运筹学3.2割平面算法
割平面法——精选推荐
3 割平面法割平面法是通过生成一系列的平面割掉非整数部分来得到最优整数解的方法。
目前，割平面法有分数割平面法，原始割平面法，对偶整数割平面法，混合割平面法等。
我们介绍Gomory割平面法（纯整数规划割平面法）用例子说明割平面法基本思想。
例5-8求下列问题：Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 ≤25x 1≤82x 2 ≤10x 1,x 2 ≥0,且取整数值化成标准问题Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 + x 3 =25x 1+ x 4=82x 2 + x 5 =10x j 0,且取整数值松驰问题(P)Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 + x 3 =25x 1+ x 4=82x 2 + x 5 =10x j 0松驰问题(P)用单纯形法求解得到最优解：B（8，9/4）Z=22（3/4）但不是原问题（IP）的解，（IP）可行域是OABDE内的全部方格点组成。
BD E O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 1X 2引进割平面法l 1: x 1+ x 2=10割去非整数部分FBG l 2: x 1+2x 2=12 割去非整数部分HDGFGB F D E l 1O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 12l 2G B F H D E O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 12GH E O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 12形成新的凸可行域OAGHE （整点凸包），它的极点G （方格点）是原规划（IP ）的最优解（8，2）Z=22。
约束条件：l 1: x 1+ x 2≤10l 2: x 1+2x 2≤12称为割平面。
问题是如何寻找割平面？松驰问题(P)Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 + x 3 =25x 1+ x 4=82x 2 + x 5 =10x j 0初始单纯形表C 2 3 0 0 0bΘC B X B X1X2X3X4X50 X3 2 4 1 0 0 250 X4 1 00 1 0 80 X50 20 0 1 10σC2 3 0C B X B X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 bΘ2 X 1 1 0 0 1 0 8 0 X 5 0 0 -1/2 1 1 11/2 3X 2 0 1 1/4 -1/20 9/4 σ0 -3/4 -1/20 91/4最终单纯形表:最优解（8,9/4,0,0,11/2）Z =91/4C2 3 0C B X B X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 bΘ2 X 1 1 0 0 1 0 8 0 X 5 0 0 -1/2 1 1 11/2 3X 2 0 1 1/4 -1/20 9/4 σ0 -3/4 -1/20 91/4X 2相应的方程：x 2+(1/4)x 3 –(1/2) x 4 =9/4x 2+(1/4)x 3 –(1/2) x 4 =9/4把所有系数分解成整数和非负真分数之和。
割平面法
31/7=4+3/7 于是，（1）式变为
4 1 3 x4 ( 1 ) x3 (3 ) x5 4 7 7 7
⑵
将所有整数项放在等式的左边，非整数值项放 在右边，得
3 4 1 x4 x3 3x5 4 x3 x5 7 7 7
⑶
⑶式左边是一个整数值，右边是一个小于１的 数。由于是等式，所以，右边应该是一个小于 或等于０的整数值，即
二、构造割平面约束的方法
在松弛问题的最优表中，设 b的分量bko不是 整数，将其分成整数与非负分数之和，即
bko Nko fko, 其中N ko为不超过bko的最大整数， fko为非负真分数; bko 所在行中的每一个非基 变量xj的系数分成整数与非负分数两部分：
ako , j Nko , j fko , j
１、求出松弛问题的最优解，若全部变量为整数解， 停止计算；否则转２。
２、构造割平面方程 •构造方法 割平面约束具备两个性质： ⑴ 已获得的非整数最优解不满足该线性约束， 从而保证在以后的解中不可能再出现。
⑵ 所有的整数解皆满足该线性约束，从而保 证整数规划问题的最优解始终都保留在每次所 形成的、新的线性规划问题的可行域中。 我们通过下面的例子来说明构造这种线性约束 的思路。
第二节 解纯整数规划的割平面法
一、 割平面方法的基本思想和步骤
二、构造割平面约束的方法
三、示例
一、 割平面方法的基本思想和步骤
•基本思想： 在IP问题的松弛问题中依次引进线性约束（称 Gomory约束或割平面），使问题的可行域逐步缩 小，所割去的区域仅包含问题的部分非整数解；当 规划问题的最优解恰好位于缩小的可行域的一个顶 点时，算法结束。 •求解步骤
割平面法-运筹学整数规划
第二节 分枝定界法(Branch and Bound method)
引言：穷举法对小规模的问题可以。大规模问题则不行。
一、基本思想和算法依据
基本思想是：先求出相应的线性规划最优解，若此解不 符合整数条件，则其目标函数的值就是整数规划问题最优值 的上界，而任意满足整数条件的可行解的目标函数值将是其 下界（定界），然后将相应的线性规划问题进行分枝，分别 求解后续的分枝问题。如果后续分枝问题的最优值小于上述 下界, 则剪掉此枝; 如果后续某一分枝问题的最优解满足整数 条件，且其最优值大于上述下界，则用其取代上述下界，继
s .t
2 x1 x1 , x 2
x2 0
6
x1 , x 2取整数
19
解: 1 求解相应的线性规划得
cj
4
CB
XB
b
x1
0
x3
20
4
0
x4
6
2
检验数
0
4
0
x3
8
0
4
x4
3
1
检验数
-12
0
3
x2
8 /3
0
4
x1
5 /3
1
检验数
-4 4 /3
0
3
0
0
x2
x3
x4
5
1
0
1
0
1
3
0
0
3
1
-2
1 /2
-3x3 - x4 -3 引 得入松弛变量x5，将其加入到原规划的约束条件中，利用上述最终1表5
cj
1
CB
XB
b
x1
0
x3
1
python割平面法
python割平面法割平面法是一种用于求解凸多面体的优化问题的方法，它通过不断割平面来逼近最优解。
本文将介绍割平面法的基本原理和应用，并通过一个简单的例子来说明其具体操作过程。
割平面法是一种求解凸多面体的线性规划问题的有效方法。
在线性规划中，我们需要找到满足一组线性约束条件的目标函数取得最优值的变量取值。
而割平面法则通过不断添加新的线性约束条件来逼近最优解。
我们需要将线性规划问题转化为标准形式。
标准形式的线性规划问题可以写成如下形式：max c^T xs.t. Ax ≤ bx ≥ 0其中，c是目标函数的系数向量，x是变量向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的常数向量。
割平面法的基本思想是通过不断添加新的线性约束条件来逼近最优解。
具体操作过程如下：1. 初始化：将原始约束条件转化为等式形式，并添加一个非负约束条件x ≥ 0。
将初始可行解设为x^0。
2. 求解：使用线性规划求解器求解当前的线性规划问题，得到最优解x^*和对应的目标函数值z^*。
3. 检验：判断当前解x^*是否满足所有约束条件，如果满足则终止算法，输出最优解x^*和对应的目标函数值z^*；否则转到下一步。
4. 割平面：添加一个新的线性约束条件，将当前解x^*加入约束条件中，得到一个新的约束条件。
将新的约束条件添加到线性规划问题中，得到一个新的线性规划问题。
5. 更新：更新线性规划问题，将新的线性规划问题转化为标准形式。
6. 转到步骤2，继续迭代求解新的线性规划问题，直到找到最优解。
通过不断割平面的过程，割平面法可以逐步逼近最优解。
由于每次迭代都添加了一个新的约束条件，所以割平面法可以保证每次迭代的解都更接近最优解。
割平面法在实际应用中有很多优点。
首先，它可以解决一般的线性规划问题，不需要对问题进行特殊的处理。
其次，割平面法可以适用于高维问题，具有较好的扩展性。
此外，割平面法还可以用于求解整数规划问题，通过将整数规划问题转化为线性规划问题，然后使用割平面法求解。
《运筹学》第5章 整数规划(割平面法)
第５章整数规划（割平面法）求解整数规划问题：Max Z=3x1+2x22x1+3x2≤144x1+2x2≤18x1,x2≥0，且为整数解：首先，将原问题的数学模型标准化，这里标准化有两层含义：（1）将不等式转化为等式约束，（2）将整数规划中所有非整数系数全部转化为整数，以便于构造切割平面。
从而有：Max Z=3x1+2x22x1+3x2+x3=142x1+x2+x4=9x1,x2≥0，且为整数利用单纯形法求解，得到最优单纯形表，见表1：表1最优解为：x1=13/4, x2=5/2, Z=59/4根据上表，写出非整数规划的约束方程，如：x2+1/2x3-1/2x4=5/2 (1)将该方程中所有变量的系数及右端常数项均改写成“整数与非负真分数之和”的形式，即：(1+0)x2+(0+1/2)x3+(-1+1/2)x4=2+1/2把整数及带有整数系数的变量移到方程左边，分数及带有分数系数的变量称到方程右边，得：x2 - x4-2 =1/2-(1/2x3+1/2x4) (2)由于原数学模型已经“标准化”，因此，在整数最优解中，x2和x4也必须取整数值，所以(2)式左端必为整数或零，因而其右端也必须是整数。
又因为x3,x4 0，所以必有：1/2-(1/2x3+1/2x4)<1由于(2)式右端必为整数，于是有：1/2-(1/2x3+1/2x4)≤0 (3)或x3+x4≥1 (4)这就是考虑整数约束的一个割平面约束方程，它是用非基变量表示的，如果用基变量来表示割平面约束方程，则有：2x1+2x2≤11 (5)从图1中可以看出，(5)式所表示的割平面约束仅割去线性规划可行域中不包含整数可行解的部分区域，使点E(3.5，2)成为可行域的一个极点。
图1在(3)式中加入松弛变量x5，得：-1/2x3-1/2x4+x5=-1/2 (6)将(6)式增添到问题的约束条件中，得到新的整数规划问题：Max Z=3x1+2x22x1+3x2+x3=142x1+x2+x4=9-1/2x3-1/2x4+x5=-1/2x i≥0，且为整数，i=1,2,…,5该问题的求解可以在表1中加入(6)式，然后运用对偶单纯形法求出最优解。
第三节 割平面法
割平面法的基本思想是：首先不考虑 整数条件，增加另外的约束条件，把原来 的可行域切掉一部分，被切掉的部分不包 含任何整数可行解. 经过有限次的切割， 最终得到某个顶点的坐标恰好是整数，并
且是问题的最优解.
例如 求解整数规划问题
max Z x1 x2 x1 x2 1 3 x1 x2 4 x1 , x2 0 x , x 为整数 1 2
32 7 3 11 7
1 0 0
0 1 0
0 0 1
17 0 17
-1 7 1 -22 7
表3-4
S
-59 0 0 0 -1 -8
x1 x2 x3
fi 0
32 7 3 11 7
1 0 0
0 1 0
0 0 1
17 0 17
-1 7 1 -22 7
以 x1 为来源行得割平面不等式：
j m 1
x2
割平面
1
C (1, 1)
3 7 x1 , x2 = 4 4 max Z 10 4
1
x1
回到一般问题上：
整数规划（A）
max S c j x j a
j 1 n ij n
松弛问题（B）
max S c j x j a
j 1 n j 1 ij n
加入松弛变量 y1 ，得割平面方程
7 22 x3 1 22 x4 y1 1 2
将割平面方程表达的约束条件加到单纯形表 的最后一行，并把松弛变量补到最后一列
表3-3
S
-63 92 72 1 2 0 1 0 0 0 0 1 0 - 28 11 -1 22 7 22 -7 22 -15 11 3 22 1 22 -1 22 0 0 0 1
割平面法
§3割平面法割平面法也是求解整数规划问题常用方法之一。
3.1基本思路用割平面法求解整数规划的基本思路是：先不考虑整数约束条件，求松弛问题的最优解，如果获得整数最优解，即为所求，运算停止。
如果所得到最优解不满足整数约束条件，则在此非整数解的基础上增加新的约束条件重新求解。
这个新增加的约束条件的作用就是去切割相应松弛问题的可行域，即割去松弛问题的部分非整数解(包括原已得到的非整数最优解)。
而把所有的整数解都保留下来，故称新增加的约束条件为割平面。
当经过多次切割后，就会使被切割后保留下来的可行域上有一个坐标均为整数的顶点，它恰好就是所求问题的整数最优解。
即切割后所对应的松弛问题，与原整数规划问题具有相同的最优解。
下面以全整数规划问题的割平面法为例，介绍割平面的求解过程。
3.2求解步骤与举例割平面法的具体求解步骤如下：1.对于所求的整数规划问题(4.2)，先不考虑整数约束条件，求解相应的松弛问题（4.6）2.如果该问题无可行解或已取得整数最优解，则运算停止；前者表示原问题也无可行解，后者表示已求得整数最优解。
如果有一个或更多个变量取值不满足整数条件，则选择某个变量建立割平面。
3.增加为割平面的新约束条件，用前面介绍的灵敏分析的方法继续求解，返回1。
下面介绍割平面的建立方法及其求解过程。
例1 求解下列整数规划问题（4.7）解引入松弛变量，写成标准形式：(4.8)对上述模型不考虑整数条件，用单纯形法求解相应松弛问题的最终单纯形表为（表4-2）表4-215/38/3-13/3显然，为非整数解。
为求得整数解，我们想办法在原约束条件的基础下引入一个新的约束条件，以保证一个或几个变量取值为整数。
为此，在表4-2中任选一个取值非整数的变量，如，写出用基变量表示基变量的表达式：(4.9)将上式的所有变量的系数及右端常数均改写成一个整数与一个非负真分数之和的形式。
据此，(4.9)式可以改写成若将带有整数系数的变量整数项留在方程的左边，其余移到方程的右边，则有， (4.10) 由于要求变量取值为正整数，方程(4.10)的左边必为整数。
割平面法_精品文档
从而
fi-ΣfijXj≤0
⑸
取⑸式作为切割方程。因为任何整数可行解都满足这个方程，所以 把它加到原问题的约束中，它能够对原可行域进行切割，而不会切 割掉整数解。
例3 用割平面法求解
maxZ=x1+x2 -x1+x2≤1 3xx1,1x+2x≥20≤，4 整数
解：将问题标准化得
maxZ=x1+x2
⑴
-x1+x2=1
1
D B（1，1）
x3 =1+x1-x2 x4=4 -3x1-x2 代入切割方程 得
-1 0
3x1+x2=4
3（1+x1-x2）+（4-3x1-x2）≥3
1
x1
即 x2≤1，将此切割方程 加入原约 束中，就等于切掉原可行域得
A1B部分，如图。 显然在A1B区域不含整数解点，对原可行域切割的结果是产生了一
下面讨论切割方程的求法。
设与整数规划相对应的线性规划最优解中基变量XBi=（B-1b)i不 是整数，将最优单纯形表中该基变量对应的行还原成约束方程，即
XBi +ΣaijXj=（B-1b)i
⑴
将（B-1b)i，aij都分解成整数与非负真分数之和的形式，即
（B-1b)i=Ni+fi 其中0＜ fi ＜1 ⑵
aij=Nij+fij
其中0≤ fij ＜1 ⑶
这里Ni、Nij是整数，将⑵、 ⑶代入⑴，得
XBi +Σ（Nij+fij）Xj=Ni+fi
即
XBi +ΣNijXj-Ni=fi-ΣfijXj
⑷
当诸Xi都是整数时， ⑷式左端是整数，所以右端亦应是整数，但右
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i 0,1,L , m
若对所有的 i 0,1,L , m, bi均为整数 STOP ! x0已经是( IP )的最优解
XJTU
第三章 整数线性规划
OR
否则, 至少存在某一个l : 0 l m,使得bl不是整数 .
xBl aljxj bl
jS
诱导(生成)方程
bl bl fl , 0 fl 1, alj alj flj, 0 alj 1, j S
称为割平面条件)
费 用 减 小
o o
o
o
o o
ox1 o
oo ox2 o
x0
该割平面条件将(P0)的可行域割掉一部分, 且使这个非整数
向量 x0恰好在被割掉的区域内
但原( IP )的任一可行解均未被切割掉
新的 松弛问题 改进的松弛问题 ( P1 )
XJTU
第三章 整数线性规划
OR
按上述增加约束、逐步迭代的过程中, 若某步所得的松弛
令 h 1 , 1
bl
jS
alj
xj
1
bl
jS
1
al j x j
1
xBl
0
引入松弛变量 Sl 0
Sl
jS
alj
xj
bl
整数割平面
XJTU
第三章 整数线性规划
导出有效不等式的方法 :
取整方法
合并方法
同余方法
超加函数法
OR
§ 3.3 分解算法
它对应的是新松弛问题的一个原始基本解, 但不可行 .
XJTU
第三章 整数线性规划
OR
Gomory 割平面算法计算步骤 :
S 1 : (用单纯形法)求解整数规划问题( IP )的松弛问题( P0) 若( P0)没有最优解, STOP ! ( IP )也没有最优解 .
若( P0)有最优解 x0, 如果 x0是整数向量, STOP ! x0为( IP )
的最优解. 否转 S 2 .
S 2 : 任选 x0的一个非整数值分量 bl (0 l m) , 按上述方式
构造割平面方程 fljxj s fl .
jS
S 3 : 将此割平面方程加到松弛问题( P0)得新的松弛问题.
用对偶单纯形法求解这个新的松弛问题. 若其最优解为
整数向量, 则STOP, 它亦为( IP )的最优解.
问题输入长度L 的多项式
XJTU
第三章 整数线性规划
OR
分数割平面算法的缺点 :
① 涉及分数. 计算机仅能以有限精度存贮各个参数的值, 从而对无限((不)循环)小数就产生了误差 .
一次一次迭代 误差积累
很难判定一个给定的元素是否为整数
但判定一个元素是否为整数却是生成割平面所必须的 !
② 对偶性 :导致在达到最优性以前未必可找到原始可行解
否则, 用这个最优解代替 x0, 转S 2 .
XJTU
第三章 整数线性规划
OR
特点 :
割平面方程系数为分数
迭代过程中保持对偶可行性 分数对偶割平面算法
且用对偶单纯形法求解
收敛性 :
按一定的规则(如字典序)选取诱导方程 用对偶单纯形算法时避免循环
分数对偶割平面算法可在有限步内收敛(终止)
2P(L)
jS
fljxj s fl
jS
(△)
对应于生成行l 的 Gomory割平面条件
系数为分数→ 分数割平面
Th. : 将割平面(△)加到松弛问题(P0 )中并没有割掉原IP问
题的任何整数可行点. 当 bl 不是整数时, 则对应新的 松弛问题有一个原始基本不可行解和对偶可行解 .
用对偶单纯形法求解 !
§ 3.2 割平面算法
XJTU
第三章 整数线性规划
OR
1958 R.E.Gomory 提出割平面(cutting plane)的概念
理论依据 : IP与LP之间的关系, 即前述的“conv(S)”结论 基本思想 :
考虑纯IP :
min cT x
s.t. Ax b
( IP )
x0
xZn
A、b、c 均为整值
jS
将各变量的系数分离成整数部分和小数部分 :
h xBl halj xj h h xBl halj halj xj hbl hbl hbl
jS
jS
00
0
0
h xBl halj xj hbl hbl hbl
jS
0 g 1
∵要求 xBl , xj 均取整值 ∴ 上式左边必为整数
放弃该约束
min cT x s.t. Ax b
x 0 ( P0 )
称为( IP )的松弛问题
XJTU
第三章 整数线性规划
OR
用单纯形法或别的方法求解( IP )的松弛问题( P0), 得其最优解 x0,
若x0为整数向量→STOP, x0亦为( IP )的最优解.
否则, 对( P0)增加一个线性约束(几何上为超平面, 故
XJTU
第三章 整数线性规划
OR
Proof: 由上述推导过程, 割平面(△)是原( IP )的整数约束推出来
的, 所以它不会切割掉任何整数可行解 .
可选松弛变量S作为对应所增加新约束条件的基变量, 它
与原来的基变量 xB1 ,L , xBm一起必可构成新松弛问题的基变量.
当 bl 不是整数时, fl 0 , 新松弛问题的基本解中有 S fl 0
算法通常需要很多次迭代
既
可行解
若算法在中途停止, 也 得不到原始问题的 整数解
结果毫无用处 !
XJTU
第三章 整数线性规划
为克服上述不足 :
对偶 整数割平面算法 原始
OR
整数割平面方程的导出 :
诱导方程
xBl aljxj bl
jS
任意非零的h乘以上式两边 hxBl haljxj hbl
LP问题
无可行解 无界
原问题( IP )亦不可行
STOP
原问题( IP )或不可行或无界
割平面法为一种松弛方法 !
关键 : 如何生成割平面, 不同的构造方法将产生不同的算法 .
XJTU
第三章 整数线性规划
OR
Gomory 分数割平面算法
设用单纯形法求解( IP )的松弛问题( P0)所得的最优基本 可行解为 x0 :
XJTU
第三章 整数线性规划
OR
思想 : 通过对原问题作适当的转换或变形, 以便化简、甚至
消去问题的某些复杂约束和(或)复杂变量, 从而将原 复杂问题的求解变为对另一个或一系列相对简单问题 的求解 .
∵ 最后真正求解的简单问题一般是原问题某种形式的LP 或纯整数规划松弛
∴ 亦可看成是一种松弛算法
通常的分解算法与松弛技术的结合 .
n
复杂约束 简单约束
XJTU
第三章 整数线性规划
OR
Benders 分解 Lagrangian 松弛法的“对偶”形式 将变量分为复杂变量和简单变量
连续 y OR : 整数 x
整数 x 连续 y
MIP : max cT x hT y
s.t. Ax Gy b
x
Z
n
,
y
Rp
For example 固定x → LP
XJTU
第三章 整数线性规划
OR
h xBl halj xj hbl jS
诱导方程两边同乘以[h] : h xBl haljxj hbl
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ中减去前一不等式
jS
halj halj xj hbl hbl (一般) Gomory 割平面
jS
h取值不同, 则可导出不同形式的割平面 h 1 分数割平面
多面体理论 Minkowski Th
转换为仅有一个连续变量的混合整数规划
XJTU 一般分解方法
第三章 整数线性规划
上述两个分解算法思想的联合使用
OR
MIP
max cT x hT y s.t. A11x A12 y b1
A21x A22 y b2 0 x E
x
Z
n
,
y
0
给定的上界向量
x0
基 B AB1 ,L , ABm
基变量 xB1 ,L , xBm
下标集合记为 S , 而非基变量下标集为 S
迭代终止时目标函数、各个约束条件对应的典式分别为 :
x0
z jxj z0
jS
xB0 z, a0j j
b0 z0
xB0 a0jxj b0
jS
xBi aijxj bi , i 1,L , m
由变量的非负性
alj xj aljxj
jS
jS
生成方程变为 :
xBl alj xj bl jS
左边取值必为整数值
xBl alj xj bl
jS
从诱导方程中减去该不等式
XJTU
第三章 整数线性规划
OR
alj alj xj bl bl
jS
c
引进松弛变量S
fljxj fl
XJTU
第三章 整数线性规划
OR
Lagrangian 松弛法 :
将约束分为简单约束和复杂约束,
再利用Lagrangian 松弛消去复杂约束 .
利用Lagrangian 乘子将复杂约束“转入”目标
min cT x
s.t. Ax b
x
Z
n
max cT x
s.t. A1x b1
A2 x b2
x
Z