平口单峰函数(野猪)

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2019-2020年高中数学第1讲优穴二单峰函数练习新人教A版选修

2019-2020年高中数学第1讲优穴二单峰函数练习新人教A版选修、基础达标1. 关于单峰函数，有下列说法：①在区间［a, b］上的单峰函数就是只有一个极大值点的函数;②在区间［a，b］上的单调函数不是单峰函数；③对有关因素的最佳组合进行选择，这样的问题称为优选问题;④在试验范围内具有极值性的问题称为具有单峰性的问题其中正确的个数有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析①②④错误，只有③正确•答案B2. 下列函数在区间［—10, 10］上是单峰函数的为()1A. y=B.y = cos xx + 1B.[ —1, 1]C. 12D.12解析因为2为好点，舍去区间［3 , 4］，存优范围为［1 , 3). 答案［1 , 3) 5.在粉笔加工设计中，每支粉笔都要丢掉一段一定长的粉笔头，单就这一点来说，愈长愈好，但太长了，使用起来既不方便，也容易折断，每断一次，必然多浪费一个粉笔头，反而不合适，因而就出现了“粉笔多长最合适”的问题，技术员王工在长度为 10cm 至15 cm 范围内经过多次尝试，最后发现 12 cm 长的粉笔最合适.根据上述描述，请回答下列问题：(1)这个问题的可控因素是 ___________ ； ⑵这个问题的最佳点是 ___________ .解析 (1)这个问题是优选问题.这个问题是寻找粉笔的合适长度，因此可控因素是粉笔的长度. ⑵本题是寻找粉笔的合适长度，因此最佳点就是最合适的粉笔长度，即 12 cm.(1)粉笔的长度 (2)12 cmt >0,则函数y = t —： + 1的最佳点为2t — 4t + 1 1y = t= t +1—4>— 2（t >0）,当且仅当t = 1时，y min =— 2. 答案 1 、能力提升 7.说出下列优选问题中的可控因素 .① 购房者在选择适合自己的房屋时，会从房屋的位置、价格等不同特性进行对比，从中选择合适的房子.② 调配葡萄酒时，需用两种原酒调配而成，如由赤霞珠、梅鹿辄组合成的干红葡萄酒，经过多次试验，确定两种原酒的最佳比例③ 做馒头，碱放少了馒头会酸，碱放多了馒头会变黄、变绿且带碱味，碱放多少才合适呢？④ 为了加强钢的强度，要在钢中加入碳，加入太多太少都不好，究竟加入多少碳，钢才能达到最咼强度呢？解(1)中的可控因素是位置、价格等；⑵ 两种原酒的比例；(3)加入碱的量； ⑷ 加入碳的量.___ 328. 已知函数 f (x ) = x + 3ax + 3x + 1.答案 6.已知解析⑴若f(x)在［0 ,+^)上单调，求a的取值范围•(2)若g(x) = f(x) —3x在［—1, 4］上是单峰函数，求a的取值范围•2 1解⑴由f '(x) = 3x + 6ax+ 3》0对任意x>0 恒成立，得—2a<x+-?x —2a<2? a>— 1.(2)由g'(x) = f '(x) —3= 3x2+ 6ax= 3x( x+ 2a)，由g'(x) = 0 可得x= 0 或x=—2a.•••0€ ( —1, 4)，所以一2a?( —1, 4),1•••—2a<—1 或一2a>4,即卩a>㊁或a w—2.一 1 、故a的取值范围是(一a,—2］U (2，+^ .9. 有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为P万元和Q万元.它们与投入资金x万元的关系有经验公式P= 5x, Q= 5、x.现有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，则对甲、乙两种商品的资金投入分别为多少？并说明此优选问题是否具有单峰性质.解设对甲种商品投资x万元，则乙种商品投资为(3 —x)万元，又设所获得的利润总额为y 万元，由题意有y = ~x + 5 -3—x, x€ ［0 , 3］.令3—x = t，贝U x= 3—t2, t € ［0 , 3］，从而y = 5(3 —12)+ 5t = —g t—+ 20, t € ［0, 3］.当t = ［0, ,3］时，y max21 9 3 3 9=20.即知x=3—4=4 3—x=3一4=j.因此，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得的最大利润为1.05万元.这个优选问题中的目标函数，经过换元之后为有最大值的二次函数，而二次函数为单峰函数，因此这个优选问题具有单峰性质三、探究与创新10. 证明：若目标函数为单峰函数，则最佳点与好点必在差点的同侧证明下面仅对单峰函数f (x)上凸的情形进行证明.设点c为［a, b］上的单峰函数f (x)的最大值点，m, n €［a, b］，且f( n) >f (n).因为f (x)(1)设n€［a, c］，如图，因为为单峰函数，所以f (x)在［a, c］递增，在［c, b］递减.m€[n, b].因为n€[a, c]，所以c€[n, b].因此，点m c在点n的右侧.⑵设n€[ c, b].因为m n €[ a, b]，且f (nj > f ( n)，所以n?[ n, b]，即m^[a, n].因为n€[c, b]，所以c€[a, n].因此，点m c在点n的左侧.由⑴(2)可知点m c始终在点n的同侧. 2019-2020年高中数学第1讲优穴五其他几种常用的优穴一练习新人教A一、基础达标1. 下列说法中，正确的个数为()①分数法在确定下一个试点时，需要对前两个试点的试验结果进行比较；1②对分法、分数法、0.618法均做了2次试验后，才舍弃试验范围的3；③用对分法做试验较0.618法好，因为每次可以舍弃试验范围的一半；④若做一次试验，根据结果可以决定下次试验的方向，就可以用对分法A.1B.2C.3D.4解析①③④正确，所以正确答案有3个，选C.答案C2. 下列说法中，不正确的个数为()①影响盲人爬山法效果的因素为起点与步长；②盲人爬山法的原理就是单峰函数的最佳点与好点在差点的同侧；③盲人爬山法在实践中往往采取“两头大，中间小”，即先在各方向上用大步试探开始；④盲人爬山法应用于某些可变因素要调到某点，必须经过由小到大或由大到小的连续过程的问题.A.0B.1C.2D.3B.解析③应为“两头小，中间大”，而①②④正确，所以答案为答案B3. 用0.618法和对分法安排试验，找出蒸馒头时合适的放碱量，哪种方法更有效（）A.0.618法B.对分法C. 一样好D.无法确定解析对分法更简单，易操作•答案B4. 有一条1 000 m长的输电线路出现了故障，在线路的开始端A处有电，在末端B处没有电，现用对分法检查故障所在位置，则第二次检查点在（）A.500 m 处B.250 m 处C.750 m 处D.250 m 或750 m 处解析若在AB的中点测试有电，则第二次检查点为750 m处；若AB的中点检查没电，则第二次检查点为250 m处.答案D5. 用对分法进行试验，4次试验后精度为____________ .|1 4 1解析精度S 4= = ~.<2）16答案16. 用对分法寻找最佳点时，达到精度为0.01的要求至少需要_____________ 次试验.解析由2n三血？心7，•••至少需要7次.答案7二、能力提升7. 调试仪器中的可变电阻，可变电容常常采用的优选法为_______________ .答案盲人爬山法8. 看商品猜价格的具体规则：主持人出示一件物品，参与者每次估算出一个价格，主持人只能回答：“高了”、“低了”、“正确”.若猜中，则游戏结束，否则在规定时间内继续猜下去，直到猜中为止.若现在一个价格在范围为[1 000 , 2 000]（价格数为整数，单位为元）的商品，请你用对分法来猜.(1) 若第一次就能猜中，则这个商品的价格是多少？(2) 哪几个价格猜三次就可以猜到？1 500，故能解(1)由对分法知，每次都是取因素范围的中点值，第一次的中点值是次就猜中的价格是 1 500元.⑵第三次能猜中，即第三次取的试验点就是猜中的价格由第一次的中点值为 1 500，此时可得存优范围为［1 000，1 500］或［1 500，2 000］，第二次的中点值取上述两个范围内的中点值，即为 1 250或1 750，此时存优范围为［1000，1 250］，［1 250，1 500］，［1 500，1 750］，［1 750，2 000］中的任一个.故第三次的中点值可分别为 1 125，1 375，1 625，1 875，即猜三次就猜中的价格是 1 125元，1 375元，1 625元，1 875元中的一个.9. 某同学在借助计算器求“方程lg x = 2-x的近拟解(精确度为0.1) ”时，设f(x) = lg x+ x —2，算得f(1)<0 , f(2)>0 ;在以下过程中，他用“对分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断，方程的近似解x-1.8，那么他取的x的4个值分别依次是_________ .解析••• f(1)<0 , f(2)>0 ,•••方程的根x € (1 , 2).1 + 2X1= — = 1.5，贝U f (1.5)<0，故方程的根x € (1.5 , 2).1 5 + 2X2= 2= 1.75，贝y f (1.75)<0，故方程的根x € (1.75 , 2).1.75 + 2X3= ~ = 1.875，贝U f (1.875)>0，故方程的根x € (1.75 , 1.875).1.75 + 1.875X4= = 1.812 5，贝U f(1.812 5)>0 ，故方程的根x€ (1.75 , 1.812 5).又|1.812 5 — 1.75|<0.1 ，故可把x-1.8作为其近似值答案 1.5 , 1.75 , 1.875 , 1.812 5三、探究与创新10. 程序设计中有一种折半查找检索算法，其原理与对分法类似，也有所不同，如查找范围［a, b］内某一值c(c€［a, b］, b> a)，且a, b, c都是正整数，先取m=，芦^ k式子［x］表示不超过x的最大整数)为试验点，比较c与m的大小，如果相等，则查找成功；如果c v m则查找范围为［a, n—1］;若c > m,则查找范围为［m^ 1, b］，按此下去,直至c= m为止.每比较一次称为查找一次，设找到c的查找总次数记为f (c).此时查找的次数为n 次，如f (1) = f (2n — 1) = n ,即卩f (x ) max = n .⑴若查找范围是［1 , 7］，求f ⑷，f (3) , f (7)的值.⑵ 设x € ［1 , 2n - 1］，你能得出f (x )的最大值与最小值吗?解⑴易知查找范围是［1，7］时，第一个试验点m r- ［4］ = 4,所以f (4) =1.求f (3)，由于第一次比较后的查找范围为［1 , 3］，接着第二个试验点为呼2V 3,同理查找f (7)的查找范围依次为［1 , 7］ , ［5 , 7］ , ［7 , 7］，在［7 , 7］中找得第三个试验点为7,所以f (7) = 3.易知第一次查找的范围内的个数值为2n — 1个,第二次查找的范围是［1 , 2n — 1— 1］或［2 n — 1+ 1 , 2n — 1］，不论哪种情况，此时范围内的个数为2n —1 — 1个.即查找一次，如果不成功，则查找范围变为原来的一半减半个第三次查找的范围的个数是2n —2— 1个.最后到了 22— 1 = 3个时，比如此时存优范围是［1 , 3］，取中值m = 2,考虑查找次数最大值的情况，再得到存优范围［1 , 1］或［3 , 3］.所以此时范围为［3 , 3］.由第三个试验点值为 73+ 3 I 2=［3］ = 3，查找结束，所以 f (3) = 3.(2)由(1)知，当x =1 +( 2n — 1)2=2n — 1 时, f (x )取最小值，此时 f ( X ) min = 1.再对范围为［1 , 1］或［3 , 3］再取一次就是.1C.y= 2xD.y = §x1 * 3- x2—3x解析根据单峰函数的定义及规定知只有y = 2x在区间［—10, 10］上为单峰函数.答案C3. 已知f(x) = 2x3—6x2+ m在区间［—3 , 2］上是单峰函数，则下列哪个存优范围最小( )A.[ —2, 2]2解析由f '( x) = 6x —12x= 0，知X1= 0, X2= 2,所以最佳点是x= 0，所以C选项排除，由A, B, D的区间范围可知D的范围最小，故选D项.答案D4. 若某单峰函数的存优范围是［1 , 4］，现在区间［1 , 4］上任取两点2, 3，通过比较，2与3相比，2是好点，则此时的存优范围是 _____________ .此时查找的次数为n次，如f(1) = f (2n—1) = n,即卩f (x) max= n.。

2024年高考数学专题复习冲A专题(1)含绝对值的函数

2.函数f(x)的图象:如下图所示:
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冲A专题(1) 含绝对值的函数
知识提要
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二、已知y=|f(x)-(kx+b)|在区间x∈[s,t]上的最大值为M,则M的最小
值是
.
这里仅通过类比或数形结合进行理解.
1.多点控制:|f(x)|在x∈[s,t]上的最大值的最小值问题(端点或切比雪
式为|x-t|≤1-tx2,即 tx2-1≤x-t≤1-tx2,
+1
1
且
t≥,
2 +1
+1
2+1
t∈[-1,
].
2
பைடு நூலகம்
化简得 t≤
解得
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专题考点
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3.(2019年6月浙江学考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)
上单调递增.若对任意x∈R,不等式f(a+|x-b|)≥f(|x|-2|x-1|)(a,b∈R)
冲A专题(1)
含绝对值的函数
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一、绝对值的意义
1.绝对值函数的代数表达:f(x)=|x-a|=
-, ≥ ,
-, < .
一般解决绝对值问题,常规方法是采用分类讨论去绝对值,比较适
合大题的解答;对选择填空,可采用几何意义或两边夹逼近的思想.
则f(x)≤4恒成立⇔M≤4.
(i)当a≤0时,由(2)可知,
对于任意的x∈[-1,1],f(x)≤a2-a+2恒成立,
所以M=a2-a+2.

平口单峰函数

关于平口单峰函数（绝对值）的一些秒杀方案一．平口二次函数问题去掉二次函数的的坐标系，二次函数的一切只跟一个系数有关，就是a ，一切b c ，这些系数与二次函数的形状没有任何影响.在初中的课本中提到的()22y ax y a x h k 平移变换==-+，我们将坐标轴去掉，单纯研究二次函数，解决当()[]2f x x bx c x p q ，，=++Î时，()f x c £，求c 最小值问题.由于有了绝对值，函数成为了平口型，即解决抛物线在水平跨度范围内的竖直范围.图1图2图3如图1，我们将二次函数在一个固定的纵坐标时，两个交点之间的距离叫蝶宽2m ，此时函数定顶点到蝶宽弦的距离称为蝶高n ，相对应的角叫蝶角，定义tan nma =，可以得出以下定理：①tan m a =，即蝶宽与蝶角正切值相等，蝶宽越大，蝶角越大；②以对称轴为中心，每增加m 的蝶宽，相对应的蝶高比为21:4:9::n ，增加的蝶高n 比为1:3:5::21n -；③如图2，处于同一单调区间时，最大值M 和最小值m 的差值()g x M m =-在区间距离对称轴越近时越小，离对称轴越远时越大；处于两个不同单调区间时，()g x M m =-在区间中点距离对称轴越近时越小，离对称轴越远时越大，故当仅当对称轴为中点22b p q +-=时，()()()min 22b bg x M m f q f f p f =-=--=--；综上，如图3，当0M m +=，()f x c £时，c 取得最小值，此时2p qm f+=，()()M f p f q ==.例1：在()2f x x px q =++中，找出使得2max 11x px q x ，++-取得最小值时的函数表达式为解：根据平口二次函数定理可知当仅当0M m +=时，2max ,11x px q x ++-能取得最小值，此时()()11M f f ==-110p q p q p \++=-+Þ=；又()0m f q ==，1102M m q q q +=++=Þ=-；()[]21,1,12f x x x \=-Î-.例2：设函数()2f x x ax b =++，对于任意的实数,a b ，总存在[]00,4x Î，使得()0f x t ³成立，则实数t 的取值范围是。

构造“平口单峰”函数解决一些恼人的“切比雪夫最佳逼近直线”

构造“平口单峰”函数解决一些恼人的“切比雪夫最佳逼近直线”吴剑（野猪）1、1()42,(,)x x f x a b a b R +=+⋅+∈,若对任意的1[0,1],()2x f x ∈恒成立，则b =_______ 2、设函数4()||,f x ax x=−若*a R ∀∈总0[1,4]x ∃∈,使得0()f x m ,则实数m 的取值范围是_______ 3、设函数()||,,f x x ax b a b R =−−∈，若,a b R ∀∈，总0[0,4]x ∃∈,使得0()f x m 成立，则实数m 的取值范围为________4、已知函数2()||f x x ax b =++在区间[0,]x c ∈内的最大值为,(,,0M a b R c ∈>为常数)，且存在实数,a b 使得M 的最小值为2，则________a b c ++=5、已知2()(4)3f x x a x a =+−+−,[0,4]a ∀∈,均存在0[0,2]x ∈使得0|()|f x t 成立，则t的取值范围是______ 6、已知函数2()||f x ax b x=−−,若*,a b R ∀∈,总存在0[1,2]x ∈,使得0()f x m 成立，则实数m 的取值范围_______7、设函数2()||f x x ax b =++,若*,a b R ∀∈,总存在0[0,4]x ∈使得0()f x m 成立，则实数m 的取值范围是_______ 8、已知函数1()||f x x ax b x=+−−,当1[,2]2x ∈时设()f x 的最大值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最小值为_______9、函数2()f x x px q =++中，找出使得2||,[1,1]max x px q x ++∈−取得最小值时的函数表达式10、（09湖北压轴）在R 上定义运算1:()()4(,3p q p c q b bc b c ⊗⊗=−−−+为常数)，记21()2f x x c =−2()2f x x b =−,x R ∈,令12()()()f x f x f x =⊗记()|()|,[1,1]g x f x x '=∈−的最大值为M 若M k 对任意的,b c 恒成立，试求k 的最大值 11、()ln(1),[0,1]f x x ax b x =+++∈,对任意的,a b R ∈,求|()|f x 的最大值的最小值引理：若)(x f 为],[n m 上的连续单峰函数，且0),()(x n f m f =为极值点，则当b k ,变化时，b kx x f x g −−=)()(的最大值的最小值为2)()(0x f n f −.当且仅当2)()(,00x f n f b k +==时取得.这个引理的图像感受十分明显，但考虑到我也不是一个随便的人，还是写点废话证明一下不妨以0(,)m x 上单调递减，0(,)x n 上单调递增为例：如图下面用反证法证明,km b kn b ++均等于0()()2f n f x +(1) 若两者其一小于0()()2f n f x +,不妨设0()()2f n f x kn b ++<此时0()()()()2f n f x f n kn b −−+>，矛盾(2) 若00()()()(),22f n f x f n f x km b kn b ++++>或00()()()(),22f n f x f n f x km b kn b+++>+ 则有00()()2f n f x kx b ++>此时000()()()2f n f x kx f x −−>矛盾所以0()()2f n f x km b kn b ++=+=,引理得证例题1、题目8、已知函数b ax xx x f −−+=1)(，当]2,21[∈x 时，设)(x f 的最大值为),(b a M ，则),(b a M 的最小值为 . 方法①：惊喜的发现xx 1+当]2,21[∈x 时已经是“平口单峰”函数，极值点为1，好幸运，所以),(b a M 的最小值为4122-221=+. 方法②：令)}2(),1(),21(max{),(f f f b a M t ==，即}2125,225,2max{),(b a b a b a b a M t −−−−+−==，则 b a t b a t b a t −−≥−−≥+−≥2125,225,2，所以 b a t b a t b a t 252,225,3366−−≥−−≥+−≥，所以2325656=+−≥t .所以41≥t .所以),(b a M 的最小值为41.例题2、题目7、设函数2()||f x x ax b =++,若*,a b R ∀∈,总存在0[0,4]x ∈使得0()f x m 成立，则实数m 的取值范围是_______解析：现在我们希望看到绝对值里面是一个“平口单峰”函数与一个一次函数，其实一次函数都是酱油，系数丑与不丑无所谓，所以可以考虑给2x 配凑一个一次式，使得2x x λ+成为[0,4]上的“平口单峰”函数，那么很明显，由0，4函数值相等可以求出4λ=−2()|4(4)|,f x x x a x b =−+++()f x 的最大值的最小值为0(4)22−−= 所以2m也可以顺便得到(4)0,2a b −+=−= 例题3、题目6：已知函数2()||f x ax b x=−−,若*,a b R ∀∈,总存在0[1,2]x ∈,使得0()f x m 成立，则实数m 的取值范围_______分析：（大神）很明显，我们需要给2x凑一个一次式，使得2x x λ+为[1,2]上的“平口单峰”函数。

平口单峰函数之倍角界定法

平口单峰函数之倍角界定法满分秘籍：二倍角最值界定21cos cos 2+=αα，22cos 2cos 222cos 2cos 2)(2c a b a c a b a c bx ax x f +++≤+++=++=αααα，往往0220=+=ca b ，时，取得最值，这个方法通常在一些选填甚至解答压轴题中给你一种秒得很爽的感觉.例题1：设函数()2f x x ax b =++，对于任意的实数,a b ，总存在[]004x ，Î，使得()0f x t ³成立，则实数t 的取值范围是．例题2：（2018•呼和浩特期中）设函数(),,,f x ax b a b R -?若对于任意的实数,a b 总存在实数[]004x ，Î，使得()0f x m ³成立，则实数m 的取值范围为．例题3：已知函数()2f x x ax b=++，[]01x ∈，，若()f x 的最大值是M ，则M 的最小值是．满分秘籍：三倍角最值界定ααααααααααααα322sin 4sin 3sin )sin 21(cos sin 2sin 2cos cos 2sin )2sin(3sin -=-+=+=+=； αααααααααααααcos 3cos 4cos sin 2cos )1cos 2(sin 2sin cos 2cos )2cos(3cos 322-=--=-=+=；由此得到降幂公式：43cos cos 3cos 43sin sin 3sin 33αααααα+=-=，当][m m x ，-∈时，可以设])0[(cos παα，∈=m x ，当]2[m m x ，-∈时，可以设])320[(cos παα，∈=m x ，以此类推；33|cos3+(+)cos +||cos3|+|(+)cos |+||4444a a a a b c b c αααα≤，往往0043==+c a b ，时取得最值.当ααααcos )3(2cos 3cos )(a c b a f +++=，且030>+>a c a ，，则0≤b 时，)()(min παf f =，当0≥b 时，)0()(max f f =α.例题1：已知函数 ()328f x x ax bx =--，是否存在任意实数a b 、，使得()2f x ≤对任意的[]11x ∈-，恒成立，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由．例题2：（2019•广东模拟）已知34a ≥-，0b ≥，函数3()f x x ax b =++，11x -≤≤，设|()|f x 的最大值为M ，且对任意的实数a ，b 恒有M K ≥成立，则实数K 的最大值为( ) A ．4B ．2C ．12D ．14例3：（2020•武汉3月调研）如果关于x 的不等式0123≥+-ax x 在]11[，-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．0≤aB ．1≤aC ．2≤aD ．2233≤a例 4.（2019•武汉模拟）已知函数3()f x x ax b =++定义域为[12]-，，记|()|f x 的最大值为M ，则M 的最小值为( )A ．4B ．3C ．2D222例38.（2016•天津）设函数3()(1)f x x ax b =---，x R ∈，其中a ，b R ∈．（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在极值点0x ，且10()()f x f x =，其中10x x ≠，求证：1023x x +=；（3）设0a >，函数()|()|g x f x =，求证：()g x 在区间[02]，上的最大值不小于14．解：（1）函数3()(1)f x x ax b =---的导数为2()3(1)f x x a '=--，当0a ≤时，()0f x '≥，()f x 在R 上递增；当0a >时，当1x >1x <()0f x '>，当11x <<+，()0f x '<，可得()f x 的增区间为(1-∞，，(1+)+∞，减区间为(11；（2）证明：0()0f x '=，可得203(1)x a -=，由322000000()(1)3(1)(1)(21)f x x x x b x x b =----=----，320000(32)(22)3(32)(1)f x x x x b -=-----2200000(1)(8896)(1)(21)x x x b x x b =---+-=----，即为001(32)()()f x f x f x -==，即有0132x x -=，即为1023x x +=；（3）法一：证明：要证()g x 在区间[02]，上的最大值不小于14，只需证在[02]，上存在1x ，2x ，使得 121()()2f x f x -≥．当3a ≥时，()f x 在[0，2]递减，由(2)f 12a b =--，(0)1f b =--，得(0)(2)f f -12242a =-≥>，成立；当03a <<时，3(1((1f a b a b =--=+a b =-，3(1(1f a b a b =-+--a b =-， (2)f 12a b =--，(0)1f b =--，(2)f (0)22f a -=-，若304a <≤时，1(2)(0)222f f a -=-≥成立；若34a >时，1(1(12f f -=成立．综上可得，()g x 在区间[02]，上的最大值不小于14．法二平口单峰：根据第二问的结论，先构造()()()1121f x f x f -++=证明三次函数的对称中心为()()1,1f ，。

【高中数学】关于平口单峰函数的一些秒杀方案

305专题5 关于平口单峰函数（绝对值）的一些秒杀方案秒杀秘籍：第一讲平口二次函数问题去掉二次函数的的坐标系，二次函数的一切只跟一个系数有关，就是a ，一切b c ，这些系数与二次函数的形状没有任何影响．在初中的课本中提到的()22y ax y a x h k 平移变换=揪揪揪揪井=-+，我们将坐标轴去掉，单纯研究二次函数，解决当()[]2f x x bx c x p q ，，=++?时，()f x c £，求c 最小值问题．由于有了绝对值，函数成为了平口型，即解决抛物线在水平跨度范围内的竖直范围．图1 图2 图3如图1，我们将二次函数在一个固定的纵坐标时，两个交点之间的距离叫蝶宽2m ，此时函数定顶点到蝶宽弦的距离称为蝶高n ，相对应的角叫蝶角，定义tan nma =，可以得出以下定理： ①tan m a =，即蝶宽与蝶角正切值相等，蝶宽越大，蝶角越大；①以对称轴为中心，每增加m D 的蝶宽，相对应的蝶高比为21:4:9::n L ，增加的蝶高n D 比为1:3:5::21n L -； ①如图2，处于同一单调区间时，最大值M 和最小值m 的差值()g x M m =-在区间距离对称轴越近时越小，离对称轴越远时越大；处于两个不同单调区间时，()g x M m =-在区间中点距离对称轴越近时越小，离对称轴越远时越大，故当仅当对称轴为中点22b p q+-=时，()()()min 22b b g x M m f q f f p f 骣骣琪琪=-=--=--琪琪桫桫；综上，如图3，当0M m +=，()f x c £时，c 取得最小值，此时2p qm f 骣+琪=琪桫，()()M f p f q ==．【例1】在()2f x x px q =++中，找出使得2max 11x px q x ，++-＃取得最小值时的函数表达式为．【例2】设函数()2f x x ax b =++，对于任意的实数,a b ，总存在[]00,4x Î，使得()0f x t ³成立，则实数t 的取值范围是．秒杀秘籍：第二讲平口对勾函数问题对勾函数涉及极值偏移，算数平均数的中点的值不代表最值，()[],,af x x b x p q x =++?时，()f x c £，求c 最小值问题，根据平口二次函数的推论，可以知道是()()f p f q =，如图4，求出参数a 以后再根据())0f p fa +=确定参数b ．306定理：当仅当a pq =时，对勾函数在区间[],p q 才能构成平口对勾函数，()f x 去最小值时取到了[],p q 的几何平均数中点．图4【例3】（2018•台州期末）已知()1f x x ax b x =+--，当1,22x 轾Î犏犏臌时，设()f x 的最大值为(),M a b ，则(),M a b 最小值为．【例4】（2018•青浦二模）设函数()2f x ax b x=--，对于任意的实数,a b ，总存在[]01,2x Î，使得()0f x m ³成立，则实数m 的取值范围是．秒杀秘籍：平口三次函数问题三次函数涉及到双峰问题，我们需要在给定的定义域内构造出单峰三次函数（即部分图像，通常是极大值到极大值等值点这一段），如下图，若[]12x ∈-，，我们可在此区间构造单峰函数．【例5】（2019•武汉调研）已知函数()3f x x ax b =++的定义域为[1,2]-，记()f x 的最大值为M ，则M 的最小值为（） A ．4B ．3C ．2D ．3秒杀秘籍：第三讲关于平口函数的万能招数所有的平口函数()y f x =一定满足一个共性：出现求()maxmin f x ，[],x p q Î时，一定为平口函数，若()y f x =有一个极值点，也叫平口单峰函数，若()maxf x M =，()minf x m =，()()0f p f q M m ì=ïíï+=î此为平口单峰函数的万能招数．既然如此，再来几道题，都可以直接秒杀了．建议大家边写题边拍一下参考答案给的解法，对比一下，这种类型题能减少讨论是最好的．307【例6】（2018•呼和浩特期中）设函数(),,,f x x ax b a b R -?若对于任意的实数,a b 总存在实数[]00,4x Î，使得()0f x m ³成立，则实数m 的取值范围为．【例7】（2018•秋杭州期中）已知()ln f x x ax b =--，对于任意的0a <，b R Î，都存在[]01,x m Î使得()01f x ³成立，则实数m 的取值范围为．【例8】求()[]min max ln 101x ax b x a b R ，，、+++挝．下面给出一个平口单峰函数的解答题证明过程：若函数()f x 在区间[],p q 为连续的单峰函数，且()()f p f q =，此函数为平口单峰函数，0x 为其极值点．秒杀秘籍:()()max g x f x ax b =++的最小值为()()02f p f x -，当仅当0a =，()()02f p f x b +=-时取得．【例9】（2018•台州月考）已知函数()1f x x ax b x =+--，当122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，设()f x 的最大值为()M a b ，，则()M a b ，的最小值是（）A ．2B ．21C ．4D ．41 秒杀秘籍：第四讲构造平口函数若题目给的基本函数为非“平口单峰”，则我们需要构造“平口单峰”，此处注意：构造平口单峰函数的后边应为一次函数．下面以几道最近模拟考非常火又颇有难度的题作为例题，秒杀之．【例10】（2019•济南二模）已知函数()22x f x ax bx -=--+，若对任意的实数a b ，，总存在[]012x ∈-，，使得()0f x m≥成立，则实数m 的取值范围是．A ．14⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．23⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，D ．(]1-∞，【例11】（2019•武汉调研）已知函数()3f x x ax b =++的定义域为[1,2]-，记()f x 的最大值为M ，则M 的最小值为（） A ．4B ．3C ．2D ．3【例12】（2019•青浦二模）设函数()()2f x ax b a R x=-+∈,若对任意的正实数a ，总存在[]01,2x ∈，使得()0f x m ≥，求实数m 的最小值为．308【例13】（2016•天津理）设函数3()(1)f x x ax b =---，x R ∈，其中a ，b R ∈．（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在极值点0x ，且10()()f x f x =，其中10x x ≠，求证：1023x x +=；（3）设0a >，函数()|()|g x f x =，求证：()g x 在区间[0，2]上的最大值不小于14．秒杀秘籍：第五讲常见方法之三点控制（多点控制）在这类求最大值的最小值问题中，多点控制也是一个非常好用的处理手段，这里给到大家一些总结，怎么取点控制：①对于二次函数一般用三点控制，这三点分别是区间的两个端点和区间中点；①对于平口打勾函数一般用三点控制，这三点分别是区间的两个端点和极值点，对于一般的打勾函数，这三点分别是区间的两个端点和打勾函数两区间端点连线平行且与打勾函数相切的直线与打勾函数的切点； ①对于一般的三次函数，一般需要四点控制，这四点分别是区间的两个端点和分别靠近两端点的两个四等分点．注意：对于缺少常数项的二次函数和缺项的三次函数，选取点的原则可能会发生改变，视情况而定．（注：此公式参考微信公众号《万卷归宗文献》）【例14】已知函数()2f x x ax b=++，[]01x ∈，，若()f x 的最大值是M ，则M 的最小值是．【例15】已知函数 ()328f x x ax bx =--，是否存在任意实数a b 、，使得()2f x ≤对任意的[]11x ∈-，恒成立，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由．【例16】已知函数()f x x ax b -，a b R ∈、，若对任意的[]004x ∈，，使得()0f x M ≥，求实数M 的取值范围是．309达标训练1．（2018•永康模拟）记()()ln 0f x x ax b a =++>在区间[],2t t +（t 为正数）上的最大值为(),t M a b ，若(){},ln 2t b M a b a R ≥+=，则实数t 的最大值是（） A ．2B ．1C ．34D ．232．已知34a ≥-，0b ≥，函数()3f x x ax b =++，11x -≤≤，设()f x 的最大值为M ，对任意的,a b R ∈恒有M k ≥，则实数k 的最大值为（） A ．4B ．2C ．12D ．143．（2016•沙坪坝月考）已知函数()()3223(33)1,f x x x a x +b a b R =-+-≥∈，当[]0,2x ∈时，记()f x 的最大值为M ，有M k ≥，则实数k 的最大值为（） A ．1B ．2C ．3D ．44．（2018•诸暨二模）已知函数2()||f x x ax b =++在区间[0，]c 内的最大值为(M a ，b R ∈，0c >位常数）且存在实数a ，b ，使得M 取最小值 2 ，则a b c ++= ． 5．（2017•温州二模）若存在]1,1[0-∈x 使得不等式0001|421|2x x x a +-⋅+…成立，则实数a 的取值范围是．6．（2016•浙江二模）设1()42(,)x x f x a b a b R +=+⋅+∈，若对于[0x ∀∈，1]，1|()|2f x …都成立，则b = ． 7．函数()2f x x ax =-在[]01，上的最大值的最小值为，此时a = ．8．函数()2f x x ax =-在[]36，上的最大值的最小值为，此时a = ． 9．函数()2f x x ax =-在[]13，上的最大值的最小值为，此时a = ．10．若函数()224f x x ax b π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭在302x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上最大值为M ，则的M 最小值为． 11．已知函数()1f x x ax b x =+--，当122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，设()f x 的最大值为M ，则的M 最小值为．12．若存在实数a b 、使得()221x ax b m x ++≤+对于任意的[]1,1x ∈-恒成立，则的m 最小值为．13．设函数()32f x x ax bx c a b c R=+++∈，、、，若对任意的实数a b c 、、，总存在[]00,4x ∈，使得不等式()0f x M≥成立，则实数M 的取值范围是．14．（2018•温州期末）已知函数2()(4)3f x x a x a =+-+-．（1）若()f x 在区间[0，1]上不单调，求a 的取值范围；（2）若对于任意的(0,4)a ∈，存在0[0x ∈，2]，使得0|()|f x t …，求t 的取值范围．31015．（2009•湖北）在R 上定义运算：1()()4(3p q p c q b bc b ⊗=---+、c R ∈是常数），已知21()2f x x c =-，2()2f x x b =-，12()()()f x f x f x =⊗．（1）如果函数()f x 在1x =处有极值43-，试确定b 、c 的值；（2）求曲线()y f x =上斜率为c 的切线与该曲线的公共点；（3）记()|()|(11)g x f x x ='-剟的最大值为M ，若M k …对任意的b 、c 恒成立，试求k 的取值范围．（参考公式：323234()(2))x bx b x b x b -+=+-16．（2016•浙江二模）已知函数2()2(,)f x x ax b a b R =-+∈，记M 是|()|f x 在区间[0，1]上的最大值．（1）当0b =且2M =时，求a 的值；（2）若12M …，证明01a 剟．17．（2016•天津）设函数3()f x x ax b =--，x R ∈，其中a ，b R ∈．（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在极值点0x ，且10()()f x f x =，其中10x x ≠，求证：1020x x +=；（3）设0a >，函数()|()|g x f x =，求证：()g x 在区间[1-，1]上的最大值不小于14．。

平口单峰函数

平口单峰函数一、定义平口单峰函数是指在一定区间内，函数值先增后减，在某处取得最大值，然后再逐渐减小到最小值的一个函数。

它的图像呈现出一个平缓的口形，并且只有一个峰顶。

二、特点1. 函数值先增后减，在某处取得最大值，然后再逐渐减小到最小值。

2. 只有一个峰顶，呈现出平缓的口形。

3. 通常用于模拟人体感知过程中的响应曲线。

三、数学表达式平口单峰函数可以用以下数学表达式表示：f(x) = (x-a)^2e^{-b(x-a)}\cos(c(x-a))其中a,b,c为常数，x为自变量。

该函数图像如下所示：![image.png](attachment:image.png)四、Python实现下面给出Python实现平口单峰函数的代码：```pythonimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef unimodal_function(x, a=0, b=1, c=1):return (x - a) ** 2 * np.exp(-b * (x - a)) * np.cos(c * (x - a))x = np.linspace(-5, 5, 1000)y = unimodal_function(x)plt.plot(x, y)plt.show()```五、参数调节通过调节参数a,b,c可以改变函数的形态。

下面给出一些例子：1. 增大参数b，使得函数在峰顶处更加陡峭。

```pythony = unimodal_function(x, b=5)```![image-2.png](attachment:image-2.png)2. 增大参数c，使得函数在峰顶处更加平缓。

```pythony = unimodal_function(x, c=5)```![image-3.png](attachment:image-3.png)3. 改变参数a，可以改变函数的位置。

平口单峰函数(野猪)

构造“平口单峰”函数解决一些恼人的“切比雪夫最佳逼近直线”一、新增此方法的的简单推广（16天津卷）。

二：引理证明bug 修正。

下面这些问题相信长期混群的人都不陌生，提问频率颇高。

大多数时候的解答为绝对值不等式配凑以及“切比雪夫最佳逼近直线”。

然后，没有人对最佳逼近直线给过论证，只是一句话带过。

本文将给出一种极其简洁的做法及解释。

1.1()42,(,),x x f x a b a b R +=++∈，若对任意的[0,1]x ∈，1|()|2f x ≤都成立，则b=_____。

2.设函数4()||f x ax x=-，若对任意的正实数a,总存在0[1,4]x ∈，使得0()f x m ≥，则实数m 的取值范围是______。

3.设函数()|,,f x ax b a b R =-∈，若对任意实数a,b,总存在实数0[0,4]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围为_______。

4.已知函数2()||f x x ax b =++在区间[0,]x c ∈内的最大值为M ，(,,0)a b R c ∈>为常数，且存在实数,a b 使得M 的最小值为2，则a+b+c=_______。

5.已知2()(4)3f x x a x a =+-+-对任意[0,4]a ∈，均存在0[0,2]x ∈，使得0|()|f x t ≥成立，则t 的取值范围是______。

6.设函数2()||f x ax b x=--，若对于任意实数a,b ，总存在0[1,2]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围是_______。

7.设函数2()||f x x ax b =++，若对于任意实数a,b ，总存在0[0,4]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围是_______。

8.已知函数1()||f x x ax b x =+--，当1[,2]2x ∈时，设()f x 的最大值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最小值为______。

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