2018年1月江苏省镇江市2018届高三数学期末统考试题

高三数学

2018.1.31

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

1.已知集合{}{}=

-=-=B A B A 则,2,1,0,1,3,1,0,22.已知"1",,=∈a R y x 则是直线01=-+y ax 与直线01=++ay x 平行的

条件（从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择一个）

3.函数)42sin(3π+

=x y 图像两对称轴的距离为4.设复数z 满足i z 5i 43=+，则z =5.已知双曲线1222=-y a

x 左焦点与抛物线x y 122-=的焦点重合，则双曲线的右准线方程为

6.已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为6，则正四棱锥的体积为

7.设等比数列{}n a 的前n 项和Sn ，若5361,9,2a S S a 则=-=的值为

8.已知锐角θ满足θθcos 6tan =，则θ

θθθcos sin cos sin -+=9.已知函数4)(2+-=kx x x f 对任意的[]3,1∈x ，不等式0)(≥x f 恒成立，则实数k 的最大值为

10.函数x x x y tan cos -=的定义域为⎥⎦

⎤⎢⎣⎡44-ππ，，其值域为11.已知圆C 与圆0101022=+++y x y x 相切于原点，且过点)6,0(-A ，则圆C 的标准方程为

12.已知点)0,1(P ，直线t x y l +=:与函数2

x y =的图像相交于A、B 两点，当B P A P ∙最小时，直线l 的方程为

13.已知,4,,=+∈b a R b a 则1

11122+++b a 的最大值为14.已知k 为常数，函数⎪⎩

⎪⎨⎧>≤-+=0ln 012)(x x x x x x f ，若关于x 的方程2)(+=kx x f 有且只有4个不同解，则实数k 的取值集合为

二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

15.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若C c B a A b cos 2cos cos -=+.

（1）求C 的大小；

（2）若,2a b =且ABC ∆的面积为32，求c.

16.如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，D 为BC 中点，D B BC AC AB 11,⊥=求证：（1）1

1//ADB C A 平面（2）平面1

11ADB BC A ⊥17.如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆BD AC 与焊接而成，焊接点D 把杆AC 分成CD AD ,两段，其中两固定点A，B 间距离为1米，AB 与杆AC 的夹角为︒60，杆AC 长为1米，若制作AD 段的成本为a 元/米，制作CD 段的成本是a 2元/米，制作杆BD 成本是a 4元/米.设α=∠ADB ，则制作整个支架的总成本记为S 元.

（1）求S 关于α的函数表达式，并求出α的取值范围；

（2）问AD 段多长时，S

最小？

18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(1:2222>>=+B a b

y a x E 的离心率为2

2，左焦点)0,2(-F ，直线t y l =:与椭圆交于B A ,两点，M 为椭圆上异于B A ,的点.（1）求椭圆E 的方程；（2）若)16(--M ，以AB 为直径的圆P 过M 点，求圆P 的标准方程；、

（3）设直线MB MA ,与y 轴分别交于D C ,，证明：OD OC ⋅为定值.

19.已知1,0≠>b b 且，函数x x b e x f +=)(，其中e 为自然对数的底数：

（1）如果函数)(x f 为偶函数，求实数b 的值，并求此时函数的最小值；

（2）对满足,0>b 且1≠b 的任意实数b ，证明函数)(x f y =的图像经过唯一的定点；

（3）如果关于x 的方程2)(=x f 有且只有一个解，求实数b 的取值范围.

20.已知数列{}n a 的前n 项和Sn ，对任意正整数n ，总存在正数r q p ,,使得

r q S p a n n n n -==-,1恒成立：

数列{}n b 的前n 项和n T ，且对任意正整数n ，n n nb T =2恒成立.

（1）求常数r q p ,,的值；

（2）证明数列{}n b 为等差数列；

（3）若21=b ，记n

n n n n n n n n n a b n a b n a b n a b n a b n P 121321222242222---++++++++++= ，是否存在正整数k ，使得对任意正整数n ，k P n ≤恒成立，若存在，求正整数k 的最小值，若不存在，请说明理由.