割平面法
割平面法
31/7=4+3/7 于是，（1）式变为
4 1 3 x4 ( 1 ) x3 (3 ) x5 4 7 7 7
⑵
将所有整数项放在等式的左边，非整数值项放 在右边，得
3 4 1 x4 x3 3x5 4 x3 x5 7 7 7
⑶
⑶式左边是一个整数值，右边是一个小于１的 数。由于是等式，所以，右边应该是一个小于 或等于０的整数值，即
二、构造割平面约束的方法
在松弛问题的最优表中，设 b的分量bko不是 整数，将其分成整数与非负分数之和，即
bko Nko fko, 其中N ko为不超过bko的最大整数， fko为非负真分数; bko 所在行中的每一个非基 变量xj的系数分成整数与非负分数两部分：
ako , j Nko , j fko , j
１、求出松弛问题的最优解，若全部变量为整数解， 停止计算；否则转２。
２、构造割平面方程 •构造方法 割平面约束具备两个性质： ⑴ 已获得的非整数最优解不满足该线性约束， 从而保证在以后的解中不可能再出现。
⑵ 所有的整数解皆满足该线性约束，从而保 证整数规划问题的最优解始终都保留在每次所 形成的、新的线性规划问题的可行域中。 我们通过下面的例子来说明构造这种线性约束 的思路。
第二节 解纯整数规划的割平面法
一、 割平面方法的基本思想和步骤
二、构造割平面约束的方法
三、示例
一、 割平面方法的基本思想和步骤
•基本思想： 在IP问题的松弛问题中依次引进线性约束（称 Gomory约束或割平面），使问题的可行域逐步缩 小，所割去的区域仅包含问题的部分非整数解；当 规划问题的最优解恰好位于缩小的可行域的一个顶 点时，算法结束。 •求解步骤
割平面法-经典
割平面法的基础仍然是用解LP的方法去解整数规划问题. 其基本的步骤是: (1) 把约束条件中所有的系数整数化; (2) 不考虑决策变量的整数约束条件, 增加线性约束条件 (cutting plane), 使得原可行域中切割掉一部分,这部分只 包含非整数部分,但没有切割掉任何整数可行解;
1 3 x3 x4 0 4 4 4 3 即 3x 3 x 4 3
上式就是所要求的一个切割方程(割平面).
引入松驰变量x5, 从而可得到一等式约束条件,将所得等
式约束加入到原标准化的松驰问题之中, 得到如下新的 松驰问题.
max s .t . z x1 x 2 x1 x 2 x 3 3x 1 x 2 x4 1 4
k k
(3) 由变量(包括松驰变量)的非负整数条件, 从而可得
f i - f ik x k 0
k
上式即为所要求的切割方程 割平面法是Gomory在1958年提出的, 当时引起了人们广 泛注意, 但至今完全用它解决实际问题仍是少数, 因为其 收敛性很慢. 但若下其它方法(如分枝定界法)配合使用,
3x 3 x 4 x 5 3 x1 , x 2 , x 3 , x4 , x5 0
将所得等式约束加入到原标准化的松驰问题的最优单纯
形表之中,得 cj 1 1 0 0 0
CB
1
XB
b
x1
1
x2
0
x3
-1/4
x4 x5
1/4 0
x1 3/4
1
0
x2 7/4
x5 -3
0
0 0
1
0 0
(3) 求解上面的LP问题,若所得的最优解为整数, 则该解也
运筹学__割平面法
x1
1 0 0 0 x1 1 0 0 0
x2
0 1 0 0 x2 0 1 0 0
x3
1/6 1/4 -1/4 -1/4 x3 0 0 1 0
x4
-1/6 1/4 -1/4 -1/4 x4 -1/3 0 1 0
s1
0 0 1 0 s1 2/3 1 -4 -1
CB
0 1 0
XB
x1 x2 x3
b
2/3 1 2
1 1 1 ( x 3 x4 ) 0 2 4 4
1 1 1 x3 x4 s1 4 4 2
Cj CB 0 1 0 σj XB x1 x2 s1 b 1 3/2 -1/2 -3/2 0 x1 1 0 0 0 1 x2 0 1 0 0 0 x3 1/6 1/4 -1/4 -1/4 0 x4 -1/6 1/4 -1/4 -1/4 0 s1 0 0 1 0
CB
0 1 0
XB
x1 x2 x3
b
2/3 1 2
x1
1 0 0
x2
0 1 0
x3
0 0 1
x4
-1/3 0 1
s1
2/3 1 -4
σj
-1
0
0
0
0
-1
CB 0
XB x1
b 2/3
x1 1
x2 0
x3 0
x4 -1/3
s1 2/3
1
0
x2
x3
1
2
0
0
1
0
0
1
0
1
1
-4
σj -1 0 0 0 0 -1 此时，X1 ＝(2/3, 1), Z=1,仍不是整数解。继续以x1为源行生成割 2 2 2 平面，其条件为：
5-2割平面法
1 x2 1 0 1 0 0 1/4
0 x3 1 0 0 1 -1 -1/3
-2 0 0 0 -1/3 -1/6
3 割平面法小结
1）令xi是线性规划最优解中为分数值的一个基变量
xi aik xk bi
k
2）将bi和a ik都分解成整数部分N和非负真分数f之和
bi Ni fi , 其中0<fi 1 aik Nik fik , 其中0 fik 1
筹
学
0
x1
图2 1
2 割平面法算例
例1 求解
m a x z x1 x 2
x1 x 2 1
3
x1 x1
,x
x
2
2
0
4
x 1 , x 2 整 数
最优解为：x1
3 4
,
x2
7 4
, max
z
10 4
表1
CB
初始计算 0
表
0
最终计算 1
表
Cj
1
XB b x1
x3 1 -1
x4 4 3
西安邮电大学 现代邮政学院
Xi'an post and telecommunications university modern post College
第五章 割平面法
主讲教师 武小平
主要内容
1 割平面法及其原理
2 割平面法算例
运
筹
3 割平面法小结
学
1 割平面法及其原理
割平面法添加能割去非整数解的线性约束条件，使
01
x1 3/4 1 x2 7/4 0
-5/2 0
100 x2 x3 x4 110 101 100 0 -1/4 1/4 1 3/4 1/4 1 -1/2 -1/2
割平面法
§3割平面法割平面法也是求解整数规划问题常用方法之一。
3.1基本思路用割平面法求解整数规划的基本思路是：先不考虑整数约束条件，求松弛问题的最优解，如果获得整数最优解，即为所求，运算停止。
如果所得到最优解不满足整数约束条件，则在此非整数解的基础上增加新的约束条件重新求解。
这个新增加的约束条件的作用就是去切割相应松弛问题的可行域，即割去松弛问题的部分非整数解(包括原已得到的非整数最优解)。
而把所有的整数解都保留下来，故称新增加的约束条件为割平面。
当经过多次切割后，就会使被切割后保留下来的可行域上有一个坐标均为整数的顶点，它恰好就是所求问题的整数最优解。
即切割后所对应的松弛问题，与原整数规划问题具有相同的最优解。
下面以全整数规划问题的割平面法为例，介绍割平面的求解过程。
3.2求解步骤与举例割平面法的具体求解步骤如下：1.对于所求的整数规划问题(4.2)，先不考虑整数约束条件，求解相应的松弛问题（4.6）2.如果该问题无可行解或已取得整数最优解，则运算停止；前者表示原问题也无可行解，后者表示已求得整数最优解。
如果有一个或更多个变量取值不满足整数条件，则选择某个变量建立割平面。
3.增加为割平面的新约束条件，用前面介绍的灵敏分析的方法继续求解，返回1。
下面介绍割平面的建立方法及其求解过程。
例1 求解下列整数规划问题（4.7）解引入松弛变量，写成标准形式：(4.8)对上述模型不考虑整数条件，用单纯形法求解相应松弛问题的最终单纯形表为（表4-2）表4-215/38/3-13/3显然，为非整数解。
为求得整数解，我们想办法在原约束条件的基础下引入一个新的约束条件，以保证一个或几个变量取值为整数。
为此，在表4-2中任选一个取值非整数的变量，如，写出用基变量表示基变量的表达式：(4.9)将上式的所有变量的系数及右端常数均改写成一个整数与一个非负真分数之和的形式。
据此，(4.9)式可以改写成若将带有整数系数的变量整数项留在方程的左边，其余移到方程的右边，则有， (4.10) 由于要求变量取值为正整数，方程(4.10)的左边必为整数。
7.4 切割平面法
x2
x2
O （a）
x1
O
x1
（b）
7
OR:SM
五、割平面法求解举例
例：某厂拟购进甲、乙两类机床生产新产品。已知甲、乙机床进价分别为 2万元和3万元；安装占地面积分别为4m2和2m2；投产后的收益分别为3百元 /日和2百元/日。厂方仅有资金14万元，安装面积18m2。为使收益最大，厂 方应购进甲、乙机床各多少台？
将（5）式标准化:
1 2
x5
x6
1 2
加到前面单纯形表最终表中，有：
XB
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x2
0
1
0
-1
1
0
x1
1
0
0
1
-1/2
0
x3
0
0
1
1
-2
0
x6
0
0
0
0
-1/2
1
Z
0
0
0
-1
-1/2
0
用对偶
x2
0
1
0
-1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
2
单纯形
x1
1
0
0
1
0
-1
法求解， 得：
x3 x5
0 0
0 0
1 0
1 0
0 1
（5）式用决策变量表达的割平面方程为 6x1 5x2 29 6
x2
图示切 割过程
15
6x1+5x2=31
6
4x1+2x2=18
5
4
第三节 割平面法
割平面法的基本思想是：首先不考虑 整数条件，增加另外的约束条件，把原来 的可行域切掉一部分，被切掉的部分不包 含任何整数可行解. 经过有限次的切割， 最终得到某个顶点的坐标恰好是整数，并
且是问题的最优解.
例如 求解整数规划问题
max Z x1 x2 x1 x2 1 3 x1 x2 4 x1 , x2 0 x , x 为整数 1 2
32 7 3 11 7
1 0 0
0 1 0
0 0 1
17 0 17
-1 7 1 -22 7
表3-4
S
-59 0 0 0 -1 -8
x1 x2 x3
fi 0
32 7 3 11 7
1 0 0
0 1 0
0 0 1
17 0 17
-1 7 1 -22 7
以 x1 为来源行得割平面不等式：
j m 1
x2
割平面
1
C (1, 1)
3 7 x1 , x2 = 4 4 max Z 10 4
1
x1
回到一般问题上：
整数规划（A）
max S c j x j a
j 1 n ij n
松弛问题（B）
max S c j x j a
j 1 n j 1 ij n
加入松弛变量 y1 ，得割平面方程
7 22 x3 1 22 x4 y1 1 2
将割平面方程表达的约束条件加到单纯形表 的最后一行，并把松弛变量补到最后一列
表3-3
S
-63 92 72 1 2 0 1 0 0 0 0 1 0 - 28 11 -1 22 7 22 -7 22 -15 11 3 22 1 22 -1 22 0 0 0 1
割平面算法
割平面算法
割平面算法是一种计算几何的算法，主要用于求解多边形的内部或外部区域。
该算法的基本思想是通过构造一些直线（称为割平面）将多边形划分成一些简单的区域（称为小区域），然后根据小区域的情况确定多边形的内部或外部区域。
具体而言，该算法的步骤如下：首先确定一个多边形和一些割平面，然后将多边形和割平面进行求交，得到一些线段和点。
接着，根据这些线段和点将多边形划分成一些小区域，再根据每个小区域的情况判断其是否在多边形的内部或外部。
最后将所有在多边形内部的小区域合并在一起，就得到了多边形的内部区域。
割平面算法的优点是可以处理一些复杂的多边形，而且算法复杂度比较低。
不过该算法也存在一些缺点，比如对于一些具有孔洞的多边形，需要额外的处理，并且对于一些不规则的多边形，该算法的结果可能不准确。
- 1 -。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《线性规划》课程设计题目：割平面法及其数值实现院系：数理科学与工程学院应用数学系专业：数学与应用数学姓名学号：*** 1********* 1********* 1********* 1******指导教师：***日期：2015 年 6 月11 日整数规划与线性规划有着密不可分的关系，它的一些基本算法的设计都是从相应的线性规划的最优解出发的。
整数规划问题与我们的实际生活有着密切的联系，如合成下料问题、建厂问题、背包问题、投资决策问题、旅行商问题、生产顺序表问题等都是求解整数模型中的著名问题。
所以要想掌握生活中这些解决问题的方法，研究整数规划是必然的路径。
用于解决整数规划的方法主要有割平面法，分支定界法，小规模0-1规划问题的解法，指派问题和匈牙利法。
本文重要对整数规划中经常用的割平面法加以介绍及使用Matlab 软件对其数值实现。
割平面法从线性规划问题着手,在利用单纯型法的时候,当约束矩阵中出现分数,给出一种"化分为整"的方法。
然后在割平面方法来解决整数线性规划的理论基础上,把"化分为整"的方法进行到底，直到求解出最有整数解。
关键词：最优化；整数规划；割平面法；数值实现；最优解；Matlab软件。
AbstractThe integer programming are closely related to the linear programming. Some of the basic algorithms of the former are designed from the optimal solution of the corresponding linear programming. What’s more, our daily life has a close relationship with it as well, such as synthesis problem, plant problem, knapsack problem, investment decision problem, traveling salesman problem and production sequence table problems. They are famous questions in solving integer model. So, to study the integer programming is the inevitable way to master the methods of solving these problems in life. The methods used in solving the integer programming include cutting plane method, branch and bound method, and solving the problem of small-scale 0-1 programming, assignment problem and Hungarian method. In this paper, we introduce the cutting plane method and use Matlab to get its numerical implementation in the integer programming.Cutting plane method, giving us a "integrated" method when we meet the constraint matrix scores in the use of simplex method, starts from the linear programming problem. Then, based on the theory of cutting plane method to solve the integer linear programming, we use “integrated” method until the most integer solution is solved.Keywords:Optimization; Integer programming; Cutting plane method; Numerical implementation; Optimal solution; Matlab software.第一章问题描述 (2)1.1 整数规划问题概述 (2)1.2 整数规划的基本定理 (2)第二章求解整数规划问题的割平面法 (3)2.1 基本思想 (3)2.2 算法步骤 (3)2.3 算法流程图 (5)第三章数值实验 (6)3.1算例 (6)3.2 数值实现 (7)总结 (8)参考文献……………………………………………………………………………附录…………………………………………………………………………………第一章 问题描述1.1 整数规划问题概述规划中的变量（全部或部分）限制为整数，称为整数规划简称为IP 问题。
依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯整数规划、全整数规划、混合整数规划、0－1 整数规划。
自1958年由R.E.戈莫里提出割平面法之后，整数规划开始形成独立分支，30多年来发展出很多方法解决各种问题。
解整数规划最典型的做法是逐步生成一个相关的问题，称它是原问题的衍生问题。
对每个衍生问题又伴随一个比它更易于求解的松弛问题（衍生问题称为松弛问题的源问题）。
通过松弛问题的解来确定它的源问题的归宿，即源问题应被舍弃，还是再生成一个或多个它本身的衍生问题来替代它。
随即,再选择一个尚未被舍弃的或替代的原问题的衍生问题，重复以上步骤直至不再剩有未解决的衍生问题为止。
其一般数学模型为：∑==nj jj x c Z Z 1)max (min 或()()⎪⎩⎪⎨⎧=≥==∑=且部分或全为整数n j x m i b x a j nj i j ij ...2,10,...2,111.2整数规划问题的基本定理对整数规划问题：（IP ）CX z =max （LP ）CX z =max （IP 问题的松弛问题）⎪⎩⎪⎨⎧≥=为整数jx X bAX t s 0.⇒ ⎩⎨⎧≥=0.X b AX t s (1)IP 的可行解域⊂松弛问题LP 的可行解域⇒若松弛问题LP 无可行解，则IP 问题无可行解。
(2)IP 的最优值≤松弛问题LP 的最优值⇒松弛问题LP 的最优值是原整数规划IP 的目标函数值的上界。
(3)若松弛问题LP 可以找到一个整数解X ，则X 的目标函数值为IP 最优值的下界。
(4) 若松弛问题LP 的最优解*X 为整数解，则*X 也是IP 问题的最优解。
第二章 求解整数规划问题的割平面法2.1基本思想先不考虑整数约束条件，求松弛问题的最优解，如果获得整数最优解，即为所求，运算停止。
如果所得到的最优解不满足整数约束条件。
则在此非整数解的基础上增加新的约束条件重新求解。
这个新增加的约束条件的作用就是去切割相应松弛问题的可行域，即割去松弛问题的部分非整数解（包括与已得到的非整数最优解）。
而把所有的整数解都保留下来，故新称增加的约束条件为割平面。
当经过多次切割后，就会使保留下来的可行域上有一个坐标为整数的顶点，它恰好就是所求的问题的整数最优解，即所切割后所对应的松弛问题，与原整数规划问题具有相同的最优解。
割平面法的关键在于如何寻找适当的切割约束条件（即构造一个割平面），且保证切掉的部分不含有整数解。
由于用割平面法求解IP 问题常常会遇到收敛很慢的情况。
所以用它来求解IP 问题的仍然不多，但在理论上是重要的。
2.2 算法步骤（1）用单纯形法求解( IP )对应的松弛问题( LP )：①若( LP )没有可行解，则( IP )也没有可行解，停止计算。
②若( LP )有最优解，并符合( IP )的整数条件，则( LP )的最优解即为( IP )的最优解，停止计算。
③若( LP )有最优解，但不符合( IP )的整数条件，转入下一步。
（2）从(LP)的最优解中，任选一个不为整数的分量x i ,,将最优单纯形表中该行的系数'ij a 和'i b 分解为整数部分和非负真分数（纯小数）部分之和，并以该行为源行，按下式作割平面方程：∑=≥Nj j ij ijij f x f(其中ij f 是'ij a 的小数部分，i f 是'i b 的小数部分）求割平面方程的一般化描述如下：①设i B x 是伴随规划单纯形表上第i 行约束方程所对应的基变量，其取值为非整数，则其约束方程式为：''i J j jijB b xa x Ni =+∑∈其中N J 为非基变量的下标集。
'',i ij b a 分别为第i 个约束中非基变量j x 的当前系数及第i 个约束的右端项的当前值。
②将'',i ij b a 拆分。
记[][],,''''iiiN ij ij ij f b b J j f a a +=∈+=式中[][]'',iijb a 分别表示不超过'',i ij b a 的最大整数，而10,10<≤<≤i ij f f于是，讲 中的两式代入约束方程式，得[][]i J j i j ijjJ j ijB f b x fx a x NNi +=++∑∑∈∈''或[][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=∑∑∈∈N i N J j j ij B i i J j j ij x a x b f x f '' 由于 ∑∈<≤≥N J j i j ij f x f 10,0，及 [][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∑∈ij J j ij B ix a x b N i ''为大于等于0的整数。
因此有i J j j ijf x fN≥∑∈ 或 i J j j ijf x fN-≤-∑∈再加松弛变量s x ，化为等式：i s J j j ijf x x fN-=+-∑∈此即割平面方程的最基本的形式。
（3）将所得的割平面方程作为一个新的约束条件置于最优单纯形表中（同时增加一个单位列向量），用对偶单纯形法求出新的最优解，返回1。
2.3 算法流程图第三章 数值实验3.1 算例用割平面法求解数规划问题：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=且为整数0,205462max 21212121x x x x x x x x Z 解：将该问题化为最小化问题（由于我编写的程序用于求解最小化问题，故需要将最大化问题转化为最小化问题）：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+--=-=且为整数0,205462min 21212121x x x x x x x x Z w 增加松弛变量3x 和4x ，得到(LP)的初始单纯形表和最优单纯形表：初始表:最优表:在松弛问题最优解中，1x , 2x 均为非整数解，由上表有： 取割平面：32313143≥+x x 引入松弛变量s 1 后得到下式，将此约束条件加到上表中，继续求解。