正确认识贝塞尔公式
贝塞尔函数的有关公式
贝塞尔函数的有关公式 C.贝塞尔函数的有关公式 贝塞尔方程 的持解B(z)为(柱)贝塞尔函数。有 p 第一类柱贝塞尔函数J(z) p np为整数n时，J=(,1)J; ,n n p不为整数时，J与J线性无关。 p,p 第二类柱贝塞尔函数N(z)(柱诺依曼函数) p nn为整数时N=(,1)N。 ,n n 第三类柱贝塞尔函数H(z) (柱汉开尔函数): p(1) 第一类柱汉开尔函数 H(z)= J(z)+j N(z) pp p(2)第二类柱汉开尔函数 H(z)= J(z),j N(z) pp p 大宗量z
小宗量z 0 ，为欧拉常数 见微波与光电子学中的电磁理论 p668 J(z)的母函数和有关公式 nz(t/2-1/2t)函数e称为第一类贝塞尔函数的母函数，或称生成函数，若将此函数在t=0附近 展开成罗朗级数，可得到 j j 在上式中作代换，令t=e，t= je等，可得 又可得 如z=x为实数
贝塞尔函数的加法公式 J(z)的零点,nni J’(z)的零点,nni 半整数阶贝塞尔函数 J(z)的零点,n+1/2np
J'(z)的零点,'n+1/2np D(朗斯基行列式及其它关系式 E(修正贝塞尔函数有关公式 贝塞尔方程中用(jz)代换z，得到修正的贝塞尔方程 方程的两个线性无关的解为 ,p I(z)=jJ(jz)(称为第一类修正的柱贝塞尔函数。 ppp+1(1)K(z)=(,/2)jH(jz)(称为第二类修正的柱贝塞尔函数。 pp
大宗量z 小宗量z 0 (0210)《古代散文》复习思考题 一、填空题 1(甲骨卜辞、和《易经》中的卦、爻辞是我国古代散文的萌芽。2(深于比兴、，是先秦散文的突出特点。 3(《》长于描写外交辞令。 4(《国语》的突出特点是长于。 5(“兼爱”、“非攻”是思想的核心。
贝塞尔函数
贝塞尔函数 当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。 §5.1 贝塞尔方程的引出 下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。 这个问题可以归结为求解下述定解问题： 22222 2222 22222 0(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ?=+=???=++<>???=+≤= (5.3)?????? ??? 用分离变量法解这个问题，先令 (,,)(,)() u x y t V x y T t =
代入方程（5.1）得 2 2 2 2 2 ( )V V VT a T x y ??'=+ ?? 或 2 2 2 2 2 (0)V V T x y a T V λλ??+'??= =-> 由此得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程 2 0T a T λ'+= （5.4） 2 2 2 2 0V V V x y λ??+ +=?? （5.5） 从（5.4）得 2 ()a t T t Ae λ-= 方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。为了求出这个方程满足条件 2 2 2 0x y R V +== （5.6） 的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（5.5）与条件（5.6）写成极坐标形式得 22 222 110,,02, (5.7)0,02, (5.8)R V v V V R V ρλρθπρρρρθθπ=????+++=<≤≤??????=≤≤? 再令 (,)()()V P ρθρθ=Θ， 代入（5.7）并分离变量可得 ()()0θμθ''Θ+Θ= （5.9） 2 2 ()()()()0P P P ρρρρλρμρ'''++-= （5.10）
贝塞尔函数
6-2 贝塞尔函数柱函数 在用分离变量法一章介绍了拉普拉斯方程在柱坐标系下分离变量得到了一种特殊类型的常微分方程:贝塞尔方程． 通过幂级数解法得到了另一类特殊函数，称为贝塞尔函数． 贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用贝塞尔函数的正交完备性．
6.1 贝塞尔方程及其解 6.1.1 贝塞尔方程 拉普拉斯方程在柱坐标系下的分离变量得出了一般的贝塞尔方程。 考虑固定边界的圆膜振动，可以归结为下述定解问题 2 2 2 222200() (0,0)|0 (0)(,,)|(,)(,,)|(,) tt xx yy x y l t t t u a u u x y l t u t u x y t x y u x y t x y ?ψ+===?=+≤+<>? =≥?? =??=?（6.1.1 ）
其中l 为已知正数，(,),(,)x y x y ?ψ为已知函数．这个定解问题宜于使用柱坐标，从而构成柱面问题．（由于是二维问题，即退化为极坐标） 设 (,,)(,,)()(,) u x y t u t T t U ρ?ρ?==）得 2 2 0a T =（6.1.2） 2 2100 U U k U ρ? ρ′′′++=（6.1.3）
再令 (,)()() U R ρ?ρ?=Φ，得到2 ν′′Φ+Φ=(6.1.4) 2 22 2 ()0 R R k R ρρρν′′++?=（6.1.5） 于是(6.1.5)得到 22 d ()0d y x x y x ν+?=（6.1.6）
边界条件为 ()|()0 l y k y kl ρρ===方程（6.1.6）称为 ν 阶贝塞尔微分方程．这里 ν x 和 可以为任意数．
贝塞尔函数及其应用
题目：贝塞尔函数及其应用
摘要 贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程时得到的,因此它在波动问题以及各种涉及有势场的问题的研究中占有非常重要的地位。贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。它在物理和工程中，有着十分广泛的应用。 本文首先通过一个物理问题引入贝塞尔方程,并求出贝塞尔方程的解，即贝塞尔函数。其次列出了贝塞尔函数的几个重要的结论，如递推公式，零点性质等,并对他们进行了深入的分析。第二部分主要介绍了傅里叶-贝塞尔级数，通过matlab编程对函数按傅里叶－贝塞尔级数展开之后的图像进行分析,得到了它们的逼近情况。最后一部分介绍了贝塞尔函数的几个重要应用,一个是在物理光学中的应用，着重分析了贝塞尔函数近似公式的误差;一个是在信号处理中调频制的应用,得到了特殊情况下的公式算法。 关键词：贝塞尔函数，傅里叶-贝塞尔级数，渐近公式
目录 一、起源.......................................................................................................... 错误!未定义书签。 （一）贝塞尔函数的提出...................................................................... 错误!未定义书签。 （二) 贝塞尔方程的引出?错误!未定义书签。 二、贝塞尔函数的基本概念.......................................................................... 错误!未定义书签。 (一）贝塞尔函数的定义........................................................................ 错误!未定义书签。 1. 第一类贝塞尔函数....................................................................... 错误!未定义书签。 2. 第二类贝塞尔函数 (6) 3. 第三类贝塞尔函数?错误!未定义书签。 4. 虚宗量的贝塞尔函数................................................................... 错误!未定义书签。 （二）贝塞尔函数的递推公式?错误!未定义书签。 （三）半奇数阶贝塞尔函数?错误!未定义书签。 (四) 贝塞尔函数的零点?错误!未定义书签。 （五) 贝塞尔函数的振荡特性................................................................ 错误!未定义书签。 三、 Fourｉer－Bｅssｅｌ级数?错误!未定义书签。 (一) 傅里叶－贝塞尔级数的定义?错误!未定义书签。 （二) 将函数按傅里叶-贝塞尔级数展开?错误!未定义书签。 四、贝塞尔函数的应用?错误!未定义书签。 (一）贝塞尔函数在光学中的应用...................................................... 错误!未定义书签。 (二）贝塞尔函数在调频制中的应用.................................................... 错误!未定义书签。附录 ................................................................................................................... 错误!未定义书签。
贝塞尔函数
n阶第一类贝塞尔函数() J x n 第二类贝塞尔函数，或称Neumann函数() Y x n 第三类贝塞尔函数汉克尔（Hankel）函数，(1)() H x n 第一类变形的贝塞尔函数() I x n 开尔文函数（或称汤姆孙函数）n阶第一类开尔文（Kelvin）第五章贝塞尔函数 在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。从§2.3可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性
常微分方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。 §5.1 贝塞尔方程的引出 下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半径 其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。 这个问题可以归结为求解下述定解问题： 用分离变量法解这个问题，先令
或 （5.4） （5.5） 从（5.4）得 方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。为了求出这个方程满足条件 （5.6） 的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（5.5）与条件（5.6）写成极坐标形式得 再令
代入（5.7）并分离变量可得 （5.9） （5.10） 5.10）得 （5.11） 这个方程与（2.93）相比，仅仅是两者的自变量和函数记号有差别， 若再作代换 并记
贝塞尔函数的应用 数学物理方程
贝塞尔函数的应用（11.13） 形如 222''()'()()()0x f x xf x x v f x ++-= 的二阶微分方程称为v 阶贝塞尔方程。且 ()()v f x J x = 是方程的一个解。此外，当v 不是整数时， ()()v f x J x -= 是方程的一个与()v J x 线性无关的解，因此，此时贝塞尔方程的通解为 12()()()v v f x C J x C J x -=+ 当v 是整数时， ()()v f x Y x = 是方程的一个与()v J x 线性无关的解，因此，此时贝塞尔方程的通解为 12()()()v v f x C J x C Y x =+ 问题1：考虑极坐标下的二维波动方程 212()tt rr r u c u r u r u θθ--=++ (,,)0, (,,0)(,), (,,0)0t u b t u r f r u r θθθθ=== 根据变量分离法，首先假设 (,,)()()()u r t R r T t θθ=Θ 代入原微分方程后可得
212()()''()''()()()'()()()()''()()R r T t c R r T t r R r T t r R r T t θθθθ--??Θ=Θ+Θ+Θ?? 移项整理可得 1222''()''()()'()()()''()0()()() T t R r r R r r R r c T t R r θθθμθ--Θ+Θ+Θ==-<Θ 因此 22''()()0T t c T t μ+= 同时 1222''()'()''()0()() R r r R r r v R r θμθ--+Θ+=-=>Θ 因此 2''()()0v θθΘ+Θ= 2222''()'()()()0r R r rR r r v R r μ++-= 分别求解上述三个微分方程 对于方程2''()()0v θθΘ+Θ=，由于题目中没有给定θ的范围，因此 (,,)(,2,)u r t u r t θθπ=+ 即 ()(2)θθπΘ=Θ+ 由于其通解为 012()(cos sin ) e C v C v θθθΘ=+ 同时 1212(2)cos (2)sin (2)cos(2)sin(2)C v C v C v v C v v θπθπθπθπθπΘ+=+++=+++
贝塞尔函数释疑
数理方程中与贝塞尔函数有关的问题 据百度百科介绍： 贝塞尔（1784——1846）是德国天文学家，数学家，天体测量学的奠基人。20岁时发表了有关彗星轨道测量的论文。1810年任新建的柯尼斯堡天文台台长，直至逝世。1812年当选为柏林科学院院士。贝塞尔的主要贡献在天文学，以《天文学基础》（1818）为标志发展了实验天文学 ，还编制基本星表 ，测定恒星视差， 预言伴星的存在，导出用于天文计算的贝塞尔公式，较精确地计算出岁差常数等几个天文常数值，还编制大气折射表和大气折射公式，以修正其对天文观测的影响。他在数学研究中提出了贝塞尔函数，讨论了该函数的一系列性质及其求值方法，为解决物理学和天文学的有关问题提供了重要工具。此外，他在大地测量学方面也做出一定贡献，提出贝塞尔地球椭球体等观点。（图片来自维基百科） 一、 贝塞尔方程与贝塞尔函数 二、 贝塞尔方程与欧拉方程比较 三、 贝塞尔函数与伽马函数 四、 贝塞尔函数与几个常用函数的台劳级数比较 右图来自网页“维基百科——自由的百科全书”中贝塞尔 函数介绍。贝塞尔函数的一个实例：一个紧绷的鼓面在中心受到敲击后的二阶振动振型，其振幅沿半径方向上的分布就是一个贝塞尔函数（考虑正负号）。实际生活中受敲击的鼓面的振动是各阶类似振动形态的叠加 一、贝塞尔方程与贝塞尔函数 Bessel 方程是二阶线性变系数齐次常微分方程 0)(222 22 =-++y v x dx dy x dx y d x 其中，v 是常数，称为Bessel 方程的阶（不一定是整数），可取任何实或复数。该方程 的解无法用初等函数表现。数理方程教科书采用第一类Bessel 函数和第二类Bessel 函数的线性组合表示方程的标准解函数。贝塞尔函数也被称为圆柱函数或圆柱谐波。通常所说的贝塞尔函数是指第一类Bessel 函数 m v m m v x m v m x J 20)2 ()1(!)1()(+∞ =∑++-=Γ 贝塞尔方程是在圆柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的（在圆柱域问题中得到的是整阶形式；在球域问题中得到的是半奇数阶形式），因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，典型的问题有：在圆柱形波导中的电磁波传播问题；圆柱体中的热传导问题；圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题；在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有用。如在信号处理中的调频合成（FM synthesis ）或凯泽窗（Kaiser window ）的定义中，都要用到贝塞尔函数。 在教科书中Bessel 方程来源 1． 在圆柱坐标系下解二维热传导方程； ?? ? ????=+=<+=><++=2222 222222,0),,()0,,(0,),(R y x u R y x y x y x u t R y x u u a u yy xx t ? 用分离变量法，令u (x ，y ，t ) = V (x ，y )T (t )，代入方程整得
[最新]贝塞尔公式
[最新]贝塞尔公式 样本标准差的表示公式 数学表达式: , S-标准偏差(%) , n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个 , i-物料中某成分的各次测量值，1,n; [编辑] 标准偏差的使用方法 , 在价格变化剧烈时，该指标值通常很高。 , 如果价格保持平稳，这个指标值不高。 , 在价格发生剧烈的上涨/下降之前，该指标值总是很低。[编辑] 标准偏差的计算步骤
标准偏差的计算步骤是: 2 步骤一、(每个样本数据 , 样本全部数据之平均值)。 步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。 步骤三、把步骤二的结果除以 (n - 1)(“n”指样本数目)。 步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。 [编辑] [1]六个计算标准偏差的公式 [编辑] 标准偏差的理论计算公式 设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l、l、……l。令12n测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ = l ? X 1i σ = l ? X 22 …… σ = l ? X nn 我们定义标准偏差(也称标准差)σ为 (1) 由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。 [编辑] 标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式 由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值
来代表真值。理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。 于是我们用测得值l与算术平均值之差——剩余误差(也叫残差)V来代ii替真差σ , 即 设一组等精度测量值为l、l、……l 12n 则 …… 通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为 将上式代入式(1)有 (2) 式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。 它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当时， ,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。 应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。它不是总体标准偏差σ。因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。于是, 将式(2)改写为
Bessel函数应用例
《复变函数与数理方程》Project 名称：Bessel函数应用例 组别：第十三组 小组成员：唐文岐、高成振、 林慧平、邹三泳、 郭凯
目录 封面 (1) 目录 (2) 文章说明 (3) 摘要 (3) 关键词 (3) 正文 (4) Section 1Bessel函数在衍射中的应用 (4) 一，菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式 (4) 二，衍射的分类 (5) 三，夫琅禾费圆孔衍射数学模型的建立 (6) 四，夫琅禾费圆孔衍射光强公式的推导 (6) 五，夫琅禾费圆孔衍射常见结论的推导 (8) 六，夫琅禾费圆孔衍射光强公式的另一种推导 (11) Section 2 Bessel函数在通信电路中的应用 (14) 一，单音信号的调频 (15) 二，贝塞尔函数的渐进公式 (16) 三，贝塞尔函数图像与调制频率的关系 (17) 四，卡森公式的推导 (20) 五，贝塞尔函数级数展开的理论说明 (21) 总结 (22) 参考文献 (23)
文章说明： 本学期我们在数理方程的课堂上学习了贝塞尔函数的相关内容，贝塞尔函数性质很特殊，它在物理和工程中的广泛应用更是引起我们强烈的兴趣。而学以致用，这是我们学习应用数学的目的之一。联想到在之前的课程中曾经遇到过Bessel函数，但是老师只是直接给出结论，并没有说明原因。因此，我们小组主要从《大学物理》课程中遇到的夫琅禾费圆孔衍射和《电子电路与系统基础》课程中遇到的单音信号调频两个例子对Bessel函数的应用进行讨论，希望能对Bessel 函数的魅力有更深一些的理解。 摘要： 物理学中我们熟知的夫琅禾费圆孔衍射的振幅和电路系统中单音信号调频的幅度都可以用Bessel函数来表示。因此，利用Bessel 函数对夫琅禾费圆孔衍射的振幅和单音信号调频的幅度的表达式进行推导很有必要，同时也可以根据推导得到的公式进行理论的分析和现有结果的解释。另外，根据得到的函数表达式，还可以利用数学软件进行模拟，以期得到更直观的结果，也可以加深对于Bessel函数以及夫琅禾费圆孔衍射、单音信号调频的理解。 关键词： Bessel函数，夫琅禾费圆孔衍射，振幅，光强，调频，频率，幅度，调制指数
贝塞尔公式(建议收藏)
样本标准差的表示公式 数学表达式： ?S—标准偏差（％） ?n—试样总数或测量次数，一般n值不应少于20—30个?i—物料中某成分的各次测量值，1～n； [编辑］ 标准偏差的使用方法 ?在价格变化剧烈时,该指标值通常很高。 ?如果价格保持平稳,这个指标值不高。 ?在价格发生剧烈的上涨/下降之前,该指标值总是很低. [编辑] 标准偏差的计算步骤 标准偏差的计算步骤是： 步骤一、（每个样本数据－样本全部数据之平均值)2。 步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。
步骤三、把步骤二的结果除以 (n — 1)（“n”指样本数目）。 步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。［编辑］ 六个计算标准偏差的公式[1] [编辑] 标准偏差的理论计算公式 设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、 l2、……l n。令测得值l与该量真值X之差为真差占σ，则有σl i?X.。.。。。文档交流 1 = σ2 = l2?X …… σn = l n?X 我们定义标准偏差（也称标准差）σ为 （1）
由于真值X都是不可知的，因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。 ［编辑] 标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式 由于真值是不可知的，在实际应用中, 我们常用n次测量的算术 平均值来代表真值。理论上也证明, 随着测量次数的增多，算术平均值最接近真值，当时，算术平均值就是真值。。.。。。.文档交流 于是我们用测得值l i与算术平均值之差——剩余误差(也叫残差）V i来代替真差σ，即 设一组等精度测量值为l1、l2、……l n 则 …… 通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为
贝塞尔公式word精品
样本标准差的表示公式 数学表达式: ?S-标准偏差（% ?n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个 ?i-物料中某成分的各次测量值，1?n；［编辑］ 标准偏差的使用方法 *在价格变化剧烈时，该指标值通常很高 *如果价格保持平稳，这个指标值不高。 i 1 1M3D 1 8100 19000 TT?I me I 77*0 I 77J0 17TOQ i ran 1 TWO 1 W3 &??co ii w 2900 oen oeao irw MW ?OQ总如WOO n W US ?RO woo t?? woo （①1 —x）2+ @ _ 础2 -- I （叭—X）2
(1) ?在价格发生剧烈的上涨/下降之前，该指标值总是很低。 ［编辑］ 标准偏差的计算步骤 标准偏差的计算步骤是： 步骤一、（每个样本数据-样本全部数据之平均值） 步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。 步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差 ［编辑］ 六个计算标准偏差的公式⑴ ［编辑］ 标准偏差的理论计算公式 设对真值为X 的某量进行一组等精度测量，其测得值为11、丨2、 测得值I 与该量真值X 之差为真差占CT ,则有 （T 1 = 1 i - X （T 2 = I 2 - X (T n = |n - X 我们定义标准偏差（也称标准差）C 为 步骤三、把步骤二的结果除以（n - 1） （“ n ”指样本数目） a = 1 n 朽(H i=l
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由于真值X都是不可知的，因此真差C占也就无法求得，故式只有理论意义而无实用价值。 ［编辑］ 标准偏差b的常用估计一贝塞尔公式 由于真值是不可知的，在实际应用中，我们常用n次测量的算术平均值 随着测量次数的增多，算术平均值最接近真值，当时，算术平均值就是真值。 于是我们用测得值li与算术平均值…之差一一剩余误差（也叫残差）V来代替真差（T , 即 Vi = Li-L 设一组等精度测量值为丨1、丨2、，， In 贝U —- .1 - L 14 = b - E J J V n= l n~ L 通过数学推导可得真差c与剩余误差v的关系为 (1)
贝塞尔函数
贝塞尔函数 基本概念编辑 是数学上的一类特殊函数的总称。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数： 这类方程的解无法用初等函数系统地表示。 贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数变化而变化（相应地，被称为其对应贝塞尔函数的阶数）。实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为n阶贝塞尔函数。 尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。 基本内容编辑 贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为'''贝塞尔方程'''）的标准解函数。 这类方程的解无法用初等函数系统地表示。但是可以运用自动控制理论中的相平面法对其进行定性分析。 这里，被称为其对应贝塞尔函数的阶数。实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为阶贝塞尔函数。 尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来
好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。 定义 贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。针对各种具体情况，人们提出了这些解的不同形式。下面分别介绍不同类型的贝塞尔函数。 历史 几个正整数阶的贝塞尔函数早在18世纪中叶被瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出，当时引起了数学界的轰动。雅各布·伯努利，莱昂哈德·欧拉|欧拉、约瑟夫·路易斯·拉格朗日|拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817年，德国数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔在研究约翰内斯·开普勒提出的三体万有引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。 现实背景和应用范围 贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的，因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，最典型的问题有：* 在圆柱形波导中的电磁波传播问题； * 圆柱体中的热传导定律|热传导问题；
地下水动力学中Matlab的运用(井函数与贝塞尔函数)
地下水动力学中Matlab的运用 一、越流含水层中贝塞尔函数的实现 越流含水层中地下水向承压水井运动的问题中，贝塞尔函数大量运用，其中精确解中运用了零阶第二类虚宗量Bessel函数，一阶第二类虚宗量Bessel函数。 经简化后的Hantush-Jacob公式中也零阶第二类虚宗量Bessel函数。 在配线法中使用的是Hantush-Jacob公式，需要在双对数纸上绘制曲线，而这在Matlab中很容易实现。Matlab中内置大量函数，其中包括五类Bessel函数，即besselj(nu,Z)、bessely(nu,Z)、besselh(nu,Z)、besseli(nu,Z)、besselk(nu,Z)，分别对应第一类贝塞尔函数，诺依曼函数，汉克尔函数，第一类修正贝塞尔函数以及第二类修正贝塞尔函数。而我们利用的即为第二类修正贝塞尔函数，相应的语句及图像如下： x=0:0.01:10; y0=besselk(0,x); y1=besselk(1,x); loglog(x,y0,x,y1); grid on;
二、井函数的实现 地下水向完整井的非稳定运动中需要运用井函数，其指数积分式为 在Matlab中利用quad或quad8等积命令可实现求其近似值。但Matlab中内置的Maple函数库中包含Ei函数，但不可直接显示其函数值，可直接利用mfun函数调用Matlab中的Maple函数库，以达到求值的要求。相应的语句及图像如下：for i=1:160 u(i)=10^(-15+i/10); %生成等比数列，便于画双对数坐标图像 end for i=1:160 w(i)=mfun('Ei',1,u(i)); end loglog(u,w); grid on; U10-1510-1410-1310-1210-1110-10 W(u)33.961560731.65897629.35639127.05380524.75122022.448635 U10-910-810-710-610-510-4 W(u)20.14605017.84346515.54088013.23829610.9357208.633225 U10-310-210-1100101
极差法和贝塞尔公式的比较
标准不确定度的A类评定定义为:“用对观测列进行统计分析的方法，来评定标准不确定度”。国家计量技术规范JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》中介绍了两种A类评定的方法，贝塞尔法和极差法。 1.贝塞尔法 当在重复性或复现性条件下，对被测量X进行n次独立观测。若得到的测量结果分别为x1，x2，……，x n，n次测量的平均值为。于是用贝塞尔公式可以求出单次测量结果x i的实验方差s2(x i)和实验标准差s(x i)。 2.极差法 当在重复性或复现性条件下，对被测量X进行n次独立观测。若n个测量结果中最大值和最小值之差为R(称为极差)，在可以估计X接近正态分布的条件下，单次测量结果的实验标准差s(x i v)可近似地表示为: s(x i)=R/C=u(x i) 式中系数C为极差系数。极差系数之值与测量次数n的大小有关。表1给出极差法的极差系数和自由度与测量次数的关系。 既然随机变量X的标准偏差可以用两种方法得到，就不可避免地会提出两种方法孰优孰劣的问题。无疑，极差法具有计算简单的优点。但在计算机应用已经十分普及的今天，用贝塞尔公式计
算也已变得相当容易。因此关键问题还在于用何种方法估算得到的不确定度更为准确。 表面上看来，用贝塞尔公式进行计算时使用了全部n个测量结果，而极差法只用了一个极大值和一个极小值，其余数据均弃之不用，因此用贝塞尔法得到的实验标准差应该比极差法更为可靠。比较两种方法的自由度也可以看出，极差法的自由度比贝塞尔法小(贝塞尔法的自由度为n-1，而极差法的自由度
bessel函数
新疆大学 《数学物理方法》课程教学大纲 英文名称：Methods of Mathematical Physics 课程编号：C0631002 课程类型：专业核心课 总学时：64＋64 学分：8 适用对象：物理系各专业民、汉本科生 先修课程：《高等数学》、《线性代数》 使用教材：《高等数学》第四册，四川大学数学系编，高等教育出版社，1985年6月第二版； 参考书：《数学物理方法》黄大奎、舒慕曾编，高等教育出版社，Springer 出版社，2001年8月。 《数学物理方程》，谷超豪，李大潜，高等教育出版社，2002年7月第二版。 一、课程性质、目的和任务 《数学物理方法》是为物理专业篇写的。它包含三个部分：复变函数论、数学物理方程和特殊函数。 对于物理专业来说，我们认为，“数学物理方法”不宜单纯作为数学课程来进行讲授与学习。它是数学课程，又是物理课程。在这样一门课程中，固然不应该将数学的严谨性弃置不顾，另一方面也不宜在数学严谨上作过多的要求。虽然在复变函数、数学物理方程和特殊函数方面有不少著名的优秀专门著作，我们仍然感到，在数学理论上不花过多的力量，以鲜明的思路引导学生掌握这些数学工具并应用与物理问题。本大纲要求学生通过学习，掌握经典数学物理方程的基本知识，以便为今后解决较复杂的数学物理问题打下良好基础，为进一步学好后继科程作一定的准备。 二、教学基本要求 本课程教学中要求学生了解数学物理方程的物理来源与有关概念的物理解释；掌握大纲中出现的概念、方法与主要结果；通过习题对课本的基本内容、基本思想、基本方法进行必要的训练，要求学生较熟练地掌握复变函数的极限、连续、解析函数、柯西定理、柯西积分、留数定理和二阶偏微分方程几种主要的定解问题求解方法。本大纲教学总学时为128学时，其中讲授92－108学时，习题20－36学时。 三、教学内容与要求 第一章：复数与复变函数 教学内容：复数的各种形式及代数运算，复变函数及其极限与连续性。 教学要求：重点掌握复数的各种形式及代数运算和复变函数及其极限与连续性。 第二章：解析函数 教学内容：复变函数的可微性与解析函数概念，初等解析函数及其特性。 教学要求：1．了解初等多值解析函数(对数函数及一般幂指数函数)的定义及计算。 2．一般掌握初等单值解析函数及其特性。 3. 重点掌握复变函数的可微性与解析函数概念。 第三章：Cauchy定理、Cauchy积分 教学内容：复变函数的积分，柯西积分定理，柯西积分公式，解析函数与调和函数的关系。 教学要求：重点掌握柯西积分定理，柯西积分公式；复变函数的积分的计算；解析函数与调和函数的关系。 第四章：解析函数的幂级数表示
数学物理方法——贝塞尔函数
贝赛尔函数 摘要：在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。 关键词：贝塞尔函数，通解，递推关系，正交完全性。 在圆形区域或圆柱形区域内求解定解问题时，就会出现下列形势的二阶线性常微分方程 ()22 2220y dy d x y x x n d dx x ++-= 其中n 为常数，这个方程就称为n 阶贝塞尔方程，它有什么特点呢？首先它是一个变系数的二阶线性常微分方程，其次是y ′ 与y ″ 的系数在0x =处为零，即在0x =处方程退化了，如果用2x 除方程两端，则y 与y ′前的系数在0x =时有奇偶性。正因为如此，所以在用幂级数法求解时，要设解为 0c n n n y x a x ==∑∞ . 方程的解就称为n 阶贝赛尔函数。利用级数解法可得它的两个特解 ()()()2201!12n m m n n m m x x J m n m ++==-∑++∞Γ， ()()()2201!12n m m n n m m x x J m n m -+--+==-∑-++∞Γ， 其中()x Γ是Γ-函数。为了和其他类型的贝塞尔函数相区分，我们称
()n x J ，()n x J -是第一类贝塞尔函数。 对于贝塞尔方程和贝塞尔函数，应该强调以下几点： （1） 贝塞尔方程的通解 当n 不是整数且0n ≠时，可以看出()n x J 与()n x J -是线性无关的，这是因为()00n J =，()0n J -=∞。所以贝塞尔方程的通解为 ()()12n n y x x C J C J -=+， 其中1C ,2C 是任意常数。当0x =时，我们只得到了一个特解()0x J ，要想得到通解还必须找到一个与()0x J 线性无关的特解。当n 为整数时，容易说明()n x J 与()n x J -是线性相关的，所以它们也不能构成通解。总之，当n 为零及整数时还要找一个与()n x J 线性无关的特解，这个解就是第二类贝塞尔函数，它的定义为 ()()()()()cos ,sin cos ,lim sin n n n a n x n x J J n z n x Y x x J J n z αααα--→-????=?-?∈??ππππ 因此，不论n 是否为整数及零，贝塞尔方程的通解均可表示为 ()()11n n y x x C J C Y =+. 特别应该强调的是：()n x J 表示一个在整个数轴上都收敛的幂级数的和，所以它在每个指定的点都取有限值，特别是在0x =处的值()0n J 是有限的，而()n x Y 在0x =处的值为无穷大。这个事实对于利用贝塞尔函数求解定解问题非常重要。 （2） 贝塞尔的递推关系 当n 取不同值时就得到不同阶的贝塞尔函数，而这些不同阶的
贝塞尔函数及其应用
题目: 贝塞尔函数及其应用
摘要 贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程时得到的,因此它在波动问题以及各种涉及有势场的问题的研究中占有非常重要的地位。贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。它在物理和工程中,有着十分广泛的应用。 本文首先通过一个物理问题引入贝塞尔方程，并求出贝塞尔方程的解,即贝塞尔函数。其次列出了贝塞尔函数的几个重要的结论,如递推公式,零点性质等，并对他们进行了深入的分析。第二部分主要介绍了傅里叶-贝塞尔级数，通过m ａtlab编程对函数按傅里叶-贝塞尔级数展开之后的图像进行分析,得到了它们的逼近情况。最后一部分介绍了贝塞尔函数的几个重要应用，一个是在物理光学中的应用,着重分析了贝塞尔函数近似公式的误差;一个是在信号处理中调频制的应用,得到了特殊情况下的公式算法。 关键词:贝塞尔函数,傅里叶-贝塞尔级数,渐近公式
目录 一、起源?错误!未定义书签。 （一）贝塞尔函数的提出?错误!未定义书签。 （二）贝塞尔方程的引出.................................................................... 错误!未定义书签。 二、贝塞尔函数的基本概念.......................................................................... 错误!未定义书签。 (一) 贝塞尔函数的定义........................................................................ 错误!未定义书签。 1. 第一类贝塞尔函数....................................................................... 错误!未定义书签。 ２．第二类贝塞尔函数.................................................................. 错误!未定义书签。 ３. 第三类贝塞尔函数 (9) 4. 虚宗量的贝塞尔函数?错误!未定义书签。 （二) 贝塞尔函数的递推公式?错误!未定义书签。 (三) 半奇数阶贝塞尔函数?错误!未定义书签。 （四）贝塞尔函数的零点...................................................................... 错误!未定义书签。 （五) 贝塞尔函数的振荡特性?错误!未定义书签。 三、 Fｏurｉeｒ-Bessｅl级数 (16) (一) 傅里叶-贝塞尔级数的定义............................................................ 错误!未定义书签。 （二) 将函数按傅里叶-贝塞尔级数展开 (16) 四、贝塞尔函数的应用?错误!未定义书签。 (一) 贝塞尔函数在光学中的应用?错误!未定义书签。 （二) 贝塞尔函数在调频制中的应用.................................................... 错误!未定义书签。附录 (29)
贝塞尔函数
贝塞尔函数 1.贝塞尔方程及解: 令()()()(),,=R ,u ?τ?τΦZ 为分离变量的解，则()R ,满足本征值问题的方程， 2222210R dy dR m R dx d ω???++-= ???? （17.1.1） 其中2ω是分量的本征值问题的本征值。 若作变换()R()R()y(x);m x x x ωλνω =====或； 则上面方程可以变换：2//2/2(x )y 0x y x y ν++-= （17.1.1a ） 当ν≠整数时，贝塞尔方程的通解为： (x)AJ (x)BJ (x)y νν-=+ 当ν=整数时，由于J m -=(1)(x)m m J -，因此通解为 (x)AJ (x)BY (x)m m y =+ 式中A 与B 为任意常数，J (x)m 与Y (x)m 分别定义为 m 阶第一类与m 阶第二类贝塞尔函数。 2.贝塞尔方程的的级数解 二阶线性齐次常微分方程2'''22(x )y 0,0x y xy x b υ++-=≤≤ 为贝塞尔方程 现在x=0的领域求解贝塞尔方程的解 2.1级数解的形式 由p(x)=1x ,q(x)=1-22x ν可见，x=0是p=（x ）的一阶极点，是q(x)
的二阶极点。因此，x=0是方程的正则奇点，方程的第一解具有形式; 00n k k p k k k k y x C x C x ∞∞ +===∑=∑ 2.1.1 2.2指标方程 将2.1.1代入贝塞尔方程可得： 22300(k )0k p k k k k k C x C x ρρν∞∞ +++==??∑+-+∑=?? 2.1.2 由x 的最低次幂x ρ的系数为0，即得： 220()C 0x ρρν-= 因0C 0≠，即得指标方程220ρν-=。由此得指标 1,ρν= 2ρν=- 2.3．系数递推公式 为确定起见，令ν>0，并将ρ=1ρ=ν代入2.1.2中得到 22200(k )0k k k k k k C x C x νννν∞∞ +++==??∑+-+∑=?? 改变第二项的求和指标，可得 202k(k 2)0k k k k k k C x C x ννν∞∞ ++-==∑++∑= 由x 的同次幂数之和为0，1(12)0C ν+= 2k(k 2)0k k k C C ν-++= 由此得