立体几何中的数学文化——“鳖臑”与“阳马”

立体几何中的数学文化

——“鳖臑”与“阳马”

一个是底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的名字叫“阳马”，另一个四个面都为直角三角形的四面体叫“鳖臑”。这两个名称还曾经出现在高考卷上，下面这道例题就是2015年湖北高考题改编的。

原题是这样的：《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．

如图，在阳马中，侧棱底面，且

，过棱的中点，作交于点，连

接

(I)证明：PB ⊥平面DEF ．试判断四面体DBEF 是否为鳖

臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，

说明理由；

(II)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为，求的值． 大家可以看出，我们例题的（1）（2）两个小题就改编自这题，只是没有用它的名称，实际上，“阳马”和“鳖臑”怎么来的，《九章算术》里是这样描述的：

《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵。斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。”

阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵.

再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马.余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑.

我们可以看出来，“阳马”和“鳖臑”是截长方体所得，那么如果有需要也可以补形回去。而且“阳马”和“鳖臑”的最长的棱就是对应长方体的体对角线。

ABCD P -PD ⊥ABCD PD CD =PC E EF PB ⊥PB F ,,,.DE DF BD BE π3DC

BC D F P E

C B

A

关于“鳖臑”这个几何体，浙江省也考过一个相关的题目，不过没有提出这个名称：（2008•浙江14）如图，已知球O的面上四点A，B，C，D，DA⊥平面

ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=3，则球O的体积为.

要是了解鳖臑的由来，这道题就迎刃而解了，此球就是补回的长方体

的外接球，半径就是体对角线的一半，体积也就可以求解了。