2021中考数学专题复习 解直角三角形2
中考数学专题复习：解直角三角形
中考数学专题复习：解直角三角形【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义：在RE△ABC中,∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则∠A的正弦可表示为：sinA= ,∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ,它们弦称为∠A的锐角三角函数【名师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体,是两条线段的比,没有,这些比值只与有关,与直角三角形的无关2、取值范围<sinA< cosA< tanA> 】二、特殊角的三角函数值：【名师提醒：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的,要在理解的基础上结合表格进行记忆2、当时,正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而sin A3、几个特殊关系：⑴sinA+cos2A= ,tanA=⑵若∠A+∠B=900,则sinA= cosA.tanB= 】三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素,求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：RT∠ABC中,∠C900 三边分别为a、b、c⑴三边关系：⑵两锐角关系⑶边角之间的关系：sinA cosA tanAsinB cosB tanB【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形,再利用相应的边角关系解决】3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角⑵坡度坡角：如图：斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度,用i表示,即i=坡面与水平面得夹角为用字母α表示,则i=hl=⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图：OA表示OB表示OC表示（也可称西南方向）3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形,转化为解直角三角形的问题）⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形⑶解数学问题答案,从而得到实际问题的答案【名师提醒：在解直角三角形实际应用中,先构造符合题意的三角形,解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】【重点考点例析】考点一：锐角三角函数的概念例1 （•内江）如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255思路分析：利用网格构造直角三角形,根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O,根据网格的特点,CD⊥AB,在Rt△AOC中,CO=2211+=2；AC=2213+=10；则sinA=OCAC=25510=．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理,作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键．对应训练1．（•贵港）在平面直角坐标系中,已知点A（2,1）和点B（3,0）,则sin∠AOB的值等于（）A．55B．52C．32D．121．A考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质；勾股定理．专题：计算题．分析：过A作AC⊥x轴于C,利用A点坐标为（2,1）可得到OC=2,AC=1,利用勾股定理可计算出OA,然后根据正弦的定义即可得到sin∠AOB的值．解答：解：如图过A作AC⊥x轴于C,∵A点坐标为（2,1）,∴OC=2,AC=1,∴OA=22OC AC+=5,∴sin∠AOB=1555ACOA==．故选A．点评：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中,一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．也考查了点的坐标与勾股定理．考点二：特殊角的三角函数值例2 （•孝感）计算：cos245°+tan30°•sin60°= ．思路分析：将cos45°=22,tan30°=33,sin60°=32代入即可得出答案．解：cos245°+tan30°•sin60°=12+33×32=12+12=1．故答案为：1．点评：此题考查了特殊角的三角函数值,属于基础题,熟练记忆一些特殊角的三角函数值是解答本题的关键．对应训练（•南昌）计算：sin30°+cos30°•tan60°．思路分析：分别把各特殊角的三角函数代入,再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．解：原式=13322+⨯=1322+=2．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值,熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．考点三：化斜三角形为直角三角形例3 （•安徽）如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB的长．6．思路分析：过C作CD⊥AB于D,求出∠BCD=∠B,推出BD=CD,根据含30度角的直角三角形求出CD,根据勾股定理求出AD,相加即可求出答案．解：过C作CD⊥AB于D,∴∠ADC=∠BDC=90°,∵∠B=45°,∴∠BCD=∠B=45°,∴CD=BD,∵∠A=30°,AC=23,∴CD=3,∴BD=CD=3,由勾股定理得：AD=22=3,AC CD∴AB=AD+BD=3+3,答：AB的长是3+3．点评：本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质和判定,含30度角的直角三角形性质等知识点的应用,关键是构造直角三角形,题目具有一定的代表性,是一道比较好的题目．对应训练3．（•重庆）如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形．若AB=2,求△ABC的周长．（结果保留根号）3．考点：解直角三角形；三角形内角和定理；等边三角形的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：根据等边三角形性质求出∠B=60°,求出∠C=30°,求出BC=4,根据勾股定理求出AC,相加即可求出答案．解答：解：∵△ABD是等边三角形,∴∠B=60°,∵∠BAC=90°,∴∠C=180°－90°－60°=30°,∴BC=2AB=4,在Rt△ABC中,由勾股定理得：AC=2222BC AB-=-=,4223∴△ABC的周长是AC+BC+AB=23+4+2=6+23．答：△ABC的周长是6+23．点评：本题考查了勾股定理,含30度角的直角三角形,等边三角形性质,三角形的内角和定理等知识点的应用,主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力,此题综合性比较强,是一道比较好的题目．考点四：解直角三角形的应用例4 （•张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿,其平面图如图甲所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示,其中∠B=∠D=90°,AB=BC=15千米,CD=32千米,请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数,2≈1.41436≈2.45）（2）求∠ACD的余弦值．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）连接AC ,根据AB =BC =15千米,∠B =90°得到∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米,再根据∠D =90°利用勾股定理求得AD 的长后即可求周长和面积； （2）直接利用余弦的定义求解即可． 解：（1）连接AC∵AB =BC =15千米,∠B =90°∴∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米 又∵∠D =90°∴AD =22 -AC CD =22(152)(32)123-=（千米）∴周长=AB +BC +CD +DA =30+32+123=30+4.242+20.784≈55（千米） 面积=S △ABC +18 6 ≈157（平方千米） （2）cos ∠ACD =CD 321==AC 5152点评：本题考查了解直角三角形的应用,与时事相结合提高了同学们解题的兴趣,解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解． 对应训练6．（•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图,观测点设在A 处,离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒,∠BAC =75°． （1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米,参考数据：sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732,3≈1.732,60千米/小时≈16.7米/秒）考点：解直角三角形的应用．专题：计算题．分析：（1）由于A到BC的距离为30米,可见∠C=90°,根据75°角的三角函数值求出BC的距离；（2）根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度,与60千米/小时进行比较即可．解答：解：（1）法一：在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=75°,AC=30,∴BC=AC•tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112（米）．法二：在BC上取一点D,连接AD,使∠DAB=∠B,则AD=BD,∵∠BAC=75°,∴∠DAB=∠B=15°,∠CDA=30°,在Rt△ACD中,∠ACD=90°,AC=30,∠CDA=30°,∴AD=60,CD=303,BC=60+303≈112（米）（2）∵此车速度=112÷8=14（米/秒）＜16.7 （米/秒）=60（千米/小时）∴此车没有超过限制速度．点评：本题考查了解直角三角形的应用,理解正切函数的意义是解题的关键．【聚焦山东中考】1．（•济南）如图,在8×4的矩形网格中,每格小正方形的边长都是1,若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上,则tan∠ACB的值为（）A．13B．12C．22D．31．A考点：锐角三角函数的定义．A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定3考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．分析：首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知cosA－12=0,sinB－22=0,然后根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数,再根据三角形内角和为180°算出∠C的度数即可．解答：解：∵|cosA－12|+（sinB－22）2=0,∴cosA－12=0,sinB－22=0,∴cosA=12,sinB=22,∴∠A=60°,∠B=45°,则∠C=180°－∠A－∠B=180°－60°－45°=75°,故答案为：75°．点评：此题主要考查了非负数的性质,特殊角的三角函数值,三角形内角和定理,关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值．5．（•潍坊）校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CD与l垂直,测得CD的长等于21米,在l上点D的同侧取点A、B,使∠CAD=30°,∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米,参考数据：3=1.73,2=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时,若测得某辆校车从A到B用时2秒,这辆校车是否超速？说明理由．5．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中,利用正切函数,即可求得AD与BD的长,继而求得AB的长；（2）由从A到B用时2秒,即可求得这辆校车的速度,比较与40千米/小时的大小,即可确定这辆校车是否超速．解答：解：（1）由題意得,在Rt△ADC中,AD=CD==21 3tan303=36.33,在Rt△BDC中,BD=CD==7 3tan303=12.11,则AB=AD－BD=36.33－12.11=24.22≈24.2（米）。
初三数学解直角三角形专题复习
第五讲解直角三角形一、【知识梳理】知识点 1、 解直角三角形定义： 由直角三角形中已知元素求出未知元素的过程叫解直角三角形。
知识点 2、解直角三角形的工具：1、直角三角形边、角之间的关系：sinA=cosB=a b a bsinB=cosA=ctanA=cotB=cotA=tanB=cba2、直角三角形三边之间的关系 ： a 2 b 2 c 2 （勾股定理）3、直角三角形锐角之间的关系：AB 90 。
（两锐角互为余角）知识点3、解直角三角形的种类：能够概括为以下2 种，（1）、已知一边和一锐角解直角三角形；知识点 4、解直角三角形应用题的几个名词和素语1、方向角：（ 2）、已知两边解直角三角形。
在航海的某些问题中，描绘船的航向，或目标对观察点的地点，常用方向角.画方向角时，常以铅直的直线向上的方向指北，而以水平直线向右的方向为东，而以交点为观察点.2、仰角和俯角在利用测角仪察看目标时，视野在水平线上方和水平线的夹角称为仰角，视野在水平线下方和水平线的夹角称为俯角（如图）. 在丈量距离、高度时，仰角和俯角常是不行缺乏的数据.3、坡度和坡角：在筑坝、修路时，常把坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫作坡度（或坡比），用字母i 表示（如图（ 1）），则有 ih, 坡面和水平面的夹角叫作坡角.明显有： ih tan，l. l这说明坡度是坡角的正切值，坡角越大，坡度也越大二、【典型题例】考点 1、解直角三角形例 1．、 1、在 ABC 中，C 为直角， A 、B 、C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ．（ 1）已知 b3 ， A30 ，求 a 和 c ．（ 2）已知 a20 ， b 20 ，求A ．2、如图，已知△ ABC 中∠ B=45 °，∠ C=30°， BC=10 ， AD 是 BC 边上的高，求 AD 的长3、已知，如图，△ABC 中，∠ A=30 °， AB=6 ， CD ⊥ AB 交C AAB 延伸线于 D ，∠ CBD=60 °。
备考2021年中考数学二轮复习：图形的变换_解直角三角形的应用﹣方向角问题,填空题专训及答案
备考2021年中考数学二轮复习：图形的变换_锐角三角函数_解直角三角形的应用﹣方向角问题，填空题专训及答案备考2021中考数学二轮复习：图形的变换_锐角三角函数_解直角三角形的应用﹣方向角问题，填空题专训1、(2016大连.中考真卷) 如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为________海里（结果取整数）（参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）．2、(2018东胜.中考模拟) 如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为________海里（结果保留根号）．3、(2019辽阳.中考模拟) 如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在北偏西45°方向上，测得A在北偏东30°方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是________米（结果保留根号形式）.4、(2018吉林.中考模拟) 如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=40海里，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行半小时后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向．求该船航行的速度________．5、(2019张家港.中考模拟) 如图,小明一家自驾到古镇C游玩,到达A地后,导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶12千米至B 地,再沿北偏西45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，则B，C两地的距离为________千米。
(结果保留根号)6、(2019新泰.中考模拟) 如图，一般海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为________（结果保留根号）7、(2018滨州.中考模拟) 如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以12海里/时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我航海区域的C处截获可疑渔船，问我渔政船的航行路程是________海里（结果保留根号）．8、(2017肥城.中考模拟) 如图，甲、乙两渔船同时从港口O出发外出捕鱼，乙沿南偏东30°方向以每小时10海里的速度航行，甲沿南偏西75°方向以每小时10 海里的速度航行，当航行1小时后，甲在A处发现自己的渔具掉在乙船上，于是迅速改变航向和速度，仍以匀速沿南偏东60°方向追赶乙船，正好在B处追上．则甲船追赶乙船的速度为________海里/小时？9、(2017天桥.中考模拟) 一艘轮船在小岛A的北偏东60°距小岛80海里的B处，沿正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西4 5°的C处，则该船行驶的速度为________海里/小时．10、(2018济宁.中考真卷) 如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是________ km．11、(2018潍坊.中考真卷) 如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行________小时即可到达 (结果保留根号)12、(2020黄石.中考模拟) 周末，张三、李四两人在磁湖游玩，张三在湖心岛处观看李四在湖中划船（如图），小船从处出发，沿北偏东方向划行200米到处，接着小船向正南方向划行一段时间到处.在处李四观测张三所在的处在北偏西的方向上，这时张三与李四相距________米（保留根号）.13、(2019荆州.中考真卷) 如图，灯塔在测绘船的正北方向，灯塔在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔的正南方向，此时测得灯塔在测绘船北偏西的方向上，则灯塔，间的距离为________海里（结果保留整数）.（参考数据，，，）.14、(2017邵阳.中考模拟) 如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为________海里（结果取整数）（参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）．15、(2018.中考模拟) 如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°方向航行，半小时后甲船到达C点，乙船正好到达甲船正西方向的B点，则乙船的路程________（结果保留根号）16、(2018宁夏回族自治区.中考真卷) 一艘货轮以18 ㎞/h的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至A处时，发现它的东南方向有一灯塔B，货轮继续向东航行30分钟后到达C处，发现灯塔B在它的南偏东15°方向，则此时货轮与灯塔B的距离是________km.17、(2020宁波.中考模拟) 如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛C在轮船A的北偏东45°方向上；上午10：00，测得小岛C在轮船B的北偏西30°方向上，则轮船在航行中离小岛最近的距离约为________米(精确到1米，参考数据 ≈1．414， ≈1．732)。
中考数学第三轮冲刺解答题：解直角三角形 专题复习(含答案)
（1）如图 ．若 ， ，求 的值；
（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为 时，两根支撑杆的夹角 是 （如图 ．求该熨烫台支撑杆 的长度（结果精确到 ．
3、襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一．某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分（上塔柱BC和塔冠BE）进行了测量．如图所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为121m，拉索AB与桥面AC的夹角为37°，从点A出发沿AC方向前进23.5m，在D处测得塔冠顶端E的仰角为45°．请你求出塔冠BE的高度（结果精确到0.1m．参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈1.41）．
参考答案
2021年中考数学第三轮冲刺解答题：解直角三角形 专题复习
1、图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据： 取1.73）．
16、我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面 的 处测得在 处的龙舟俯角为 ；他登高 到正上方的 处测得驶至 处的龙舟俯角为 ，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到 ，参考数据： ， ， ，
17、某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔 高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°．请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度．（结果精确到0.1 米， ）
中考数学复习专题15解直角三角形
解直角三角一、单选题1．（2021·浙江温州市）图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若1AB BC ==．AOB α∠=，则2OC 的值为（ ）A ．211sin α+B ．2sin 1α+C ．211cos α+D ．2cos 1α+【答案】A【分析】根据勾股定理和三角函数求解．【详解】∵在Rt OAB 中，AOB α∠=，1AB =∴1=sin sin AB OB αα= 在Rt OBC 中，1BC =，2222221111sin sin OC OB BC αα⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭故选：A ． 【点睛】本题主要考查勾股定理和三角函数．如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222+=a b c ．2．（2021·浙江金华市）如图是一架人字梯，已知2AB AC ==米，AC 与地面BC 的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC 为（ ）A ．4cos α米B ．4sin α米C ．4tan α米D ．4cos α米【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得到12BD DC BC ==，根据余弦的定义即可，得到答案． 【详解】过点A 作AD BC ⊥，如图所示：∵AB AC =，AD BC ⊥，∴BD DC =，∵DC co ACα=，∴cos 2cos DC AC αα=⋅=， ∴24cos BC DC α==，故选：A ． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键．3．（2021·湖北随州市）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A 处，底端落在水平地面的点B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知3sin cos 5αβ==，则梯子顶端上升了（ ）A ．1米B ．1.5米C ．2米D ．2.5米【答案】C 【分析】根据梯子长分别利用三角函数的正弦定义求出CD =CE sin β与AD =AB sin α，两线段作差即可．【详解】解：如图所示标记字母，根据题意得AB =CE =10米，∵sin β45===， 在Rt △ECD 中，sin 4105CD CD CE β===，∴CD =410=85⨯， 在Rt △ABD 中，sin 3=105AD AD AB α==，∴310=65AD =⨯，∴AC =CD -AD =8-6=2．故选择C ．【点睛】本题考查三角函数的定义，解直角三角形，掌握正弦与余弦的平方关系以及锐角三角函数的定义是解题关键．4．（2021·湖南株洲市）某限高曲臂道路闸口如图所示，AB 垂直地面1l 于点A ，BE 与水平线2l 的夹角为()090αα︒≤≤︒，12////EF l l ，若 1.4AB =米，2BE =米，车辆的高度为h （单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度．①当90α=︒时，h 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；②当45α=︒时，h 等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；③当60α=︒时，h 等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．则上述说法正确的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C 【分析】①,,A B E 三点共线，直接计算可得；②做出辅助线，构造直角三角形，利用特殊角的三角函数，求出h ；③方法同②．【详解】如图过E 点作EM AB ⊥交AB 的延长线于点M ，12////EF l l ∴MEB α∠= 则sin h AM AB BE α==+⨯①当90α=︒时,,,A B E 三点共线， 1.42 3.4 3.3h AE AB BE ==+=+=>∴h 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口，故①正确．②当45α=︒时，sin 1.42 1.4 1.41 2.81 2.92h AB BE α=+⨯=+⨯≈+=< ∴h 等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，故②正确．③当60α=︒时，sin 1.42 1.4 1.73 3.13 3.1h AB BE α=+⨯=+≈+=> ∴ h 等于3.1米的车辆可以通过该闸口，故③错误．综上所述：说法正确的为：①②，共2个．故选：C ．【点睛】本题考查了三角函数的应用，二次根式的估值，正确的作图，计算和对比选项是解题关键． 5．（2021·湖南衡阳市）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC 为6米，则自动扶梯AB 的长约为（sin370.6,cos370.8,tan370.75︒≈︒≈︒≈）（ ）．A ．7.5米B ．8米C ．9米D ．10米【答案】D 【分析】结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，得：sin 370.6BC AB ︒=≈ ∵6BC =米∴6100.60.6BC AB ===米故选：D ． 【点睛】本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解． 6．（2021·天津）tan30︒的值等于（ ）A B C ．1 D ．2【答案】A【分析】根据30°的正切值直接求解即可．【详解】解：由题意可知，tan 30︒=，故选：A ． 【点睛】本题考查30°的三角函数，属于基础题，熟记其正切值即可．7．（2021·重庆）如图，在建筑物AB 左侧距楼底B 点水平距离150米的C 处有一山坡，斜坡CD 的坡度（或坡比）为1:2.4i =，坡顶D 到BC 的垂直距离50DE =米（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内），在点D 处测得建筑物顶A 点的仰角为50°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin500.77︒≈；cos500.64︒≈；tan50 1.19︒≈）A ．69.2米B ．73.1米C ．80.0米D ．85.7米【答案】D 【分析】作DF ⊥AB 于F 点，得到四边形DEBF 为矩形，首先根据坡度的定义以及DE 的长度，求出CE ，BE 的长度，从而得到DF =BE ，再在Rt △ADF 中利用三角函数求解即可得出结论．【详解】如图所示，作DF ⊥AB 于F 点，则四边形DEBF 为矩形，∴50DE BF ==,∵斜坡CD 的坡度（或坡比）为1:2.4i =，∴在Rt △CED 中，15tan 2.412DE C CE ∠===， ∵50DE =，∴120CE =，∴15012030BE BC CE =-=-=，∴30DF =，在Rt △ADF 中，∠ADF =50°，∴tan tan 50 1.19AF ADF DF∠=︒==， 将30DF =代入解得：35.7AF =，∴AB =AF +BF =35.7+50=85.7米，故选：D ．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度的定义，准确构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数是解题关键．8．（2021·云南）在ABC 中，90ABC ∠=︒，若s n 3100,5i A A C ==，则AB 的长是（ ） A ．5003 B ．5035 C ．60 D ．80【答案】D【分析】根据三角函数的定义得到BC 和AC 的比值，求出BC ，然后利用勾股定理即可求解．【详解】解：∵∠ABC =90°，sin ∠A =BC AC =35，AC =100，∴BC =100×3÷5=60，∴AB ，故选D ．【点睛】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键．9．（2021·山东泰安市）如图，为了测量某建筑物BC 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B 在同一水平线上的A 点出发，沿斜坡AD 行走130米至坡顶D 处，再从D 处沿水平方向继续前行若干米后至点E 处，在E 点测得该建筑物顶端C 的仰角为60°，建筑物底端B 的俯角为45°，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，斜坡AD 的坡度1:2.4i =．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC 的高度约为（ ）（参1.732≈）A ．136.6米B ．86.7米C ．186.7米D ．86.6米【答案】A 【分析】作DF ⊥AB 于F 点，EG ⊥BC 于G 点，根据坡度求出DF =50，AF =120，从而分别在△BEG 和△CEG 中求解即可．【详解】如图，作DF ⊥AB 于F 点，EG ⊥BC 于G 点，则四边形DFBG 为矩形，DF =BG ，∵斜坡AD 的坡度1:2.4i =，∴15tan 2.412DF DAF AF∠===， ∵AD =130，∴DF =50，AF =120，∴BG =DF =50，由题意，∠CEG =60°，∠BEG =45°，∴△BEG 为等腰直角三角形，BG =EG =50，在Rt △CEG 中，CG EG∴6505136.BC BG CG ≈=+=+米，故选：A ．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解坡度的定义，准确构建合适的直角三角形是解题关键．10．（2021·重庆）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA 和N D ．甲在山脚点C 处测得通信基站顶端M 的仰角为60°，测得点C 距离通信基站MA 的水平距离CB 为30m ；乙在另一座山脚点F 处测得点F 距离通信基站ND 的水平距离FE 为50m ，测得山坡DF 的坡度i =1：1.25．若58ND DE =，点C ，B ，E ，F 在同一水平线上，则两个通信基站顶端M 与顶端N 的高度差为（ ）（参考数据：1.73≈≈）A ．9.0mB ．12.8mC ．13.1mD ．22.7m【答案】C 【分析】分别解直角三角形Rt DEF △和Rt MBC ，求出NE 和MB 的长度，作差即可．【详解】解：∵50FE m =，DF 的坡度i =1：1.25，∴:1:1.25DE EF =，解得40m DE =， ∴5258ND DE m ==，∴65NE ND DE m =+=，∵60MCB ∠=︒，30m BC =，∴tan 60MB BC =⋅︒=，∴顶端M 与顶端N 的高度差为6513.1NE MB m -=-≈，故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形是解题的关键．11．（2021·四川泸州市）在锐角ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，有以下结论：2sinA sinB sinCa cb R ===（其中R 为ABC的外接圆半径）成立．在ABC 中，若∠A =75°，∠B =45°，c =4，则ABC 的外接圆面积为（ ）A ．163πB ．643πC ．16πD ．64π【答案】A【分析】方法一：先求出∠C ，根据题目所给的定理，2sin c R C = , 利用圆的面积公式S 圆=163π． 方法二：设△ABC 的外心为O ，连结OA ，OB ，过O 作OD ⊥AB 于D ，由三角形内角和可求∠C =60°，由圆周角定理可求∠AOB =2∠C =120°，由等腰三角形性质，∠OAB =∠OBA =30，由垂径定理可求AD =BD =2，利用三角函数可求OA，利用圆的面积公式S 圆=163π． 【详解】解:方法一：∵∠A =75°，∠B =45°，∴∠C =180°-∠A -∠B =180°-75°-45°=60°，有题意可知42=sin sin 6032c R C ===︒，∴3R =，∴S 圆=222163R OA ππππ===⎝⎭． 方法二：设△ABC 的外心为O ，连结OA ，OB ，过O 作OD ⊥AB 于D ，∵∠A =75°，∠B =45°，∴∠C =180°-∠A -∠B =180°-75°-45°=60°，∴∠AOB =2∠C =2×60°=120°，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA =()1180120302︒-︒=︒， ∵OD ⊥AB ，AB 为弦，∴AD =BD =122AB =，∴AD =OA cos30°， ∴OA=cos302AD ÷︒==S 圆=2221633R OA ππππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为A ．【点睛】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键．三、填空题1．（2021·四川广元市）如图，在44⨯的正方形网格图中，已知点A 、B 、C 、D 、O 均在格点上，其中A 、B 、D 又在O 上，点E 是线段CD 与O 的交点．则BAE ∠的正切值为________．【答案】12【分析】由题意易得BD =4，BC =2，∠DBC =90°，∠BAE =∠BDC ，然后根据三角函数可进行求解．【详解】解：由题意得：BD =4，BC =2，∠DBC =90°，∵∠BAE =∠BDC ，∴1tan tan 2BC BAE BDC BD ∠=∠==，故答案为12． 【点睛】本题主要考查三角函数及圆周角定理，熟练掌握三角函数及圆周角定理是解题的关键． 2．（2021·浙江衢州市）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE 与地面平行，支撑杆AD ，BC 可绕连接点O 转动，且OA OB =，椅面底部有一根可以绕点H 转动的连杆HD ，点H 是CD 的中点，F A ，EB 均与地面垂直，测得54cm FA =，45cm EB =，48cm AB =．（1）椅面CE 的长度为_________cm ．（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD 绕着支点H 带动支撑杆AD ，BC 转动合拢，椅面和连杆夹角CHD ∠的度数达到最小值30时，A ，B 两点间的距离为________cm （结果精确到0.1cm ）．（参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈）【答案】40 12.5【分析】（1）过点C 作CM 垂直AF ，垂足为M ，MFC AFB ∆∽，列比例求出CM 长度，则CE =AB -CM ；（2）根据图2可得OCD OBA ∽，对应袋图3中求出CD 长度，列比例求AB 即可．【详解】解：（1）过点C 作CM 垂直AF ，垂足为M ，∵椅面CE 与地面平行，∴MFC AFB ∆∽， ∴54454854CM FM FA EB CM AB FA FA --==⇔=，解得：CM =8cm ， ∴CE =AB -CM =48-8=40cm ；故答案为：40；（2）在图2中，∵OA OB =，椅面CE 与地面平行，∴BCE ADM ∠=∠，∵90AM BE AMD BEC =∠=∠=︒，，∴AMD BEC ≌，∴DM CE =，∴8MC ED cm ==，∴488832CD cm =--=，∵H 是CD 的中点，∴1162CH HD CD ===， ∵椅面CE 与地面平行，∴COD BOA ∽，∴322483CO CD BO AB ===， 图3中，过H 点作CD 的垂线，垂足为N ，因为1162CH HD CD === ，=30CHD ∠︒， ∴15CHN DHN ∠=∠=︒，∴2sin15=8.32CD CH cm =︒，∴28.323CO CD OB AB AB =⇔=， 解得：12.4812.5AB cm =≈，故答案为：12.5．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识点，找到对应相似三角形并正确列出比例是解决本题的关键．3．（2021·浙江绍兴市）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD 上，时钟中心在矩形ABCD 对角线的交点O 上．若30cm AB =，则BC 长为_______cm （结果保留根号）．【答案】303 【分析】根据题意即可求得∠MOD =2∠NOD ，即可求得∠NOD =30°，从而得出∠ADB =30°，再解直角三角形ABD 即可．【详解】解：∵时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD 上，时钟中心在矩形ABCD 对角线的交点O ， ∴∠MOD =2∠NOD ， ∵∠MOD +∠NOD =90°，∴∠NOD =30°，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD //BC ，∠A =90°，AD =BC ，∴∠ADB =∠NOD =30°，∴()30==303cm tan 30tan 30==AB BC AD 故答案为：【点睛】本题考查的矩形的性质、解直角三角形等知识；理解题意灵活运用所学知识得出∠NOD =30°是解题的关键．4．（2021·湖北武汉市）如图，海中有一个小岛A ，一艘轮船由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60︒方向上；航行12n mile 到达C 点，这时测得小岛A 在北偏东30方向上．小岛A 到航线BC 的距离是__________n mile 1.73≈，结果用四舍五入法精确到0.1）．【答案】10.4【分析】过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，根据题意，得∠ABC =30°，∠ACD =60°，从而得到AC =BC =12,利用sin 60°=AD AC计算AD 即可 【详解】过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，根据题意，得∠ABC =30°，∠ACD =60°，∴∠ABC =∠CAB =30°，∴AC =BC =12,∵sin 60°=AD AC ，∴AD =AC sin 60°=122⨯ 1.73610.38≈⨯=≈10.4故答案为：10.4. 【点睛】本题考查方位角，解直角三角形，准确理解方位角的意义，构造高线解直角三角形是解题的关键． 5．（2021·四川乐山市）如图，已知点(4,3)A ，点B 为直线2y =-上的一动点，点()0,C n ，23n -<<，AC BC ⊥于点C ，连接AB ．若直线AB 与x 正半轴所夹的锐角为α，那么当sin α的值最大时，n 的值为________．【答案】12【分析】设直线y ＝﹣2与y 轴交于G ，过A 作AH ⊥直线y ＝﹣2于H ，AF ⊥y 轴于F ，根据平行线的性质得到∠ABH ＝α，由三角函数的定义得到sin α5BA =，根据相似三角形的性质得到比例式234GB n n +=-，于是得到GB 14=-（n +2）（3﹣n ）14=-（n 12-）22516+，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，设直线y ＝﹣2与y 轴交于G ，过A 作AH ⊥直线y ＝﹣2于H ，AF ⊥y 轴于F ，∵BH ∥x 轴，∴∠ABH ＝α，在Rt △ABH 中，AB =,sin α5BA=，即sin α5BA = ∵sinα随BA 的减小而增大，∴当BA 最小时sinα有最大值；即BH 最小时，sinα有最大值，即BG 最大时，sinα有最大值， ∵∠BGC ＝∠ACB ＝∠AFC ＝90°，∴∠GBC +∠BCG ＝∠BCG +∠ACF ＝90°，∴∠GBC ＝∠ACF ，∴△ACF ∽△CBG ，∴BG CG CF AF=， ∵(4,3)A ，()0,C n 即234BG n n +=-，∴BG 14=-（n +2）（3﹣n ）14=-（n 12-）22516+， ∵23n -<<∴当n 12=时，BG 最大值2516=故答案为：12． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线证得△ACF ∽△CBG 是解题的关键．6．（2021·四川乐山市）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C 处测得石碑顶A 点的仰角为30，她朝石碑前行5米到达点D 处，又测得石顶A 点的仰角为60︒，那么石碑的高度AB 的长=________米．（结果保留根号）【分析】先根据已知条件得出△ADC 是等腰三角形，再利用AB =sin 60°×AD 计算即可 【详解】解：由题意可知：∠A =30°，∠ADB =60°∴∠CAD =30°∴△ADC 是等腰三角形，∴DA =DC 又DC =5米故AD =5米在Rt △ADB 中，∠ADB =60°∴AB =sin 60°×AD 5= 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形，熟练记忆特殊角的锐角三角函数值是关键 7．（2021·浙江）如图，已知在Rt ABC 中，90,1,2ACB AC AB ∠=︒==，则sin B 的值是______．【答案】12【分析】在直角三角形中，锐角B 的正弦=锐角B 的对边：直角三角形的斜边，根据定义直接可得答案． 【详解】解： 90,1,2ACB AC AB ∠=︒==，1sin ,2AC B AB ∴== 故答案为：12 【点睛】本题考查的是锐角的正弦的含义，掌握锐角的正弦的定义是解题的关键．8．（2021·浙江宁波市）如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，BEC △与FEC 关于直线EC 对称，点B 的对称点F 在边AD 上，G 为CD 中点，连结BG 分别与,CE CF 交于M ，N 两点，若BM BE =，1MG =，则BN 的长为________，sin AFE ∠的值为__________．【答案】2 1【分析】由BEC △与FEC 关于直线EC 对称，矩形,ABCD 证明,BEC FEC ≌再证明,BCN CFD ≌ 可得,BN CD = 再求解2,CD = 即可得BN 的长； 先证明,AFE CBG ∽ 可得：,AE EF CG BG = 设,BM x = 则,1,2,BE BM FE x BG x AE x ====+=- 再列方程，求解,x 即可得到答案． 【详解】解： BEC △与FEC 关于直线EC 对称，矩形,ABCD,BEC FEC ∴≌ 90,ABC ADC BCD ∠=∠=∠=︒90,,,,EBC EFC BEC FEC BE FE BC FC ∴∠=∠=︒∠=∠==,BM BE = ,BEM BME ∴∠=∠ ,FEC BME ∴∠=∠//,EF MN ∴ 90BNC EFC ∴∠=∠=︒， 90,BNC FDC ∴∠=∠=︒90BCD ∠=︒, 90,NBC BCN BCN DCF ∴∠+∠=︒=∠+∠,NBC DCF ∴∠=∠ ,BCN CFD ∴≌ ,BN CD ∴=矩形,ABCD //,//,AB CD AD BC ∴ ,BEM GCM ∴∠=∠,1,BEM BME CMG MG G ∠=∠=∠=为CD 的中点，,GMC GCM ∴∠=∠ 1,2,CG MG CD ∴=== 2.BN ∴=如图，,//,BM BE FE MN EF == 四边形ABCD 都是矩形，,//,90,AB CD AD BC A BCG ∴=∠=∠=︒ ,AEF ABG ∠=∠90,AFE AEF ABG CBG ∠+∠=︒=∠+∠ ,AFE CBG ∴∠=∠,AFE CBG ∴∽ ,AE EF CG BG ∴= 设,BM x = 则,1,2,BE BM FE x BG x AE x ====+=- 2,11x x x -∴=+ 解得：x = 经检验：x =x =2AE EF ∴== sin 1.AE AFE EF ∴∠=== 故答案为： 1. 【点睛】本题考查的是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，分式方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．9．（2021·四川乐山市）在Rt ABC 中，90C ∠=︒．有一个锐角为60︒，4AB =．若点P 在直线AB 上（不与点A 、B 重合），且30PCB ∠=︒，则CP 的长为________．2【分析】依据题意画出图形，分类讨论，解直角三角形即可．【详解】解：情形1：60A ∠=︒，则30B ∠=︒，，∵30PCB ∠=︒，∴60ACP ∠=︒，∴ACP △是等边三角形，∴122CP AC AB ===；情形2：60B ∠=︒，则30A ∠=︒，2BC =，AC =∵30PCB ∠=︒，∴CP AB ⊥，∴1122AC BC AB CP ⋅=⋅，解得CP =情形3：60B ∠=︒，则30A ∠=︒，2BC =，AC =∵30PCB ∠=︒，∴CP AC ==2．【点睛】本题考查解直角三角形，掌握分类讨论的思想是解题的关键．10．（2021·浙江杭州市）sin30°的值为_____． 【答案】12【详解】根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30°=12． 三、解答题1．（2021·青海）如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度2AD =米，且两扇门的大小相同（即AB CD =），将左边的门11ABB A 绕门轴1AA 向里面旋转35︒，将右边的门11CDD C 绕门轴1DD 向外面旋转45︒，其示意图如图2，求此时B 与C 之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据sin350.6︒≈，cos350.8︒≈ 1.4≈）．【答案】1.4米【分析】作BE ⊥AD 于点E ，作CF ⊥AD 于点F ，延长FC 到点M ，使得BE =CM ，则EM =BC ，在Rt △ABE 、Rt △CDF 中可求出AE 、BE 、DF 、FC 的长度，进而可得出EF 的长度，再在Rt △MEF 中利用勾股定理即可求出EM 的长，此题得解．【详解】解：作BE ⊥AD 于点E ，作CF ⊥AD 于点F ，延长FC 到点M ，使得BE =CM ，如图所示．∵AB =CD ，AB +CD =AD =2，∴AB =CD =1．在Rt △ABE 中，AB =1，∠A =35°，∴BE =AB •sin ∠A=1sin35⨯︒≈0.6，AE =AB •cos ∠A ≈0.8．在Rt △CDF 中，CD =1，∠D =45°，∴CF =CD •sin ∠D ≈0.7，DF =CD •cos ∠D ≈0.7．∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴BE ∥CM ，又∵BE =CM ，∴四边形BEMC 为平行四边形，∴BC =EM ，CM =BE ．在Rt △MEF 中，EF =AD -AE -DF =0.5，FM =CF +CM =1.3，∴EM ，∴B 与C 之间的距离约为1.4米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，构造直角三角形，利用勾股定理求出BC 的长度是解题的关键．2．（2021·四川成都市）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A 处安置测倾器，测得点M 的仰角33MBC ∠=︒，在与点A 相距3.5米的测点D 处安置测倾器，测得点M 的仰角45MEC ∠=︒ （点A ，D 与N 在一条直线上），求电池板离地面的高度MN 的长．（结果精确到1米；参考数据：sin330.54,cos330.84,tan330.65︒≈︒≈︒≈）【答案】8米【分析】过E 作EF ⊥MN 于F ，连接EB ，设MF =x 米，可证四边形FNDE ，四边形FNAB 均是矩形，设MF =EF =x ，可求FB = x +3.5，由tan ∠MBF =0.653.5MF x FB x =≈+，解得 6.5x ≈米，可求MN =MF +FN =6.5+1.6≈8米．【详解】解：过E 作EF ⊥MN 于F ，连接EB ，设MF =x 米，∵∠EFN =∠FND =∠EDN =∠A =90°， ∴四边形FNDE ，四边形FNAB 均是矩形，∴FN =ED =AB =1.6米，AD =BE =3.5米，∵∠MEF =45°，∠EFM =90°，∴MF =EF =x ,∴FB =FE +EB =x +3.5，∴tan ∠MBF =0.653.5MF x FB x =≈+，∴解得 6.5x ≈米，经检验 6.5x ≈米符合题意， ∴MN =MF +FN =6.5+1.6=8.1≈8米．【点睛】本题考查矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程，掌握矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程是解题关键．3．（2021·山东聊城市）时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A 处向正南方向走300米到达革命纪念碑B 处，再从B 处向正东方向走到党史纪念馆C 处，然后从C 处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D 处，最后从D 处回到A 处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【答案】420米【分析】过D 点分别作DE ⊥BC ，DF ⊥AB ，垂足分别是点E ，点F ．由三角函数可求120CE ≈，160DE ≈．可证四边形 BEDF 是矩形，可求AF ＝140,在Rt △ADF 中，利用三角函数可求DF ＝AF ·tan65°≈299.60.,可求BC ＝BE ＋CE ≈420（米）．【详解】解∶过D 点分别作DE ⊥BC ，DF ⊥AB ，垂足分别是点E ，点F ．由题意得，CDE ∠＝37°．在R △CDE 中∵sin 37,cos37,200CE DE CD CD CD︒=︒==， 200sin372000.60120CE ∴=⋅︒≈⨯=，200cos372000.80160DE =⋅≈⨯=︒．,,AB BC DE BC DF AB ⊥⊥⊥，90B DEB DFB ∴∠=∠=∠=︒．∴四边形 BEDF 是矩形，∴BE ＝DF ，BF ＝DE ＝160，∴AF ＝AB －BF ＝300－160＝140.在Rt △ADF 中，tan 65DF AF︒=，∴DF ＝AF ·tan65°≈140×2.14＝299.60. ∴BC ＝BE ＋CE ＝299.60＋120≈420（米）．所以，革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为 420米．【点睛】本题考查解直角三角形应用，矩形判定与性质，掌握锐角三角函数的定义与矩形判定和性质是解题关键．4．（2021·四川广元市）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D 点处时，无人机测得操控者A 的俯角为75︒，测得小区楼房BC 顶端点C 处的俯角为45︒．已知操控者A 和小区楼房BC 之间的距离为45米，小区楼房BC 的高度为米．（1）求此时无人机的高度；（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB 的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A ，B ，C ，D都在同一平面内．参考数据：tan 752︒=tan152︒=．计算结果保留根号）【答案】（1）()30米；（2）()6秒【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，解直角三角形即可求出DE 的值，进而得到DH 的值；（2）先利用特殊角的三角函数值求出∠BAC 的度数，接着求出∠GF A 的度数，作辅助线构造直角三角形求出DG 和GF ，进而得到DF 的值，最后除以无人机速度即可．【详解】解：如图1，过D 点作DH ⊥AB ，垂足为点H ，过C 点作CE ⊥DH ，垂足为点E ，可知四边形EHBC 为矩形，∴EH =CB ，CE =HB ，∵无人机测得小区楼房BC 顶端点C 处的俯角为45︒，测得操控者A 的俯角为75︒，DM ∥AB ，∴∠ECD =45°，∠DAB =75°，∴∠CDE =∠ECD =45°，∴CE =DE ，设CE =DE =HB =x ，∴AH =45-x ，DH =DE +EH =x +在Rt △DAH 中，DH =tan75°×AH =(()245x +-，即(()245x x +=-，解得：x =30，∴DH = 30∴此时无人机的高度为()30米； （2）如图2所示，当无人机飞行到图中F 点处时，操控者开始看不见无人机，此时AF 刚好经过点C ，过A 点作AG ⊥DF ，垂足为点G ，此时，由（1）知，AG =30（米），∴°30153===15tan 7523AG DG ++；∵1533tan =453BC CAB AB ∠==，∴°=30CAB ∠∵DF ∥AB ，∴∠DF A =∠CAB =30°，∴°45tan 30GA GF ==,∴=30DF GF DG -=,因为无人机速度为5米/秒，所以所需时间为3065（秒）；所以经过()6秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．【点睛】本题综合考查了解直角三角形的应用，涉及到了等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质、特殊角的三角函数值、解直角三角形等知识，解决本题的关键是读懂题意，能从题意与图形中找出隐含条件，能构造直角三角形求解等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．5．（2021·四川资阳市）资阳市为实现5G 网络全覆盖，2020－2025年拟建设5G 基站七千个．如图，在坡度为1:2.4i =的斜坡CB 上有一建成的基站塔AB ，小芮在坡脚C 测得塔顶A 的仰角为45︒，然后她沿坡面CB 行走13米到达D 处，在D 处测得塔顶A 的仰角为53︒（点A 、B 、C 、D 均在同一平面内）（参考数据：434sin 53,cos53,tan 53553︒≈︒≈︒≈）（1）求D 处的竖直高度；（2）求基站塔AB 的高．【答案】（1）5米；（2）19.25米【分析】（1）过点D 作DE ⊥CM ，根据坡度及勾股定理求DE 的长度；（2）延长AB 交CM 于点F ，过点D 作DG ⊥AF ，则四边形DEFG 是矩形，然后利用锐角三角函数和坡度的概念解直角三角形【详解】解：（1）过点D 作DE ⊥CM∵斜坡CB 的坡度为1:2.4i =∴设DE =x ，则CE =2.4x在Rt △CDE 中，222(2.4)13x x +=解得：x =±5（负值舍去）∴DE =5 即D 处的竖直高度为5米；（2）延长AB 交CM 于点F ，过点D 作DG ⊥AF ，则四边形DEFG 是矩形∴GF =DE =5，CE =2.4DE =12，由题意可得：∠ACF =45°，∠ADG =53°设AF =CF =a ，则DG =EF =a -12，AG =AF -GF =a -5∴在Rt △ADG 中，tan 53AG DG ︒=，54123a a -=-解得：a =33 经检验：33a =符合题意，∴DG =33-12=21， 又∵斜坡CB 的坡度为1:2.4i =∴12.4BG DG =，121 2.4BG =解得：BG =8.75 ∴AB =AF -GF -BG =19.25即基站塔AB 的高为19.25米．【点睛】本题考查解直角三角形、坡度、坡角、仰角、勾股定理、三角函数等知识，熟练掌握这些知识就解决问题的关键，属于中考常考题型．6．（2021·江苏宿迁市）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P 处测得正前方水平地面上某建筑物AB 的顶端A 的俯角为30°，面向AB 方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B 的俯角为45°，已知建筑物AB 的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1≈1.414≈ =1.732)．【答案】无人机飞行的高度约为14米．【分析】延长PQ ，BA ，相交于点E ，根据∠BQE ＝45°可设BE ＝QE ＝x ，进而可分别表示出PE ＝x ＋5，AE＝x －3，再根据sin ∠APE ＝AE PE ，∠APE ＝30°即可列出方程35x x -=+ 【详解】解：如图，延长PQ ，BA ，相交于点E ，由题意可得：AB ⊥PQ ，∠E ＝90°，又∵∠BQE ＝45°，∴BE ＝QE ，设BE ＝QE ＝x ，∵PQ ＝5，AB ＝3，∴PE ＝x ＋5，AE ＝x －3，∵∠E ＝90°，∴sin ∠APE ＝AE PE ，∵∠APE ＝30°，∴sin30°＝35x x -=+解得：x ＝7≈14，答：无人机飞行的高度约为14米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角问题，难度适中，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．7．（2021·浙江嘉兴市）一酒精消毒瓶如图1，AB 为喷嘴，BCD ∆为按压柄，CE 为伸缩连杆，BE 和EF 为导管，其示意图如图2，108DBE BEF ∠=∠=︒，6cm BD =，4cm BE =．当按压柄BCD ∆按压到底时，BD 转动到'BD ，此时'//BD EF （如图3）．（1）求点D 转动到点'D 的路径长；（2）求点D 到直线EF 的距离（结果精确到0.1cm ）．（参考数据：sin360.59︒≈，cos360.81︒≈，tan360.73︒≈，sin720.95︒≈，cos720.31︒≈，tan72 3.08︒≈）【答案】（1）65π；（2）点D 到直线EF 的距离约为7.3cm ．【分析】（1）根据题目中的条件，首先由108DBE BEF ∠=∠=︒，'//BD EF ，求出'D BE ∠，再继续求出'DBD ∠，点D 转动到点'D 的路径长，是以BD 为半径，B 为圆心的圆的周长的一部分，根据'DBD ∠占360︒的比例来求出路径；（2）求点D 到直线EF 的距离，实际上是过点D 作EF 的垂线交EF 于某点，连接两点所确定的距离即为所求，但这样做不好求解．于是把距离拆成两个部分，放在两个直角三角形中，分别利用直角三角形中锐角三角函数知识求出每段的距离，再求和即为所求．【详解】解：（1）如图，∵'//BD EF ，108BEF ∠=︒，∴'18072D BE BEF ∠=︒-∠=︒．∵108DBE ∠=︒，∴''1087236DBD DBE D BE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．又∵6BD =，∴点D 转动到点'D 的路径长()3666cm 1805ππ⨯⨯==． （2）如图，过点D 作'DG BD ⊥于点G ，过点E 作'EH BD ⊥于点H ．在Rt DGC △中，sin DG DBD BD'∠=∴sin36 3.54DG BD =⋅︒≈． 在Rt BHE 中，sin EH EBH BE ∠=∴sin72 3.80EH BE =⋅︒≈． ∴ 3.54 3.807.347.3DG EH +=+=≈．又∵'//BD EF ，∴点D 到直线EF 的距离约为7.3cm ．【点睛】本题考查了两点间转动的路径问题、点到直线的距离问题，锐角三角函数知识，解题的关键是：确定路径是在圆上，占圆周长的多少，就转化成角度间的比值问题了；距离问题，当直接求解比较困难的时候，看是否能把所求拆分成几个部分，再逐一突破．8．（2021·江苏连云港市）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB 摆成如图1所示．已知 4.8m AB =，鱼竿尾端A 离岸边0.4m ，即0.4m AD =．海面与地面AD 平行且相距1.2m ，即 1.2m DH =．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC 与海面HC 的夹角37BCH ∠=︒，海面下方的鱼线CO 与海面HC 垂直，鱼竿AB 与地面AD 的夹角22BAD ∠=︒．求点O 到岸边DH 的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角53BAD ∠=︒，此时鱼线被拉直，鱼线 5.46m BO =，点O 恰好位于海面．求点O 到岸边DH 的距离．（参考数据：3sin 37cos535︒=︒≈，4cos37sin 535=︒︒≈，3tan 374︒≈，3sin 228︒≈，15cos2216︒≈，2tan 225︒≈）【答案】（1）8.1m ；（2）4.58m【分析】（1）过点B 作BF CH ⊥，垂足为F ，延长AD 交BF 于点E ，构建Rt ABE △和Rt BFC △，在Rt ABE △中，根据三角函数的定义与三角函数值求出BE ,AE ;再用BE EF +求出BF ，在Rt BFC △中，根据三角函数的定义与三角函数值求出FC ，用CF AE AD CH ;（2）过点B 作⊥BN OH ，垂足为N ，延长AD 交BN 于点M ，构建Rt ABM 和Rt BNO ，在Rt ABM 中，根据53°和AB 的长求出BM 和AM ，利用BM +MN 求出BN ，在Rt BNO 中利用勾股定理求出ON ，最后用HN +ON 求出OH ．【详解】（1）过点B 作BF CH ⊥，垂足为F ，延长AD 交BF 于点E ，则AE BF ⊥，垂足为E ． 由cos AE BAE AB∠=，∴cos 22 4.8︒=AE ，∴1516 4.8=AE ，即 4.5AE =， ∴ 4.50.4 4.1=-=-=DE AE AD ，由sin BE BAE AB ∠=，∴sin 22 4.8︒=BE ， ∴38 4.8=BE ，即 1.8BE =，∴ 1.8 1.23=+=+=BF BE EF ． 又tan ∠=BF BCF CF ，∴3tan 37︒=CF ，∴334=CF ，即4CF =， ∴4 4.18.1=+=+=+=CH CF HF CF DE ，即C 到岸边的距离为8.1m ．（2）过点B 作⊥BN OH ，垂足为N ，延长AD 交BN 于点M ，则AM BN ⊥，垂足为M ． 由cos ∠=AM BAM AB ，∴cos53 4.8︒=AM ，∴35 4.8=AM ， 即 2.88=AM ，∴ 2.880.4 2.48=-=-=DM AM AD ． 由sin ∠=BM BAM AB ，∴sin 53 4.8︒=BM ，∴45 4.8=BM ， 即 3.84=BM ，∴ 3.84 1.2 5.04=+=+=BN BM MN ．∴ 2.1====ON ，∴ 4.58=+=+=OH ON HN ON DM ，即点O 到岸边的距离为4.58m ．【点睛】本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解题关键在于构造合适的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置关系求线段长度．9．（2021·浙江绍兴市）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l ，底座AB 固定，高AB 为50cm ，连杆BC 长度为70cm ，手臂CD 长度为60cm ．点B ，C 是转动点，且AB ，BC 与CD 始终在同一平面内，（1）转动连杆BC ，手臂CD ，使143ABC ∠=︒，//CD l ，如图2，求手臂端点D 离操作台l 的高度DE 的长（精确到1cm ，参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈）．（2）物品在操作台l 上，距离底座A 端110cm 的点M 处，转动连杆BC ，手臂CD ，手臂端点D 能否碰到点M ？请说明理由．【答案】（1）106cm ；（2）能碰到，见解析【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数值解直角三角形即可完成求解；（2）求出端点D 能够到的最远距离，进行比较即可得出结论．【详解】解：（1）过点C 作CP AE ⊥于点P ，过点B 作BQ CP ⊥于点Q ，如图1，143ABC ∠=︒，53CBQ ∴∠=︒，∴在Rt BCQ △中，()sin53700.856CQ BC cm =⋅︒≈⨯=， ()50PQ AB cm ==．//CD l ，()5650106DE CP CQ PQ cm ∴==+=+=．∴手臂端点D 离操作台 l 的高度DE 的长为106cm ．。
(完整)【解直角三角形】专题复习(知识点+考点+测试)(2),推荐文档
一、直角三角形的性质《解直角三角形》专题复习1、直角三角形的两个锐角互余A几何表示：【∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°】2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
1D几何表示：【∵∠C=90°∠A=30°∴BC= AB 】23、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
几何表示：【∵∠ACB=90° D 为 AB 的中点 ∴ CD= 1 AB=BD=AD 】2C B4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 几何表示：【在 Rt△ABC 中∵∠ACB=90° ∴ a 2 + b 2 = c 2 】5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项， 每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。
即：【∵∠ACB=90°CD⊥AB∴ CD 2 = AD • BDAC 2 = AD • AB BC 2 = BD • AB 】6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。
（ a • b = c • h ）由上图可得：AB • CD=AC • BC二、锐角三角函数的概念如图，在△ABC 中，∠C=90°sin A = ∠A 的对边 =a斜边 c cos A = ∠A 的邻边 =b斜边 c tan A = ∠A 的对边 =a∠A 的邻边 b cot A = ∠A 的邻边 =b ∠A 的对边 a锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数锐角三角函数的取值范围：0≤sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.三、锐角三角函数之间的关系（1） 平方关系(同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于 1) sin 2 A + cos 2 A = 1 （2） 倒数关系（互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数） tanA • tan(90°—A)=1； cotA • cot(90°—A)=1； （3） 弦切关系tanA= sin A cos A cotA= cos Asin A （4） 互余关系(互为余角的两个角，它们相反函数名的值相等) sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)30°23 60°C仰角俯角北东南iα1tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)四、特殊角的三角函数值A说明：锐角三角函数的增减性，当角度在 0°~90°之间变化时. （1） 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） B（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） A（3） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4） 余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）2五、 解直角三角形2 在 Rt△中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三 角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
中考数学考点分类复习——解直角三角形
2021中考数学考点分类复习——解直角三角形一、选择题1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若tanA=512，则sinA=（ ） A ．1213 B 、512 C 、135 D 、5132．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300 m ，250 m ，200 m ；线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝（ ）A.甲的最高B.乙的最低C.丙的最低D.乙的最高 3.在Rt △ABC 中，∠C =90°，若sinA =513，则cos A 的值为( )A.512B.813C. 23D.12134．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的正弦值为（ ） A ．B ．C ．D ．5．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（ ）A ．c=sin a A B ．c=cos aAC ．c=a ·tanAD ．以上都不是 6．在△ABC 中，若tanA=1，sinB=22，你认为最确切的判断是（ ） A.△ABC 是等腰三角形 B.△ABC 是等腰直角三角形 C.△ABC 是直角三角形 D.△ABC 是一般锐角三角形7．如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为（ ）A．2m B．2m C．（2﹣2）m D．（2﹣2）m8. 某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45∘，再往摩天轮的方向前进50m至D处，测得最高点A的仰角为60∘．问摩天轮的高度AB 约是（）米（结果精确到1米，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）A.120B.117C.118D.1199. 如图是一台54英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图（其中ABCD是矩形）．设∠ADO=α，彩电后背AD与前沿BC的距离为60cm，若AO=100cm，则墙角O到前沿BC的距离OE是（）A.(60+100sinα)cmB.(60+100cosα)cmC.(60+100tanα)cmD.(60−100sinα)cm10.如图，Rt△ABC中，∠A=30°，∠ABC=90°.将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△AˈBCˈ.此时恰好点C在AˈCˈ上，AˈB交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为A. 13B. 12C. 23D. 3411.在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=40°，BC=10，若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是()A. B.C. D.12.如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）A．B．（m C．4 m D．（m13.如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知sinα=513，则小车上升的高度是()A. 5米B. 6米C. 6.5米D. 7米14.将一副三角板按如图方法摆放在一起，连接AC，则tan∠DAC值为()A. 1B. 12C. √3+12D. √3215.河堤横断面如图所示，堤高BC =5米，迎水坡AB 的坡比是1：√3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，则AC 的长是( )A. 5√3米B. 10米C. 15米D. 10√3米二．填空题16.计算：2−1×√12+2cos30°=______．17.王英同学从A 地沿北偏西60°方向走100米到B 地，再从B 地向正南方向走200米到C 地，此时王英同学离A 地的距离是______米．18.已知α、β均为锐角，且满足|cosα−12|+√tanβ−√3=0，则α+β的度数为______ ．19.已知△ABC 中，AB =AC =6 cm ，cosB =13，则BC 的长为 cm ．20.如果在某建筑物的A 处测得目标B 的俯角为37∘，那么从目标B 可以测得这个建筑物的A 处的仰角为________．21.已知等腰∆ABC ，AB AC =，BH 为腰AC 上的高，3BH =，tan 3ABH ∠=，则CH 的长为______22.如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米．23. 如图，要在宽AB为20米的瓯海大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD与灯柱BC成120∘角，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线（即O为AB的中点）时照明效果最佳，若CD=√3米，则路灯的灯柱BC高度应该设计为________米．（计算结果保留根号）．24. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在格点上，则sin A=________．25.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=______．26.如图，在∆ABC中，AD是BC上的高，tan B＝cos∠DAC，若sin C＝1213，BC＝12，则AD的长_____27.如图,P 是∠α的边OA 上一点, 且P 点坐标为(3,4),则αsin = ,αcos =______.28.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，延长斜边AB 到点D ，使BD =AB 2，连结DC.若tan ∠ABC =2，则tan ∠BCD 的值是______ ．29. 如图，已知AD 是等腰△ABC 底边上的高，且tan B =34．AC 上有一点E ，满足AE:CE =2:3．那么tan ∠ADE 的值是________．30.如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A 处飞机的飞行高度是AF =3700米，从飞机上观测山顶目标C 的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B 地，此时观察目标C 的俯角是50°，则这座山的高度CD 是______ 米(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20)三、解答题31.计算：2sin245∘+tan60∘⋅tan30∘−cos60∘32．由下列条件解题：在Rt△ABC中，∠C=90°（1）已知a=1，b=2，求c．（2）已知b=5，∠B=60°，求a，c．（3）已知c=8，∠A=60°，求a，b．33. 已知电线杆AB直立于地面，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上．如果CD与地面成45∘，∠A=60∘，CD=4√2米，BC=(4√3−4)米，求电线杆AB的长．34.如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB 的长。
数学专题复习_图形与几何2：解直角三角形(锐角三角函数)
图形与几何2：:解直角三角形二.知识框图三.知识要点1.直角三角形边角关系．（1）三边关系：勾股定理：222a b c += ；勾股定理的逆定理：若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形. 若c 2=a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形。
（若c 2>a 2+b 2则△ABC 是以∠C 为钝角的三角形，若c 2<a 2+b 2则△ABC 是以∠C 为锐角三角形）（2）三角关系：∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B =∠C=90°． （3）边角关系（锐角三角函数的概念）sin A A ∠=的对边斜边，叫做A ∠的正弦；cos A A ∠=的邻边斜边，叫做A ∠的余弦；tan A A A ∠=∠的对边的邻边，叫做A ∠的正切.2.特殊角的三角函数值3.三角函数常用公式互为余角的三角函数关系．sin（90°－A）=cosA， cos（90°－A）=sin A tanA×tan（90°－A）=1 同角的三角函数关系．①平方关系：sin2A+cos2A=l ②弦切互化：sin tancosAAA4. 测量中常用的概念：仰角、俯角、坡度、坡比、倾斜角、方位角等北东MNBA四.典型例题（考点）例1.计算ooo5sin302cos60tan 45-－ o o oo2cos 45tan 30sin 45tan 60-+⋅例2．如图所示，已知：在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=4+，•求△ABC 的面积（结果可保留根号）．例3.已知：如图所示，在△ABC 中，AD 是边BC 上的高，E•为边AC•的中点，BC=14，AD=12，sinB=45，求：（1）线段DC 的长；（2）tan ∠EDC 的值．例4.如图，MN 表示某隧道挖掘工程的一段设计路线，MN 的方向为南偏东30°.在M 的南偏东60°方向上有一个点A ，以点A 为圆心、600米为半径的圆形区域为土质疏松地带（危险区）.取MN 上一点B ，测得BA 的方向为南偏东75°.已知MB ＝400米，请你通过计算回答，如果不改变方向，挖掘路线是否会通过这1.411.73）Ａ图形与几何（2） （解直角三角形）一、填空题1.在ABC Rt △中，490tan 3C A ∠==，，则sin B 的值是（ ） Ａ．35Ｂ．45Ｃ．34 Ｄ．432.Rt ABC △中，90C ∠=，a b c ，，分别A B C ∠∠∠，，的对边，下列关系中错误的是（ ）Ａ．cos b c B =Ｂ．tan b a B = Ｃ．sin b c B = Ｄ．tan a b A =3.如图，CD 是ABC Rt △斜边上的高，43AC BC ==，， 则cos BCD ∠的值是（ ）A.35 B.34 C.43 D.454.如图，已知一坡面的坡度i =α为（ ） Ａ．15Ｂ．60°Ｃ．30Ｄ．455.如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠ABC 等于（ ） A. 5 B.552 C. 55D.326.住宅小区有一块草坪如图所示，已知3AB =米，4BC =米，12CD =米，13DA =米，且AB BC ⊥，这块草坪的面积是（ ） Ａ．24米2Ｂ．36米2Ｃ．48米2 Ｄ．72米27.已知：如图8，梯形ABCD 中，451208AD BC B C AB ===∥，∠，∠，，则CD 的长为（ ）Ｂ．Ｄ．8.如图，PT 切⊙O 于T ，BP 为经过圆心O 的割线，如果 PT ＝4，PA ＝2那么cos∠BPT 等于（ ）A ．45B ．12C ．38D ．349.数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC 和△DEF ，•数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S △ABC ，小颖画的三角形面积记作S △DEF ，那么你认为（ ）A ．S △ABC >S △DEFB ．S △ABC <S △DEF C ．S △ABC =S △DEFD ．不能确定小敏画的三角形 小颖画的三角形10.已知α为锐角，且αtan 为方程0322=--x x 的一个实数根，则αsin 的值为（ ）A.22 B. 1010 C. 10103 D. 3 二、填空题1.直角三角形的两边长分别为6、8，则第三边的长为 ．2.锐角A 满足()2sin 15A -=A =∠___________．3.如图，小亮在操场上距离旗杆AB 的C 处，用测角仪测得旗杆顶端A 的仰角为30．已知9BC =米，测角仪的高CD 为1.2米，那么旗杆AB 的高为 米（结果保留根号）．4.在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°则BC= ,S △ABC ＝ 三、解答题：1.计算：tan 45cos60sin 30+t an 30°＋cos 230°－sin 245°tan 45°2.在Rt △ABC 中,∠C=90°,a,b,c 分别是∠A,∠B, ∠C 的对边. (1)已知a=3,c=23,求∠A; (2)已知a=6,b=2,求c 及∠A; (3)已知c=104,∠A=45°,求a 及b3．已知，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F•处，•如果AB=8cm ，BC=10cm ，(1)求EC 的长；(2)在线段BC 上还能找到点P 使∠APE=90°吗，求出此时的BP 长.4.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠= ，45C ∠=，BE CD ⊥于点E ，1AD =，CD =BE 的长度.5.如图，一块四边形土地，其中120ABD AB AC BD CD AB ∠==，⊥，⊥，，CD =，求这块土地的面积6.阅读下列题目的解题过程：已知a 、b 、c 为∆ABC 的三边，且满足a c b c a b 222244-=-，试判断∆ABC 的形状。
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αCBA2021中考数学专题复习：锐角三角函数一、知识网络⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⇒⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==+⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∠∠=∠∠=∠∠=∠⇒测量应用定义）边角关系：（三角函数边边关系：角角关系：依据的过程。
已知元素求出未知元素定义：由直角三角形的解直角三角形系互余两锐角三角函数关同角三角函数关系的三角函数值、、的邻边的对边正切：斜边的邻边余弦：斜边的对边正弦：定义22202200090tan 1604530tan c b a B A Con Sin Con Sin A A A A A Cos A A Sin ααααα 二、根本知识点与典型题型 知识点1：锐角三角函数定义Rt △ABC 中，∠C=900,锐角A 的对边与斜边的比值叫∠A 的正弦，记作SinA=ca;锐角A 的邻边与斜边的比值叫∠A 的余弦，记作CosA=c b ; 锐角A 的对边与邻边的比值叫∠A 的正切，记作tanA=ba . 例1：〔1〕〔2021年贵州毕节〕在正方形网格中，ABC △的位置如下图，那么cos B ∠的值为〔 〕A ．12B ．22C ．32D ．33〔2〕〔2021 湖北孝感〕如图，△ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上，那么A ∠tan 的值是 〔 〕A ．56 B ．65C ．3102D ．10103 〔3〕〔2021湖南常德〕在Rt△ABC 中,∠C=90°,假设AC=2BC,那么sin A 的值是( )A ．12B ．2C ．55D ．52〔4〕〔2021浙江金华〕“赵爽弦图〞是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，那么tan α的值等于 ▲ .〔5〕如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，那么以下结论正确的选项是〔 〕 A ．3sin 2A =B ．1tan 2A = C ．3cos 2B = D ．tan 3B =(6)在Rt △ABC 中，∠C=90°，a = 1 , c = 4 , 那么sinA 的值是 ( )锐角三角三角函数αA 、1515 B 、41 C 、31D 、415 知识点2：同角三角函数关系：〔1〕122=+ααCon Sin；〔2〕αααtan =Con Sin例2．〔1〕在A ABC 中，∠C=90°，sinB=53，那么cosA 的值是 ( ) A ．43 B ．34 C ．53 D ．54 〔2〕〔2021 黄冈〕在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，那么tanB ＝ 〔 〕 A ．43 B ．34 C ．35 D ．45〔3〕〔2021湖南怀化〕在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=54，那么cosB 的值等于〔 〕 A ．53 B. 54 C. 43D. 55〔4〕〔2021黔东南州〕x 为锐角，且31cos =α，求αααsin 1cos tan ++的值。
知识点3：特殊角的三角函数值α 300450600Sin α2122 23 Cos α23 22 21 tan α33 13例3：〔1〕〔2021辽宁丹东市〕计算：242(2cos 45sin 60)4︒-︒+． 〔2〕033sin 602cos 458-+； 〔3〕 计算2(2)tan 452cos 60-+-。
； 〔4〕()02cos602009π9--+° 知识点4：解直角三角形解直角三角形就是由直角三角形的元素求未知元素的过程。
直角三角形各元素之间的关系有： 〔1〕090=+B A 角角关系：； 〔2〕222cb a =+边边关系：〔3〕边角关系：x A A A A A Cos A A Sin ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∠∠=∠∠=∠∠=∠的邻边的对边正切：斜边的邻边余弦：斜边的对边正弦：tan 直角三角形中各元素间的关系是解直角三角形的依据，因此，解直角三角形的关键是正确选择直角三角形的边角关系式，使两个元素〔其中至少有一个元素是边〕和一个未 知元素共处于这个关系式中，其四种类型的解法如下表： 一边一角条件解法斜边c 和一个锐角A①；②③一条直角边a 和一个锐角AB=900-A ；②b=Aatan ；③c=SinAa 两边斜边c 和一条直角边a① ② 利用求A;③两条直角边a,b① ；② 利用，求A;③例4〔1〕〔2021山东日照〕如图，在等腰Rt△ABC 中，∠C =90o，AC =6，D 是AC 上一点，假设tan∠DBA =51，那么AD 的长为〔A 〕 2 〔B 〕3 〔C 〕2 〔D 〕1 〔2〕如图，AC=1，求BD 。
〔3〕〔2021四川攀枝花〕如图４，AD 是等腰△ABC 底边上的高，且tan ∠B=43,AC 上有一点E ，满足AE:CE=2:3那么tan ∠ADE 的值是〔 〕 A ．53 B ．98 C ．54 Ｄ．97 (4)如图，中，∠B=45°，∠C=30°，BC=3+，求AB 的长。
知识点5. 解直角三角形与实际问题利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤是：123ADEBC1.弄清题目中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；2．将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系经，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形。
常见的名词和术语有：1.仰角和俯角：这两种角均为水平线与观测线所夹的角，当观测线在水平线上方时，夹角为“仰角〞，当观测线在水平线下方时，夹角为“俯角〞。
2.坡度和坡角：如下图；坡度；坡角为坡面与水平面的夹角3. 方向角：从南北方向线较近的一端起，到目标方向线的夹角，如下图：射线OA 为北偏东60°，射线OB 为南偏西30°，此外，东、南、西、北四个方向角平分线分别是东北、东南、西南、西北。
例5：〔1〕 〔2021浙江宁波〕 如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC 为3米，引桥的坡角∠ABC 为15°，那么引桥的水平距离BC 的长是 ▲ 米(精确到0.1米) . 〔2〕〔2021 山东东营〕如图，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB ＝α，那么AB 等于〔 〕(A) m ·sin α米 (B) m ·tan α米 (C) m ·cos α米 (D)αtan m米 〔3〕如图，在某建筑物AC 上，挂着“多彩云南〞的宣传条幅BC ，小明站在点F 处，看条幅顶端B ，测的仰角为30°，再往条幅方向前行20米到达点E 处，看到条幅顶端B ，测得仰角为60°，求宣传条幅BC 的长，〔小明的身高不计，结果精确到0.1米〕〔4〕一艘轮船自西向东航行，在A 处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C ，继续向东航行60海里到达B 处，测得小岛C 此时在轮船的东偏北63.5°方向上，之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C 最近？〔参考数据：〕〔5〕 如图，水池的横断面为梯形ABCD ，迎水坡BC 的坡角B 为30°，背水坡AD 的坡度，坝底宽DC=2.5m ，坝高CF=4.5m 。
求：〔1〕坝底AB 的长；〔2〕迎水坡BC 的长；〔3〕迎水坡BC 的坡度。
〔6〕如图，在△ABC 中，∠A=900，D 是AB 上一点，∠ACD=370，∠BCD=26030/，AC=60，求AD ，CD 及AB 的长。
〔以下数据供选用5337sin 0≈，5437cos 0≈，43370≈tg ，34370≈ctg 〕 CBAABCmα(第8题图)D CBA23°20°〔7〕某船向正东航行，在A 处望见灯塔C 在东北方向，前进到B 处望见灯塔C 在北偏西300，又航行了半小时到D 处，望见灯塔C 恰在西北方向，假设船速为每小时20海里。
求A 、D 两点间的距离。
〔结果不取近似值〕 〔8〕〔2021 中山〕. 如下图，A 、B 两城市相距100km.现方案在这两座城市间修筑一条高速公路〔即线段AB 〕，经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上.森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内.请问方案修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？〔参考数据：414.12,732.13≈≈〕〔9〕〔2021 南京〕如图，山顶建有一座铁塔，塔高CD=30m,某人在点A 出测得塔底C 的仰角为20°，塔顶D 的仰角为23°，求此人距CD 的水平距离AB.〔参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364，sin23°≈0.391，cos23°≈0.921，tan23°≈0.424〕〔10〕〔本小题总分值8分〕图1为已建设封项的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂AB 与地面EH 平行，测得A 点到楼顶D 点的距离为5m ，每层楼高3.5m ，AE 、BF 、CH 都垂直于地面，EF ＝16cm ，求塔吊的高CH 的长． 解：三、2021年中考试题汇编一、选择题 1．〔2021辽宁丹东市〕如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，她与树之间的水平距1 2A ．〔53332+〕m B ．〔3532+〕m C ． 533m D ．4m 2．〔2021山东日照〕如图，在等腰Rt△ABC 中，∠C =90o，AC =6，D 是AC 上一点，假设tan∠DBA =51，那么AD 的长为〔A 〕 2 〔B 〕3 〔C 〕2 〔D 〕13．〔2021四川凉山〕在ABC △中，90C ∠=，设sinB n =，当B ∠是最小的内角时，n 的取值范围是A ．202n <<B ．102n << C ．303n << D ．302n << BA ED C30°CBA4．〔2021四川眉山〕如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，那么∠ABC 的度数为456与地面所成的角为θ，那么tan θ的值等于(▲)6．〔2021 浙江台州市〕如图，矩形ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ．那么DM +CN 的值为〔用含a 的代数式表示〕(▲)A ．aB ．a 54C ．a 22D ． a 237．〔2021 黄冈〕在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，那么tanB ＝ 〔 〕 A ．43 B ．34 C ．35 D ．458．〔2021湖北荆门〕计算2sin 45°的结果等于〔 〕A ．2B ．1C ．22D ．21 9．〔2021湖南常德〕在Rt△ABC 中,∠C=90°,假设AC=2BC,那么sin A 的值是( )A ．12B ．2C ．55D ．5210．〔2021湖南怀化〕在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=54，那么cosB 的值等于〔 〕 A ．53 B. 54 C. 43D. 5511．〔2021湖北随州〕在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，那么tanB ＝ 〔 〕 A ．43 B ．34 C ．35 D ．4512．〔2021黑龙江哈尔滨〕在7,35,90,==∠=∠∆AB B C ABC Rt中，那么BC 的长为〔 〕aNMCDAB〔第9题〕〔A 〕35sin 7〔B 〕35cos 7〔C 〕35cos 7〔D 〕．35tan 713.〔2021 福建三明〕如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥AB ，AD=CD 54cos =∠DCA ，BC=10，那么AB 的值是〔 〕A ．9B ．8C ．6D ．31314 18192015．〔2021 山东东营〕如图，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB ＝α，那么AB 等于〔 〕(A) m ·sin α米 (B) m ·tan α米 (C) m ·cos α米 (D) αtan m米 16．〔2021 天津〕sin30︒的值等于〔A 〕12〔B 〕22〔C 〕32〔D 〕117〔2021 内蒙古包头〕在Rt ABC △中，390sin 5C A ∠==°，，那么tan B 的值为〔 〕 A ．43B ．45C ．54D ．3418.〔2021 广西钦州市〕如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上距离楼底O 点20 m 的点A 处，测得楼顶B 点的仰角∠OAB ＝65°，那么这幢大楼的高度为〔结果保存3个有效数字〕．〔A 〕42.8 m 〔B 〕42.80 m 〔C 〕42.9 m 〔D 〕42.90 m19.〔2021新疆维吾尔自治区新疆建设兵团〕 如图〔1〕是一张Rt △ABC 纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个三角形，如图〔2〕，那么在Rt △ABC 中，sin ∠B 的值是〔 〕20．〔2021年山西〕在90,=∠∆C ABC Rt 中，假设将各边长度都扩大为原来的2倍，那么∠A 的正弦值A ．扩大2倍B ．缩小2倍C ．扩大4倍D ．不变21．〔2021广东茂名〕∠A 是锐角，sinA=53，那么5cosA= 22.〔2021黑龙江绥化〕直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，AD=DC=22，那么BC 的长为〔 〕 A.3 B.42C. 32D.2323.．〔2021四川攀枝花〕如图４，AD 是等腰△ABC 底边上的高，且tan ∠B=43,AC 上有一点E ，满足AE:CE=2:3那么tan ∠ADE 的值是〔 〕 A ．53 B ．98 C ．54 Ｄ．97二、填空题1．〔2021江苏南通〕如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，M 、N 两点ABCmα(第8题图)第16题A BO 65ºAD EB图4CA〔第17题〕BDM C··关于对角线AC 对称，假设DM =1，那么tan ∠ADN = ▲ ． 2．〔2021四川凉山〕1∠的正切值等于 。