线性代数课件(高教版)1-3
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线性代数教材讲解ppt课件
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
am1 am1 amn
矩阵A的
m, n元
简记为
A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
元素是实数的矩阵称为实矩阵,
元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 2 4 实矩阵,
0
0
单位阵.
0 0 1
线性变换
x1 y1
cosx siny, sinx cosy.
对应 cos sin sin cos
这是一个以原点为中心
旋转 角的旋转变换.
Y P1 x1, y1
Px, y
O
X
三、小结
(1)矩阵的概念 m行n列的一个数表
a11
A
a21
a12
且对应元素相等,即
aij bij i 1,2,,m; j 1,2,,n,
则称矩阵 A与B相等,记作 A B.
(8)线性变换与矩阵之间关系:
例1 n个变量x1, x2,, xn与m个变量y1, y2,, ym之
间的关系式
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
13 2
6 2
2i 2
是一个
33
复矩阵,
2 2 2
1 2 是一个 3 1 矩阵,
4
2 3 5 9
4
是一个 1 4 矩阵,
是一个 11 矩阵.
矩阵与行列式有本质的区别, 行列式是一个算式, 其行数和列数相同，一个数字行列式经过计算 可求得其值, 而矩阵仅仅是一个数表, 它的行数和 列数可以不同.
《高等数学》线性代数课件
新矩阵，叫做 A的转置矩阵，记作 A .
例 A 1 4
B 18,
2 5
2 , 8
AT
1 2
2
6, BT 18.
6
转置矩阵的运算性质
4 5 ; 8
注：若A为对称 阵，则A AT
1 AT T A;
2 A BT AT BT ;
3 AT AT ;
4 ABT BT AT .
5）方阵的行列式
1 A B B A;
2 A B C A B C .
a11
3
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
aij
,
am1 am1 amn
称为矩阵A的负矩阵.
4 A A 0, A B A B.
2) 数与矩阵相乘
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
由 x2 5x 0 解得 x 2 或 x 3.
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
217986354
解
217986354
0 10 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4310010
18
此排列为偶排列.
例3 3 1 1 2 5 1 3 4
D 2 0 1 1 1 5 3 3
5 1 1 1
5 若A可逆,则有 A1 A 1 .
例5. 设A为三阶矩阵,且 A 1, 2A1 3A 解： A* A A1 A1
2 A1 3A* 5A1 53 1 53 A
P57 例1-51
5.矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
《线性代数讲义》课件
在工程学中，性变换也得到了广泛的应用。例如，在图像处理中，可
以通过线性变换对图像进行缩放、旋转等操作；在线性控制系统分析中
，可以通过线性变换对系统进行建模和分析。
THANKS
感谢观看
特征向量的性质
特征向量与特征值一一对应，不同的 特征值对应的特征向量线性无关。
特征值与特征向量的计算方法
01
定义法
根据特征值的定义，通过解方程 组Av=λv来计算特征值和特征向 量。
02
03
公式法
幂法
对于某些特殊的矩阵，可以利用 公式直接计算特征值和特征向量 。
通过迭代的方式，不断计算矩阵 的幂，最终得到特征值和特征向 量。
矩阵表示线性变换的方法
矩阵的定义与性质
矩阵是线性代数中一个基本概念，它可以表示线性变 换。矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、标量 乘法、乘法等都是封闭的。
矩阵表示线性变换的方法
通过将线性变换表示为矩阵，可以更方便地研究线性 变换的性质和计算。具体来说，如果一个矩阵A表示 一个线性变换L，那么对于任意向量x，有L(x)=Ax。
特征值与特征向量的应用
数值分析
在求解微分方程、积分方程等数值问题时， 可以利用特征值和特征向量的性质进行求解 。
信号处理
在信号处理中，可以利用特征值和特征向量的性质 进行信号的滤波、降噪等处理。
图像处理
在图像处理中，可以利用特征值和特征向量 的性质进行图像的压缩、识别等处理。
05
二次型与矩阵的相似性
矩阵的定义与性质
数学工具
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，表示为二维数组。矩阵具有行数和列数。矩阵可以进行加法、数 乘、乘法等运算，并具有相应的性质和定理。矩阵是线性代数中重要的数学工具，用于表示线性变换 、线性方程组等。
线性代数第一章1-3PPT课件
1234
例3
0421
D
?
0056
0008
12340421Fra bibliotekD 0
0
5
6 a a a a 11 22 33 44 1 4 5 8 160.
0008
同理可得下三角行列式
a11
0 00
a21 a22 0 0
an1
an2
an3 ann
a11a22 ann .
例4 证明对角行列式
1 2
12 n;
t132 1 0 1, 奇排列 负号,
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1)t a1 p1a2 p2 a3 p3 .
a31 a32 a33
二、n阶行列式的定义
定义 设有n2 个数，排成 n 行n列的数表
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
作出表中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积，
对应于
1 1 2x 1
1 t a11a22a33a44 1 t1234a11a22a34a43
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
17
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败 也是伟大的，所以不要放弃，坚持 就是正确的。
n
2
1
nn1
1 2 12 n .
n
证明 第一式是显然的,下面证第二式.
若记 i ai,ni1, 则依行列式定义
2
1
a1n
a2,n1
n
an1
1 tnn121a1na2,n1 an1
线性代数课件(高教版)
03
对于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上非常低效；与具有多项式 时间复杂度的消除方法相比，其渐近的复杂度为O(n·n!)。即使对于2×2系统，克 拉默的规则在数值上也是不稳定的。
03
向量与向量空间
向量的概念
80%
向量的定义
向量是具有大小和方向的量，常 用箭头表示，箭头的长度代表向 量的大小，箭头的指向代表向量 的方向。
二次型的规范形
当二次型的标准形中$lambda_i$取值为$pm 1$时，称为 规范形。
化为标准形的方法
通过配方法或正交变换法可以将二次型化为标准形。
正定矩阵的概念与性质
正定矩阵的定义
对于任意非零向量$x$，都有$x^TAx > 0$，则称对称矩阵$A$为正定矩阵。
正定矩阵的性质
正定矩阵的行列式大于0；正定矩阵的特征值都大于0；正定矩阵一定可逆，且逆矩阵也是正定的；正定矩阵的合 同标准形中主对角线上的元素都大于0。
消元法、克拉默法则等。
矩阵的概念
零矩阵、对角矩阵、单位矩阵等。
矩阵的行数和列数。
由m×n个数排成的m行n列的数 表。
矩阵的阶 矩阵的定义
特殊矩阵
矩阵的运算
矩阵的加法
对应元素相加。
矩阵的数乘
每个元素乘以该数。
矩阵的乘法
满足结合律和分配律，但不满足交换律。
矩阵的转置
行列互换。
矩阵的初等变换
初等行变换
行列式的定义包括按行展开和按列展开两种方式，这 两种方式是等价的。
行列式的性质
行列式与它的转置行列式相等 。
互换行列式的两行（列），行 列式变号。
如果行列式有两行（列）完全 相同，则此行列式为零。
《线性代数第1讲》课件
03
线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于 科学、工程和经济学等领域。
线性代数的基本性质
线性代数的运算具有结合律和交换律，例如矩阵乘法满足结合律和交换律 。
线性代数中的向量和矩阵具有加法、数乘和矩阵乘法的封闭性，即这些运 算的结果仍属于向量空间或矩阵集合。
线性代数中的一些基本概念，如向量空间的基底、向量的维数、矩阵的秩 等，具有明确的数学定义和性质。
04
线性变换在几何、物理和工程等领域有广泛应性方程组的解法
1 2
3
高斯-约当消元法
通过行变换将系数矩阵化为行最简形式，从而求解线性方程 组。
克拉默法则
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过求解方程 组得到未知数的值。
矩阵分解法
将系数矩阵分解为几个简单的矩阵，简化计算过程，如LU分 解、QR分解等。
THANKS
特征值与特征向量的应用
判断矩阵的稳定性
通过计算矩阵的特征值，可以判 断矩阵的稳定性，从而了解系统 的动态行为。
信号处理
在信号处理中，可以通过特征值 和特征向量的方法进行信号的滤 波、降噪等处理。
数据压缩
在数据压缩中，可以使用特征值 和特征向量的方法进行数据的压 缩和重构，提高数据的存储和传 输效率。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01
基础定义
03
向量具有加法、数乘和向量的模等基本性质。
02
向量是有大小和方向的量，通常用实数和字母 表示。
04
向量的模是衡量其大小的标准，计算公式为 $sqrt{a^2 + b^2}$。
向量空间的概念
01
抽象空间
02
向量空间是一个由向量构成的集合，满足加法和数乘封闭性、
线性代数第一章ppt
线性代数第一章
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
线性代数教程课件ch1-3
3
100 204
0 1 200 395 1 300 600
c2 100 200 3 1 4 拆c3 1 200 5 1 200 400 100 100 1 2 5 1 300 0 1 300 600 1 3 0
3 100 4 3
c2 3c1
3 100 1 1
8 5 0
课前复习 a11 a12 D a11a22 a12 a21 . a21 a22
a11 D a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
x4
解 D
ri r1
i 2,3,4 0
c4 c i
1 0 x
1 1
i 1,2, 3 0
x
a a x a a 0 xa a a xa 0
n 1
例3 Dn
a a
a x x a xa
解 D
ri r1 i 2,3,4
ts
t 仍然为排列 p1 pi p j pn 的逆序数
s 为 1 j i n 的逆序数，易见为奇，
于是 D1 1 a1 p1 a jpi aip j anpn
ts
1
故
t
1
s t
,
D1 D .
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行 列式为零. 证明 互换相同的两行，有 D D, D 0. 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数ｋ，等于用数ｋ乘此行列式. 推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面． 推论 行列式中如果有两行（列）元素成比例， 则此行列式为零． 请问若给行列式的每一个元素都乘以同一数 ｋ，等于用 乘以此行列式.
最新 线性代数课件1-3
1 −3 1 1 − 1 1 2 2− 3−3 1 1 − 0 0 0− 20 1 −1−5 0 3 −2 −5 −0 0 −1 2) − 2) − = 0 0 2 1 0− 1 4 2 −= −(− ×(− 1)(− 6) = 12. 1 ⊕ 0 0 0 0−2− 11−0 −5− 2 3 0 1 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 2 0 2− 6 2 −
例如
1 7 5 1 7 5 6 6 2 = −3 5 8, 6 6 2 3 5 8
1 7 5 7 1 5 6 6 2 = − 6 6 2. 3 5 8 5 3 8
如果行列式有两行（ 完全相同， 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零. 此行列式为零.
性质3 行列式的某一行（ 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘此行列式. 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
L a1 n
a 21 L a 2 i a n1 L a ni
a 11 C i + kC j a 21 M a n1
L a2 j L a2 j k× M M L a nj L a nj
L a1 j M L a nj L a1 n L a2 j M L a nj
L ( a 1 i + ka 1 j ) M L ( a ni + ka nj )
a11 L a12 L L L a1 n L
bs1 + cs1
L a n1
bs2 + cs2 L
L an2 L L
bsn + csn
L a nn
a11 L
a12 L a1n L L L
a11 L
a12 L
L a1n L L
= bs1 bs2 L bsn + cs1 L L L L L an1 an 2 L ann a n1
例如
1 7 5 1 7 5 6 6 2 = −3 5 8, 6 6 2 3 5 8
1 7 5 7 1 5 6 6 2 = − 6 6 2. 3 5 8 5 3 8
如果行列式有两行（ 完全相同， 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零. 此行列式为零.
性质3 行列式的某一行（ 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘此行列式. 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
L a1 n
a 21 L a 2 i a n1 L a ni
a 11 C i + kC j a 21 M a n1
L a2 j L a2 j k× M M L a nj L a nj
L a1 j M L a nj L a1 n L a2 j M L a nj
L ( a 1 i + ka 1 j ) M L ( a ni + ka nj )
a11 L a12 L L L a1 n L
bs1 + cs1
L a n1
bs2 + cs2 L
L an2 L L
bsn + csn
L a nn
a11 L
a12 L a1n L L L
a11 L
a12 L
L a1n L L
= bs1 bs2 L bsn + cs1 L L L L L an1 an 2 L ann a n1
线性代数课件
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
偶排列
奇排列
1
N ( j1 j2 j3 )
a1 j1 a2 j2 a3 j3
线性代数 第一章 行列式
11
定义 设有 n 2 个数，排成 n 行 n 列的数表
a11 a12 n 称为n 阶行列式. 简记为 a ij
it 这种变换称为对换，记作（ i s ，）
定理1.1 任一 排列经过一次对换后奇偶性发生改变。
定理1.2
n! n级排列共有 n! 个，其中奇、偶排列相等，各为 2
线性代数 第一章 行列式
10
2
a11 a21 a31
n 阶行列式的定义
a12 a22 a32 a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 a33
主讲
田立芳
统计与数学学院
目录 线性代数 第一章 行列式 退出
1
目
录
行列式 矩阵 线性空间 线性方程组 矩阵的特征值 二次型
线性代数 第一章 主页 行列式 线性代数
退出
2
第一章 行列式
§1 n 阶行列式的定义
§2 行列式的性质 §3 行列式的计算 §4 克莱姆法则
线性代数 第一章 行列式
3
§1.1
线性代数 第一章 行列式
18
性质1 对任何行列式D，有D=DT（行列式与其转置行列式相等） 证
D
T
将DT记为
于是有 bij a ji ( i , j 1,2, , n) 按行列式的定义
j1 j2 jn
偶排列
奇排列
1
N ( j1 j2 j3 )
a1 j1 a2 j2 a3 j3
线性代数 第一章 行列式
11
定义 设有 n 2 个数，排成 n 行 n 列的数表
a11 a12 n 称为n 阶行列式. 简记为 a ij
it 这种变换称为对换，记作（ i s ，）
定理1.1 任一 排列经过一次对换后奇偶性发生改变。
定理1.2
n! n级排列共有 n! 个，其中奇、偶排列相等，各为 2
线性代数 第一章 行列式
10
2
a11 a21 a31
n 阶行列式的定义
a12 a22 a32 a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 a33
主讲
田立芳
统计与数学学院
目录 线性代数 第一章 行列式 退出
1
目
录
行列式 矩阵 线性空间 线性方程组 矩阵的特征值 二次型
线性代数 第一章 主页 行列式 线性代数
退出
2
第一章 行列式
§1 n 阶行列式的定义
§2 行列式的性质 §3 行列式的计算 §4 克莱姆法则
线性代数 第一章 行列式
3
§1.1
线性代数 第一章 行列式
18
性质1 对任何行列式D，有D=DT（行列式与其转置行列式相等） 证
D
T
将DT记为
于是有 bij a ji ( i , j 1,2, , n) 按行列式的定义
j1 j2 jn
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§3 分块矩阵及矩阵的分块运算
将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵 每一个 小矩阵称为A的子块 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块 矩阵。将矩阵分割成分块矩阵的方法称为矩阵的分块法。
1 0 0 3
例如
A 000
1 0 0
0 1 0
011
E3 O
A1 A2
1 0 0 3
其中
E3
0 0
2 1 1 1
0 1 2 1
0 1
3 0
4 1 2 1
0 1
2 1
4 , 1
A1
B22
1 1
2 4 1 2
1 3 0 3
3 , 1
于是
AB B11
E
A1B11 B21 A1 B22
1 0 1 0
1 2
4 4
0 3
13 .
1 1 3 1
EA1
O E
,
1 0 1 0
B
1 1
1
2 0 1
0 4 2
1 1 0
B11 E B21B22
则 AB E O B11 E A1 E B21 B22
B11
E .
A1B11 B21 A1 B22
AB B11
E .
A1B11 B21 A1 B22
又
A1B11 B21 1 1
1 0
10
A1
01
O(0
0
0)
A2(1)
注：分块方法有很多，最常用的是按行分块或按列分块。
矩阵的分块运算
1 设矩阵A与B的行数相同,列数相同,采用
相同的分块法,有
A
A11
A1r
,
B
B11
B1r
As1 Asr
Bs1 Bsr
其中Aij与Bij的行数相同, 列数相同, 那末
As1 Asr
AA1Tr1Tr
AAsTsTrr
例1 设
1 0 0 0
A
0 1
1 2
0 1
0 0
,
1 1 0 1
求 AB.
解 把A, B分块成
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
,
1 1 2 0
A
A 101111011012
0 00 1 00 211 100
0000 1010
A
B
A11
B11
A1r
B1r
.
As1 Bs1 Asr Bsr
2
设
A
A11
A1r
,
为
数,
那
末
As1 Asr
A
A11
A1r
.
As1 Asr
3 设A为m l矩阵, B为l n矩阵,分块成
A
A11
A1t
,
B
B11
B1r
,
As1 Ast
Bt1 Btr
A2
B2
b 1
1 b b 1
0 2b b 2
1 , 2b
A B A1 0 B1 0 0 A2 0 B2
A1 B1
0
0
A2 B2 2b
0 1
.
0 0 2 2b
ABA A1 0 B1 0 A1 0 0 A2 0 B2 0 A2
a 1 0 0
例2
设
A
0 0
a 0
0 b
0 1
,
0 0 1 b
a 0 0 0
B
1 0
a 0
0 b
0 0
0 0 1 b
求 A B, ABA.
解 将 A, B分块
a 1 0 0
A
0 0
0
a 0 0
0 b 1
0 1 b
A1 0
0 ,
A2
其中
a
A1
0
b
A2
1
1 , a 1 ; b
若A与B相乘,需A的列的划分与B的行的划分相一致
(4) 转置
A
A11
A1r
A1T1 AT
AsT1
As1 Asr
A1Tr
AsTr
a2 0 0
2a2 1 a3 a
0 0
0
0 b3 2b
3b2
0
0 2b2 1 b3 2b
.
小结
在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最 基本,最重要的计算技巧与方法.
分块矩阵之间的运算 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似
(1) 加法 同型矩阵,采用相同的分块法 (2) 数乘 数k乘矩阵A,需k乘A的每个子块 (3) 乘法
a
B
1 0
0
0 a 0 0
0 0 b 1
0
0 0
B1 0
b
0 ,
其中
B1
a 1
B2
B2
b 1
0 , a 0 ; b
A B A1 0 B1 0 0 A2 0 B2
A1 B1
0 ,
0
A2 B2
A1
B1
a 0
1 a a 1
0 2a a 1
1 , 2a
A1B1 A1
0 ,
0
A2B2 A2
A1B1 A1
a
3 a2
a
2a2 1 a3 a
,
A2 B2
A2
b3 2b 3b2
2b2 1 b3 2b
,
ABA A1 0 B1 0 A1 0 0 A2 0 B2 0 A2
A1B1A1
0
0 A2B2 A2
a3 a
其中Ai1 , Ai2 ,, Ait的列数分别等于B1 j , B2 j ,, Bij
的
行
数,
那末
AB
C11
C1r
t
Cs1 Csr
其中Cij Aik Bkj i 1,, s; j 1,, r .
k 1
4
设
A
A11
A1r
, 则则
AATT
AA1T1T11
AAsTsT11 ..
将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵 每一个 小矩阵称为A的子块 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块 矩阵。将矩阵分割成分块矩阵的方法称为矩阵的分块法。
1 0 0 3
例如
A 000
1 0 0
0 1 0
011
E3 O
A1 A2
1 0 0 3
其中
E3
0 0
2 1 1 1
0 1 2 1
0 1
3 0
4 1 2 1
0 1
2 1
4 , 1
A1
B22
1 1
2 4 1 2
1 3 0 3
3 , 1
于是
AB B11
E
A1B11 B21 A1 B22
1 0 1 0
1 2
4 4
0 3
13 .
1 1 3 1
EA1
O E
,
1 0 1 0
B
1 1
1
2 0 1
0 4 2
1 1 0
B11 E B21B22
则 AB E O B11 E A1 E B21 B22
B11
E .
A1B11 B21 A1 B22
AB B11
E .
A1B11 B21 A1 B22
又
A1B11 B21 1 1
1 0
10
A1
01
O(0
0
0)
A2(1)
注：分块方法有很多，最常用的是按行分块或按列分块。
矩阵的分块运算
1 设矩阵A与B的行数相同,列数相同,采用
相同的分块法,有
A
A11
A1r
,
B
B11
B1r
As1 Asr
Bs1 Bsr
其中Aij与Bij的行数相同, 列数相同, 那末
As1 Asr
AA1Tr1Tr
AAsTsTrr
例1 设
1 0 0 0
A
0 1
1 2
0 1
0 0
,
1 1 0 1
求 AB.
解 把A, B分块成
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
,
1 1 2 0
A
A 101111011012
0 00 1 00 211 100
0000 1010
A
B
A11
B11
A1r
B1r
.
As1 Bs1 Asr Bsr
2
设
A
A11
A1r
,
为
数,
那
末
As1 Asr
A
A11
A1r
.
As1 Asr
3 设A为m l矩阵, B为l n矩阵,分块成
A
A11
A1t
,
B
B11
B1r
,
As1 Ast
Bt1 Btr
A2
B2
b 1
1 b b 1
0 2b b 2
1 , 2b
A B A1 0 B1 0 0 A2 0 B2
A1 B1
0
0
A2 B2 2b
0 1
.
0 0 2 2b
ABA A1 0 B1 0 A1 0 0 A2 0 B2 0 A2
a 1 0 0
例2
设
A
0 0
a 0
0 b
0 1
,
0 0 1 b
a 0 0 0
B
1 0
a 0
0 b
0 0
0 0 1 b
求 A B, ABA.
解 将 A, B分块
a 1 0 0
A
0 0
0
a 0 0
0 b 1
0 1 b
A1 0
0 ,
A2
其中
a
A1
0
b
A2
1
1 , a 1 ; b
若A与B相乘,需A的列的划分与B的行的划分相一致
(4) 转置
A
A11
A1r
A1T1 AT
AsT1
As1 Asr
A1Tr
AsTr
a2 0 0
2a2 1 a3 a
0 0
0
0 b3 2b
3b2
0
0 2b2 1 b3 2b
.
小结
在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最 基本,最重要的计算技巧与方法.
分块矩阵之间的运算 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似
(1) 加法 同型矩阵,采用相同的分块法 (2) 数乘 数k乘矩阵A,需k乘A的每个子块 (3) 乘法
a
B
1 0
0
0 a 0 0
0 0 b 1
0
0 0
B1 0
b
0 ,
其中
B1
a 1
B2
B2
b 1
0 , a 0 ; b
A B A1 0 B1 0 0 A2 0 B2
A1 B1
0 ,
0
A2 B2
A1
B1
a 0
1 a a 1
0 2a a 1
1 , 2a
A1B1 A1
0 ,
0
A2B2 A2
A1B1 A1
a
3 a2
a
2a2 1 a3 a
,
A2 B2
A2
b3 2b 3b2
2b2 1 b3 2b
,
ABA A1 0 B1 0 A1 0 0 A2 0 B2 0 A2
A1B1A1
0
0 A2B2 A2
a3 a
其中Ai1 , Ai2 ,, Ait的列数分别等于B1 j , B2 j ,, Bij
的
行
数,
那末
AB
C11
C1r
t
Cs1 Csr
其中Cij Aik Bkj i 1,, s; j 1,, r .
k 1
4
设
A
A11
A1r
, 则则
AATT
AA1T1T11
AAsTsT11 ..