第一章(集合、数列)

要求 S ( x ) 1.
例1：求y arcsin 2 x的定义域和值域。
解： 0 2 x 1 函数的定义域为: 1 x 2, 函数的值域为: 0 y . 2
例2：求y cot x arccos2 x 的定义域。
解： x k
x k , k 0,1,2, x x0 2 1
解
1, 0 x 1 f ( x) 2, 1 x 2
1, 0 x 3 1 f ( x 3) 2, 1 x 3 2
1, 3 x 2 2, 2 x 1
故 X [3,1].
( 2)描述法 : 用元素具有的特征表示 集合的方法，
7、集合的关系与运算
(1) A是B的子集 : x A x B，记作A B。
B
A
A是B的真子集 : A B，且A B。
规定：空集为任何集合的子集。
(2) A与B相等 : A B且B A。
(3)交集：A B x | x A且x B ，简记为AB。
2
X (1,1), f ( X ) [1,).
函数本身确定定义域的有四种类型：
1 (1)分式 P( x)
要求P ( x ) 0;
(2)根式 Q( x ) 要求Q( x ) 0;
(3)对数函数log a R( x )
要求R( x ) 0;
(4)反正弦函数arcsin S ( x )、反余弦函数arccos S ( x )
y min{f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
o
xБайду номын сангаас
o
x
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同 的式子来表示的函数，称为分段函数。
例如, 2 x 1, x 0 f ( x) 2 x 1, x 0
y x2 1
y 2x 1
1, 0 x 1 例5：设f ( x ) , 求函数 f ( x 3)的定义域. 2, 1 x 2
例1、设a, b R, 证明：若对于 0有a b ，则a b.
证：用反证法。
若结论不成立，则由实 数的有序性，有a b.
令 a b, 则为正数且a b 。
但这与假设a b 矛盾。
因此结论成立。
三、绝对值与不等式 1、绝对值
a, a 0 , | a | a , a 0
x应取在a x 1 a,而a 1 a, 1 则：若a , 定义域为空集； 2 1 若a ，定义域为 a ,1 a ], [ 2 (2)0 ln x 1 定义域为 x e。 1
例4：求函数y log ( x 1) (16 x 2 )的定义域.
则S必有上确界；若 有下界，则 必有下确界。 S S
§1.2. 映射与函数
一、映射
若两个集合X , Y间的一种对应关系 满足： f
对x X，总唯一的y Y , s.t . x与y按某种 规则相对应， 则称这种对应关系 为从X到Y f 的映射，记为f : X Y。
二、函数 1、定义
sup S。
定义：设S是R中的一个数集，若数满足： (1)x S，有x ，即是S的上界； ( 2) ，x0 S，s .t . x0 ，即 是S的最大下界， 则称数是数集S的下确界，记作
inf S。
定理(确界原理)：设S为非空数集，若 有上界， S
(2)结合律
( A B ) C A ( B C )； ( A B ) C A ( B C )。
( A B ) C ( A C ) ( B C )； ( A B ) C ( A C ) ( B C )。
( A B )C AC B C ； ( A B )C AC B C .
y 1 o -1 x
x sgn x x
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数 y 4 3 2 1 o
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4
阶梯曲线
(3) 取最值函数
y max{f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
(2)有序性 : a, b R，总有a b, a b, a b；
(3)传递性 : 若a b, b c，则有a c；
(4)阿基米德性 : a , b R，若b a 0，则正整数n， s.t .na b；
(5)稠密性 : 两个不相等的实数之间 必有另一个实数， 且既有有理数，也有无 理数。
定义：设S为R中的一个数集。若数M ( L)，s.t . 对一切x S，都有x M ( x L)，则称S为有上界 (下界)的数集，数M ( L)称为S的一个上界(下界)。
若数集S既有上界又有下界，则 S为有界集。 称
若S不是有界集，则称S为无界集。
定义：设S是R中的一个数集，若数满足： (1)x S，有x ，即是S的上界； ( 2) ，x0 S，s .t . x0 ，即是S的最小上界， 则称数是数集S的上确界，记作
a
a
x
点a的去心的邻域, 记作U 0 (a, ).
U 0 (a, ) { x 0 x a }.
a的右邻域U (a, ) { x | 0 x a };
a的左邻域U (a, ) { x | x a 0}.
3、有界集确界原理
四、实数集合中的子集
1、区间 区间：是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个 实数叫做区间的端点.
(1)开区间 (a, b) x | a x b;
(2)闭区间 [a, b] { x | a x b};
(3)半开半闭区间 (a, b] x | a x b;
y f [ g( x )]为x的复合函数。
y f ( x)
因变量 函数关系 自变量
函数的两要素: 定义域与对应法则.
(
x
X
对应法则f
x0 )
f ( x0 )
自变量
(
f (X )
y
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使函数式有意 义的一切实数值.
例如， y 1 x 2 X [1,1], f ( X ) [0,1].
y 1 1 x
注：数a的绝对值| a | 就是点a到原点的距离。
2、绝对值的性质
(1) | a || a | 0；当且仅当a 0时，有| a | 0.
( 2) | a | a | a | . ( 3) | a | h h a h.( h 0)
(4)a, b R有 | a | | b || a b || a | | b |; a a (5) | ab || a | | b | . (6) (b 0). b b
给定两个实数集 , Y，若有对应法则 满足对x X， X f 总唯一的y Y , s .t . x与y相对应，则称 是定义在实数 f 集X上的函数，记作 : X Y， f
实数集X为函数f的定义域，记为D f 。 集合f ( X ) y | y f ( x ), x X ( Y )称为值域，记作R f .
4、函数的四则运算
给定函数f ( x )和g( x ),定义域分别为X1和X 2 , X X 1 X 2 ,
则f ( x)与g( x)在X上的和、差、积运算如 下：
F ( x ) f ( x ) g( x ), x X ; G ( x ) f ( x ) g( x ), x X ; H ( x ) f ( x ) g( x ), x X .
(3)分配律
(4)对偶律
二、实数集合的概念与性质
1、定义(结构图)
正有理数 有理数0 负有理数 实数 无理数正无理数 负无理数
注：每一个实数在数轴上都有一个点与之对应。 每一个数轴上的点也都对应着一个实数。因此 常称数轴为实数轴。
2、性质
(1)对加、减、乘、除四则 运算封闭；
第一章 函数及其图形
§1.1. 集合 §1.2. 映射与函数
§1.1. 集合
一、集合的概念与运算
物的全体，用大写字母 1、集合 具有某个共同属性的事 A, B, C ,表示。
2、元素 组成集合的各个事物， — 用小写字母a, b, c,表示。
3、集合与元素的关系
(1)a属于A : a是集合A的元素，记作a A; (2)a不属于A : a不是集合A的元素，记作a A。
(6)实数集 (,) x | x .
2、邻域
设a与是两个实数 , 且 0。数集{ x x a }称为点a 的邻域 , 点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
U (a, ) { x a x a }.


a
解 16 x 2 0,
x 1 0, x 1 1,
x 4 x 1 x 2
1 x 2及2 x 4,
即定义域为 1,2) (2,4). (
2、函数表示法 解析法(公式法)，表格法，图示法 3、几个特殊函数 (1) 符号函数
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
得定义域为x 0且x 1,2,
例3：设f ( x )的定义域为 0,1]，求 [ (1) f ( x a ) f ( x a )(a 0)的定义域; ( 2) f (ln x )的定义域。