示范教案一(74简单的线性规划)第一课时

课题：7.4简单的线性规划（一）

教学目的：

1 ?使学生了解二元一次不等式表示平面区域；

2?了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；

3?了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题-

4 ?培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力-

5.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新-

教学重点：二元一次不等式表示平面区域.

教学难点：把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.

授课类型：新授课-

课时安排：1课时-

教具：多媒体、实物投影仪-

一、复习引入：

通过前几节的学习，我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程

x y 1 0的解为坐标的点的集合｛（x,y）| x y 1 0｝是经过点（0, 1）和（1, 0）的一条直线I，那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数最高次数都是

1的不等式）的解为坐标的点的集合｛（x,y）I x y 1 0｝是什么图形呢？

二、讲解新课：

在平面直角坐标系中，所有的点被直线x y 1 0分成三类：

(1)在直线x y 1 0 上;

(2)在直线x y 1 0的左下方的平面区域内;

(3)在直线x y 1 0的右上方的平面区域内

即：对于任意一个点（x, y），把它的坐标代入x y 1,可得到一个实数,

或等于0，或大于0,或小于0.若x+y-1=0，则点（x,y）在直线I上.

我们猜想：对直线I右上方的点（x, y）, x y 1 0成立;

对直线I左下方的点（x,y）, x y 1v 0成立.

我们的猜想是否正确呢？下面我们来讨论一下

不妨，在直线x y 1=0上任取一点P（x0, y0），过点P作平行于x轴的直线

y=y。,在此直线上点P右侧的任意一点（x, y），都有

x > X。, y = y o,所以，x+y> X o + y°, x y 1 > X o + y o-i=o,

即x y 1> 0.

再过点P作平行于y轴的直线x=x o,在此直线上点P上侧的任意一点（x, y）,

都有x=x°,y> y°.所以，x+y > X o+y°, x y 1> x°+ y o-1=O,

即x y 1 > 0.

因为点P （x0, y0）是直线x y 1 =0上的任意点，所以对于直线

x y 1=0右上方的任意点（x,y）, x y 1 > 0都成立.

同理，对于直线x y 1 =0左下方的任意点

（x, y）, x y 1 v 0 都成立.

如图所示：

所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式

x y 1 > 0的解为坐标的点的集合｛（x, y ）|

x y 1 > 0｝是在直线x y 1 =0右上方的平面区

域-如图所示：

那么，在平面直角坐标系中，以二元一次不

等式x y 1 v 0的解为坐标的点的集合

｛（x, y）| x y 1 v 0｝是在直线x y 1 =0 左

下方的平面区域.

总之，二元一次不等式Ax+By+C> 0在平面直

角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组x ty-1=0

成的平面区域?（虚线表示区域不包括边界直线）

由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（x, y），把它的坐标（x, y）代入Ax+By+C,所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点

（x o, y o），从Ax o+B^+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域? （特殊地，当C M 0时，常把原点作为此特殊点）- 三、讲解范例：

例1画出不等式2 x +y-6 v 0表示的平面区域.

解：先画直线2x+y-6=0 （画成虚线）?

取原点（0, 0）,代入2x+y-6, T 2X 0+0-6=-6 v 0,

原点在2 x +y-6 v 0表示的平面区域内，不等式2 x +y-6 v 0表

示的区域如图：

x y 5 0

例2画出不等式组x y 0表示的平面区域

分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分- 解：不等式x-y+5>0表示直线x-y+5=0上及右下方的点的集合，x +y> 0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合，x< 3表示直线x=3上及左方的点的集合.不等式组表示平面区域即为

x+y=0

5 5

B(-2'2)

x-y+5=0

A(3,8)

x=3

图示的三角形区域：

四、课堂练习：

1.画出不等式—X+2y—4v 0表示的平面区域.

解：先画直线—x +2y—4=0（画成虚线），取原点（0, 0），代入—x + 2y—4,因为0 + 2 X 0 — 4 v 0，所以，原点在—x +2y —4v 0表示的平面区域内，不等式一x + 2y—4v 0表示的区域如图所示.

x y 0

2?画出不等式组

y 3

x 5

表示的平面区域

C(3,-3)

选题意图：考查不等式组表示的平面区域的画法

右下方的点的集合，y w 3表示在直线y=3上及其下方的点的集合，

x < 5表示

X y 6 o 直线x =5左方的点的集合，所以不等式组

X y o 表示的平面区域如图

y 3

X 5

所示

说明：不等式组表示的区域应注意其边界线的虚实

-

3?已知直线I 的方程为Ax+By+C =0, M i (x i ，y i )、M 2(x 2,y 2)为直线|异侧的任意 两点，M i 、M 3(x 3,y 3)为直线I 同侧的任意两点，求证：

(1) Ax 什By i +C 与 Ax 2+By 2+C 异号； (2) Ax i +By i +C 与 Ax 3+By 3+C 同号.

证明：⑴因M i 、M 2在I 异侧，故I 必交线段M i M 2于点M o .

设M o 分M i M 2所成的比为入，则分点M o 的坐标为

x i

x 2

y i y 2

A(」

2

) + B ( * 2

)+ C = o ,

i

i

从而得 Ax i + By i + C + 入(AX 2+ By 2 + C )= o.解出入，得

Ax i By i C Ax 2 By 2 C

T M o 为M i M 2的内分点，故 入>o.

? ? Ax i + By i + C 与 A X 2+ By 2+ C 异号.

(2) ?/ M 3、M i 在I 同侧，而 M i 、M 2在I 异侧，故 M 3、M 2在I 异侧，利用 (i)得 AX 3+ By 3 + C 与 AX 2+ By 2 + C 异号，

又? Ax i + By i + C 与 Ax 2 + By 2+ C 异号， ? Ax i + By i + C 与 Axs + By ?+ C 同号- 五、 小结 ：“二元一次不等式表示平面区域” ：(i ) Ax +By +C >o 表示直线

Ax +By +C =o 的某一侧的平面区域不包括边界的直线；

(2) Ax +By +C 》o 所表示的

平面区域包括边界直线 Ax +By +C =o - 六、 课后作业：- 七、 板书设计(略)- 八、 课后记：-

X i

x o =

i

X 2 竺代入I 的方程得