2017-2019北京初一数学上学期期末汇编：新定义

初一期末汇编 ----新定义
一、解答题
【题1】（2018•西城区期末•第28题）如图，数轴上A ，B 两点对应的有理数分别为5A x =-和6B x =，动点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿数轴在A ，B 之间往返运动，同时动点Q 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在B ，A 之间往返运动．设运动时间为t 秒．（1）当2t =时，点P 对应的有理数P x = ，PQ = ；（2）当011t <时，若原点O 恰好是线段PQ 的中点，求t 的值；
（3）我们把数轴上的整数对应的点称为“整点”，当P ，Q 两点第一次在整点处重合时，直接写出此整点对应的数．
【题2】（2018•海淀区期末•第25题）已知0k ≠，将关于x 的方程0kx b +=记作方程◇．（1）当2k =，4b =-时，方程◇的解为 2x = ；
（2）若方程◇的解为3x =-，写出一组满足条件的k ，b 值：k = ，b = ；（3）若方程◇的解为4x =，求关于y 的方程(32)0k y b +-=的解．
【题3】（2018•海淀区期末•第27题）数学是一门充满思维乐趣的学科，现有33⨯的数阵A ，数阵每个位置所对应的数都是1，2或3．定义*a b 为数阵中第a 行第b 列的数．例如，数阵A 第3行第2列所对应的数是3，所以3*23=．
（1）对于数阵A ，2*3的值为；若2*32*x =，则x 的值为；（2）若一个33⨯的数阵对任意的a ，b ，c 均满足以下条件：条件一：*a a a =；条件二：(*)**a b c a c =；则称此数阵是“有趣的”．
①请判断数阵A 是否是“有趣的”．你的结论：（填“是”或“否” )； ②已知一个“有趣的”数阵满足1*22=，试计算2*1的值；
③是否存在“有趣的”数阵，对任意的a ，b 满足交换律**a b b a =？若存在，请写出一个满足条件的数阵；若不存在，请说明理由．
【题4】（2018•朝阳区期末•第28题）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．
例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．
（1）若点A表示数2
-，点B表示数2，下列各数
2
3
-，0，4，6所对应的点分别为，
1
C，
2
C，
3
C，
4
C，其中是点A，B的“联盟点”的是；
（2）点A表示数10
-，点B表示数30，P为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，写出此时点P表示的数
．
【题5】（2018•丰台区期末•第28题）阅读下面一段文字：问题：0.7能化为分数形式吗？
探求：步骤①设0.7x =，步骤②10100.7x =⨯，步骤③107.7x =，则1070.7x =⨯，步骤④107x x =+，解得：7
9
x =
．根据你对这段文字的理解，回答下列问题：（1）步骤①到步骤②的依据是；（2）仿照上述探求过程，请你尝试把0.37化为分数形式：步骤①设0.37x =，步骤②1001000.37x =⨯，步骤③ ；
步骤④ ，解得x = ；
（3）请你将0.38化为分数形式，并说明理由．
【题6】（2017•海淀区期末•第26题）对于任意四个有理数a ，b ，c ，d ，可以组成两个有理数对（，）a b 与（，）
c d .我们规定：（，）a b ★（，）c d －=bc ad
例如：
123423142（，）★（，）－=⨯⨯= 根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对
2332（，-）★（，-）= （2）若有理数对
321117（-，）★（，）-+=x x ，则x = （3）当满足等式
32152（-，）★（，＋）＋-=x k x k k 的x 是整数时，求整数k 的值．
【题7】（2017•朝阳区期末•第24题）对于任意有理数a，b，定义运算：()1
a b a a b
=+-，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，252(25)113
=⨯+-=；
(3)(5)3(35)123
--=-⨯---=．
（1）求
1
(2)3
2
-的值；
（2）对于任意有理数m，n，请你重新定义一种运算“⊕”，使得5320
=
⊕，写出你定义的运算：m n=
⊕（用含m，n的式子表示）．
【题8】（2017•101中学期末•第29题）阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，我们就称点C是点是【A，B】的好点．
（1）如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D【A，B】的好点，点D【B，A】的好点．（请在横线上填“是”或“不是”）
知识运用：
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2．数所表示的点是【N，M】的好点；
（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．求当经过多少秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？
【题9】阅读材料，对于任何数，我们规定符号a b
c d
的意义是：
a b
ad bc
c d
=-，例如：
12
14232 34
=⨯-⨯=-．
（1）按照这个规定，请你计算56
24
的值．
（2）按照这个规定，当212
5
1
2
2
x
x
--
=
+
时，求x的值．
【题10】在茫茫宇宙中，存在着一种神秘的天体，任何物质经过它的附近都会被它吸引进去，再也不能出来，这就是黑洞．在数学中也有这种神秘的黑洞现象，被称为“西西弗斯串”．“西西弗斯串”是指任意设定一个数字串，数出其中所含偶数数字的个数、奇数数字的个数、数字的总个数，将它们按照“偶-奇-总”的顺序排列成新的数字串，再将新的数字串按照上述规则重复进行下去，⋯最终总能得到一个不再变化的数字串．
（1）例如，11位的数字串46818957892，其中偶数数字有6个，奇数数字有5个，数字总个数是11个，按上述规则操作得到新的数字串6511；将所得4位数字串6511再次按规则进行操作可得到新的数字串134 ；若一直按规则重复进行操作，最终得到的数字串是；
（2）请你再任意写出一个数字串，按照上述规则重复进行操作，写出操作过程中的结果，并确定最终得到的数字串．
【题11】一个二元码是由0和1组成的数字串12(n x x x n ⋯为正整数），其中(1k x k =，2，⋯，)n 称为第k 位码元，如：二元码01101的第1位码元为0，第5位码元为1．（1）二元码100100的第4位码元为；
（2）二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码127x x x ⋯的码元满足如下校验方程组：236745671
3571
11x x x x x x x x x x x x ⎧=⎪⎪
=⎨⎪
=⎪⎩⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕
其中运算⊕定义为：000=⊕，110=⊕，011=⊕，101=⊕． ①计算：0110=⊕⊕⊕ ；
②现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了0101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于．
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2019学年北京市西城区七年级上学期期末数学试题(答案)

２２. ( 本题５分) ２ｘ－１３ｘ－５－＝２. 解方程: ４３解:去分母ꎬ得４(２ｘ－１) －３(３ｘ－５) ＝２４. �� １分去括号ꎬ得８ｘ－４－９ｘ＋１５＝２４. �� ２分移项ꎬ得８ｘ－９ｘ＝２４＋４－１５. �� ３分２３. ( 本题５分) 解方程组:
Ｄ
１５. βꎬγꎬα. ㊀㊀㊀１６.
１８. (１)１９６(１分) ꎻ (２)９(１分) ꎻ (３)３ꎬ假. ( 各１分) １９. ( 本题共８分ꎬ每小题４分) 解:(１) － ( 本题共８分ꎬ每小题４分) 解:(１)
９ æ ２ö (２) －９ ˑ ç－ ÷ ː ４ è ３ø ４４＝－９ ˑ ˑ �� ２分９９１６＝－ . �� ４分９

2019初一数学上学期期末试题 (3)_PDF压缩

ꎬ卡片Ｂ上的数字
为
.
解密:
请你说明:对任意告知的数Ｍꎬ甲同学是如何猜到卡片的.
解:(１)Ｍ＝
.
(２) 若Ｍ＝５７ꎬ则卡片Ａ上的数字为
ꎬ卡片Ｂ上的数字为
.
解密:
七年级期末数学试卷第６页(共８页)
２７. 列方程( 组) 解决问题( 本题５分) 某校初一年级组织了数学嘉年华活动ꎬ 同学们踊跃参加ꎬ 活动共评出三个奖项ꎬ 年级
１７. 线段ＡＢ＝６ꎬ在直线ＡＢ上截取线段ＢＣ＝３ＡＢꎬＤ为线段ＡＢ的中点ꎬＥ为线段ＢＣ的中点ꎬ
那么线段ＤＥ的长为
.
１８.
我国现行的二代身份证号码是１８
位数字ꎬ由前１７位数字本体码和最后１ ∙∙∙∙∙
位校 ∙验 ∙码 ∙组成.
校
验码通过前１７位数字根据一定规则计算得出ꎬ如果校验码不符合这个规则ꎬ那么该号码肯
ꎬＰＱ＝
.
(２)
(３) 当ＰꎬＱ两点第一次在整点处重合时ꎬ此整点对应的数为
.
七年级期末数学试卷第８页(共８页)
北京市西城区２０１８—２０１９学年度第一学期期末试卷
七年级数学参考答案及评分标准
２ห้องสมุดไป่ตู้１９.１
一、选择题( 本题共２４分ꎬ第１ ~ ４题每小题３分ꎬ第５ ~ １０题每小题２分)
ｘ
－３
１
－
ｘ
＋６
２
＝
２ꎬ得２ｘ
－
２
－
ｘ
＋
２
＝
１２
９. 如图ꎬ数轴上ＡꎬＢ两点对应的数分别是ａ和ｂ.对于以下四个式子:①２ａ－ｂꎻ②ａ＋ｂꎻ

(2019秋)北京市平谷区七年级上期末数学考试题有答案.doc

第一学期期末质量监控试卷初一数学下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的. 1. 神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一．每小时飞行约 28 000 公里，将28 000用科学记数法表示应为A. 31082⨯.B. 31028⨯C. 41082⨯.D. 510280⨯.2. 如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中表示互为相反数的点是A. 点A 和点BB. 点B 和点CC. 点C 和点DD.点A 和点D3．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OE 平分AOC ∠，且AOC ∠=80︒，则BOE ∠为A ．140︒B ．100︒C ．︒150D ．40︒ 4. 若21(2)02x y -++=，则()2017xy 的值为（） A. 1 B.2017- C.1- D. 20175．右图是某几何体从不同角度看到的图形，这个几何体是A ．圆锥B ．圆柱C ．正三棱柱D ．三棱锥6．下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是A ．用两个钉子就可以把木条固定在墙上．B ．把弯曲的公路改直，就能缩短路程．C ．利用圆规可以比较两条线段的大小关系．D ．测量运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直． 7．若53=x 是关于x 的方程50x m -=的解，则m 的值为 A ．3 B ．13 C ．3- D ．13-C B A12345-1-2-3-46从正面看从左面看从上面看8．若代数式x y -的值为1，则代数式232x y --的值是 A ．3 B ．-1 C ．1 D ．无法确定9．已知232y x 和312m nx y -是同类项，那么2m n +的值是 A ．2 B ．6 C ．10 D ．410. 如图所示，用火柴棍摆成第1个图形所需要的火柴棍的根数是4，摆成第2个图形所需要的火柴棍的根数是12，摆成第3个图形所需要的火柴棍的根数是24，按照此类图形的结构规律，摆成第10个图形所需要的火柴棍的根数是…第1图第2图第3图A ．196B ．100C ．220D ．200 二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．“x 的3倍与y 的和”用代数式表示为； 12.某地一周内每天的最高气温与最低气温记录如下表：则温差最大的一天是星期_____；13．如图，C 是线段AB 上一点，M 是线段AC 的中点，N 是线段BC 的中点且MN =3cm ，则AB 的长为cm.AN14. 角度换算：3615′=_______.15．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x 人，可列方程为____________．16. 数轴上表示1和﹣3两点之间的距离是．数轴上点A 和-1两点之间的距离为3，则A 点表示的数为．三、解答题（本题共52分，第17—19题共12分，每小题4分；第20—27题共40分，每小题5分）17．()11271832.52⎛⎫+---- ⎪⎝⎭18.计算：425232÷-+⨯)(19．计算：()131486412⎛⎫-+⨯-⎪⎝⎭． 20．解方程： ()32143x x -=+． 21．解方程：2135234x x --=+． 22．先化简，再求值： (2a 2－5a)－3 (a 2＋3a －5)，其中a ＝1- 23. 对于有理数a ，b ，规定一种新运算：b ab b a +=*．（1）计算：=*-4)3( ；（2）若方程634=*-)(x ，求x 的值；(3)计算：[]235*-*)(的值. 24．列方程解应用题：台湾是中国领土不可分割的一部分，两岸在政治、经济、文化等领域的交流越来越深入，在北京故宫博物院成立90周年院庆日时，两岸故宫同根同源，合作举办了多项纪念活动．据统计北京故宫博物院与台北故宫博物院现共有藏品约245万件，其中北京故宫博物院藏品数量比台北故宫博物院藏品数量的2倍还多50万件，求北京故宫博物院和台北故宫博物院各约有多少万件藏品．25．某市政府为了增强城镇居民抵御大病风险的能力，积极完善城镇居民医疗保险制度，纳入医疗保险的居民大（1）若某居民一年的大病住院医疗费用为500元，则他按上述标准报销后需花费______________元.若某居民一年的大病住院医疗费用为2800元，则他按上述标准报销后需花费______________元.（2）若某居民一年的大病住院医疗费用为x 元，则他按上述标准报销后需花费2380元，你知道x 的值吗？26．如图，已知点A ，B . 按要求完成下列问题：（1）连接AB ，取AB 中点C ；（2）过点C 作线段AB 的垂线。

中考数学：新定义创新型综合压轴问题真题+模拟(原卷版北京专用)

中考数学新定义创新型综合压轴问题【方法归纳】新定义＂型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。

它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接＂新知识＂；（3）定义新概念.这类试题考查考生对＂新定义＂的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将＂新定义＂的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。

解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。

北京中考最后一题的新定义主要涉及函数与圆的有关新定义问题，属于函数的范畴，已经考过“对应点”、“关联线段”、“平移距离”“闭距离”、“相关矩形”、“反称点”、“有界函数”、“关联点”等新定义。

在平时的教学过程中要从细节中挖掘出数学的本质特征，引领学生找到解决问题的思想方法。

解答这类问题的关键是要读懂题目提供的新知识，理解其本质，把它与已学的知识联系起来，把新的问题转化为已学的知识进行解决。

【典例剖析】【例1】（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b),N.对于点P给出如下定义：将点P向右(a≥0)或向左(a<0)平移|a|个单位长度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度，得到点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．(1)如图，点M(1,1),点N在线段OM的延长线上，若点P(−2,0),点Q为点P的“对应点”．①在图中画出点Q；OM;②连接PQ,交线段ON于点T.求证：NT=12(2)⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON=t(1<t<1)，若P为⊙O外2一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ.当点M在⊙O上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）【例2】（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′,C′分别是B,C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．（1）如图，点A,B1,C1,B2,C2,B3,的横､纵坐标都是整数．在线段B1C1,B2C2,B3C3中，⊙O 的以点A为中心的“关联线段”是______________；（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A(0,t)，其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；（3）在△ABC中，AB=1,AC=2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC长．【真题再现】1．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A′B′（A′,B′分别为点A，B的对应点），线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦P 1P 2和P 3P 4，则这两条弦的位置关系是；在点P 1,P 2,P 3,P 4中，连接点A 与点的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线y =√3x +2√3上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 1，求d 1的最小值；（3）若点A 的坐标为(2,32)，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 2，直接写出d 2的取值范围．2（2019·北京·中考真题）在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果DE⌢上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE⌢为△ABC 的中内弧．例如，下图中DE ⌢是△ABC 的一条中内弧．（1）如图，在Rt △ABC 中，AB =AC =2√2，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．画出△ABC 的最长的中内弧DE⌢，并直接写出此时DE ⌢的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A(0,2)，B(0,0)，C(4t,0)(t >0)，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．①若t =12，求△ABC 的中内弧DE⌢所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围；②若在△ABC 中存在一条中内弧DE⌢，使得DE ⌢所在圆的圆心P 在△ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围．3．（2018·北京·中考真题）对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 间的“闭距离”，记作d （M ，N ）．已知点A （−2，6），B （−2，−2），C （6，−2）．（1）求d （点O ，△ABC ）；（2）记函数y =kx （−1≤x ≤1，k ≠0）的图象为图形G ，若d （G ，△ABC ）=1，直接写出k 的取值范围；（3）⊙T 的圆心为T （t ，0），半径为1．若d （⊙T ，△ABC ）=1，直接写出t 的取值范围． 4.（2017·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下的定义：若在图形M 存在一点Q ，使得P 、Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为图形M 的关联点．（1）当⊙O 的半径为2时，①在点P 1(12,0),P 2(12,√32),P 3(52,0) 中，⊙O 的关联点是_______________． ②点P 在直线y=-x 上，若P 为⊙O 的关联点，求点P 的横坐标的取值范围．（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线y=-x+1与x 轴、y 轴交于点A 、B ．若线段AB 上的所有点都是⊙C 的关联点，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．5．（2016·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2），且x 1≠x 2，y 1≠y 2，若P ，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与，Q 的“相关矩形”．下图为点P ，Q 的“相关矩形”的示意图．（1）已知点A 的坐标为（1，0）．①若点B 的坐标为（3，1）求点A ，B 的“相关矩形”的面积；②点C 在直线x=3上，若点A ，C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的表达式；（2）⊙O 的半径为，点M 的坐标为（m ，3）．若在⊙O 上存在一点N ，使得点M ，N 的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围．6．（2015·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．（1）当⊙O的半径为1时．，0），T（1，√3）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求①分别判断点M（2，1），N（32其坐标；②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；x+2√3与x轴、y轴分别交于点A，B，若（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣√33线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．7．（2014·北京·中考真题）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足−M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．(x>0)和y=x+1(−4<x≤2)是不是有界函数？若是有界函数，（1）分别判断函数y=1x求其边界值；（2）若函数y=−x+1(a⩽x⩽b,b>a)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数y=x2(−1≤x≤m，m≥0)的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值≤t≤1？是t，当m在什么范围时，满足348．（2013·北京·中考真题）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在两个点A ，B ，使得∠APB=60°，则称P 为⊙C 的关联点．已知点D （，），E （0，－2），F （，0）（1）当⊙O 的半径为1时，①在点D ，E ，F 中，⊙O 的关联点是；②过点F 作直线交y 轴正半轴于点G ，使∠GFO=30°，若直线上的点P （m ，n ）是⊙O 的关联点，求m 的取值范围；（2）若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r 的取值范围．【模拟精练】一、解答题1．（2022·北京朝阳二模）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，AB =1，且A ，B 两点中至少有一点在⊙O 外．给出如下定义：平移线段AB ，得到线段A ′B ′（A ′，B ′分别为点A ，B 的对应点），若线段A ′B ′上所有的点都在⊙O 的内部或⊙O 上，则线段AA ′长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．(1)如图1，点A 1，B 1的坐标分别为（－3，0），（－2，0），线段A 1B 1到⊙O 的“平移距离”为___，点A 2，B 2的坐标分别为（－12，√3），（12，√3），线段A 2B 2到⊙O 的“平移距离”为___；(2)若点A，B都在直线y=√3x+2√3上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d，求d的最小值；(3)如图2，若点A坐标为（1，√3），线段AB到⊙O的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点B形成的图形（不需证明）．2．（2022·北京北京·二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于线段PQ给出如下定义：若线段PQ与⊙O有两个交点M，N，且PM=MN=NQ，则称线段PQ是⊙O的“倍弦线”．(1)如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．在线段AB，AD，CB，CD中，⊙O的“倍弦线”是_____________；(2)⊙O的“倍弦线”PQ与直线x=2交于点E，求点E纵坐标y E的取值范围；(3)若⊙O的“倍弦线”PQ过点(1,0)，直线y=x+b与线段PQ有公共点，直接写出b的取值范围．3．（2022·北京大兴·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和直线y=1，给出如下定义：若点P在直线y=1上，且以点P为顶点的角是45°，则称点P为直线y=1的“关联点”．(1)若在直线x=1上存在直线y=1的“关联点”P．则点P的坐标为_____；(2)过点P(2,1)作两条射线，一条射线垂直于x轴，垂足为A；另一条射线、交x轴于点B，若点P为直线y=1的“关联点”．求点B的坐标；(3)以点O为圆心，1为半径作圆，若在⊙O上存在点N，使得∠OPN的顶点P为直线y=1的“关联点”．则点P的横坐标a的取值范围是________．4．（2022·北京东城·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于图形G及过定点P(3,0)的直线l，有如下定义：过图形G上任意一点Q作QH⊥l于点H，若QH+PH有最大值，那么称这个最大值为图形G关于直线l的最佳射影距离，记作d(G,l)，此时点Q称为图形G关于直线l的最佳射影点．(1)如图1，已知A(2,2)，B(3,3)，写出线段AB关于x轴的最佳射影距离d(AB,x轴)=____________；(2)已知点C(3,2)，⊙C的半径为√2，求⊙C关于x轴的最佳射影距离d（⊙C，x轴），并写出此时⊙C关于x轴的最佳射影点Q的坐标；(3)直接写出点D(0,√3)关于直线l的最佳射影距离d(点D,l)的最大值．5．（2022·北京·清华附中一模）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM=QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．(1)如图1，已知点A(0,3)，B(2,3)；①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是______，最大值是______；,0)，P2(1,4)，P3(−3,0)这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是______．②在P1(32(2)如图2，已知⊙O的半径为1，点D的坐标为（5，0）．若点E(x,2)在第一象限，且点D 与点E是⊙O的一对平衡点，求x的取值范围；(3)如图3，已知点H(−3,0)，以点O为圆心，OH长为半径画弧交x的正半轴于点K．点C(a,b)（其中b≥0）是坐标平面内一个动点，且OC=5，⊙C是以点C为圆心，半径为2的圆，若HK上的任意两个点都是⊙C的一对平衡点，直接写出b的取值范围．6．（2022·北京丰台·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，T（0，t）为y轴上一点，P为平面上一点．给出如下定义：若在⊙O上存在一点Q，使得△TQP是等腰直角三角形，且∠TQP＝90°，则称点P为⊙O的“等直点”，△TQP为⊙O的“等直三角形”．如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．(1)当t＝2时，在点A，B，C，D中，⊙O的“等直点”是；(2)当t＝3时，若△TQP是⊙O“等直三角形”，且点P，Q都在第一象限，求CP的值．OQ 7．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果线段OP与图形W无公共点，则称点P为关于图形W的“阳光点”；如果线段OP与图形W有公共点，则称点P为关于图形W的“阴影点”．(1)如图1，已知点A（1，3），B（1，1），连接AB．①在P1（1，4），P2（1，2），P3（2，3），P4（2，1）这四个点中，关于线段AB的“阳光点”是；②线段A1B1∥AB，A1B1上的所有点都是关于线段AB的“阴影点”，且当线段A1B1向上或向下平移时，都会有A1B1上的点成为关于线段AB的“阳光点”，若，A1B1的长为4，且点A1在B1的上方，则点A1的坐标为．(2)如图2，已知点C（1，√3），⊙C与y轴相切于点D，若⊙E的半径为3，圆心E在直线2l：y=−√3x+4√3上，且⊙E的所有点都是关于⊙C的“阴影点”，求点E的横坐标的取值范围；(3)如图3，⊙M的半径为3，点M到原点的距离为5，点N是⊙M上到原点距离最近的点，点Q和T是坐标平面的两个动点，且⊙M上的所有点都是关于△NQT的“阴影点”直接写出△NQT的周长的最小值．8．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“冰雪距离”，已知O（0，0），A（1，√2），B （m，n），C（m，n+2）是平面直角坐标系中四点．(1)根据上述定义，完成下面的问题：①当m＝2√2，n=√2时，如图1，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是；②当m＝2√2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是√2，则n的取值范围是；(2)如图2，若点B落在圆心为A，半径为√2的圆上，当n≥√2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d，结合图象，求d的最小值；(3)当m的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为√2，线段BC的中点为M．直接写出点M随线段BC运动所走过的路径长．9．（2022·北京市师达中学模拟预测）如果一个圆上所有的点都在一个角的内部或边上，那么称这个圆为该角的角内圆．特别地，当这个圆与角的至少．．一边相切时，称这个圆为该角的角内相切圆．在平面直角坐标系xOy中，点E，F分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．(1)分别以点A（1，0），B（1，1），C（3，2）为圆心，1为半径作圆，得到⊙A，⊙B和⊙C，其中是∠EOF的角内圆的是；(2)如果以点D（t，2）为圆心，以1为半径的⊙D为∠EOF的角内圆，且与直线y=x有公共点，求t的取值范围；(3)点M在第一象限内，如果存在一个半径为1且过点P（2，2√3）的圆为∠EMO的角内相切圆，直接写出∠EOM的取值范围．10．（2021·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于图形Q和∠P，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在∠P的内部或∠P的边上，则∠P的最小值称为点P对图形Q的可视度．如图1，∠AOB的度数为点O对线段AB的可视度．（1）已知点N（2，0），在点M1(0,2√3)，M2(1,√3)，M3(2,3)中，对线段ON的可视度为360º的点是______．（2）如图2，已知点A（-2，2），B（-2，-2），C（2，-2），D（2，2），E（0，4）．①直接写出点E对四边形ABCD的可视度为______°；②已知点F（a，4），若点F对四边形ABCD的可视度为45°，求a的值．11．（2022·北京四中模拟预测）在平面内，对点组A1，A2，...，An和点P给出如下定义：点P与点A1，A2，...，An的距离分别记作d1，d2，...，dn，数组d1，d2，...，dn的中位数称为点P对点组A1，A2，...，An的中位距离．例如，对点组A1（0，0），A2（0，3），A3（4，1）和点P（4，3），有d1＝5，d2＝4，d3＝2，故点P对点组A1，A2，A3的中位距离为4．(1)设Z1（0，0），Z2（4，0），Z304），Y（0，3），直接写出点Y对点组Z1，Z2，Z3的中位距离；(2)设C1（0，0），C2（8，0），C3（6，6），则点Q1（7，3），Q2（3，3），Q3（4，0），Q4（4，2）中，对点组C1，C2，C3的中位距离最小的点是，该点对点组C1，C2，C3的中位距离为；(3)设M（1，0），N(0,√3)，T1（t，0），T2（t+2，0），T3（t，2），若线段MN上任意一点对点组T1，T2，T3的中位距离都不超过2，直接写出实数t的取值范围．12．（2020·北京·人大附中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，对于平面中的点P，Q和图形M，若图形M上存在一点C，使∠PQC=90°，则称点Q为点P关于图形M的“折转点”，称△PCQ为点P关于图形M的“折转三角形”（1）已知点A(4,0)，B(2,0)①在点Q1(2,2)，Q2(1,−√3)，Q3(4,−1)中，点O关于点A的“折转点”是______；②点D在直线y=−x上，若点D是点O关于线段AB的“折转点”，求点D的横坐标x D的取值范围；（2）⊙T的圆心为(t,0)，半径为3，直线y=x+2与x，y轴分别交于E，F两点，点P为⊙T 上一点，若线段EF上存在点P关于⊙T的“折转点”，且对应的“折转三角形”是底边长为2的等腰三角形，直接写出t的取值范围．13．（2020·北京市陈经纶中学分校三模）平面直角坐标系xOy中，对于点M和图形W，若图形W上存在一点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称点M与图形W是“中心轴对称”的对于图形W1和图形W2，若图形W1和图形W2分别存在点M和点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称图形W1和图形W2是“中心轴对称”的．特别地，对于点M和点N，若存在一条经过原点的直线l，使得点M与点N关于直线l对称，则称点M和点N是“中心轴对称”的．（1）如图1，在正方形ABCD中，点A(1,0)，点C(2,1)，①下列四个点P1(0,1)，P2(2,2)，P3(−12,0)，P4(−12,−√32)中，与点A是“中心轴对称”的是________；②点E在射线OB上，若点E与正方形ABC D是“中心轴对称”的，求点E的横坐标x E的取值范围;（2）四边形GHJK的四个顶点的坐标分别为G(−2,2)，H(2,2)，J(2,−2)，K(−2,−2),一次函数y=√3x+b图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段与四边形GHJK是“中心轴对称”的，直接写出b的取值范围．14．（2022·北京房山·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形G和点Q，给出如下定义：将图形G绕点Q顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形G关于点Q的“垂直图形”，例如，图1中线段OD为线段OC关于点O的“垂直图形”．(1)线段MN关于点M(1,1)的“垂直图形”为线段MP．①若点N的坐标为(1,2)，则点P的坐标为__________；②若点P的坐标为(4,1)，则点N的坐标为__________；(2)E(−3,3),F(−2,3),H(a,0)．线段EF关于点H的“垂直图形”记为E′F′，点E的对应点为E′，点的对应点为F′．①求点E′的坐标（用含a的式子表示）；②若⊙O的半径为2，E′F′上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE′的长度的最大值．15．（2022·北京丰台·xOy中，⊙O的半径为1，A为任意一点，B 为⊙O上任意一点，给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在⊙O上时，p=0），最大值为q，那么把p+q的值称为点A与⊙O的“关联距离”，记作d（A，2⊙O）(1)如图，点D，E，F的横、纵坐标都是整数①d（D，⊙O）＝__________；②若点M在线段EF上，求d（M，⊙O）的取值范围；(2)若点N在直线y=√3x+2√3上，直接写出d（N，⊙O）的取值范围；(3)正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足d（P，⊙O）的最小值为1，最大值为√10，直接写出m的最小值和最大值．16．（2022·北京平谷·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作d(P,Q)．已知点A(−2,2)，B(2,2)，连接AB．(1)d（点O，AB）＝；(2)⊙O半径为r，若d(⊙O,AB)=0，直接写出r的取值范围；(3)⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转α°(0°<α<180°)，得到点A′．①当α=30°时d(⊙O,A′)=0，求出此时r的值；②对于取定的r值，若存在两个α使d(⊙O,A′)=0，直接写出r的范围．17．（2022·北京密云·二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P(2,3)与图形T，给出如下定义：在点P与图形T上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形T关于点P的“宽距”．(1)如图，⊙O的半径为2，且与x轴分别交于A，B两点．①线段AB关于点P的“宽距”为______；⊙O关于点P的“宽距”为______．②点M(m,0)为x轴正半轴上的一点，当线段AM关于点P的“宽距”为2时，求m的取值范围．(2)已知一次函数y=x+1的图象分别与x轴、y轴交于D、E两点，⊙C的圆心在x轴上，且⊙C的半径为1．若线段DE上的任意一点K都能使得⊙C关于点K的“宽距”为2，直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．18．（2022·北京门头沟·二模）我们规定：如图，点H在直线MN上，点P和点P′均在直线MN的上方，如果HP=HP′，∠PHM=∠P′HN，点P′就是点P关于直线MN的“反射点”，其中点H为“V点”，射线HP与射线HP′组成的图形为“V形”．在平面直角坐标系xOy中，(1)如果点P(0,3) ，H(1.5,0)，那么点P关于x轴的反射点P′的坐标为；(2)已知点A(0,a) ，过点A作平行于x轴的直线l．①如果点B(5,3) 关于直线l的反射点B′和“V点”都在直线y=−x+4上，求点B′的坐标和a的值；②⊙W是以(3,2) 为圆心，1为半径的圆，如果某点关于直线l的反射点和“V点”都在直线y=−x+4上，且形成的“V形”恰好与⊙W有且只有两个交点，求a的取值范围．19．（2022·北京东城·一模）对于平面直角坐标系xOy中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90°，则称点C为图形G的“友好点”．(1)已知点O(0,0)，M(4,0)，在点C1(0,4)，C2(1,4)，C3(2,−1)中，线段OM的“友好点”是_______；(2)直线y=−x+b分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点C(2,1)为线段PQ的“友好点”，求b 的取值范围；(3)已知直线y=x+d(d>0)分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的⊙O的“友好点”，直接写出d的取值范围．20．（2022·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点R和线段PQ，给出如下定义：M为线段PQ上任意一点，如果R，M两点间的距离的最小值恰好等于线段PQ的长，则称点R为线段PQ的“等距点”．(1)已知点A(5,0)．①在点B1(−3,4)，B2(1,5)，B3(4,−3)，B4(3,6)中，线段OA的“等距点”是______；②若点C在直线y=2x+5上，并且点C是线段OA的“等距点”，求点C的坐标；(2)已知点D(1,0)，点E(0,−1)，图形W是以点T(t,0)为圆心，1为半径的⊙T位于x轴及x 轴上方的部分．若图形W上存在线段DE的“等距点”，直接写出t的取值范围．21．（2022·北京市十一学校模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P为图形G上任意一点，将点P到原点O的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”．特别地，点P到原点O的最大距离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0．(1)已知，点A(−4√2,2)，B(2√2,2)．①原点O到线段AB上一点的最大距离为_______，最小距离为_______；②当点C的坐标为(0,m)时，且△ABC的“全距”为4，求m的取值范围；(2)已知OM=7，等边△DEF的三个顶点均在半径为3的⊙M上．求△DEF的“全距”d的取值范围．22．（2022·北京房山·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2．给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N，（点M、N 可以重合）使得AM=2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系(1)如图1，点C(√3,0),D(0,−1),E(0,1)，点P在线段CE上运动（点P可以与点C，E重合），连接OP,DP．①线段OP的最小值为__________，最大值为__________；线段DP的取值范围是__________；②在点O，点D中，点__________与线段EC满足限距关系；(2)在（1）的条件下，如图2，⊙O的半径为1，线段FG与x轴、y轴正半轴分别交于点F，G，且FG∥EC，若线段FG与⊙O满足限距关系，求点F横坐标的取值范围；(3)⊙O的半径为r(r>0)，点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，2为半径作圆得到⊙H和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．23．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于△ABC和直线l给出如下定义：若△ABC的一条边关于直线l的对称线段PQ是⊙O的弦，则称△ABC是⊙O 的关于直线l的“关联三角形”“关联轴”．(1)如图1，若△ABC是⊙O的关于直线l的“关联三角形”，请画出△ABC与⊙O的“关联轴”（至少画两条）；(2)若△ABC中，点A坐标为(2,3)，点B坐标为(4,1)，点C在直线y=−x+3的图像上，存在“关联轴l”使△ABC是⊙O的关联三角形，求点C横坐标的取值范围；(3)已知A(√3,1)，将点A向上平移2个单位得到点M，以M为圆心MA为半径画圆，B，C为⊙M 上的两点，且AB=2（点B在点A右侧），若△ABC与⊙O的关联轴至少有两条，直接写出OC 的最小值和最大值，以及OC最大时AC的长．24．（2022·北京市十一学校二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”．(1)已知点A（6，8），在点Q1(5,0)，Q2(−2,4)，Q3(9,5)中，________是点A的“直角点”；(2)已知点B（-4，4），C（3，4），若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标n的取值范围；(3)在（2）的条件下，已知点D（m-1，0），E（m，0），以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，求m的取值范围．25．（2022·北京通州·一模）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P为图形G上任意―点，将点P到原点O的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”．特别地，点P 到原点O的最大距离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0．(1)如图，点A(−√3,1)，B(√3,1)．①原点O到线段AB上一点的最大距离为______，最小距离为______；②当点C的坐标为(0,m)时，且△ABC的“全距”为1，求m的取值范围；(2)已知OM＝2，等边△DEF的三个顶点均在半径为1的⊙M上．请直接写出△DEF的“全距”d 的取值范围．26．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于x 轴的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2，称△P1PP2为点P的“关联三角形”．(1)已知点A(1，2)，求点A的“关联三角形”的面积；(2)如图，已知点B(m，n)，⊙T的圆心为T(2，2)，半径为2．若点B的“关联三角形”与⊙T 有公共点，直接写出m的取值范围；(3)已知⊙O的半径为r，OP=2r，若点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，直接写出∠PP1P2的取值范围．27．（2022·北京一七一中一模）已知平面直角坐标系xOy中，对于线段MN及P、Q，若∠MPN= 45°且线段MN关于点P的中心对称线段M′N′恰好经过点Q，则称Q是点P的线段MN−45°对经点.(1)设点A(0,2)，①Q1(4,0)，Q2(2,2)，Q3(2+√7,1)，其中为某点P的线段OA−45°对经点的是___________.②选出①中一个符合题意的点Q，则此时所对应的对称中心P的坐标为.③已知B(0,1)，设⊙B的半径是r，若⊙B上存在某点P的线段OA−45°对经点，求r的取值范围.(2)已知C(0,t)，D(0,−t)(t>0)，若点Q(4,0)同时是相异两点P1，P2的线段CD−45°对经点，直接写出t的取值范围.28．（2022·北京大兴·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，已知点A，过点A 作直线MN．对于点A和直线MN，给出如下定义：若将直线MN绕点A顺时针旋转，直线MN与⊙O有两个交点时，则称MN是⊙O的“双关联直线”，与⊙O有一个交点P时，则称MN是⊙O的“单关联直线”，AP⊙O的“单关联线段”．(1)如图1，A(0,4)，当MN与y轴重合时，设MN与⊙O交于C，D两点．则MN是⊙O的“______的值为______；关联直线”（填“双”或“单”）；ACAD(2)如图2，点A为直线y=−3x+4上一动点，AP是⊙O的“单关联线段”．①求OA的最小值；②直接写出△APO面积的最小值．29．（2022·北京市燕山教研中心一模）对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ，给出如下定义：若存在△PQR使得S△PQR=PQ2，则称△PQR为线段PQ的“等幂三角形”，点R称为线段PQ 的“等幂点”．(1)已知A(2,0)．①在点P1(2,4),P2(1,2),P3(−4,1),P4(1,−4)中，线段OA的“等幂点”是____________；②若存在等腰△OAB是线段OA的“等幂三角形”，求点B的坐标；(2)已知点C的坐标为C(2,−1)，点D在直线y=x−3上，记图形M为以点T(1,0)为圆心，2为半径的⊙T位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段CD的“等幂三角形”△CDE 为锐角三角形，直接写出点D的横坐标x D的取值范围．30．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r，对于平面上任一点P，我们定义：若在⊙O上存在一点A，使得点P关于点A的对称点点B在⊙O内，我们就称点P为⊙O的友好点．(1)如图1，若r为1．①已知点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，0）中，是⊙O的友好点的是；②若点P（t，0）为⊙O的友好点，求t的取值范围；(2)已知M（0，3），N（3，0），线段MN上所有的点都是⊙O的友好点，求r取值范围．。

2020年1月北京初一数学期末测试新定义题汇编

2020年1月期末测试新定义题汇编海淀27．给定一个十进制下的自然数x ，对于x 每个数位上的数，求出它除以2的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数x 的“模二数”，记为2()M x ．如2(735)111M =，2(561)101M =．对于“模二数”的加法规定如下：将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位上的数分别相加，规定：0与0相加得0；0与1相加得1；1与1相加得0，并向左边一位进1．如735、561的“模二数”111、101相加的运算过程如右图所示．根据以上材料，解决下列问题：（1）2(9653)M 的值为，22(58)(9653)M M +的值为；（2）如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数“模二相加不变”．如2(124)100M =，2(630)010M =，因为22(124)+(630)110M M =，2(124630)110M +=,所以222(124+630)(124)+(630)M M M =，即124与630满足“模二相加不变”． ①判断12，65，97这三个数中哪些与23“模二相加不变”，并说明理由；①与23“模二相加不变”的两位数有个．1111011100+西城对于平面内给定射线OA ，射线OB 及∠MON ，给出如下定义：若由射线OA ，OB 组成的∠AOB 的平分线OT 落在∠MON 的内部或边OM ，ON 上，则称射线OA 与射线OB 关于∠MON 内含对称．例如，图1中射线OA 与射线OB 关于∠MON 内含对称．已知：如图2，在平面内，∠AOM=10°, ∠MON=20°．（1）若有两条射线OB 1，OB 2的位置如图3所示，且∠B 1OM=30°，∠B 2OM=15°，则在这两条射线中，与射线OA 关于∠MON 内含对称的射线是；图2 图3 图4（2）射线OC 是平面上绕点O 旋转的一条动射线，若射线OA 与射线OC 关于∠MON 内含对称，设∠COM=x °,求x 的取值范围；（3）如图4，∠AOE=∠EOH=2∠FOH =20°．现将射线OH 绕点O 以每秒1°的速度顺时针旋转，同时将射线OE 和OF 绕点O 都以每秒3°的速度顺时针旋转．设旋转的时间为t 秒，且0<t <60．若∠FOE 的内部及两边至少存在一条以O 为顶点的射线与射线OH 关于∠MON 内含对称，直接写出t 的取值范围．3东城25.一般情况下,对于数a 和b ,(""2424a b a b ++≠≠+不等号），但是对于某些特殊的数a 和b ,=.2424a b a b+++我们把这些特殊的数a 和b ,称为“理想数对”,记作a b ， .例如当1,4a b ==-时，有1-41+(-4)2424+=+，那么1,-4就是“理想数对”.（1）3-12-2,4，，可以称为“理想数对”的是；（2）如果2x ，是“理想数对”，那么x = ；（3）若,m n 是“理想数对”，求73(94)8()4126n m n m m ⎡⎤-----⎢⎥⎣⎦的值.4石景山28．对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以()0m m ≠，再把所得数对应的点沿数轴向右平移n 个单位长度，得到点P '．称这样的操作为点P 的“倍移”，对数轴上的点A ，B ， C ，D 进行“倍移”操作得到的点分别为A '，B '，C '，D '．（1）当12m =，1n =时， ①若点A 表示的数为4-，则它的对应点A '表示的数为．若点B '表示的数是3，则点B 表示的数为；②数轴上的点M 表示的数为1，若3CM C M '=，则点C 表示的数为；（2）当3n =时，若点D 表示的数为2，点D '表示的数为5-，则m 的值为；（3）若线段2A B AB ''=，请写出你能由此得到的结论． 5延庆27．（4分）对于任意有理数a ，b ，我们规定：当a b ≥时，都有2a b a b ⊗=+；当a b <时，都有2a b a b ⊗=-．例如：21221224⊗=+⨯=+=．根据上述规定解决下列问题：（1）计算：23⊗= ；1()(1)2-⊗-= ．（2）若(3)(3)6x x +⊗-=，求x 的值．6门头沟25．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常用小石子摆成各种形状来研究数学问题．如图1，由于这些三角形是由1个，3个，6个，10个，… 小石子摆成的，所以他们称1，3，6，10，…，这些数为三边形数；类似的，如图2，他们称1，4，9，16，…，这样的数为四边形数．…1 3 6 10图1…1 4 9 16图2（1）既是三边形数，又是四边形数，且大于1的最小正整数是；（2）如果记第n 个k 边形小石子的个数为(),M n k （k ≥3），那么易得()1,3=1M ，()2,3=3M ，()2,4=4M ．① ()3,3=M ；()9,4=M ； ② (),3=M n ；(),4=M n ； ③ 如果(),3=55M n ，那么n = ；（3）如果进一步研究发现()23,5=2n n M n -，()2242,6==22n n M n n n --，…，那么()10,24=M ．7、密云28.在数轴上，若A 、B 、C 三点满足AC=2CB ，则称C 是线段AB 的相关点.当点C 在线段AB 上时，称C 为线段AB 的内相关点，当点C 在线段AB 延长线上时，称C 为线段AB 的外相关点.如图1，当A 对应的数为5，B 对应的数为2时，则表示数3的点C 是线段AB 的内相关点，表示数-1的点D 是线段AB 的外相关点.（1）如图2，A 、B 表示的数分别为5和-1，则线段AB 的内相关点表示的数为______,线段AB 的外相关点表示的数为________.（2）在（1）的条件下，点P 、点Q 分别从A 点、B 点同时出发，点P 、点Q 分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度向右运动，运动时间为t 秒. ①当PQ=7时，求t 值.②设线段PQ 的内相关点为M ，外相关点为N.直接写出M 、N 所对应的数为相反数时t 的取值.34DCB A -3-2-163210754-4-5图2图1-545701236-1-28】房山27．在数轴上，对于不重合的三点A ，B ，C ，给出如下定义：若点C 到点A 的距离是点C 到点B 的距离的2倍，我们就把点C 叫做【A ，B 】的和谐点.例如：图1中，点A 表示的数为1-，点B 表示的数为2. 表示数1的点C 到点A 的距离是2，到点B 的距离是1. 那么点C 是【A ，B 】的和谐点；又如，表示数0的点D 到点A 的距离是1，到点B 的距离是2，那么点D 就不是【A ，B 】的和谐点，但点D 是【B ，A 】的和谐点.图1（1）当点A 表示的数为4-，点B 表示的数为8时，①若点C 表示的数为4，则点C （填“是”或“不是”）【A ，B 】的和谐点；②若点D 是【B ，A 】的和谐点，则点D 表示的数是；（2）若A ，B 在数轴上表示的数分别为-2和4，现有一点C 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动，当点C 到达点A 时停止，问点C 运动多少秒时，C ，A ，B 中恰有一个点为其余两点的和谐点？9、平谷27..我们规定，有理数的整数部分就是取其最接近的两个整数中的最小整数，小数部分就是用原数减去整数部分，比如，小数3.25，最接近的两个整数就是3和4，则整数部分取3，小数部分就是3.25-3=0.25，（1）6.14的整数部分是，小数部分是；（2）-3.6的整数部分是，小数部分是；（3）如果一个数的整数部分与小数部分大88.11，且整数部分的值恰好是小数部分的100倍，求这个数.A D C B1234567–1–2–3–4–5o10昌平、27.观察下列两个等式：22121133-=⨯⨯-，33222155-=⨯⨯-给出定义如下：我们称使等式a ﹣b ＝2ab ﹣1成立的一对有理数a ，b 为“同心有理数对”，记为（a ，b ），如：数对（1，23），（2，35），都是“同心有理数对”. （1）数对（﹣2，1），（3，47）是 “同心有理数对”的是__________.（2）若（a ，3）是“同心有理数对”，求a 的值；（3）若（m ，n ）是“同心有理数对”，则（﹣n ，﹣m ） “同心有理数对”（填“是”或“不是”），说明理由.。

初中数学新定义

初中数学中的“新定义”问题，通常是指定义了一些初中数学中未涉及的新概念、新运算或新符号，要求学生结合已有知识进行理解，并运用这些新定义进行运算、推理或迁移。

这类问题旨在考查学生的阅读理解能力、数学应用能力和思维灵活性。

具体来说，初中数学中的“新定义”问题可以分为以下几种类型：
定义新运算：例如绝对值运算、取整运算、取余运算和阶乘运算等。

定义初、高中知识衔接的“新知识”：例如将一些能与初中知识相衔接的高中数学知识，通过阅读材料呈现给初中学生，让他们将这些新知识与已学知识联系起来，通过类比、猜想、迁移来运用新知识解决实际问题。

定义新概念：例如将某个特征的图形或运算方式、代数式等数学元素赋予一个新的名字，形成新的概念。

解决这类问题时，学生需要将新定义的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。

同时，还需要具备良好的阅读理解能力和思维灵活性，能够理解并运用这些新定义进行运算和推理。

2019北京海淀初一(上)期末数学

2019北京海淀初一（上）期末数学学校班级姓名成绩一、选择题（本大题共30分，每小题3分）第1~10题符合题意的选项均只有一个，请将你的答案填写在下面的表格中．题号 12345678910答案A ．A ′B ′＞AB B ．A ′B ′=ABC ．A ′B ′＜ABD ．没有刻度尺，无法确定．2．－5的绝对值是A ．5B ．－5C ．－15D ．5±3．2018年10月23日，世界上最长的跨海大桥——港珠澳大桥正式开通，这座大桥集跨海大桥、人工岛、海底隧道于一身，全长约55000米．其中55000用科学记数法可表示为A ．35.510⨯B ．35510⨯C ．45.510⨯D ．4610⨯ 4．下列计算正确的是A ．325a b ab +=B ．()325a a a --=C ．232a a a-=D ．()()3212a a a ---=-5．若x =－1是关于x 的方程2x +3=a 的解，则a 的值为A ．-5B ．5C ．-1D ．16．如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1=27°40′， ∠2的大小是 A ．27°40′ B ．57°40′ C ．58°20′ D ．62°20′7．已知AB =6，下面四个选项中能确定．．．点C 是线段AB 中点的是 A ．AC +BC =6 B ．AC =BC =3 C ．BC =3 D ．AB =2AC8．若2x =时42+x mx n -的值为6，则当2x =-时42+x mx n -的值为 A ．-6B ．0C ．6D ．269．从图1的正方体上截去一个三棱锥，得到一个几何体，如图2．从正面看图2的几何体，得到的平面图形是A B C D10．数轴上点A ,M ,B 分别表示数a ,+a b ,b ,那么下列运算结果一定是正数的是A ．a b +B ．a b -C ．abD ．a b-二、填空题（本大题共16分，每小题2分）11．比较大小：－3 －2.1（填“＞”，“＜”或“＝”）． 12．右图中A ，B 两点之间的距离是厘米（精确到厘米），点B在点A 的南偏西 °（精确到度）．13．下图是一位同学数学笔记可见的一部分．若要补充文中这个不完整的代数式，你补充的内容是：．14．如图所示，长方形纸片上画有两个完全相同的灰色长方形，那么剩余白色长方形的周长为（用含a ，b 的式子表示）．15．如图，点O 在直线AB 上，射线OD 平分∠COA ，∠DOF =∠AOE =90°，图中与∠1相等的角有（请写出所有答案）．AM B北西南东BA图1图2从正面看ba16．传统文化与创意营销的结合使已有近600年历史的故宫博物院重新焕发出生机，一些文创产品让顾客爱不释手．某购物网站上销售故宫文创笔记本和珐琅书签，若文创笔记本的销量比珐琅书签销量的2倍少700件，二者销量之和为5900件，用x 表示珐琅书签的销量，则可列出一元一次方程______________________________．17．已知点O 为数轴的原点，点 A ，B 在数轴上，若AO =10，AB =8，且点A 表示的数比点B 表示的数小，则点B表示的数是______________________________．18．如图，这是一个数据转换器的示意图，三个滚珠可以在槽内左右滚动．输入x 的值，当滚珠发生撞击，就输出相撞滚珠．．．．上代数式所表示数的和．y ．已知当三个滚珠同时相撞时，不论输入x 的值为多大，输出y 的值总不变．（1）a = ；（2）若输入一个整数x ，某些．．滚珠相撞，输出y 值恰好为-1，则x = ．三、解答题（本大题共24分，第19，20题每题8分，第21~22每题4分） 19．计算：（1）()2533-÷-；（2）118(11)24-⨯+-．20．解方程：（1）5812x x +=-；（2）12323x x+-=．21．22a b -=-已知，求代数式223(24)2(32)ab a b ab a b -+--+的值．E1FDC22．如图，点C 在∠AOB 的边OA 上，选择合适的画图工具按要求画图．（1）反向延长射线OB ，得到射线OD ，画∠AOD 的角平分线OE ；（2）在射线OD 上取一点F ，使得OF=OC ；（3）在射线OE 上作一点P ，使得CP ＋FP 最小；（4）写出你完成（3）的作图依据：．四、解答题（本大题共11分，23题6分，24题5分）23．如图1，已知点C 在线段AB 上，点M 为AB 的中点，AC =8，CB =2．（1）求CM 的长；（2）如图2，点D 在线段AB 上，若AC =BD ，判断．．点M 是否为线段CD 的中点，并说明．．理由．图1 图224．洛书（如图），古称龟书，现已入选国家级非物质文化遗产名录．洛书是术数中乘法的起源，“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中宫”是对洛书形象的描述，洛书对应的九宫格（如图）填有1到9这九个正整数，满足任一行、列、对角线上三个数之和相等．洛书的填法古人是怎么找到的呢？在学习了方程相关知识后，小凯尝试探究其中的奥秘．【第一步】设任一行、列、对角线上三个数之和为S ，则每一行三个数的和均为S ，而这9个数的和恰好为1到9这9个正整数之和，由此可得S = ；A Cx【第二步】再设中间数为x ，利用包含中间数x 的行、列、对角线上的数与9个数的关系可列出方程，求解中间数x ．请你根据上述探究，列方程求出中间数x 的值．五、解答题（本大题共19分，25~26每题6分，27题7分） 25．已知0k ≠，将关于x 的方程0kx b +=记作方程◇．（1）当2k =，4b -=时，方程◇的解为；（2）若方程◇的解为3x =-，写出一组满足条件的k ，b 值：k = ，b = ；（3）若方程◇的解为4x =，求关于y 的方程()320k y b +=-的解．26．如图，已知点O 在直线AB 上，作射线OC ，点D 在平面内，∠BOD 与∠AOC 互余．（1）若∠AOC :∠BOD =4:5，则∠BOD = ；（2）若∠AOC =α(0°<α≤45°)，ON 平分∠COD ．①当点D 在∠BOC 内，补全图形，直接写出∠AON 的值（用含α的式子表示）； ②若∠AON 与∠COD 互补，求出α的值．备用图27．数学是一门充满思维乐趣的学科，现有33⨯的数阵A ，数阵每个位置所对应的数都是1，2或3．定义a ∗b 为数阵中第a 行第b 列的数．例如，数阵A 第3行第2列所对应的数是3，所以3∗2=3．（1）对于数阵A ，2∗3的值为；若2∗3=2∗x ，则x 的值为；（2）若一个33⨯的数阵对任意的a ，b ，c 均满足以下条件：条件一：a ∗a =a ；条件二：()a b c a c **=*；则称此数阵是“有趣的”．①请判断数阵A 是否是“有趣的”．你的结论：_______（填“是”或“否”）； ②已知一个“有趣的”数阵满足1∗2=2，试计算2∗1的值；③是否存在“有趣的”数阵，对任意的a ，b 满足交换律a ∗b =b ∗a ？若存在，请写出一个满足条件的数阵；若不存在，请说明理由．CB OCB O。

2017北京中考复习-数学热点专题突破专题五新定义问题探究

专题五新定义问题探究本专题是新定义问题的探究，主要针对2015年、2016年北京市中考数学第29题，是对学生自主学习能力的考查.学生通过现场阅读学习，理解题中给出的新定义，通过简单特例进一步认识新定义所说的内容，重点是利用刚刚自主学习的新定义知识解决数学问题.此类问题在历次的考试中，学生感觉难度比较大.难度大的原因大多是①阅读理解存在问题，不能理解新定义所讲述的内容；②对新定义掌握不透彻，运用新定义存在问题.针对这类问题我们给出解题的策略：认真阅读，理解定义；根据题意画图，全面掌握定义；细作问题(1)、(2)，注意归纳结论；画图辅助拓展，关注临界各点.典例诠释例1 (2016·北京)在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为，点Q的坐标为，且，，若P,Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”.图2-5-1为点P,Q的“相关矩形”的示意图.(1)已知点A的坐标为(1,0)，①若点B的坐标为(3,1)，求点A,B的“相关矩形”的面积；②点C在直线x=3上，若点A,C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；(2)⊙O的半径为，点M的坐标为.若在⊙O上存在一点N，使得点M,N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围.图2-5-1【解】(1)①S＝2×1＝2；②C的坐标可以为(3，2)或者(3，－2)，设AC的表达式为y=kx+b，将A,C两点的坐标分别代入AC的表达式得到或解得或则直线AC的表达式为y=x－1或y=－x+1.(2)若⊙O上存在点N,使MN的相关矩形为正方形，则直线MN的斜率k=±1(正方形对角线)，即过M点作k=±1的直线,与⊙O有交点，即存在N，当k=－1时，极限位置是直线与⊙O相切，如图2-5-2,与，直线与⊙O切于点N，ON=,∠ONM=90°,∴与y轴交于(0,－2),设点的坐标为,∴,∴=－5,(－5,3),同理可得(－1,3)；当k=1时，则极限位置是,(与⊙O相切)，可得(1,3),(5,3).因此m的取值范围为－5≤m≤－1或1≤m≤5.图2-5-2【名师点评】本题在自主学习的基础上，阅读理解新定义“相关矩形”，弄清楚什么叫“相关矩形”.理解关于P，Q两点的“相关矩形”对于P，Q两点的位置的要求，同时清楚“相关矩形”的边与坐标轴之间的特殊关系.这类问题的“入口宽”，问题(1)是对新定义的初步理解，并利用新定义解决简单、特殊的问题.本题(1)中给出A的坐标(1,0)，在①中给出B 点坐标(3,1).由定义知道关于A，B两点的“相关矩形”中，A，B是对角顶点，且矩形的长和宽分别与y，x坐标轴垂直，因此易得关于A，B相关矩形的面积为S=2×1=2;②将①深化，点C在直线x=3上，且关于A，C的“相关矩形”是正方形.因此我们可以得出点C 的坐标为(3,2)或(3，－2)，设直线AC的表达式为y=kx+b,将A，C两点的坐标分别代入AC的表达式，可以求出相关k，b的值，从而得到表达式y=x－1或y=－x+1.(2)中给出M点坐标为(m，3)，知道点M在直线y=3上，由②可以推知，直线MN的k值为1或者－1,即点M，N在直线y=x+b或y=－x+b上.因为点N在半径为的⊙O上，由直线和圆的位置关系可以求出1≤m≤5或－5≤m≤－1.例2 (2015·西城一模)给出如下规定：两个图形和，点P为上任一点，点Q为上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形和之间的距离.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点.(1)点A的坐标为A(1,0)，则点B(2,3)和射线OA之间的距离为，点C(－2,3)和射线OA之间的距离为.(2)如果直线y=x和双曲线y=之间的距离为，那么k= .(可在图2-5-3(1)中进行研究)(3)点E的坐标为(1,)，将射线OE绕原点O逆时针旋转60°，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M.①请在图2-5-3(2)中画出图形M，并描述图形M的组成部分；(若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示)②将射线OE，OF组成的图形记为图形W，抛物线－2与图形M的公共部分记为图形N，请直接写出图形W和图形N之间的距离.(1) (2)图2-5-3【解】(1)3，. (2)－1.(3)①如图2-5-4，过点O分别作射线OE，OF的垂线OG，OH，则图形M为：y轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点(图中的阴影部分).图2-5-4说明：图形M也可描述为：y轴正半轴，直线y=x下方与直线y=－x下方重叠的部分(含边界)②.【名师点评】我们初中阶段学习过三个距离：两点之间的距离；点到直线之间的距离；两条平行线之间的距离.西城一模这道题又定义了一个新的距离：两个图形之间的距离.它指的是这两个图形中存在的两点之间线段长度的最小值.本题入口宽，(1)知道A(1,0)，则射线OA是指x轴的正半轴，点B(2,3)在第一象限，和射线OA之间的距离就是由B 向x轴的正半轴作垂线，垂线段的长就是B点到射线OA之间的距离，距离为3.点C(－2,3)在第二象限，它和射线OA之间的距离为点C和点O之间的距离，由勾股定理得OC=，所以点C和射线OA之间的距离为.由此可以归纳出点到射线两个图形之间的距离分两种情况：①过点向射线作垂线，当垂足在射线上时，点到射线的距离就是垂线段的长；②当垂足不在射线上时，点到射线的距离就是已知点与射线端点之间线段的长.(2)知道直线y=x和双曲线y=之间的距离为，因此可以判断反比例函数图象在第二、四象限，因为它们之间的距离是，即两个图象上两点之间的最短距离是.因此，反比例函数经过(－1,1)或者(1，－1).∴k=－1.(3)由题中的条件可知，OE，OF与y轴正半轴的夹角都是30°，即y轴正半轴是∠EOF 的平分线，因此y轴正半轴是图形M的一部分.过点O分别作OE，OF的垂线OG，OH，射线OG，OH上和这两射线之间的点，到图形OE和OF的距离都是这些点到端点O的线段的长.因此，图形M为如图2-5-5所示.图2-5-5 图2-5-6②如图2-5-6，画出图形W、N，观察发现图形W、N之间的距离为OA或者OB的长.所以图形W、N之间的距离为.真题演练1.(2015·北京)在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于O的反称点的定义如下：若在射线．．CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，图2-5-7为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图.图2-5-7(1)当⊙O的半径为1时.①分别判断点M(2,1)，N，T(1,)关于⊙O的反称点是否存在，若存在?求其坐标；②P在直线y=－x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P 的横坐标的取值范围.(2)当⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=－x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围.【解】(1)①点M(2，1)关于⊙O的反称点不存在.点N关于⊙O的反称点存在，反称点为N′；点T(1，)关于⊙O的反称点存在，反称点为T′(0，0).②∵OP≤2r=2，≤4，设P(x，－x+2)，＝＝－4x+4≤4，∴－4x≤0，x(x－2)≤0，∴0≤x≤2.当x=2时，P(2，0)，P′(0，0)不符合题意，当x=0时，P(0,2)，P′(0，0)不符合题意，∴0<x<2.(2)【解】∵直线y=－x+2与x轴，y轴分别交于点A,B，∴A(6，0)，B(0，2)，∴＝，∴∠OBA=60°,∴∠OAB=30°，设C(x,0)，①当C在OA上时，作CH⊥AB于点H,如图2-5-8,则CH≤CP≤2r=2，∴AC≤4，C点横坐标x≥2.(当x=2时，C点坐标(2，0)，H点的反称点H′(2，0)在圆的内部)图2-5-8 图2-5-9②当C在A点右侧时,如图2-5-9，C到线段AB的距离为AC长,AC的最大值为2，∴C 点横坐标x≤8.综上所述，圆心C的横坐标的取值范围是2≤x≤8.2.(2016·海淀一模)在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的限距点的定义如下：若P′为直线PC与⊙C的一个交点，满足r≤PP′≤2r，则.称P′为点P关于⊙C的限距点，图2-5-10为点P及其关于⊙C的限距点P′的示意图(1)当⊙O的半径为1时.①分别判断点M(3,4)，N，T (1,)关于⊙O的限距点是否存在？若存在，求其坐标；②点D的坐标为(2,0)，DE，DF分别切⊙O于点E，点F，点P在△DEF的边上.若点P 关于⊙O的限距点P′存在，求点P′的横坐标的取值范围；(2)保持(1)中D，E，F三点不变，点P在△DEF的边上沿E→F→D→E的方向运动，⊙C的圆心C的坐标为(1,0)，半径为r，请从下面两个问题中任选一个作答.温馨提示：答对问题1得2分，答对问题2得1分，两题均答不重复计分.【解】(1)①点M，点T关于⊙O的限距点不存在；点N关于⊙O的限距点存在，坐标为(1，0).②∵点D的坐标为(2，0)，⊙O半径为1，DE，DF分别切⊙O于点E，点F，∴切点坐标为，.如图2-5-11所示，不妨设点E的坐标为，点F的坐标为，EO，FO的延长线分别交⊙O于点E'，F′，则E′，F′.图2-5-11设点P关于⊙O的限距点的横坐标为x．a.当点P在线段EF上时，直线PO与⊙O的交点P′满足1≤PP′≤2，故点P关于⊙O的限距点存在，其横坐标x满足－1≤x≤－.b.当点P在线段DE，DF(不包括端点)上时，直线PO与⊙O的交点P′满足0<PP′<1或2<PP′<3，故点P关于⊙O的限距点不存在．c.当点P与点D重合时，直线PO与⊙O的交点P′(1,0)满足PP′=1，故点P关于⊙O的限距点存在，其横坐标x=1．综上所述，点P关于⊙O的限距点的横坐标x的范围为－1≤x≤－或x=1．(2)问题1：.问题2：0<r<.3.(2014·长沙)在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点(－1，－1)，(0，0)，(，)，…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个.(1)若点P(2，m)是反比例函数y=(n为常数，n≠0)的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；(2)函数y=3kx+s－1(k，s是常数)的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，请说明理由；(3)若二次函数+bx+1(a，b是常数，a＞0)的图象上存在两个不同的“梦之点”A，且满足－2＜＜2，=2，令－2b+，试求t的取值范围.【解】(1)由题意n=2m，m=2，∴n=4，∴这个反比例函数的解析式为y=.(2)在y=3kx+s－1中，当y=x时，(1－3k)x=s－1.当k=且s=1时，x有无数个解，此时的“梦之点”存在，有无数个；当k=且s≠1时，方程无解，此时的“梦之点”不存在；当k≠且s=1时，此时存在“梦之点”坐标为(0，0)；当k≠且s≠1时，方程的解为x=，此时的“梦之点”存在，坐标为(，). (3)由得+(b－1)x+1=0，则，为此方程的两个不等实根，由=2，∵－2＜＜2，得－2＜＜0时，－4＜＜－2或0＜＜2；当＜2时，＜0或＜4.∵抛物线+(b－1)x+1的对称轴为x=，故－3＜＜3①.由=2，∵====∴=2，整理，得+4a②，由①②整理，得a＞；－2b+++4a+=4，当a＞－时，t随a的增大而增大，当a=时，t=，∴当a＞时，t＞.4.(2016·昌平二模)已知四边形ABCD，顶点A，B的坐标分别为(m，0)，(n，0)，当顶点C落在反比例函数的图象上，我们称这样的四边形为“轴曲四边形ABCD”，顶点C称为“轴曲顶点”.小明对此问题非常感兴趣，对反比例函数y=进行了相关探究.(1)若轴曲四边形ABCD为正方形，小明发现不论m取何值，符合上述条件的轴曲正方形只有．．两个，且一个正方形的顶点C在第一象限，另一个正方形的顶点在第三象限.①如图2-5-12所示，点A的坐标为(1，0)，图中已画出符合条件的一个轴曲正方形ABCD，易知轴曲顶点C的坐标为(2，1)，请你画出另一个轴曲正方形，并写出轴曲顶点的坐标为.②小明通过改变点A的坐标，对直线的解析式y=kx＋b进行了探究，可得k= ，b(用含m的式子表示)= .(2)若轴曲四边形ABCD为矩形，且两邻边的比为1∶2，点A的坐标为(2，0)，求出轴曲顶点C的坐标.图2-5-12 图2-5-13【解】(1)①如图2-5-13所示.点的坐标(－1,－2).②k=1,b=－m.(2)①当AB=2BC时，∵点A的坐标为(2，0)，∴点C的坐标为(n,)或.∴n×=2或n×=2.解得n=1±或无实根.∴点C的坐标为或(1－,).②当BC=2AB时，点C的坐标为(n,2n－4)或(n,4－2n).∴n(2n－4)=2或n(4－2n)=2.解得n=1±或n=1.∴点C的坐标为(1+,2－2)或(1－,－2－2)或(1,2)，综上所述，点C的坐标为或或(1+,2－2)或(1－,－2－2)或(1,2).5.(2016·海淀二模)对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值.在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度.特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零.例如，图2-5-14中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q等于1.(1)分别判断函数y=x－1，y=，有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度.(2)函数－bx.①若其不变长度为零，求b的值；②若1≤b≤3，求其不变长度q的取值范围.图2-5-14【解】(1)函数y=x－1没有不变值；函数y=有－1和1两个不变值，其不变长度为2；函数有0和1两个不变值，其不变长度为1.(2)①∵函数－bx的不变长度为零，∴方程－bx=x有两个相等的实数根.∴b=－1.②解方程－bx=x，得=0，=.∵1≤b≤3，∴≤2,∴函数的不变长度q的取值范围为1≤q≤2.。

初一上册数学期末知识点

初一上册数学期末知识点人教版初一上册数学期末知识点汇总在年少学习的日子里，大家都背过不少知识点，肯定对知识点非常熟悉吧！知识点在教育实践中，是指对某一个知识的泛称。

哪些知识点能够真正帮助到我们呢？下面是店铺整理的人教版初一上册数学期末知识点汇总，仅供参考，希望能够帮助到大家。

初一上册数学期末知识点篇1一.线段、射线、直线1.正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别：名称图形表示方法端点长度直线直线AB(或BA)直线l无端点无法度量射线射线OM1个无法度量线段线段AB(或BA)线段l2个可度量长度2.直线公理:经过两点有且只有一条直线。

二.比较线段的长短1.线段公理:两点间线段最短；两之间线段的长度叫做这两点之间的距离。

2.比较线段长短的两种方法:①圆规截取比较法；②刻度尺度量比较法。

3.用刻度尺可以画出线段的中点,线段的和、差、倍、分；用圆规可以画出线段的和、差、倍。

三.角的度量与表示1.角:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；这个公共端点叫做角的顶点；这两条射线叫做角的边2.角的表示法：角的符号为“∠”初一上册数学期末知识点篇2①求n个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫幂。

在a 的n次方中，a叫做底数，n叫做指数。

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数(负奇负，负偶正)。

正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0。

②偶次方等于一个正数的值有两个(两个互为相反数)如：a2=4，a=2或a=-2注意：|a|+b2=0 得：a=0 且 b=0强记：a0=1(a≠0)；(-1)2=1 ；-12=-1；(-1)3=-1；-13=-1； (-2)2 =4；-22=-4；(-2)3 =-8；-23=-8③有理数的混合运算法则：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

注意：12-4×5=12-20(不能把-变+)④把一个大于10的数表示成a×10的n次方的形式，使用的就是科学计数法，注意a的范围为1≤a n比原整数位减1。

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