六种数列求和法
数列求和常用方法
一、公式法
1、等差数列求和公式:2
)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= 2、等比数列求和公式:1,11)1(1,111≠⎪⎩
⎪⎨⎧--=--==q q q a a q q a q na S n n n 3、2)1(321+=
+⋅⋅⋅+++n n n 4、)12)(1(613212222++=+⋅⋅⋅+++n n n n 5、23333)1(21321⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=++++n n n 例1:已知3
log 1log 23-=
x ,求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和.
例2:设Sn ＝1+2+3+…+n,n ∈N*,求1
)32()(++=
n n S n S n f 的最大值.
二、倒序相加法:如果一个数列}{n a 满足与首末两项等“距离”的两项的和相等（或等于同一常数）,那么这个数列的前n 项和,可以用倒序相加法。
例3:求o o o o o 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值。
例4:求222
2222222221
10108339221011++⋅⋅⋅++++++的和。
三、裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以互相抵消,从而求得其和。
例5:求数列
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⨯⨯⨯,)2(1,,531,421,311n n 的前n 项和。
例6:求数列
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和。
四、分组求和法:一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公式组成,求和时可用分组求和法,分别求和而后相加。
例7:求数列⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+,212,,1616
,814,4121n n 的前n 项和。
例8:求数列⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+++-,231,,71,
41,1112n a a a n 的前n 项和。
五、并项求和法:一个数列的前n 项和中,若项与项之间能两两结合求解,则称之为并项求和。
形如)()1(n f a n n -=类型,可采用并项法求解。
例9:在各项均为正数的等比数列中,若,965=a a
求1032313log log log a a a +⋅⋅⋅++的值。
例10:求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
六、错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n 项和可以用此法来求,如等比数列的前n 项和就是用此法推导的。
例11:求和132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S
例12:求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,26,24,
2232n n 前n 项的和。
数列求和各种方法总结归纳汇总
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应 项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求.
【错位相减法】设 {an}的前n项和为Sn，an＝n·2n，则Sn＝
解析：∵Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…
＋n·2n
①
∴2Sn＝
1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n－21n
B．n2＋2－21n
C．n2＋1－2n1－1
D．n2＋2－2n1－1
解析：因为an＝2n－1＋21n， 则Sn＝1＋22n－1n＋1211－－1221n＝n2＋1－21n.
2．(2011·北京东城二模)已知{an}是首项为19，公差为－2的等差 数列，Sn为{an}的前n项和．
数列求和的方法
(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通 项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备 某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路： ①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比 数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来 完成． ②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项 相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．
如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等 或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒 序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．
2．分组求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列 或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别 求和而后相加减．
【分组求和法】数列{(－1)n·n}的前n项和Sn=？
一、公式法
1．如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等
数列求和的基本方法和技巧学生用
数列求和的基本方法和技巧数列求和 通项分式法 错位相减法 反序相加法 分组法 分组法 合并法一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、 等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn[例] 求和1＋x 2＋x 4＋x 6＋…x 2n+4(x≠0)注：(1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x 是否为0进行讨论．(2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n 项．对应高考考题：设数列1，（1+2），…，（1+2+1222-⋯+n ），……的前顶和为ns，则ns的值。
二、错位相减法求和错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。
需要我们的学生认真掌握好这种方法。
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。
[例] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S （1≠x ）………………………①注意、1 要考虑 当公比x 为值1时为特殊情况 2 错位相减时要注意末项 此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。
对应高考考题：设正项等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S 。
数列求和各种方法总结归纳
故数列{an}的通项公式为an＝2－n.
an (2)设数列{ n－1}的前n项和为Sn， 2 a2 an 即Sn＝a1＋ 2 ＋…＋ n－1，① 2 Sn a1 a2 an 故S1＝1， 2 ＝ 2 ＋ 4 ＋…＋2n，② 所以，当n＞1时，①－②得
a2－a1 an－an－1 an Sn 2 ＝a1＋ 2 ＋…＋ 2n－1 －2n
－ － －
(2)由题意知bn－an＝3n 1，所以bn＝3n 1＋an＝3n 1－2n＋21. Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3
n－1
3n－1 )＝－n ＋20n＋ 2 .
2
[冲关锦囊]
分组求和常见类型及方法
(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)an＝a·n－1，利用等比数列前n项和公式直接求解； q (3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列， 采用分组求和法求{an}的前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式； 第三行
(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求 {bn}的前2n项和S2n
[自主解答]
(1)当a1＝3时，不合题意；
当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意； 当a1＝10时，不合题意． 因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3，
2 3a2＝1，a3＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式； 1 (2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{b }的前n项和． n
[自主解答]
(1)设数列{an}的公比为q.由a2＝9a2a6得 3 9 3
1 1 2 2 2 a3＝9a4，所以q ＝ .由条件可知q＞0，故q＝ . 1 由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，得a1＝3. 1 故数列{an}的通项公式为an＝3n.
数列求和的几种常见方法
A
1
一、等差数列的前n项和：
Sn
n(a1 2
an
)
Sn na1n(n21)dபைடு நூலகம்
A
2
二、等比数列的前n项和：
Sn
a1(1qn) 1q
(q1)
Sn
a1anq 1q
(q1)
A
3
习题：
1、计算 1 + 2 + 2 2+ 2 3+ L + 2 n的和
2n1 1
11 1
1
2、计算
+ 2 22
所以 Tn＝32－21n－n2＋n＋11＝32－n2＋n＋13.
A
8
习题：
3、数列{an}的通项式为 an =n3n
求数列{an}的前 n 项和 Sn.
Sn
(2n1)3n1 4
3
A
9
四、裂项相消法：
例 3、数列{an}的通项式为
an
=
1 n(n +
2)
求数列{an}的前
n
项
和 Sn.
3 2n3 4 2(n1)(n2)
+ 23
+L+ 2n-1
的和
1
1
2 n1
A
4
三、错位相减法求和： 例1、计算 12+222 +233 +L+2nn 的和
2
1 2n1
n 2n
A
5
错位相减法：
若数列{an}的通项公式形如an=bncn， 而{bn}是等差数列，{cn}是等比数列， 则可采用此法。
A
6
例 2、数列{bn}的通项式为 bn =
求数列前n项和8种的方法(史上最全)
求数列前n 项和8种的方法一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =时，1n S na =； （2）()1111nn a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式:（1）1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+；（2）21nk k ==∑222216123(1)(21)n n n n ++++=++；（3）31nk k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=；（4）1(21)n k k =-=∑2n 1)-(2n ...531=++++.例1 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21例2 设123n s n =++++，*n N ∈,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝n n 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f .二.倒序相加法:如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。
数列求和的常用方法
数列求和的常用方法一、公式法1、 差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn例1、设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的等差数列．（2）令31ln 12n n b a n +==，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．二、倒序相加法若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.例2、设函数222)(+=x x x f 的图象上有两点P 1(x 1, y 1)、P 2(x 2, y 2)，若)(2121OP OP +=且点P 的横坐标为21. （I ）求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（II ）若;求,),()3()2()1(*n n S N n nn f nf nf nf S ∈+⋯+++=三、裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：（1）n n n n -+=++111（2）111=- （3）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n若数列}{n a 为等差数列，0≠n a ，公差0≠d ，)11(11,11111111++++++-=∴=-=-n n n n n n n n n n n n a a d a a a a d a a a a a a则数列}1{1+n n a a 的前n 项和)11(1)11(1)11(113221+-++-+-=n n n a a d a a d a a d S111111111)11(1++++=-⋅=-=n n n n a a na a a a d a a d 。
数列的求和的常用方法
数列的求和的常用方法一、公式法：（1）等差数列前n 项和公式： d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（2）等比数列前n 项和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n（3）重要公式①=∑=nk k 11+2+…+n=21n(n+1)； ②=∑=n k k 1212+22+…+n 2=61n(n+1)(2n+1)； ③=∑=nk k 1313+23+…+n 3=(1+2+…+n)2=[21n(n+1)]2=41n 2(n+1)2； ④∑=nk k 12=2+4+6+…+2n=n(n+1)⑤∑=-nk k 1)12(=1+3+5+…(2n-1)=n 2二、 倒序相加法（利用等和性）等差数列前n 项和公式2)(1n n a a n S +=就是用倒序相加法推导出来的， 这种方法主要用于求数列{a n },首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数。
例1．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项例2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 6=36,S n =324,S n-6=144(n>6),则n 为（ ）（A ）18 （B ）17 （C ）16 （D ）15例3．求和nnn n o n n C C C C S 1)(n 3221+++++=例4．已知a,b 为不相等的两个正数，若在a,b 之间插入n 个正数，使它们构成以a 为首项，b 为末项的等比数列，求插入的这n 个正数的积P n .三、 乘q 错位相减法等比数列前n 项和公式)1(1)1(1≠--=q q q a S n n 就是用乘q 错位相减法推导出来的，这种方法主要用于求数列{a n ∙b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列例5．求数列{n ∙2n }的前n 项和S n例6．求和)1(32112≠++++=-x nx x x S n n例7．求和n n n S 212854321-++++=例8. 求数列10,200,3000,40000, …的前n 项和S n四、 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，即a n =f(n+1)－f(n)，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和, 一般情况下，若{a n }是等差数列，则)11(1111++-=n n n n a a d a a ，)11(21122++-=∙n n n n a a d a a ，用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：①)1(1+n n =n1－11+n ，)211(21)2(1+-=+n n n n ，)11(1)(1k n n k k n n +-=+②)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n③])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n④n n n n -+=++111⑥)(11n k n k kn n -+=++，)(11b a b a ba --=+ ⑦m n m n m n C C C -=+-11，或mn m n m n C C C 111----=⑧)!1(+n n =!1n －)!1(1+n ⑨n ·n ！=(n+1)!－n! ⑩)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=等例9．已知数列{a n }的通项公式a n =)12)(12(1+-n n ，求前n 项和S n例10．已知数列{a n }:1,211+,3211++, …,n++++ 3211, … 求它的前n 项和S n例11.已知数列,841,631,421,2112222++++, 求它的前n 项和S n五、 分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可将这类数列适当拆开，分别求和而后相加减。
数列求和的几种常见方法
习题：
3、数列{an}的通项式为 an =n3
n
求数列{an}的前 n 项和 Sn.
(2n 1) 3 Sn 4
n 1
3
四、裂项相n = n( n + 2) 求数列{an}的前 n 项
和 Sn.
3 2n 3 4 2(n 1)(n 2)
n
2、 数列{an}的通项式为 an = n 2 求数列{an}的前 n 项和 Sn.
n
1 a = n 3、数列{an}的通项式 n( n + 3)
求数列{an}的前 n 项和 Sn.
裂项相消法：
把数列的通项拆成两项之差求和，正 负项相消剩下首尾若干项。常见的拆项公 式有：
1 1 1 n(n 1) n n 1 1 n 1 n n 1 n
习题：
4、 等差数列{an}中， a1=3,公差 d=2, Sn 为前 n
1 项和，求数列{ S n
}的前
n 项和 Tn.
而{bn}是等差数列，{cn}是等比数列，
则可采用此法。
n＋1 例 2、数列{bn}的通项式为 bn = n＋1 2
n＋1 解： bn＝ n＋1 2
求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
n＋1 2 3 4 则 Tn＝ 2＋ 3＋ 4＋…＋ n＋1 2 2 2 2
①
n＋1 1 2 3 4 n Tn＝ 3＋ 4＋ 5＋…＋ n＋1＋ n＋2 ② 2 2 2 2 2 2
3 2n 3 4 2(n 1)(n 2)
五、分组求和法： 若数列{an}的通项公式形如
an=bn+cn，而{bn}是等差数列，{cn}是等
比数列，则可采用此法。
1 1 1 例4、计算 + 3 + 5 + 2 4 8
数列求和的七种方法
数列求和的七种方法
1. 求和公式法：利用数列的通项公式和求和公式，将每一项的值代入公式求和。
2. 算术数列求和法：对于等差数列，可以利用求和公式 S =
n/2(2a + (n-1)d)，其中a为首项，d为公差，n为项数。
3. 几何数列求和法：对于等比数列，可以利用求和公式 S =
a(1-q^n)/(1-q)，其中a为首项，q为公比，n为项数。
4. 分割求和法：将数列分割成多个子序列，分别求和后再将结果相加。
5. 枚举法：遍历数列中的每一项，依次相加求和。
6. 递推关系式法：通过建立递推关系式，根据当前项与前一项的关系来求和。
7. 数学归纳法：对于特定的数列，可以利用数学归纳法证明求和公式的正确性，然后代入数值计算求和结果。
(完整版)数列求和的几种常见方法
248
2n
的和
作业 A ben
1、数列{an}的通项式为 an =n+3n
求数列{an}的前 n 项和 Sn. 2、数列{an}的通项式为 an = n 2n
求数列{an}的前 n 项和 Sn.
3、数列(n +
3)
求数列{an}的前 n 项和 Sn.
习题：
4、等差数列{an}中，a1=3,公差 d=2,
1
Sn 为前 n 项和，求数列{ Sn }的前
n 项和 Tn.
3 2n 3 4 2(n 1)(n 2)
五、分组求和法： 若数列{an}的通项公式形如
an=bn+cn，而{bn}是等差数列，{cn}是等 比数列，则可采用此法。
例4、计算 1 + 3 1 + 5 1 +L + (2n - 1) 1
数列求和的几种常见方法
一、等差数列的前n项和：
Sn
n(a1 2
an )
Sn
na1
n(n 1) 2
d
二、等比数列的前n项和：
Sn
a1(1 qn ) 1 q
(q 1)
Sn
a1 anq 1 q
(q 1)
习题：
1、计算 1+ 2 + 22 + 23 +L + 2n 的和
2n1 1
2、计算
1+ 1 2 22
+1 23
+L
+1 2n-1
的和
1
1
2n1
三、错位相减法求和：
例1、计算 1 + 2 + 3 +L + n 的和