1.3 解直角三角形 第2课时 坡比与圆弧等问题练习题 2020—2021学年浙教版九年级数学下

1.3解直角三角形
第2课时坡比与圆弧等问题
【基础练习】
知识点1坡比问题
1.如图1,斜坡AB与水平面的夹角为α,则下列说法中不正确的是()
图1
A.斜坡AB的坡角为α
B.斜坡AB的坡比为BC
AB
C.斜坡AB的坡比为tanα
D.斜坡AB的坡比为BC
AC
2.已知河堤的横断面如图2所示,堤高BC为5 m,迎水坡AB的长为13 m,则迎水坡AB的坡比是()
图2
A.1∶3
B.1∶2.6
C.1∶2.4
D.1∶2
3.如图3,河坝横断面迎水坡AB的坡比为1∶√3,坝高BC=3 m,则AB的长度为()
图3
A.6 m
B.3√3 m
C.9 m
D.6√3 m
4.如图4,一山坡的坡比为1∶√3,小辰从山脚A出发,沿山坡向上走了200米到达点B,则小辰上升了米.
图4
5.如图5,小明爬一土坡,他从A处到B处所走的直线距离AB=4米,此时,他距离地面的高度h=2米,则这个土坡的坡角∠A=°.
图5
6.如图6,铁路路基横断面为一个等腰梯形.若腰的坡比为2∶1,顶宽是3米,路基高是4米,则路基的下底宽是米.
图6
7.一个长方体木箱沿斜面下滑,当木箱滑至如图7所示的位置时,AB=3 m.已知木箱高BE=√3 m,斜面坡角为30°,则木箱端点E距地面AC的高度EF为.
图7
知识点2解直角三角形在圆(弧)中的应用
8.如图8,秋千链子的长度OA=3 m,静止时秋千踏板处于点A的位置,此时踏板距离地面0.3 m,秋千向两边摆动.当踏板处于点A'的位置时,摆角最大,此时∠AOA'=50°,则踏板在A'处时,踏板与地面的距离约为.(参考数据:sin50°≈0.7660,cos50°≈0.6428,结果精确到0.01 m)
图8
9.[教材课内练习第2题变式]如图9,AB是∠O的直径,弦CD∠AB,垂足为E,AB=20,CD=16,连结AC,AD,OC.
(1)求sin∠OCE与sin∠CAD的值;
⏜的长(结果精确到0.1,参考数据:sin53°≈0.80).
(2)求CD
图9
【能力提升】
10.如图10,长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°,为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼梯,使其倾斜角∠ACD为45°,则调整后的楼梯AC的长为()
图10
A.2√3 m
B.2√6 m
C.(2√3-2)m
D.(2√6-2)m
11.[2020·泰安]如图11,某校教学楼后面紧邻着一个山坡,坡上面是一块平地,BC∠AD,BE∠AD,斜坡AB长26 m,斜坡AB的坡比为12∶5.为了减缓坡面,防止山体滑坡,学校决定对该斜坡进行改造.经地质人员勘测,当坡角不超过50°时,可确保山体不滑坡,如果改造时保持坡脚A不动,那么坡顶B沿BC至少向右平移约m时,才能确保山体不滑坡.(参考数据:tan50°≈1.2)
图11
12.钓鱼是一项特别锻炼心性的运动,如图12,小南在江边垂钓,河堤AB的坡比为1∶2.4,AB长为3.9米,钓竿AC与水平线的夹角是60°,其长为4.5米,若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是
60°,则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为多少米?(小南的身高忽略不计,参考数据:√3≈1.732)
图12
13.如图13是圆规的平面示意图,OA是支撑臂,OB是旋转臂,使用时,以点A为支撑点,铅笔芯端点B可以绕点A旋转作出圆.已知OA=OB=10 cm.
(1)当∠AOB=18°时,求所作圆的半径(结果精确到0.01 cm);
(2)保持∠AOB=18°不变,在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下,作出的圆与(1)中所作圆的大小相等,求铅笔芯折断部分的长度(结果精确到0.01 cm).
(参考数据:sin9°≈0.1564,cos9°≈0.9877,sin18°≈0.3090,cos18°≈0.9511,可使用科学计算器)
图13
答案
1.B
2.C
3.A [解析] ∵迎水坡AB 的坡比为1∶√3, ∴BC
AC =√
3,即3
AC =√
3,
解得AC=3√3.
在Rt △ABC 中,由勾股定理,得AB=√BC 2+AC 2=6(m). 故选A .
4.100 [解析] 根据题意得tan A=BC
AC =√3=√3
3,
所以∠A=30°,所以BC=12AB=1
2×200=100(米). 5.30 6.7
7.3 m [解析] 如图,设EF 与AB 的交点为G.
∵∠BAF=30°,∴∠EGB=∠AGF=60°,∴EG=
BE sin60°
=2,
∴GB=1
2EG=1.在Rt △AGF 中,AG=AB -GB=2,∴GF=AG ·sin30°=2×1
2=1, ∴EF=EG+GF=2+1=3(m).
8.1.37 m [解析] 如图,过点A'作A'D ⊥OA 于点D ,A'C 垂直地面于点C ,延长OA 交地面于点B ,
则四边形BCA'D 为矩形, ∴A'C=DB.
∵∠AOA'=50°,且OA=OA'=3 m,
∴在Rt △OA'D 中,OD=OA'·cos ∠AOA'≈3×0.6428≈1.928(m). ∵AB=0.3 m,OA=3 m, ∴OB=OA+AB=3.3 m,
∴A'C=DB=OB -OD ≈1.37 m .
9.解:(1)sin ∠OCE=0.6,sin ∠CAD=sin ∠COE=0.8. (2)CD
⏜的长≈106×π×10
180
≈18.5.
10.B [解析] 在Rt △ABD 中, ∵sin ∠ABD=AD
AB , ∴AD=4sin60°=2√3(m). 在Rt △ACD 中,∵sin ∠ACD=AD
AC ,
∴AC=
2√3
sin45°
=2√6(m).
11.10
[解析] 因为斜坡AB 的坡比为12∶5,所以BE ∶AE=12∶5.设BE=12k ,则AE=5k ,AB=13k.因为斜坡AB 长26 m,所以13k=26,所以k=2,则BE=24 m,AE=10 m .设坡顶B 沿BC 向右移至点G 处,过点G 作GH ⊥AD ,垂足为H.设BG=x ,则GH ∶AH ≤tan50°,即24∶AH ≤1.2,所以AH ≥20.因为AE=10,所以EH ≥10,即坡顶B 沿BC 至少向右移约10 m 时,才能确保山体不滑坡.因此本题答案为10.
12.解:如图,延长CA 交DB 的延长线于点E ,过点A 作AF ⊥BE 于点F ,则∠CED=60°.
∵AB 的坡比为1∶2.4,∴AF
BF =1
2.4=5
12,
则可设AF=5x ,BF=12x. ∵AB=3.9.
∴在Rt △ABF 中,由勾股定理,得3.92=25x 2+144x 2. 解得x=3
10(负值已舍去). ∴AF=5x=3
2,BF=12x=18
5,
∴EF=AF
tan60°
=
32
√3
=√32
,
AE=
AF
sin60°
=32√32
=√3.
∵∠C=∠CED=60°, ∴△CDE 是等边三角形. ∵AC=4.5,
∴DE=CE=AC+AE=4.5+√3,
则BD=DE -EF -BF=4.5+√3-√32-185
≈1.766(米). 答:浮漂D 与河堤下端B 之间的距离约为1.766米. 13.解:(1)如图①,过点O 作OM ⊥AB 于点M.
∵OA=OB ,OM ⊥AB ,
∴AM=BM ,∠AOM=∠BOM=1
2∠AOB=9°.
在Rt △AOM 中,sin ∠AOM=
AM OA
,
∴AM ≈0.1564×10=1.564(cm), ∴AB=2AM ≈3.128≈3.13(cm), ∴所作圆的半径约是3.13 cm . (2)∵∠B=1
2(180°-∠AOB )=81°, ∴∠B<90°,
故可在OB 上找到一点C ,使得AC=AB ,此时所作圆的大小与(1)中所作圆的大小相等. 如图②,过点A 作AD ⊥BC 于点D.
∵AC=AB,AD⊥BC,
∴BD=CD,∠BAD=∠CAD=1
∠BAC.
2
∵∠AOB=18°,OA=OB,AB=AC,
∴∠BAC=18°,
∴∠BAD=9°.
,
在Rt△BAD中,sin∠BAD=BD
AB
∴BD≈0.1564×3.128≈0.4892(cm),
∴BC=2BD≈0.9784≈0.98(cm),
∴铅笔芯折断部分的长度约为0.98 cm.。