二次函数k值计算公式
二次函数所有公式
二次函数所有公式二次函数是高中数学中的重要内容之一，也是一种简单而常用的函数形式。
它的标准形式可表示为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c是实数，且a ≠ 0。
在这篇文章中，我将介绍二次函数的一些重要公式和性质。
一、基本概念和定义1. 定义：二次函数是一种具有形式f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是实数，且a ≠ 0。
2.顶点：二次函数的图像是一个抛物线，它的顶点是图像的最低点（如果a>0）或最高点（如果a<0）。
（h，k）表示顶点的坐标，其中h=-b/（2a），k=f(h)。
3.轴对称：二次函数的图像是关于顶点所在的直线x=h对称的。
4.开口方向：如果a>0，则图像开口向上；如果a<0，则图像开口向下。
二、常用公式1. 零点：二次函数的零点是函数值为0时对应的x值。
可以使用求根公式x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a 来求解二次方程ax² + bx + c = 0的根。
2. 判别式：判别式是二次方程的求解公式中的一部分，其定义为D = b² - 4ac。
判别式可以判断二次方程的根的性质：a)如果D>0，则方程有两个不相等的实数根。
b)如果D=0，则方程有两个相等的实数根。
c)如果D<0，则方程没有实数根。
3. 平移公式：对于二次函数y = ax² + bx + c，若向左平移h个单位，得到函数y = a(x - h)² + bx + c；若向右平移h个单位，得到函数y = a(x + h)² + bx + c；若向上平移k个单位，得到函数y = a(x - h)² + bx + c + k；若向下平移k个单位，得到函数y = a(x - h)² +bx + c - k。
4. 拉伸和压缩公式：对于二次函数y = ax² + bx + c，若a > 1，则函数的图像在x轴方向上被缩短；若0 < a < 1，则函数的图像在x轴方向上被拉长；若a < 0，则函数的图像上下翻转。
二次函数(最全的中考二次函数知识点总结
二次函数(最全的中考二次函数知识点总结二次函数基础知识二次函数的概念是指形如22y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数。
其中，a、b、c是常数。
与一元二次方程类似，二次函数的定义域是全体实数。
二次函数的结构特征是等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
二次函数的各种形式之间可以通过变换相互转化。
例如，用配方法可将二次函数y=ax^2+bx+c化为y=a(x-h)^2+k的形式，其中h=(-b/2a)，k=(4ac-b^2)/4a。
二次函数的解析式可以表示为一般式、顶点式或两根式。
其中，一般式是2y=ax^2+bx+c，顶点式是y=a(x-h)^2+k，两根式是y=a(x-x1)(x-x2)。
二次函数的图象可以用五点绘图法画出。
首先将二次函数化为顶点式，然后确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，最后在对称轴两侧左右对称地描点画图。
二次函数y=ax^2的性质与a的符号有关。
当a>0时，开口向上，顶点坐标为(0,0)；当a<0时，开口向下，顶点坐标为(0,0)。
顶点坐标为b/2ac−b2/4a以上是二次函数的基本性质，其中y轴和对称轴是直线，顶点是一个点，开口方向和最值是由a的符号决定的。
在具体应用中，可以利用这些性质来帮助我们解决问题。
例如，求函数的最值、确定函数的图像等等。
顶点决定抛物线的位置。
对于几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向和大小完全相同，只是顶点位置不同。
在二次函数2y=ax^2+bx+c中，a、b、c 与函数图像的关系是：抛物线。
二次项系数a在函数中起着决定性的作用。
当a>0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；当a<0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大。
因此，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小。
二次函数(最全地中考二次函数知识点总结)
.二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分二次函数基础知识相关概念及定义二次函数的概念：一般地，形如y ax2bx c（ a ，b ，c是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0 ，而 b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．二次函数 yax2bx c 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式， x 的最高次数是 2．⑵ a ，b，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数，c 是常数项．二次函数各种形式之间的变换二次函数 y ax 2bx c 用配方法可化成： y a x h 2k 的形式，其中b， k 4ac b2h4a .2ay ax2；② y ax2k ；③ y a x h2二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；④ y a x h 2k ；⑤ y ax2bx c .二次函数解析式的表示方法一般式：y ax2bx c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ）；顶点式：y a (x h)2k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ）；两根式：y a (x x1 )(xx2 )（ a 0 ， x1， x2是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即2 4ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次b函数解析式的这三种形式可以互化.二次函数y ax2的性质a 的符号开口方向顶点坐标对称轴a 0 向上0 ，0y 轴a0向下0 ，0 y 轴性质x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时，y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 有最小值 0 ．x 0 时，y随x的增大增大而减小； x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 有最大值 0．二次函数 y ax2 c 的性质a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质性质a 0 0 ，c x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 随向上y 轴x 的增大而减小； x 0 时， y 有最小值 c ．a 0 0 ，c x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 随向下y 轴x 的增大而增大； x 0 时， y 有最大值 c ．二次函数 y ax2h 的性质：a 的符开口方向顶点坐标对称轴性质号a 0 向上h ，0 X=h x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 0 ．..a 0 向下 h ，0X=h x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随x 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 0 ．二次函数 y ax2 k 的性质ha 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴性质a 0h ，k x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h时， y 随向上 X=h x h 时， y 有最小值 k ．x 的增大而减小； a 0向下 h ，kx h 时， y 随 x 的增大而减小； x h时， y 随X=h x h 时， y 有最大值 k ．x 的增大而增大； 抛物线 y ax 2bx c 的三要素：开口方向、对称轴、顶点 .a 的符号决定抛物线的开口方向：当 a 0 时，开口向上；当 a 0 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.对称轴：平行于 y 轴（或重合）的直线记作 b. 特别地， y 轴记作直线 x0. x2a顶点坐标坐标： （ b 4ac b 22a ， ）4a a 相同，那么抛物线的开口方向、顶点决定抛物线的位置 . 几个不同的二次函数， 如果二次项系数开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.抛物线yax 2bx c 中， a, b, c 与函数图像的关系 二次项系数 a二次函数y ax 2bx c 中， a 作为二次项系数，显然 a 0 ． ⑴ 当 a 0 时，抛物线开口向上， a 越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；⑵ 当 a 0 时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大． 总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大 小．一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在 a 0 的前提下，当 b 0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；2a当 b 0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；2a当 b 0 时，b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧． 2a ⑵ 在 a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b 0 时， b0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b 0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；2a当 b 0 时， b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧．2a b 决定了抛物线对称轴的位置．总结起来，在 a 确定的前提下， 总结：常数项 c⑴ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为0 ；..⑶ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．总之，只要 a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．求抛物线的顶点、对称轴的方法24ac b 2b 4ac b 2 公式法：y 2 bx b ax c a x 4a ，∴顶点是（ ， ），对称轴是2a 2a 4a直线 x b.2a y a x h 2配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为k 的形式，得到顶点为 ( h , k ) ，对称轴是直线 x h .运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平 分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 用待定系数法求二次函数的解析式一般式： y ax 2bx c . 已知图像上三点或三对x 、 y 的值，通常选择一般式 . 顶点式： y a x h 2k . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x 1 、 x 2 ，通常选用交点式： y a x x 1 xx 2 . 直线与抛物线的交点y 轴与抛物线 y ax 2bx c 得交点为(0,c ). 与 y 轴平行的直线 x h 与抛物线 y ax 2bx c 有且只有一个交点( h ,ah 2 bh c ). 抛物线与 x 轴的交点 : 二次函数 yax 2bx c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x 1 、 x 2 ，是 对应一元二次方程 ax 2bx c0 的两个实数根 . 抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元 二次方程的根的判别式判定：①有两个交点0 抛物线与 x 轴相交； ②有一个交点（顶点在x 轴上） 0 抛物线与 x 轴相切； ③没有交点0 抛物线与 x 轴相离 . 平行于 x 轴的直线与抛物线的交点k ，则 可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为横坐标是 ax 2bx c k 的两个实数根 .一次函数 y kx n k 0 的图像 l 与二次函数y ax 2bx c a 0 的图像 G 的交点，由 方程组 y kx n的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时l 与 G 有两个交点 ;y ax 2bx c②方程组只有一组解时l 与 G 只有一个交点；③方程组无解时 l 与 G 没有交点 .抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线y ax 2bx c 与 x 轴两交点为 A x 1，0 ， B x 2，0 ，由于 x1、x2是方程 ax2bx c 0 的两个根，故x1x2b, x1 x2ca a2b2AB x1 x2x1x2 2 x1x2 2 4x1 x2 b 4c 4acaa a a二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于 x 轴对称y2b x关c于 x 轴对称后，得到的解析式是y ax2bx c；a xy a x2 k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是y a x h2h k ；关于 y 轴对称..2y a x b x 关c于 y 轴对称后，得到的解析式是2y a x hk 关于 y 轴对称后，得到的解析式是关于原点对称y2 b x 关c于原点对称后，得到的解析式是a xy a x2h关k于原点对称后，得到的解析式是y ax2bx c ；y a x h2k ；y ax2bx c ；y a x h2k；关于顶点对称y2b x c2 b2a x y ax bx c ；关于顶点对称后，得到的解析式是2 22ay a xhk 关于顶点对称后，得到的解析式是y k ．a x h关于点m，n 对称y a x h 2 k 关于点 m，n 对称后，得到的解析式是y a x2kh 2m 2n总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图象的平移平移步骤：y a x 2k ，确定其顶点坐标h ，k⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式h；⑵保持抛物线 y ax2的形状不变，将其顶点平移到h ，k处，具体平移方法如下：y=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位平移|k|个单位平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。
二次函数特点及应用
三、要充分利用抛物线“顶点”的作用.
1、要能准确灵活地求出“顶点” .形如y=a（x＋h）2＋K →顶点（－h,k），对于其它形式的二次函数，我们可化为顶点式而求出顶点.
列表：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
-9
描点，连线成如图13-11所示不能反映其全貌的图象。
正解：由解析式可知，图象开口向下，对称轴是x＝-1,顶点坐标是(-1，-1)
列表：
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-4
-3
-2
-1
0
1
2
y
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-1.5
-5.5
描点连线：如图13-12
图13-11
例如，要研究抛物线L1∶y＝x2-2x+3与抛物线L2∶y＝x2的位置关系，可将y＝x2-2x+3通过配方变成顶点式y＝(x-1)2+2，求出其顶点M1(1，2)，因为L2的顶点为M2(0，0)，根据它们的顶点的位置，容易看出：由L2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即得L1；反之，由L1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，即得L2.
活动步骤：①举例：x²=y；x²+1=y；x²+x=y；x²+x+1=y。②画直角坐标系；列表（找出（x，y））；描点；连线。③小组一起观察图像并讨论他们的共同点。记下讨论结果。④利用统式（ax²+bx+c=y）证明讨论结果的必然性。
二次函数求值问题四注意
二次函数求值问题四注意浙江 唐伟锋二次函数是历年来中考试题所关注的重点内容之一，为帮助大家正确理解并掌握二次函数解题中的一般技巧与方法，现结合实例就二次函数求值过程中应该注意的四个问题小结说明如下——一、注意函数中二次项系数的条件限制例1、若函数232(3)1k k y k x kx -+=-++是二次函数，求k 的值。
解：由题意可得2322k k -+=，解之得10k =，23k =。
∵当3k =时，二次项系数3330k -=-=，不合题意，∴符合题意的k 的值为0k =。
例2、若二次函数2(1)232y m x mx m =-++-有最大值为0，求m 的值。
解：由题意可知，该函数顶点的纵坐标为2244(1)(32)(2)044(1)ac b m m m y a m ----===-，解之得112m =，22m =。
∵当2m =时，二次项系数121>0m -=-，原函数只有最小值而无最大值，∴符合题意的m 的值为12m =。
评析：在根据题意求得二次函数中未知字母参数的具体取值后，必须将其代入二次项系数进行检验，如果该字母的取值不符合题意（如：使二次项系数的值为0或二次项系数的正负性不满足题目要求等等），那么这个值就必须舍去。
二、注意函数中其它项系数的符号限制 例3、已知对称轴在y 轴右侧的二次函数2222y x kx k k =-++-的图象经过原点，求k 的值。
解：由题意可得220k k +-=，解之得12k =-，21k =。
∵函数图象对称轴在y 轴右侧，∴2>022b k x k a -===--，∴符合题意的k 的值为1k =。
例4、若抛物线22(1)9y x m x m =--+与x 轴的交点坐标为（3，0），且该抛物线与y 轴的交点位于x 轴上方，求m 的值。
解：由题意，将（3，0）代入抛物线解析式得293(1)90m m --+=，解之得14m =，21m =-。
完整版)二次函数公式汇总
完整版)二次函数公式汇总文章中存在的格式错误已被删除，以下是改写后的文章：求解二次函数的顶点、对称轴、解析式和与x轴的交点等问题，是二次函数的基本内容。
下面将对这些问题进行讲解。
1.求解抛物线的顶点和对称轴：抛物线的顶点是（h，k），对称轴是直线x=h。
其中，对称轴在y轴左侧。
2.用待定系数法求二次函数的解析式：二次函数的解析式有三种形式：一般式y=ax2+bx+c、顶点式y=a(x-h)2+k和交点式y=a(x-x1)(x-x2)。
这三种形式可以互相转化。
但只有当抛物线与x轴有交点时，解析式才可以用交点式表示。
3.求解二次函数的解析式：已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式y=ax2+bx+c；已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式y=a(x-h)2+k；已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式y=a(x-x1)(x-x2)。
4.求解抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点为A(x1,0)和B(x2,0)，则AB的长度为| x1-x2 |=| (x1+x2)/2 |。
5.求解点A(x1,y1)和点B(x2,y2)之间的距离：点A(x1,y1)和点B(x2,y2)之间的距离为√[(x1-x2)2+(y1-y2)2]。
6.求解直线的斜率：直线的斜率为k=tanα=(y2-y1)/(x2-x1)。
7.求解点P(x0,y0)到直线ax+by+c=0的距离：点P(x0,y0)到直线ax+by+c=0的距离为d=|ax0+by0+c|/√(a2+b2)。
8.平移口诀：对于二次函数的平移，上加下减，左加右减。
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达。
其中，关于x轴对称的解析式为y=-ax2-bx-c或y=-a(x-h)2-k，关于y轴对称的解析式为y=ax2-bx+c或y=a(x+h)2-k，关于原点对称的解析式为y=ax2+bx或y=a(x-h)2.当抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称时，解析式变为y=ax2-bx+c。
二次函数y=a^2k的图象与性质—知识讲解
二次函数y=a^2k的图象与性质—知识讲解二次函数是代数学中一个重要的概念，其图象对应的是一个抛物线。
二次函数的一般形式可以表示为y=a(x-h)^2+k，其中a、h和k分别代表了二次函数的系数。
在二次函数的图象中，a决定了抛物线的开口方向和曲率，h决定了抛物线的平移，k决定了抛物线的顶点位置。
首先，我们来讨论二次函数的开口方向和曲率。
当a>0时，抛物线开口向上，称为正抛物线；当a<0时，抛物线开口向下，称为负抛物线。
a 的绝对值越大，抛物线的曲率越大，即抛物线越陡峭。
当a=1时，抛物线的曲率最小，为标准抛物线，图象为y=x^2；当a=-1时，抛物线的曲率最大，为倒置的标准抛物线，图象为y=-x^2其次，我们来讨论二次函数的平移。
平移的操作可以通过h来实现，当h>0时，抛物线向左平移；当h<0时，抛物线向右平移。
h的绝对值越大，平移的距离越大。
例如，对于函数y=(x-2)^2，图象相对于标准抛物线y=x^2向右平移了2个单位。
最后，我们来讨论二次函数的顶点位置。
顶点的横坐标由h决定，顶点的纵坐标由k决定。
当h>0时，顶点向左移动；当h<0时，顶点向右移动。
当k>0时，顶点在x轴上方；当k<0时，顶点在x轴下方。
例如，对于函数y=(x-2)^2+3，顶点坐标为(2,3)。
可以发现，顶点就是抛物线的最低点或最高点。
除了开口方向、曲率、平移和顶点位置，二次函数还有一些其他的性质。
首先，二次函数的对称轴是通过顶点的一条直线，对称轴与抛物线的开口方向垂直。
对称轴的方程可以通过x=h得到。
例如，对于函数y=(x-2)^2+3，对称轴的方程为x=2、其次，二次函数关于对称轴对称。
也就是说，如果(a,b)是抛物线上的一点，那么关于对称轴得到的点(a,2k-b)也在抛物线上。
最后，二次函数是一个连续函数，即它的图象是一条平滑的曲线。
总结起来，二次函数的图象是一个抛物线，其开口方向、曲率、平移和顶点位置由系数a、h和k决定。
二次函数的三个公式
二次函数的三个公式
二次函数是一种形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、
c是实数且a ≠ 0。
二次函数的图像是一个抛物线。
在数学中，有三个公式与二次函数密切相关，它们是顶点坐标公式、
对称轴公式和根与系数关系公式。
一、顶点坐标公式：
xv = -b / (2a)
yv = f(xv) = a(xv)^2 + b(xv) + c
其中，xv为二次函数的顶点横坐标，yv为二次函数的顶点纵坐标。
二、对称轴公式：
x=-b/(2a)
其中，x为二次函数的自变量。
三、根与系数关系公式：
二次函数与其根之间存在一个重要的关系，称为根与系数关系公式。
通过根与系数关系公式，可以通过二次函数的根来推导二次函数的系数。
设二次函数的两个根为x1和x2，则有以下关系：
x1+x2=-b/a
x1*x2=c/a
其中，x1和x2分别为二次函数的两个根。
通过这两个根与系数a、b、c之间的关系，可以确定二次函数的具体形式。
总结：
通过以上三个公式，我们可以在已知二次函数的系数时，求解二次函数的顶点坐标、对称轴方程以及根与系数关系。
这些公式在求解二次函数相关问题时非常实用，能够帮助我们更好地理解和应用二次函数的性质。