【变量和函数】教(学)案

对《变量与函数》的教学研究
郑超予
一．内容和内容解析
【内容】变量与函数的概念
【内容解析】
“14.1变量与函数”是人教版义务教育课程标准实验教科书八年级上册第十四章第一单元，本设计是第1课时，引导学生从生活实例中抽象出常量、变量与函数等概念，其中函数的概念是本节核心内容．函数概念的核心是两个变量间的特殊对应关系：（1）由哪一个变量确定另一个变量；（2）唯一对应关系.如果直接研究某个量y有一定困难，我们可以去研究另一个与之有关的量x，从而达到研究的目的.这也是一种化繁为简的转化思想。

本节课是函数入门课，首先必须准确认识变量与常量的特征，初步感受到现实世界各种变量之间联系的复杂性，同时感受到研究主要从化繁就简入手，在初中阶段主要研究两个变量之间的特殊对应关系．本设计把重点放在认识“两个变量间的特殊对应关系：由哪一个变量确定另一变量；唯一确定的含义。

”而函数图象较为直观形象，有助于学生理解函数的概念，因此把函数图象中的部分内容提前到本课时学习。

二．目标和目标解析
【目标】理解常量、变量与函数的概念．
【目标解析】
（1）借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量．初步理解存在一类变量可
以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系。

初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系。

（2）借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简。

（3）从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣。

学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科。

三、教学问题诊断分析
变量与函数的概念把学生由常量数学的学习引入变量数学学习中。

学生知道代数式中的字母可以表示数，方程中的未知数求出来后也是一个“已知数”，从“静态”的角度理解字母所表示的数，另外，学生在日常生活中也接触到函数图象、两个变量的关系等朴素的函数关系的生活实例。

但是学生初次接触函数的概念，难以理解定义中“唯一确定”的准确含义。

【教学重点】借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念。

【教学难点】怎样理解“唯一对应”．
四、教学过程设计
（一）导言：
我们生活在一个运动的世界中，周围的事物都是运动的，例如：地球在宇宙中的运动这一问题，此时地球在宇宙中的位置随着时间的变化而变化，这是生活中的常识，学生都很容易理解。

再例如，气温随着高度的升高而降低，年龄随着时间的增长而增长。

这几个问题中都涉及两个量的关系，地球的位置与时间，温度与高度，年龄与时间。

【设计意图】从学生的生活入手，开门见山，在极短的时间(一两分钟)内指明本节课的学习内容。

现实世界中各种量之间的联系纷繁复杂，应向学生说明我们数学的研究方法是化繁就简，本节课只关注一类简单的问题。

（二）概念的引入
1.票房收入问题：每张电影票的售价为10元。

（1）若一场售出150张电影票，则该场的票房收入是元；若售出205张、310张呢？
（2）若一场售出x张电影票，则该场的票房收入y元，则y= 。

思考：
（1）票房收入随售出的电影票变化而变化，即y随的变化而变化；
（2）当售出票数x取定一个确定的值时，对应的票房收入y的取值是否唯一确定？
2．行程问题：汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶里程为s 千米，行驶时间为t小时.请根据题意填表：
思考：
行驶路程随的变化而变化，有关系式s= ，即s随的变化而变化；
3.气温问题：图一是北京春季某一天的气温Ｔ随时间t变化的图象，看图回答：
（1）这天的8时的气温是℃，14时的气温是℃，最高气温是℃，最低气温是℃；
（3）这一天中，在4时~12时，气温（），在16时~24时，气温（）。

A.持续升高
B.持续降低
C.持续不变
思考：
（1）天气温度随 的变化而变化，即T 随 的变化而变化；
（2）当时间t 取定一个确定的值时，对应的温度T 的取值是否唯一确定？
【设计意图】这三个问题中都含有变量之间的单值对应关系，通过研究这些问题引出常量、变量、函数等概念，通过这种从实际问题出发开始讨论的方式，使学生体验从具体到抽象地认识过程。

问题的形式有填空、列表、求值、写解析式、读图等，隐含着在函数关系中表示两个变量的对应关系有解析法、列表法、图象法。

（三）概念的界定
思考：上述三个问题中，分别涉及哪些量的关系？那些量是变化的？那些量是不变的？哪个量的变化导致另一个量的变化而变化？在一个问题中，当一个量取了确定的值之后，另一个量对应的能取几个值？
在上面的三个问题中，其中一个量的变化引起另一个量的变化（按照某种规律变化），变化的量叫做变量；有些量的值始终不变（例如电影票的单价10元……）．并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定，且它的对应值只有一个。

教师根据学生的回答，在黑板上板书：
售出票数－－－－票房收入
行驶时间－－－－行驶路程
时间－－－－－－－－气温
学生们会得出：⎪⎩
⎪⎨⎧只有一个值与之对应取一个确定值的时候，当的变化而变化随着都是变量都有两个变量y x x y y x ,
师生对上述三个问题进行分析，找出它们的共性，归纳出函数的概念。

在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y总有唯一的值与它对应，我们就说x是自变量，y是x的函数。

【设计意图】（1）如何把具体的实例进行抽象，形式化为数学知识是本课的关键。

这里提出的问题“上述三个问题中，分别涉及哪些量的关系？通过哪一个量可以确定另一个量？”是一个关键的“脚手架”，借助“脚手架”，学生经历数学概念的形成过程，引导学生认识为什么要引进变量、常量、函数的概念，逐步了解如何给数学概念下定义。

（2）此处板书是“脚手架”的重要组成部分，揭示“两个量的对应关系”。

问题回顾：指出前面三个问题中涉及到的量，并指出其中的变量、常量、自变量与函数。

【设计意图】巩固常量、变量、自变量、函数的概念。

例1一个三角形的底边为5，这一边上的高h可以任意伸缩。

（1）高h的变化会引起三角形中哪些量发生变化？这些变量是高h
的函数吗？
（2）试求面积s随h变化的关系式，并指出其中的常量、变量与自变量。

例2 如果用r表示圆的半径，半径r的变化会引起圆中哪些量发生变化？这些变量是半径r的函数吗？
【设计意图】例1、例2的引入用几何画板做动态演示。

此两例引导学生体会几何问题中两个变量在动态变化过程中的依存关系。

例3 问题1中，售出票数是票房的函数吗？问题2中，学号x是成绩f 的函数吗？
【设计意图】（1）引导学生从逆向思维的角度进行思考，更全面地理解函数的概念。

（2）培养学生逆向思维的习惯。

（3）让学生对这三个问题留下更深刻的印象，特别是“成绩问题，”它将在函数这一章书的教学中反复被引用，帮助学生深入理解函数的概念。

（四）概念巩固
1.请同学们找出这些函数的常量、变量、自变量和函数：
(1) y =3000-300x； (2) y=x； (3) S= 2r∙
π；
解：(1)常量是3000，－300；变量是x，y；自变量是x；y是x的函数。

(2)常量是1；变量是x，y；自变量是x；y是x的函数。

(3)常量是π；变量是r，s；自变量是r；s是r的函数。

2.根据所给的条件，写出y与x的函数关系式：
① y 比 x的1/3 少2。

② y 是 x的倒数的4倍。

③矩形的周长是18 cm ,它的长是ycm，宽是x cm。

④等腰三角形的顶角度数y与底角x的关系。

【设计意图】（1）例题和巩固练习，巩固变量与函数等概念，让学生充分体会到许多问题中的变量关系都存在着函数关系，隐含着在函数关系中表示两个变量的对应关系有解析法、列表法、图象法。

（2）练习二提出具有实际背景的问题有利于学生理解函数，在理解了函数的基础上，让学生自己根据题意写出函数关系。

（五）概念辨析
1.两个变量x、y满足关系式，填表并回答问题：
y是x的函数吗？为什么？
2.下列各图中，表示y是x的函数的有_________________（可以多选）。

3．你能举出涉及两个变量的例子吗？它们具有函数关系吗？
【设计意图】理解函数概念的核心是“①由哪一个变量确定另一个变量；②唯一对应关系”，给定自变量x的任意一个值就有唯一确定的y 的值和它对应，这样的对应可以是“自变量的一个取值对应因变量的一个取值”（简称“一对一”），也可以是“自变量的多个取值对应因变量的同一个取值”（简称“多对一”），但不可以是“自变量的同一个取值对应因变量的多个取值”（简称“一对多”）。

（六）质疑、小结
1．这一节课你有什么收获？还有什么疑问？你可以编一道题考一考同学，也可以向同学请教。

2．函数是一种“数”吗？
【设计意图】通过小结，让学生抓住函数概念的实质。