西安建筑科技大学2012数理统计试题

西安建筑科技大学研究生试卷

考试科目： 数 理 统 计 考试时间：2012年 12月 31日 15时——17时 符号说明：221111,()1n n i i i i X X S X X n n ===

=--∑∑。 一．填空题(每空2分，共20分)

1. 若总体2(,)X N μσ ，则2ES = ，2DS =

2.12,,...,,n X X X Y 独立同分布于(0,1)N ，则221/X Y ；若(1)Y X C

t n S -- ，则C =

3. 在假设检验中，若H 0为真却拒绝了H 0，则称这类错误为第 类错误，犯这类错误的概率不超过

4. 在非重复试验的二元方差分析中，j β称为_ __ ， 没有考虑交互作用ij γ，原因是

5. 在一元线性回归模型2,(0,)Y a bx N =++εεσ 中，2211()n

i i i Y a bx =--σ∑ 服从 分布，其自由度为

二．判断题(每题2分，共8分)

1. 若2σ为总体方差，则S 为σ的无偏估计。( )

2. 最小方差无偏估计必然是优效估计。( )

3. 在一元方差分析中，E S 表示组内误差，当原假设012:r H μμμ=== 不成立 时，2E S σ

也服从卡方分布。( ) 4. 利用一元线性回归模型进行预测时，预测误差()()a bx a bx ++ε-+ 服从均值

为0的正态分布。( )

三．(10分) n X X X ,,,21 为总体2(,)X N μσ 的一个简单随机样本，参数μ和2σ未知，请推导出2σ的置信概率为α-1的双侧置信区间。

四．(10分) 某种电子元件的寿命X (以小时计)服从正态分布，μ、2σ均未知。现测得16只元件的寿命如下

159, 280, 101, 212, 224, 379, 179, 264, 222, 362, 168, 250, 149, 260, 485, 170 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时)?(0.050.05, 1.6449,u α== 0.0250.050.0250.050.0251.96,(15) 1.7531,(15) 2.1314,(16) 1.7459,(16) 2.1199)u t t t t =====

五．(12分) 总体051X p p ⎛⎫ ⎪-⎝⎭

，15X 是不是p 的优效估计？为什么？

六．(15分) 设总体X 的密度函数为

1()e 2x

f x -σ=σ，x <+∞ 其中未知参数0σ>。12,,...,n X X X 是X 的一个简单随机样本，求

(1) σ的矩估计量；

(2) σ的极大似然估计量；

(3) 所求的极大似然估计量是σ的无偏估计吗？(需说明理由)

七．(15分) 在建筑横梁强度的研究中，3000磅力量作用在一英寸的横梁上来测量横梁的挠度，钢筋横梁的测试强度是：

82, 86, 79, 83, 84, 85, 86, 87

其余两种更贵的合金横梁强度测试为

合金1：74, 82, 78, 75, 76, 77

合金2：79, 79, 77,78, 82, 79

假设上述3种合金的强度均服从正态分布且方差相同。求解下列两个问题：

(1) 写出一元方差分析表；

(2) 试检验这些合金强度有无明显差异？(取α=0.05，F 0.05(2,17)=3.5915， F 0.025(2,17)=4.6189，F 0.05(3,16)=3.2389，F 0.025(3,16)=4.0768)

八．(10分) 在一元线性回归2,(0,)Y a bx N =++εεσ 中，已知试验数据点(,),1,2,...,i i x y i n =，根据最小二乘法对参数,a b 进行估计。