平口单峰函数-单峰

构造“平口单峰”函数解决一些恼人的“切比雪夫最佳逼近直线”
一、新增此方法的的简单推广（16天津卷）。

二：引理证明bug 修正。

下面这些问题相信长期混群的人都不陌生，提问频率颇高。

大多数时候的解答为绝对值不等式配凑以及“切比雪夫最佳逼近直线”。

然后，没有人对最佳逼近直线给过论证，只是一句话带过。

本文将给出一种极其简洁的做法及解释。

1.1()42,(,),x x f x a b a b R +=++∈，若对任意的[0,1]x ∈，1|()|2
f x ≤都成立，则b=_____。

2.设函数4()||f x ax x
=-，若对任意的正实数a,总存在0[1,4]x ∈，使得0()f x m ≥，则实数m 的取值范围是______。

3.设函数()|,,f x ax b a b R =-∈，若对任意实数a,b,总存在实数0[0,4]x ∈，使得
0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围为_______。

4.已知函数2()||f x x ax b =++在区间[0,]x c ∈内的最大值为M ，
(,,0)a b R c ∈>为常数，且存在实数,a b 使得M 的最小值为2，则a+b+c=_______。

5.已知2()(4)3f x x a x a =+-+-对任意[0,4]a ∈，均存在0[0,2]x ∈，使得0|()|f x t ≥成立，则t 的取值范围是______。

6.设函数2()||f x ax b x
=--，若对于任意实数a,b ，总存在0[1,2]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围是_______。

7.设函数2()||f x x ax b =++，若对于任意实数a,b ，总存在0[0,4]x ∈，使得0()f x m ≥成
立，则实数m 的取值范围是_______。

8.已知函数1()||f x x ax b x =+--，当1[,2]2
x ∈时，设()f x 的最大值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最小值为______。

9.首相系数为1的二次函数2()f x x px q =++中，找出使得2max ||,1x 1x px q ++-≤≤ 取最小值时的函数表达式。

10.（09湖北压轴）在R 上定义运算bc b q c p q p 4))((3
1+---=⊗⊗：(b 、c 为常数).记c x x f 2)(21-=，b x x f 2)(2-=，R x ∈.令)()()(21x f x f x f ⊗=.
(Ⅲ)记()()(11)g x f x x '=-≤≤的最大值为M.若M ≥k 对任意的b 、c 恒成立，试求
k 的最大值.
11. ()ln(1)f x x ax b =+++，[0,1]x ∈，对于任意的,a b ，求|()|f x 最大值的最小值。

从浙江余姚的李旌根老师所发的一个问题解答中得到灵感，现将解决方案整理如下。

弱弱的引理：若()f x 为[,]m n 上的连续单峰函数，且()()f m f n =，0x 为极值点，则当k,b 变化时，()|()|g x f x kx b =--的最大值的最小值为0|()()|2
f n f x -.当且仅当0()()k 0,2
f n f x b +==时取得。

这个引理的图像感受十分明显，但考虑到我也不是一个随便的人，还是弱弱的写点废话证明一下。

不妨以00(,),(,)m x x n ↓↑为例.如图
下用反证法证明,km b kn b ++均等于
0()()2f n f x +. （1）若两者其一小于0()()2f n f x +，不妨设0()()2
f n f x kn b ++<，此时0()()()()2
f n f x f n kn b --+>.矛盾. （2）若00()()()(),22
f n f x f n f x km b kn b +++≥+>， 或00()()()(),22
f n f x f n f x km b kn b +++>+≥。

则有00()()2f n f x kx b ++> 此时000()()()2
f n f x kx f x -->.矛盾. 所以0()()2
f n f x km b kn b ++=+=，引理得证。

有个这个平口单峰函数，如8题这种“天然”平的那不是直接秒了？
例1、题目8.已知函数1()||f x x ax b x =+--，当1[,2]2
x ∈时，设()f x 的最大值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最小值为______。

惊喜的发现1x x +在1[,2]2
x ∈上已经是“平口单峰”函数，极值点为1，好幸运。

所以(,)M a b 的最小值为1221224+-=.（是不是很快很暴力） BUT ，尴尬的是，除了8以外，其余各题除一次函数以外的部分都不是“平口单峰”函数. 下面以7来分析分析.
例2、题目7.设函数2
()||f x x ax b =++，若对于任意实数a,b ，总存在0[0,4]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围是_______。

PS ：现在我们希望看到绝对值里面是一个“平口单峰”函数与一个一次函数，其实一次函数都是酱油，系数丑不丑无所谓，所以可以考虑为2x 配凑一个一次式，使2x x λ+成为[0,4]上的“平口单峰”函数。

那么很明显，由0,4函数值相等就可以求出4λ=-.
解：2()|4(4)|f x x x a x b =-+++，则()f x 最大值的最小值为
0(4)22
--=. 所以2m ≤. PS ：也可以顺便得到40,-24,2a b a b -
+=-=⇒=-=（）时取得。

例3、题目6. 设函数2()||f x ax b x
=--，若对于任意实数a,b ，总存在0[1,2]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围是_______。

PS ：很明显，我们需要给2x 凑一个一次式，使得2x x λ+为[1,2]上的“平口单峰”函数.显然由1,2处函数值相等可得1λ=。

解：2()|
(1)|f x x a x b x =+-+-，所以()f x 所以m ≤. 变式：题目11.()ln(1)f x x ax b =+++，[0,1]x ∈，对于任意的,a b ，求|()|f x 最大值的最小值。

例4、题目1. 1()4
2,(,),x x f x a b a b R +=++∈，若对任意的[0,1]x ∈，1|()|2f x ≤都成立，则b=_____。

PS ：即21|4|2
t at b ++≤对任意[1,2]t ∈恒成立，求b 。

这一题乍一看似乎不是最大值的最小值问题，倒而最大值的最大值小于等于
12.不过考虑到容易凑出“平口单峰”函数.try 一try 吧。

解：22|4||4t 12(12)|t at b t a t b ++=-+++，惊奇的发现2
|4t 12(12)|t a t b -+++最大值的最小值为
8(9)122---=，又因为1|()|2
f x ≤恒成立，所以2|4t 12(12)|t a t b -+++的最大值恰为12。

必须满足(12)0,8.5a b -+=-=-，所以8.5b =
一位成都的老师马上拿出一个联赛题，似乎在区间内“层峰叠峦”。

例5、（83高中联赛）求()|)|4f x x ax b π
=+++在3[0,]2
π上最大值的最小值.
PS ：如图，)
4x π+
图像上的M ，N 之间的图像正好是“平口单峰”的，两边的小段只是是打jiangyou 而已. 解：a=0,b=0
例6、（16天津卷）设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中R b a ∈,
(II) 若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=； （Ⅲ）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间[0,2]上的最大值不小于．．．41.
（3）PS ：本质就是求证|()|f x 最大值的最小值为14
，如何构造出[0,2]上的“平口单峰”函数是关键，但是尴尬的是，如果直接利用0,2处函数值相等来凑一次式，得出的式子为 3()|(1)(1)|g x x x a x b =--+--，而3(1)x x --并不是满足条件的“平
口单峰”，其实由例5不难看出，只要在区间[0,2]存在两个相同的最大
值点，并且最小值点在两个最大值点之间，同样符合引理的使用条件。

所以可以考虑构造极大值等于端点值的“平口单峰”函数，如右图，
于是令3()(1)h x x x λ=-+，2()3(1)h x x λ'=-+，
极值点01x =，
由（2
）可得32(1234λ+=⇒=-. 解：333()|(1)()|44g x x x a x b =--
+--，因为33()(1)4h x x x =--极大值点为12，极小值点为32，且1()(2)2h h =，故由引理可得，当,a b 变化时，()g x 最大值的最小值为 31(2)()(1)122224
h h ----==，得证。

………………………………
写了这么几个，其余的全部作为练习吧。

现在再看那个题目10那个湖北卷压轴是不是觉得弱爆了.
PS ：（1）本人作图太渣，所以看例题的时候自己画个图吧。

（2）作为大题的话，引理的证明过程拿出来即可作为解答过程。