8-5 抽屉原理.教师版

果。我们称这种现象为抽屉原理。
三、抽屉原理的解题方案
（一）、利用公式进行解题
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苹果÷抽屉＝商……余数
余数：（1）余数＝1，
结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里
（2）余数＝ x 1 x n 1 ， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里
的任意一种来涂，不管这个面涂成哪种颜色，都会和前面有一个面颜色相同，这样就有两个面会
被涂上相同的颜色． 也可以把五种颜色作为 5 个“抽屉”，六个面作为六个物品，当把六个面随意
放入五个抽屉时，根据抽屉原理，一定有一个抽屉中有两个或两个以上的面，也就是至少会有两
个面涂色相同
【巩固】 三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩．
原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等．
总之，不管这 n 个小朋友各遇到多少熟人(包括没遇到熟人)，必有两个小朋友遇到的熟人数目相等
【巩固】 五年级数学小组共有 20 名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学， 他们的朋友人数一样多．
【考点】抽屉原理
【难度】3 星
【题型】解答
抽屉原理
教学目标
抽屉原理是一种特殊的思维方法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同学
学 目 证明很多看似复杂的问题。本讲的主要教学目标是： 标 1．理解抽屉原理的基本概念、基本用法；
2．掌握用抽屉原理解题的基本过程； 3. 能够构造抽屉进行解题； 4. 利用最不利原则进行解题； 5.利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。
情况四：这三个小朋友，可能其中 2 男1女，那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正
确的．所以，三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女
孩的说法是正确的；
方法二：三个小朋友只有两种性别，所以至少有两个人的性别是相同的，所以必有两个小朋友都
是男孩或者都是女孩
【巩固】 试说明 400 人中至少有两个人的生日相同.
个苹果放进 366 个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个苹果．这就说明，至少有 2 名同学的生
日相同
【巩固】 用五种颜色给正方体各面涂色(每面只涂一种色)，请你说明：至少会有两个面涂色相同．
【考点】抽屉原理
【难度】2 星
【题型】解答
【解析】 略．
【答案】五种颜色最多只能涂 5 个不同颜色的面，因为正方体有 6 个面，还有一个面要选择这五种颜色中
【解析】 略．
【答案】数学小组共有 20 名同学，因此每个同学最多有 19 个朋友；又由于他们都有朋友，所以每个同学
至少有 1 个朋友．因此，这 20 名同学中，每个同学的朋友数只有 19 种可能：1，2，3，……，
19．把这 20 名同学看作 20 个“苹果”，又把同学的朋友数目看作 19 个“抽屉”，根据抽屉原理，至
【考点】抽屉原理
【难度】2 星
【解析】 略.
【题型】解答
【答案】将一年中的 366 天或 365 天视为 366 个或 365 个抽屉，400 个人看作 400 个苹果，从最极端的情况
考虑，即每个抽屉都放一个苹果，还有 35 个或 34 个苹果必然要放到有一个苹果的抽屉里，所以
至少有一个抽屉有至少两个苹果，即至少有两人的生日相同
是它们除以 7 的余数相同，因此这两个数的差一定是 7 的倍数
【巩固】 证明：任取 6 个自然数，必有两个数的差是 5 的倍数。
【考点】抽屉原理
（3）余数＝0，
结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里
（二）、利用最值原理解题
将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”
方法、特殊值方法．
知识精讲
（一）、直接利用公式进行解题
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（1）求结论
【例 1】 6 只鸽子要飞进 5 个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有 2 只鸽子．对吗？
么它们的差 a b 是 m 的倍数.根据这个性质，本题只需证明这 8 个自然数中有 2 个自然数，它们
除以 7 的余数相同.我们可以把所有自然数按被 7 除所得的 7 种不同的余数 0、1、2、3、4、5、6
分成七类.也就是 7 个抽屉.任取 8 个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就
果．因此至少有两个同学在同一个月过生日．
【巩固】 数学兴趣小组有 13 个学生，请你说明：在这 13 个同学中，至少有两个同学属相一样．
【考点】抽屉原理
【难度】1 星
【题型】解答
【解析】 略．
【答案】属相共12 个，把12 个属相作为12 个“抽屉”，13 个同学按照自己的属相选择相应的“抽屉”，根据
【例 2】 向阳小学有 730 个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？
【考点】抽屉原理
【难度】2 星
【题型】解答
【解析】 略．
【答案】一年最多有 366 天，可看做 366 个抽屉，730 个学生看做 730 个苹果．因为 730 366 1364 ，
所以，至少有 1＋1＝2（个）学生的生日是同一天
抽屉原理，一定有一个“抽屉”中有两个或两个以上同学，也就是说至少有两个同学属相一样
【巩固】 光明小学有 367 名 2000 年出生的学生，请问是否有生日相同的学生？
【考点】抽屉原理
【难度】1 星
【题型】解答
【解析】 略．
【答案】一年最多有 366 天，把 366 天看作 366 个“抽屉”，将 367 名学生看作 367 个“苹果”．这样，把 367
【巩固】 人的头发平均有 12 万根，如果最多不超过 20 万根，那么 13 亿中国人中至少有 的根数相同。
人的头发
【考点】抽屉原理
【难度】2 星
【关键词】希望杯，4 年级，1 试
图8 【题型】填空
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【解析】 这是一道抽屉原理的题目，所以要先分清楚什么是抽屉，什么是苹果。此题中的抽屉是人的头发： 有 20 万个，中国的人数是苹果：13 亿人，所以至少应有：1300000000 200000 6500 （人）。
少有 2 名同学，他们的朋友人数一样多
【例 4】 四个连续的自然数分别被 3 除后，必有两个余数相同，请说明理由．
【考点】抽屉原理
【难度】2 星
【题型】解答
【解析】 略．
【答案】想一想，不同的自然数被 3 除的余数有几类？在这道题中，把什么当作抽屉呢？
把这四个连续的自然数分别除以 3 ，其余数不外乎是 0 ，1 ， 2 ，把这 3 个不同的余数当作 3 个“抽
看作“抽屉”，那么， n 个小朋友每人遇到的熟人数目共有以下 n 种可能：0，1，2，……，
n 1．其中 0 的意思是指这位小朋友没有遇到熟人；而每位小朋友最多遇见 n 1个熟人，所以共
有 n 个“抽屉”．下面分两种情况来讨论：
⑴如果在这 n 个小朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他小朋友最多只能遇上 n 2
屉原理，一定存在一个抽屉，在这个抽屉里至少有 2 个苹果．即至少有两名学生在做同一科的作
业
【巩固】 年级一班学雷锋小组有13 人．教数学的张老师说：“你们这个小组至少有 2 个人在同一月过生
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日．”你知道张老师为什么这样说吗？
【考点】抽屉原理
【难度】1 星
定有一个抽屉中有两个苹果，也就是一定有一个笼子里有 2 只鸽子．
【答案】对
【巩固】 把 9 条金鱼任意放在 8 个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼．
【考点】抽屉原理
【难度】1 星
【题型】解答
【解析】 略．
【答案】在 8 个鱼缸里面，每个鱼缸放一条，就是 8 条金鱼；还剩下的一条，任意放在这 8 个鱼缸其中的任
意一个中，这样至少有一个鱼缸里面会放有两条金鱼．
【巩固】 教室里有 5 名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业 试说明：这 5 名学 生中，至少有两个人在做同一科作业．
【考点】抽屉原理
【难度】1 星
【题型】解答
【解析】 略．
【答案】将 5 名学生看作 5 个苹果 将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉，共 4 个抽屉 由抽
二、抽屉原理的定义
（1）举例
桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放
两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
（2）定义
一般情况下，把 n＋1 或多于 n＋1 个苹果放到 n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹
学生利用余数性质进行解释：为什么余数相同，则差就能被整除）．这两个数的差必能被 3 整除
【巩固】 证明：任取 8 个自然数，必有两个数的差是 7 的倍数．
【考点】抽屉原理
【难度】3 星
【题型】解答
【解析】 略．
【答案】在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数 a、b，它们除以自然数 m 的余数相同，那
【答案】 650 人
【例 3】 “六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游园 的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等．
【考点】抽屉原理
【难度】3 星
【题型】解答
【解析】 略．
【答案】假设共有 n 个小朋友到公园游玩，我们把他们看作 n 个“苹果”，再把每个小朋友遇到的熟人数目
【考点】抽屉原理
【难度】3 星
【题型】解答
【解析】 略．
【答案】因为任何整数除以 3 ，其余数只可能是 0 ，1 ， 2 三种情形．我们将余数的这三种情形看成是三个
“抽屉”．一个整数除以 3 的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里．将四个自然数放入
三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以 3 的余数相同（需要对
屉”，把这 4 个连续的自然数按照被 3 除的余数，分别放入对应的 3 个“抽屉”中，根据抽屉原理，
至少有两个自然数在同一个抽屉里，也就是说，至少有两个自然数除以 3 的余数相同
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【例 5】 在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被 3 整除？
个熟人，这样熟人数目只有 n 1种可能：0，1，2，……， n 2 ．这样，“苹果”数( n 个小朋友)超
过“抽屉”数( n 1种熟人数目)，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等．
⑵如果在这 n 个小朋友中，每位小朋友都至少遇到一个熟人，这样熟人数目只有 n 1种可能：1，
2，3，……， n 1．这时，“苹果”数( n 个小朋友)仍然超过“抽屉”数( n 1种熟人数目)，根据抽屉
知识点拨
一、知识点介绍
抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中 的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可 以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题， 在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．
【解析】 略．
【题型】解答
【总结】题目中并没有说明什么是“抽屉”，什么是“物品”，解题的关键是制造“抽屉”，确定假设的“物品”，
根据“抽屉少，物品多”转化为抽屉原理来解．
【答案】从题目可以看出，这道题显然与月份有关．我们知道，一年有12 个月，把这12 个月看成12 个抽
屉，这道题就相当于把13 个苹果放入12 个抽屉中．根据抽屉原理，至少有一个抽屉放了两个苹
【考点】抽屉原理
【难度】1 星
【题型】解答
【解析】 6 只鸽子要飞进 5 个笼子，如果每个笼子装1 只，这样还剩下1 只鸽子．这只鸽子可以任意飞进其
中的一个笼子，这样至少有一个笼子里有 2 只鸽子．所以这句话是正确的．
利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作“抽屉”，把鸽子看作“苹果”，
6 5 11 ，1 1 2 （只）把 6 个苹果放到 5 个抽屉中，每个抽屉中都要有1 个苹果，那么肯
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【考点】抽屉原理
【难度】1 星
【题型】解答
【解析】 略．
【答案】方法一：情况一：这三个小朋友，可能全部是男，那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正确的；
情况二：这三个小朋友，可能全部是女，那么必有两个小朋友都是女孩的说法是正确的；
情况三：这三个小朋友，可能其中1 男 2 女那么必有两个小朋友都是女孩说法是正确的；