在极坐标系中，求圆的极坐标方程，常 结合直角三角形的边角关系.本题也可以先 求圆的直角坐标方程，然后化为极坐标方程.
这类题多采用化生为熟的方法，即常将 极坐标方程化为普通方程，再进行判断.
【变式练习1】曲线 0( 0)， ( 0)
3
和 4所围成的面积．
【解析】由极角的几何意义得曲线 0，
3
( 0)在直角坐标系中分别是射线y＝0(x 0)与
射线y＝x(x 0)；由＝4得 2＝16，在直角坐标
掌握好极坐标和直角坐标的互化 公式是解本题的关键.
【变式练习3】在极坐标系中，已知圆
＝2 cos与直线3 cos 4 sin a
0相切，求实数a的值．
【解析】圆 2 cos的普通方程为x2 y2 2x，
即(x 1)2 y2 1，
直线3 cos 4 sin a 0的普通方程为3x
3 cos 1 sin 2 2，
2
2
即 3 x 1 y 2 2，即 3x y 4 2 0. 22
由点到直线的距离公式求得极点 0, 0 到该
直线的距离为2 2.
5.在极坐标系中，过点(2， )作圆 4sin的切
4
线，则切线的极坐标方程为 cos 2 .
的极坐标方程的形式，是解决有关极坐标问题的基
本保证.
•
3.在极坐标系中，判断曲线的形状，研究曲线
⊙C的极坐标方程为
ρ=8sinθ.
2点M 对应的直角坐标为0 , 4，直线?l的
直角坐标方程为 3x y 5 3 0，则圆心M
4 5 到直线l的距离d
3 9
3 5所以
2
2
直线l与e C相离.
在极坐标系中，求圆的极坐标方程，常 结合直角三角形的边角关系.本题也可以先 求圆的直角坐标方程，然后化为极坐标方程.
这类题多采用化生为熟的方法，即常将 极坐标方程化为普通方程，再进行判断.
【变式练习1】曲线 0( 0)， ( 0)
3
和 4所围成的面积．
【解析】由极角的几何意义得曲线 0，
3
( 0)在直角坐标系中分别是射线y＝0(x 0)与
射线y＝x(x 0)；由＝4得 2＝16，在直角坐标
掌握好极坐标和直角坐标的互化 公式是解本题的关键.
【变式练习3】在极坐标系中，已知圆
＝2 cos与直线3 cos 4 sin a
0相切，求实数a的值．
【解析】圆 2 cos的普通方程为x2 y2 2x，
即(x 1)2 y2 1，
直线3 cos 4 sin a 0的普通方程为3x
3 cos 1 sin 2 2，
2
2
即 3 x 1 y 2 2，即 3x y 4 2 0. 22
由点到直线的距离公式求得极点 0, 0 到该
直线的距离为2 2.
5.在极坐标系中，过点(2， )作圆 4sin的切
4
线，则切线的极坐标方程为 cos 2 .
的极坐标方程的形式，是解决有关极坐标问题的基
本保证.
•
3.在极坐标系中，判断曲线的形状，研究曲线
--坐标系ppt(共38张PPT)
角.
高考总复习·数学理科（RJ）
第十四章 系列4选讲
（2）极坐标与直角坐标的互化
设 M 为平面内的一点，它的直角坐标为（x，y），极坐标为
（ρ，θ）.由图可知下面关系式成立：
x＝ρcos
y＝ρsin
θ， ρ2＝x2＋y2，
θ
或 tan
θ＝yx（x≠0）.
高考总复习·数学理科（RJ）
第十四章 系列4选讲 这就是极坐标与直角坐标的互化公式.
即 ρ＝4sin
3
θ－2cos
θ.
高考总复习·数学理科（RJ）
第十四章 系列4选讲
【思维升华】 求曲线的极坐标方程的步骤：（1）建立适
当的极坐标系，设P（ρ， θ ）是曲线上任意一点；（2）由曲线
上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 ρ 和极角 θ
之间的关系式；（3）将列出的关系式进行整理、化简，得出曲 线的极坐标方程.
高考总复习·数学理科（RJ）
第十四章 系列4选讲
【解析】 （1）设（x1，y1）为圆上的点，在已知变换下变 为曲线 C 上的点（x，y），依题意，得xy＝＝x21y，1.
由 x21＋y21＝1 得 x2＋2y2＝1， 即曲线 C 的方程为 x2＋y42＝1.
高考总复习·数学理科（RJ）
第十四章 系列4选讲
第十四章 系列4选讲
高考总复习·数学理科（RJ）
第十四章 系列4选讲
坐标系与参数方程 第1课时 坐标系
1.平面直角坐标系
设点 P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：
x′＝λ·x y′＝μ·y
（λ>0）， （μ>0） 的作用下，点 P（x，y）对应到点 P（ ′ x′，
高考总复习·数学理科（RJ）
第十四章 系列4选讲
（2）极坐标与直角坐标的互化
设 M 为平面内的一点，它的直角坐标为（x，y），极坐标为
（ρ，θ）.由图可知下面关系式成立：
x＝ρcos
y＝ρsin
θ， ρ2＝x2＋y2，
θ
或 tan
θ＝yx（x≠0）.
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第十四章 系列4选讲 这就是极坐标与直角坐标的互化公式.
即 ρ＝4sin
3
θ－2cos
θ.
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第十四章 系列4选讲
【思维升华】 求曲线的极坐标方程的步骤：（1）建立适
当的极坐标系，设P（ρ， θ ）是曲线上任意一点；（2）由曲线
上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 ρ 和极角 θ
之间的关系式；（3）将列出的关系式进行整理、化简，得出曲 线的极坐标方程.
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第十四章 系列4选讲
【解析】 （1）设（x1，y1）为圆上的点，在已知变换下变 为曲线 C 上的点（x，y），依题意，得xy＝＝x21y，1.
由 x21＋y21＝1 得 x2＋2y2＝1， 即曲线 C 的方程为 x2＋y42＝1.
高考总复习·数学理科（RJ）
第十四章 系列4选讲
第十四章 系列4选讲
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第十四章 系列4选讲
坐标系与参数方程 第1课时 坐标系
1.平面直角坐标系
设点 P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：
x′＝λ·x y′＝μ·y
（λ>0）， （μ>0） 的作用下，点 P（x，y）对应到点 P（ ′ x′，
高中数学极坐标系与参数方程---直线参数方程
1 t sin
t cosα代入x α
y
3
0中，
1 t cosα t sinα 3 0 t 4
cosα sin α
| PN || t ||
4
|
cosα sin α
4
| PM | | PN | | 2(cosα sin α) | | cosα sin α |
8
t1 t2 2 2 sin α
tP
t1 t2 2
2 sin α
P在l上
P(
x,
y)满足x y
2
sin 2
α
cos α 2 sin
2
α
x
y
2 sin 2α 2 2 2
22
cos
, 2α
(α为参数，α
（π，3π）) 44
在平面直角坐标系
xOy中，曲线
C1过点P(a,1),
其参数方程为
bt a2 b2
在直角坐标系
xOy中，曲线 C的参数方程为
x
y
2 cosθ ,
4sin θ
(θ为参数）.直线l的参数方程为
x
y
1 t cos 2 t sin
α ,
α
(t为参数）.
(1)求C和l的直角坐标方程 .
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为 （1,2），求l的斜率.
消参
(1)C
t1 t2 2 2 t1t2 2 8a
a
1 36
0,
符合题意
t1 2t2
t1 t2 t1t2
2 2 2 8a
a
9
0,
t1 2t2
4
符合题意
在平面直角坐标系
选修4-4.1.3.极坐标方程 课件
2019/5/23
v:pzyandong
2
复习引入
一、复习： 曲线的方程概念：…… 二、讨论回答： 曲线的极坐标方程概念：……
2019/5/23
v:pzyandong
3
探究
如图，半径为a的圆的圆心坐标为C(a,0) (a>0)，你能用一个等
式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？
设圆和极轴的另一个交点是A,那么|OA|=2a,
v:pzyandong
10
高三数学 选修4-4
第一章 极坐标
一、复习已学知识
1、以极点O为圆心，r为半径的圆， 极坐标方程为:
r
M (, )
O rA x
2、以点C(a,0)为圆心，a为半径的圆，
M(, )
极坐标方程为:
2acos
O
c(a,0) A
x
3、以点C(a,φ)为圆心，a为半径的圆， M(,)
3
5
6
O
x
(2)过点(2,
3
),并且和极轴垂直的直线:
cos 1
3
二、例题选讲
例3 设点P的极坐标为 (1,1),直线l过点P且与极轴所成的角为 ,
求直线l的极坐标方程 。
分析: 如图,设M (, )为直线l上除点
M(, )
极坐标方程为:
2acos
O
c(a,0) A
x
3、以点C(a,φ)为圆心，a为半径的圆， M(,)
极坐标方程为:
2acos( )
c(a,)
O
Ax
2019/5/23
v:pzyandong
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例2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直线L的 极坐标方程。
MLeabharlann 求直线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图；
﹚ o Ax
2、设点M(ρ,θ)是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ,θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求。
竖（丨）、撇（丿）、点（丶）、折（乛）等。②指笔画数：书前有汉字～索引。 【笔会】名①以文章的方式对某个专题或专题的某个侧面进行探讨、报道 等的活动：文艺评论～。②一种由作家联合成的组织。 【笔记】①动用笔记录：老人口述，请人～下来，整理成文。②名听课、听报告、读书时所做的记录： 读书～｜课堂～。③名一种以随笔记录为； 游学插班教育加盟 游学插班教育加盟 ；主的著作体裁，多由分条的短篇汇集而成：～ 小说。 【笔记本】名①用来做笔记的本子。②指笔记本式计算机。 【笔记本电脑】笔记本式计算机。 【笔记本式计算机】ī便携式电子计算机的一种。因外 形略像笔记本，所以叫笔记本式计算机。也叫笔记本电脑。 【笔迹】名每个人写的字所特有的形象；字迹：核对～｜这可不像他的～。 【笔架】（～儿）名 用陶瓷、竹木、金属等制成的搁笔或插笔的架儿。 【笔尖】（～儿）名①笔的写字的尖端部分。②特指钢笔的笔头儿：换个～。 【笔力】名写字、画画或做 文章在笔法上所表现的力量：～雄健｜～遒劲。 【笔立】动直立：～的山峰。 【笔录】①动用笔记录：您口述，由我给您～。②名记录下来的文字：口供～。 【笔路】名①笔法。②写作的思路。 【笔帽】（～儿）名套着笔头儿保护笔的套儿。 【笔名】名作者发表作品时用的别名，如鲁迅是周树人的笔名。 【笔 墨】名指文字或诗文书画等：～流畅｜西湖美丽的景色，不是用～可以形容的。 【笔墨官司】?指书面上的争辩：打～。 【笔润】名润笔。 【笔势】名①写 字、画画用笔的风格：～沉稳。②诗文的气势：这首七律，～犹如大江出峡，汹涌澎湃。 【笔试】动要求把答案写出来的考试（区别于“口试”）。 【笔受】 〈书〉动用笔记下别人口授的话。 【笔顺】名汉字笔画的书写顺序，如“文”的笔顺是）丶，）一，）丿，）丶。 【笔算】动用笔写出算式或算草来计算。 【笔谈】①动两人对面在纸上写字交换意见，代替谈话。②动发表书面意见代替谈话。③名笔记?（多用于书名）：《梦溪～》。 【笔套】（～儿）名①笔 帽。②用线、丝织成或用布做成的套笔的东西。 【笔体】名各人写的字所特有的形象；笔迹：对～｜我认得出他的～。 【笔挺】形状态词。①立得很直：～ 地站着｜士兵站得～～的。②（衣服）很平而折叠的痕迹又很直：穿着一身～的西服。 【笔筒】名用陶瓷、竹木等制成的插笔的筒儿。 【笔头儿】名①毛笔、 钢笔等用以写字的部分。②指写字的技巧或写文章的能力：他～有两下子｜你～快，还是你写吧！也说笔头子。 【笔误】①动因疏忽而写了错字：这篇文 章～的
新课引入：
思考1：在平面直角坐标系中 1、过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为_x_=_3_; 过点(3,3)且与x轴垂直的直线方程为_x_=_3___
2、过点(a,b)且垂直于x轴的直线方程为x_=_a__ 特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可 以取任意值。
思考2: 怎样求曲线的极坐标方程？
与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程 就是找出曲线上动点Ｐ的坐标与之间的关系，然后 列出方程f(,)=0 ，再化简并讨论。