2.2方差与标准差
方差和标准差的计算
标准差是衡量 数据离散程度 的指标，用于 反映数据的波
动大小。
标准差越大， 数据波动越大； 标准差越小， 数据越趋近于
平均值。
标准差的性质
描述数据离散程度
无单位，与平均值无关
与方差成正比
计算公式为：标准差 = sqrt((1/N) * Σ(xi-μ)^2)
标准差பைடு நூலகம்应用场景
金融领域：评估投资组合的风险 统计学：比较不同数据集的离散程度 质量控制：识别生产过程中的异常值 社会科学：研究不同群体的收入或教育水平的差异
方差和标准差的区别与联系
方差和标准差的区别
方差是数据与平均值之差的平方的平均值，用于衡量数据的离散程度。
标准差是方差的平方根，与方差具有相同的量纲，也可以用于衡量 数据的离散程度。 标准差在数学处理上更加方便，很多统计公式和定理都以标准差的形 式出现。
方差和标准差的区别在于它们的计算方法和量纲不同。
方差和标准差可用于检验数据是 否符合某种分布
方差和标准差在金融领域的应用
风险评估：用于衡量投资组合的风险水平 资产配置：确定不同资产类别的权重，以实现风险和收益的平衡 业绩评估：比较不同投资策略或基金经理的表现，以选择更优的投资方案 资本充足率：评估银行的资本充足情况，确保其具备足够的抵御风险能力
方差的优缺点
优点：可以衡量一组数据的 离散程度，是描述数据稳定 性和可靠性的重要指标。
缺点：对于数据中的异常值 敏感，异常值对方差的影响 较大，可能导致结果失真。
标准差的优缺点
优点：可以衡量一组数据的 离散程度，常用于评估数据 的稳定性。
缺点：对极端值的影响较为 敏感，可能导致评估结果失
真。
如何选择使用方差或标准差
标准差与方差的区别
标准差与方差的区别标准差和方差是统计学中常用的两个概念，它们都是用来衡量数据的离散程度的。
虽然它们都是用来描述数据的分散程度，但是它们之间存在一些区别。
本文将从定义、计算方法、意义等方面对标准差和方差进行比较，帮助读者更好地理解它们之间的区别。
首先，我们来看一下标准差和方差的定义。
方差是指每个数据与平均值之差的平方的平均值，它衡量的是数据与平均值之间的离散程度。
而标准差则是方差的平方根，它的计量单位与原始数据的计量单位相同，因此更容易理解数据的离散程度。
其次，我们来比较一下它们的计算方法。
计算方差的步骤是，首先计算每个数据与平均值的差，然后将这些差的平方求和，最后再除以数据的个数。
而计算标准差则是在计算出方差的基础上，再对方差进行平方根运算。
可以看出，计算标准差需要多一步对方差的平方根运算，相对来说稍微复杂一些。
接着，我们来谈一下它们的意义。
方差和标准差都是用来衡量数据的离散程度的，但是由于标准差的计量单位与原始数据的计量单位相同，因此在实际应用中更为常见。
例如，在财务领域中，标准差常用来衡量资产收益的波动程度，而在生物学中，标准差常用来衡量样本数据的离散程度。
最后，我们需要注意的是，在实际应用中，我们应该根据具体的情况选择使用方差还是标准差。
如果我们只是想衡量数据的离散程度，那么使用方差就可以满足需求。
但是如果我们需要将离散程度与原始数据的计量单位联系起来，那么就应该使用标准差。
总的来说，标准差和方差都是用来衡量数据的离散程度的重要指标。
它们之间的区别在于计算方法和意义的不同，我们在实际应用中需要根据具体的情况选择使用哪一个指标。
希望本文能够帮助读者更好地理解标准差和方差之间的区别，从而更好地应用于实际工作中。
上课第二课时222方差与标准差
B．平均数
C．中位数
D．标准差
【解析】对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变 样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变
走进高考
3.(2012广东)由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4， 其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为1_,_1_,_3_,3_
(从小到大排列)
8，8，9，10，所以平均数为
x 8 8 9 10 35 ;
4
4
方差为s2 1 [(8 35)2 (9 35)2 (10 35)2 ] 11
44
4
4 16
【解析】(1)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10.
所以平均数为
x = 8 8= 49 ; 10
21172
21152
21 242
7
21 222
21
232
21 32 2
236 7
S乙2
21122
21132
7
... 21302
466 7
S甲 2 S乙 2 ,从而甲运动员的成绩更稳定
解题
1．平均数和方差都是重要的数字特征，是对总体一种简明的阐 述，平均数反映了数据的中心，是平均水平，而方差和标准差 反映的是数据的稳定程度．进行均值与方差的计算，关键是正 确运用公式． 2．平均数与方差所反映的情况有着重要的实际意义，一般可以 通过比较甲、乙两组样本数据的平均数和方差的差异，对甲、 乙两品种可以做出评价或选择
个,它们是:
考纲解读 典例精析
命题预测 技巧归纳
知识盘点 真题探究
九年级数学 2.2方差与标准差
3 (1)某样本的方差是9，则标准差是______
(2)一个样本的方差是
1 S [( x1 8)2 ( x2 8)2 ( x100 8)2 ] 100
2
8 100 ，平均数是____ 则这个样本中的数据个数是____
(3) 人数相同的九年级甲、乙两班学生在同一次
初中数学九年级上册 （苏科版）
2.2方差和标准差
扬中市梅岭中学
A厂： 40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，(单位：mm) 39.8，40.0，39.9，40.0，40.1； B厂： 39.8，40.2，39.8，40.2，39.9， 40.1，39.8，40.2，39.8，40.2。
已知三组数据1、2、3、4、5；11、12、13、14、15
和3、6、9、12、15。 1、求这三组数据的平均数、方差和标准差。
平均数 1、2、3、4、5 11、12、13、14、15 3、6、9、12、15 方差 标准差
3 13 9
2 2 18
√2 √2 3√2
2、对照以上结果，你能从中发现哪些有趣的结论？ 想看一看下面的问题吗？
0
0.1 0.2 -0.2
0.1
Байду номын сангаасx1
数据
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
B厂
39.8 40.2 39.8 40.2 39.9 40.1 39.8 40.2 39.8 40.2
与平 均数 的差
-0.2 0.2 -0.2 0.2 -0.1 0.1 -0.2 0.2
-0.2 0.2
在一组数据中x1,x2…xn，个数据与它们的平均数分别 是 (x1－x)2, (x2－x)2 …, (xn－x)2 ，
2.2《方差与标准差》教 案 设 计
今天我们一起来探索这个问题。
学生思考计算
从学生熟悉的生活入手，提出问题，引导学生进入新知识的学习，创造一种探索的情境。
通过动手操作观察能更好地促进学生对数学知识的进一步理解。
2
分
钟
数学活动
通过计算发现极差只能反映一组数据中两个极值之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不敏感。让我们一起来做下列的数学活动：
1画一画
2填一填A厂
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
数据
与平均值差
B厂
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
数据
与平均值差
3算一算
把所有差相加，把所有差取绝对值相加，把这些差的平方相加。
4想一想
你认为哪种方法更能明显反映数据的波动情况？
学生动笔
学生每两组展开活动。
10
分
钟
师生交流
揭示新知
（3）为什么要除以数据个数n？（是为了消除数据个数的影响）．
5．初步运用
在学生理解了方差概念之后，再回到了引例中，通过计算机床甲、乙两组数据的方差，再根据理论说明哪个机床做得更好？
Ｐ４６
（二）标准差
1．问题：
方差的单位与愿数据的单位相同吗？应该如何办？
2．引出新知----标准差概念
在有些情况下，需要用到方差的算术平方根，即
感知
方差
解决学
生疑问
感知
方差
20
分
钟
实际应用
巩固新知
标准差和方差公式
标准差和方差公式
标准差公式：σ = 根号(Σ(x－x)² / N)
方差公式：σ²= Σ(x－x)² / N
其中σ为标准差，Σ(x-x)²表示所有样本值与平均值之差的平方和，N表示样本数量。
以上两个公式都是求涉及到多个值时，它们之间的离散程度或波动性程度的指标。
标准差表示一组数据的离散程度，是描述数据分布情况的指标，它通过计算所有样本值与其平均值之差的绝对值的平方值的平均数，在此基础上求出根号，得出的就是标准差。
它体现了一组数据的平均偏差程度。
而方差则是指一组数据的波动程度，也即各个值与其平均值之差的平方值的平均数，它可以反映一组数据的离散程度，也可以说它是用来衡量一组数据离散程度的度量。
综上所述，标准差和方差都是用来衡量一组数据之间的离散程度和波动情况的量化指标，它们的公式分别为：σ = 根号(Σ(x
－x)² / N) 和σ² = Σ(x－x)² / N，其中σ表示标准差，Σ(x-x)²表
示所有样本值与平均值之差的平方和，N表示样本数量。
标准差与方差的区别
标准差与方差的区别标准差和方差是统计学中常用的两个概念，它们都是用来衡量数据的离散程度的。
虽然它们都能够反映数据的波动程度，但是它们在计算方法和解释上有所不同。
在实际应用中，了解标准差和方差的区别对于正确理解数据的分布和波动具有重要意义。
首先，我们来看一下方差的定义和计算方法。
方差是一组数据与其平均值之间差异的平方和的平均值。
方差的计算公式为，方差= Σ(Xi μ)² / N，其中Xi代表每个数据点，μ代表数据的平均值，N代表数据的个数。
方差的计算过程中，首先计算每个数据点与平均值的差异，然后将差异的平方求和并除以数据个数，得到方差的值。
方差的计算过程中，将数据与平均值的差异进行了平方处理，这样做的好处是可以消除正负差异，使得数据的波动程度更加明显。
与方差相比，标准差是方差的平方根。
标准差的计算公式为，标准差= √(Σ(Xi μ)² / N)。
在实际应用中，标准差通常被用来衡量数据的波动程度。
标准差的计算方法与方差类似，只是最后需要对方差的值进行开方操作。
标准差的计算结果与原始数据的单位保持一致，这使得标准差更容易被理解和解释。
在解释数据的波动程度时，方差和标准差都可以发挥作用。
然而，由于方差是数据与平均值之间差异的平方和的平均值，因此它的数值通常会比较大。
而标准差是方差的平方根，因此它的数值通常会比较小。
在实际应用中，标准差更容易被理解和解释，因此在解释数据的波动程度时，标准差更为常用。
除了计算方法和解释上的区别，方差和标准差在实际应用中也有着不同的作用。
在统计学和财务领域，方差通常被用来衡量数据的波动程度，而标准差则更常用于风险评估和投资决策。
在自然科学和工程领域，标准差通常被用来衡量数据的稳定性和精度，而方差则更常用于数据分布的分析和模型的建立。
综上所述，标准差和方差在统计学中都是重要的概念，它们都能够反映数据的波动程度。
然而，它们在计算方法、解释和实际应用中都有所不同。
2、2、2、2标准差、方差学案
2、2、2、2标准差、方差教案讲义编写者：数学教师孟凡洲平均数为我们提供了样本数据的重要信息,但是,有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断.某地区的统计显示,该地区的中学生的平均身高为176 cm,给我们的印象是该地区的中学生生长发育好,身高较高.但是,假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话,那么,这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质.因此,只有平均数难以概括样本数据的实际状态.所以我们学习从另外的角度来考察样本数据的统计量——标准差.一、【学习目标】1、理解标准差、方差的真正含义；2、会用标准差、方差解决简单的题目.二、【自学内容和要求及自学过程】 阅读教材内容，回答问题（标准差、方差） <1>什么是样本平均值？<2>什么是样本标准差和方差？ 结论：<1>样本平均值：nx x x x n+++=21<2>样本标准差：nx x x x x x s s n 222212)()()(-++-+-==小知识帮您解决大问题1o 用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差.在随机抽样中，这种偏差是不可避免的.虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信息.2o ①如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变.②如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k ，标准差变为原来的k 倍.③一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间)3,3(s x s x +-的应用；“去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理.三、【综合练习与思考探索】例1 画出下列四组样本数据的条形图,说明它们的异同点.(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.结论：先画出数据的条形图,根据样本数据算出样本数据的平均数,利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差.四组样本数据的条形图如下：四组数据的平均数都是5.0,标准差分别是：0.00,0.82,1.49,2.83.它们有相同的平均数,但它们有不同的标准差,说明数据的分散程度是不一样的.例2甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm):甲25.46 25.32 25.45 25.39 25.3625.34 25.42 25.45 25.38 25.4225.39 25.43 25.39 25.40 25.4425.40 25.42 25.35 25.41 25.39乙25.40 25.43 25.44 25.48 25.4825.47 25.49 25.49 25.36 25.3425.33 25.43 25.43 25.32 25.4725.31 25.32 25.32 25.32 25.48从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高?结论：每一个工人生产的所有零件的内径尺寸组成一个总体.由于零件的生产标准已经给出(内径25.40 mm),生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量.总体的平均数与内径标准尺寸25.40 mm 的差异大时质量低,差异小时质量高;当总体的平均数与标准尺寸很接近时,总体的标准差小的时候质量高,标准差大的时候质量低.这样,比较两人的生产质量,只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可.但是,这两个总体的平均数与标准差都是不知道的,根据用样本估计总体的思想,我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据,然后比较这两个样本的平均数、标准差,以此作为两个总体之间差异的估计值.用计算器计算可得甲x ≈25.401，乙x ≈25.406;s 甲≈0.037,s 乙≈0.068.从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40 mm),但是差异很小;从样本标准差看,由于s 甲<s 乙,因此甲生产的零件内径比乙的稳定程度高得多.于是,可以作出判断,甲生产的零件的质量比乙的高一些.从上述例子我们可以看到,对一名工人生产的零件内径(总体)的质量判断,与所抽取的零件内径(样本数据)直接相关.显然,我们可以从这名工人生产的零件中获取许多样本.这样,尽管总体是同一个,但由于样本不同,相应的样本频率分布与平均数、标准差等都会发生改变,这就会影响到我们对总体情况的估计.如果样本的代表性差,那么对总体所作出的估计就会产生偏差;样本没有代表性时,对总体作出错误估计的可能性就非常大.这也正是我们在前面讲随机抽样时反复强调样本代表性的理由.在实际操作中,为了减少错误的发生,条件许可时,通常采取适当增加样本容量的方法.当然,关键还是要改进抽样方法,提高样本的代表性.例3、甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单2结论：甲品种的样本平均数为10,样本方差为［（9.8-10）2 +（9.9-10）2+（10.1-10）2+（10-10）2+（10.2-10）2］÷5=0.02.乙品种的样本平均数也为10,样本方差为［（9.4-10）2+（10.3-10）2+（10.8-10）2+（9.7-10）2+（9.8-10）2］÷5=0.24.因为0.24>0.02,所以,由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.练习题：①在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为____________.②若给定一组数据x1,x2,…,x n,方差为s2,则ax1,ax2,…,ax n的方差是____________.③在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试,测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：试判断选谁参加某项重大比赛更合适？④某养鱼专业户在一个养鱼池放入一批鱼苗,一年以后准备出售,为了在出售以前估计卖掉鱼后有多少收入,这个专业户已经了解到市场的销售价是每千克15元,请问,这个专业户还应该了解什么？怎样去了解？请你为他设计一个方案.⑤某课外活动小组对该市空气含尘调查，下面是一天每隔两小时测得的数据：0.03、0.03、0.04、0.05、0.01、0.03(单位3M G )（1）求出这组数据的众数和中位数？（2）若国标（国家环保局的标准）是平均值不得超过0.0253M G ；问这一天城市空气是否符合标准？⑥从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下：甲：25、41、40、37、22、14、19、39、21、42；乙：27、16、44、27、44、16、40、40、16、40；问：（1）哪种玉米的苗长得高？（2）哪种玉米的苗长得齐？结论：①9.5,0.016 ②a 2s 2③甲x ＝33，乙x ＝33，33734722=>=乙甲s s ,乙的成绩比甲稳定,应选乙参加比赛更合适.④这个专业户应了解鱼的总重量,可以先捕出一些鱼（设有x 条）,作上标记后放回鱼塘,过一段时间再捕出一些鱼（设有a 条）,观察其中带有标记的鱼的条数,作为一个样本来估计总体,则鱼塘中鱼的总条数鱼的条数鱼塘中所有带有标记的条鱼中带有标记的条数)(x a a =这样就可以求得总条数,同时把第二次捕出的鱼的平均重量求出来,就可以估计鱼塘中的平均重量,进而估计全部鱼的重量,最后估计出收入.⑤（1）由题知众数是0.03，中位数为0.03；（2）这一天数据平均数是∵ 0.03>0.025∴ 这一天该城市空气不符合国标.⑥分析：看哪种玉米的苗长得高，只要比较 甲、乙两种玉米的均高即可；要比较哪种玉米的苗长得齐，只要看两种玉米高的方差即可，因为方差是体现一组数据波动大小的特征数.（1）-甲X =101（25+41+40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42）＝30；－乙X =101（27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40）＝31，-甲X <－乙X （2）可运算 2S 甲＝104.2，2S 乙＝128.8∴ 2S 甲<2S 乙所以乙种玉米苗长得高，甲种玉米的苗长得齐. 四、【作业】1、必做题：习题2.2A 组4、5、6、7,B 组1、22、选做题：某地区全体九年级的3 000名学生参加了一次科学测试,为了估计学生的成绩,从不同学校的不同程度的学生中抽取了100名学生的成绩如下：100分12人,90分30人,80分18人,70分24人,60分12人,50分4人.请根据以上数据估计该地区3 000名学生的平均分、合格率（60或60分以上均属合格）. 五、【课后练习】 一、选择题1. 下列说法正确的是：(A)甲乙两个班期末考试数学平均成绩相同，这表明这两个班数学学习情况一样(B)期末考试数学成绩的方差甲班比乙班的小，这表明甲班的数学学习情况比乙班好(C)期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班大，则数学学习甲班比乙班好(D)期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班小，则数学学习甲班比乙班好 2. 一组数据的方差是2s ，将这组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组数据的方差是（ ）Ａ. 22s ； Ｂ. 22s ； Ｃ．24s ； Ｄ．2s二填空题3. 如果14：有6个数4，x , －1 ,y , z 6,它们的平均数为5，则x,y,z 三个数的平均数为___________________4、数据12n x x x ⋅⋅⋅，，的平均数为x ，方差为2s 中位数为a ，则数据1233n x x x ⋅⋅⋅+5，3+5，+5的平均数、标准差、方差、中位数分别为____________________三、解答题5．下面是两个学生的五次英语测试成绩：试用平均数与方差分析两位同学的英语成绩，并说明那一位同学的英语成绩比较稳定？。
方差和标准差的关系公式
方差和标准差的关系公式方差和标准差，这俩家伙在数学世界里可是一对重要的“小伙伴”。
咱们先来说说方差，方差是各个数据分别与其平均数之差的平方之和的平均数。
这听起来有点绕口，举个例子啊，比如说有一组数：5、8、10、12、15，它们的平均数是 10。
那每个数与平均数 10 的差的平方分别是：(5 - 10)² = 25，(8 - 10)² = 4，(10 - 10)² = 0，(12 - 10)² = 4，(15 - 10)² = 25 。
然后把这些平方差加起来：25 + 4 + 0 + 4 + 25 = 58 ，再除以数据的个数 5 ，得到方差就是 11.6 。
再来说标准差，标准差其实就是方差的平方根。
还是刚才那组数，方差是 11.6 ，那标准差就是根号下 11.6 ，约等于 3.41 。
记得我之前教过一个学生，叫小李。
这孩子啊，数学基础不算差，可就是一碰到方差和标准差就犯迷糊。
有一次做作业，关于方差和标准差的题目错了一大半。
我就找他来，问他：“小李啊，你觉得方差和标准差咋就这么难理解呢？”他挠挠头说：“老师，我就是弄不明白这俩到底有啥用，感觉好复杂。
”我一听，明白了，这孩子是没搞清楚这俩概念的实际意义。
于是我就给他举了个例子，我说：“你看啊，咱们班这次考试的成绩，平均分是 80 分。
那通过计算方差和标准差，就能知道大家的成绩分布得是不是均匀。
如果方差小，标准差也小，就说明大家的成绩都差不多，比较集中；要是方差大，标准差也大，那就说明成绩差距比较大，有的同学考得特别好，有的同学就不太理想。
这是不是就能帮助老师了解大家的学习情况，然后有针对性地进行辅导呀？”小李听了，眼睛一亮，说：“老师，好像有点明白了。
”从那以后，我给他布置了一些专门针对方差和标准差的练习题，他慢慢就掌握了。
说回方差和标准差的关系公式，简单来说，标准差就是方差的算术平方根。
这就好比一个人的身高和体重，身高是方差，体重是标准差，虽然是两个不同的指标，但其实有着密切的关联。
2.2方差与标准差
4 (1) 数据1、2、3、4、5的方差是_____
（2）A组：0、10、5、5、5、5、5、5、5、5
极差是_______,方差是_______
B组：4、6、3、7、2、8、1、9、5、5
极差是________,方 差是_______
5、已知一组数据ｘ1，ｘ2，…，ｘn的方差是
a.
则数据ｘ1 － 4、ｘ2 － 4，…，ｘn－4的方差 是 .
7 8 9
.
.
. .
.
. .
.
.
40.3
4
40.2
40.1
40.0
.
6 7 8
39.9
.
9 10
39.8
5
39.7
6
10
1
2
3
4
5
A厂
B厂
如何更加精确地描述两组数据相对于平均数的波动 情况？请填表（见课本P45-46） ： x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 A
数 据
40.0 39.9 40.0 40.1 40.2 39.8 40.0 39.9 40.0 40.1
3）你认为用极差来表示一组数据的离散程度有 哪些缺点？ 极差只能反映一组数据中两个极值之间的大小 情况，而对其他数据的波动情况不敏感，易受 特殊数据的影响。 4）为避免特殊数据的影响，你认为考虑这两组 数据相对于什么数的波动情况较合适？
平均数
作图：将上述数据绘制成图
. . .
1 2 3
.
. .
. . .
2)谈谈方差的作用
方差可以反映一组数据的离散程度，一般来 说，一组数据的方差越小，这组数据离散程 度越小，这组数据就越稳定。
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数是____，平均数是____ . 3.数据－2，－1，0，1，2 的方差是 小组 4. 五个数 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， a 的平均数是 3 ，则 a= ，这五个数的方差 合 作， 是 。 自主 1 5.若一组数据 3，一 1，a，－3，3 的平均数 是 a 的 ,则这组数据的标准差 矫 3 正！ 是 。 6.已知样本数据 101，98，102，100，99，则这个样本的标准差是（ A、0 B、1 C、 2 D、2 ） 。
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五、课堂自测 1.样本方差的作用是（ ） A、估计总体的平均水平 B、表示样本的平均水平 C、表示总体的波动大小 D、表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大 小 2.一个样本的方差是 0，若中位数是 a ，那么它的平均数是（ ） A、等于 a B、不等于 a C、大于 a D、小于 a 3.如果给定数组中每一个数都减去同一非零常数，则数据的（ ） A、平均数改变，方差不变 B、平均数改变，方差改变 C、平均数不变，方差不变 A、平均数不变，方差改变 4.已知，一组数据 x1,x2,„„，xn 的平均数是 10，方差是 2， ①数据 x1+3,x2+3,„„，xn+3 的平均数是 ②数据 2x1,2x2,„„，2xn 的平均数是 ③数据 2x1+3,2x2+3,„„，2xn+3 的平均数是 方差是 方差是 方差是 ， ， 。 ，
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课
题 学
2.2 方差与标准差 习 内 容
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一、学习目标 1．了解方差的定义和计算公式。 2. 理解方差概念的产生和形成的过程。 3. 会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。 二、自主学习： 1.乒乓球的标准直径为 40mm，质检部门从 A，B 两厂生产的乒乓球中各抽取了 10 只，对这些乒乓球的直径了进行检测．结果如下（单位：mm） ： A 厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，39.9，40.0，40.1； B 厂：39.8，40.2，39.8，40.2，39.9，40.1，39.8，40.2，39.8，40.2. 你认为哪个厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢? （1）请你算一算它们的平均数和极差． （2）是否由此就确定两厂生产的乒乓球直径同样标准？ 通过计算发现极差只能反映一组数据中两个极值之间的大小情况，而对其他数据 的波动情况不能较好反应，现在让我们一起来做下列的数学活动 2．画一画：看上面数据绘成的图，说出哪组数据与平均数的偏差较大？ 直径/mm 直径/mm
独立 5．甲、乙两台机床在相同的技术条件下，同时生产一种零件，现在从中抽测 10 完 成 课堂 个，它们的尺寸分别如下（单位：mm） ． 自 测， 甲机床：10.2 10.1 10 9.8 9.9 10.3 9.7 10 9.9 10.1 检查 乙机床：10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10.9 8.9 9.7 10.2 10 学习 效 ① 分别计算上面两组数据的平均数和方差， 果！ ② 如图纸规定零件的尺寸为 10mm，哪台机床加工这种零件较合适？
带着 目标 自 学！ 先学 后 查， 主动 求 知！
A厂 （1）填一填：计算这两组数据中每个数据与平均数的差． （A 厂）
x1 数据 与平均数差 40 x2 39.9 x3 40 x4 40.1 x5 40.2 x6 39.8 x7 40 x8 39.9 x9 40
B厂
x10 40.1
（2）填一填：计算这两组数据中每个数据与平均数的差． （B 厂）
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例 2： 段巍和金志强两人参加体育项目训练，近期的 5 次测试成绩如下表所示， 谁的成绩比较稳定？为什么？ 测试次数 1 2 3 4 5 段巍 13 14 13 12 13 金志强 10 13 16 14 12
结论：方差或标准差越大，这组数据的离散程度就越大，数据的波动 反之方差或标准差越小，这组数据的离散程度就越小，数据的波动
x1 数据 与平均数 差 39.8 x2 40.2 x3 39.8 x4 40.2 x5 39.9 x6 40.1 x7 39.8 x8 40.2 x9 39.8 x10 40.2
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（1）算一算：把所有差相加，把所有差取绝对值相加，把这些差的平方相加． （2）说一说：你认为“算一算”中哪种算法的结果能反映数据的波动情况？你 认为还有 更好的算法吗？ 3.描述一组数据的离散程度可采取许多方法，在统计中常采用方差来衡量一组数 据的波动大小． （一）方差
完成 自主 检 测， 了解 定义：设有 n 个数据 x1，x2， ，xn ，各数据与它们的平均数的差的平方分别是 学 习 效 2 2 2 果， 我们用它们的平均数，即用 ( x1 x ) ， ( x2 x ) ，„， ( xn x ) ， ， 加深 2 对方 s = 差及 （二）标准差： 标准 差意 方差的算术平方根， 义的 理 并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要 解！ 的量. 自学方差定义及例题的解过程，然后回答下列问题： （1）说说公式中每一个元素的意义？ （2）谈谈方差的作用？ （3）说出求一组数据方差的步骤： 方差的单位与原数据的单位相同吗？ 三、自我检测 1.某样本的方差是 9，则标准差是______. 2.一个样本的方差是 S 2
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四、合作探究 例 1： 从甲、乙两种农作物中各抽取 1 株苗，分别测得它的苗高如下： （单位： cm） 甲：9、10、11、12、7、13、10、8、12、8； 乙：8、13、12、11、10、12、7、7、9、11； 问： （1）哪种农作物的苗长的比较高？ （2）哪种农作物的苗长得比较整齐？