运筹学

(一）基本知识一、图1、图的概念：图是反应对象之间关系的一种工具。

图由点和线构成，一般称为点线图，点代表所研究的对象，线代表对象之间的关联性质。

注：在一般情况下，图中的点对应的位置如何，点与点之间连线的长短曲直，对于反映对象之间的关系，并不重要。

2、图的分类：（1）无向图：图中线不带表示关联方向的箭头，称这样的线为边，这种图叫无向图。

（2）有向图：图中线带有表示关联方向的箭头，称这样的线为弧，这样的图叫有向图。

3、图的表示：G={V,E}其中V={V1,V2,……，Vn}为点集E={e1,e2,……，en}为边集（1）点的次数(度数）：与点Vi关联的边数称为点Vi的次数，记为d(Vi)（2）一些特殊的点：悬挂点：次数为1的点。

孤立点：次数为0的点。

奇点：次数为奇数的点。

偶点：次数为偶数的点。

（3）一些特殊的边相邻边：与同一顶点关联的两条边。

多重边：与共同的两个相邻点关联的边。

悬挂边：与悬挂点关联的边。

环：与同一个点关联的边4、连通图：任意两点之间可用至少一条链连接起来相通的图叫连通图。

（1）所有点的次数之和为边数的二倍：因为计算个点的次数时，每条边均用了两次。

（2）奇点的个数必为偶数：所有点的次数之和为偶数，故所有奇点的次数之和也为偶数，即奇点成对出现。

5、设G1={V1，E1},G2={V2，E2}（1）子图：若V2包含于V1，E2包含于E1,则称G2是G1的子图。

（2）部分图：若V1=V2，E1包含于E2，则G2是G1的部分图，即包含原图全部顶点的子图。

（3）零图：由许多孤立点构成的图。

（4）空图：顶点个数为0的零图,。

二、树1、概念：无圈的连通图为树v2 v3 v2 v3v1 v6 v5 v4 v1 v6 v5 v42、组成：（1）树枝：树的边称为树枝。

（2）树叶：次数为1的点称为树叶，如V1，V4。

3、树的性质：任何树必有树叶树中任意两点之间有且仅有一条链连接相通，任意去掉一条树枝该树就被分割成两个互不连通的子图。

树的任意两个顶点间添加一条边（称为连枝）就构成一条回路，仅用一条连枝构成的回路称为单连枝回路，也称为基本回路。

一个连通图可能具有很多树，这些图都是原连通图的部分图，既包括了原连通图的所有点。

连枝的集合叫原树的余树（补树），余树可能是树也可能不是树，甚至是非连通图。

4、图的部分树：若图G={V,E}的部分图T={V,E'}是树，则T称为图C的一个部分树，即为连接图G全部顶点的最少边数的部分图。

注：G是连通的充分必要条件是：G有部分树。

5、图的最小部分树：对于赋权无向连通图G，数量指标之和为最小的部分树称为图G的最小部分树。

注：若T*是图G的部分图，则T*是最小部分树的充分必要条件是：对T*外的每条边（Vi,Vj),其权Wij≥max{W（i，i1），W(i1,i2),……，Vj},其中{V1，Vi1，……，Vj}是T*内连接点Vi和Vj的唯一链。

(二）例题1、最小部分树问题例：某工厂内联结6个车间的道路网如图所示，已知每条道路的距离，求沿部分道路架设联结6个车间的电话网，使电话线总距离最小。

v2 8 v41 2 7 5 6v1 v63 6v3 3 v5方法（一）避圈法：将所有变按距离从小到大排序为：1,2,3,4,5,6,7,8。

第一步：选距离为1的边（V1，V2)。

第二步：选距离为2的边（V2，V3),并与（V1，V2）衔接。

V3，V5)与（V2，V3)V1，V3)但构成圈{V1，V2，V3，V4},因此舍弃。

第四步：选距离为5的边（V5，V4),并（V3，V5)衔接；第五步：选距离为6的边，有两边（V4，V6)，其与（V5，V4)衔接，其他的边均不能选，否则构成圈应舍弃，由此得一个最小部分树，如图1；（V5，V6)，其与（V5，V4)衔接，其他的边均不能选，否则也构成圈，应舍弃，由此得另一个最小部分树，见图2，这两个最小部分树的权数之和均为17。

v2 v4 v2 v41 2 5 6 1 2 5 v6v1 6v3 v5 v1 v3 v5方法（二）破圈法：在连通图中任取一圈，去掉一条距离最大的边。

第一步：选圈{V1，V2，V3，V1},去掉边{V1，V3};第二步：选圈{V2，V3，V4，V2},去掉边{V2，V4};第三步：选圈{V3，V4，V5，V3},去掉边{V3，V4};第四步：选圈{V4，V5，V6，V4},有两条边距离都最大，一条是{V5，V6},此时已经无圈，得一个最小部分树，如图1；另一条是（V4，V6),此时已经无圈，得另一最小部分树，如图2 2、最短路线问题例：已知网络如图所示，求从V1到V7的最短路径及最短距离。

v2 8 v57 2 1 2v1 3 v4 2 v71 4 4 7v3 3 v6（1）最短距离利用迭代公式T（Vj）k=Min{T(Vj)k-1, P(Vi)+dij}其中：T-临时标号，表示V1-Vj的估算最小距离；从第一步到当前所有求出的T标号中，选最优者改为P的标号。

P-永久标号，表示V1-Vj的最小距离；T(Vj)k表示第k步V1-Vj的估算最短距离；P(Vi)表示V1-Vi的最小距离；dij表示Vi-Vj的实际距离第一步：T(Vj)=∞，j=1,2,...,7,将起点改为P标号，P(V1)=0第二步：从V1可达V2，V3，修改其T标号，将（从第一步至当前步），所有已求出的所有T 标号中的最小者改为P标号.T(V2)=min{T(V2),P(V1)+d12}=min{∞,0+7}=7T(V3)=min{T(V3),P(V1)+d13}=min{∞,0+1}=1=P(V3)第三步：从V3可达V2，V4，V6，修改其T标号，将（从第一步至当前步）所有已求出的所有T标号中的最小者改为P标号。

T(V2)=min{T(V2),P(V3)+d32}=min{7,1+3}=4=P(V2)T(V4)=min{T(V4),P(V3)+d34}=min{∞,1+4}=5T(V6)=min{T(V6),P(V3)+d36}=min{∞,1+3}=4=P(V6)第四步：A).从V2可达V4，V5，修改其T标号。

T(V4)=min{T(V4),P(V2)+d24}=min{5,4+2}=5T(V5)=min{T(V5),P(V2)+d25}=min{∞,4+8}=12B).V6可达V4，V7，修改其T标号，将（从第一步至当前步）所有已求出的所有T标号中的最小者改为P标号。

T(V4)=min{T(V4),P(V6)+d64}=min{5,4+4}=5=P(V4)T(V7)=min{T(V7),P(V6)+d67}=min{∞,4+7}=11第五步：从V4可达V7，修改其T标号，将（从第一步至当前步）所有已求出的所有T标号中的最小者改为P标号。

T(V7)=min{T(V7),P(V4)+d47}=min{5,4+4}=5=P(V7)第六步：从V7可达V5，修改其T标号，直接改为P标号T(V5)=min{T(V6),P(V7)+d75}=min{12,7+2}=9=P(V5)各点Vj的P标号值P(Vj)见下图方块中的数字。

4 9v2 8 v50 7 2 1 23 2 v771 4 v4 4 75V3 3 v61 4（2）最短路径利用反向跟踪法设Vj的紧前点Vk,则P(Vj)-P(Vk)=dkj,即P(Vk)=P(Vj)-dkj.第一步：求Vn的紧前点Vk：P(Vk）=P(Vn）-dkn，得Vk=Vg第二步：求Vg的紧前点为Vk：P(Vk）=P(Vg）-dkg，得Vk=Vh重复以上步骤直至起点位置，即得最短路径。

第一步：求V7的紧前点为Vk：P(Vk）=P(V7)-dk7=7-{d47,d67}=7-{2,7}={5,0}={P(V4),P(V6)}=P(V4)第二步：求V4的紧前点为Vk：P(V4）=P(V4)-dk4=5-{d54,d24,d34,d64}5-{1,2,4,4} ={4,3,1,1} ={P(V5),P(V2), P(V3), P(V6)}=P(V3)第三步：求V3的紧前点为Vk：P(Vk)=P(V3)-dk3=1-d13=1-1=0=P(V1)故所求的最短路线为：V1→V3→V4→V7;最短距离为：Z*=1+4+2=7。

以V1为起点，可指定任意一点Vj为终点，同样，可求出V1到Vj点的最短距离和最短路径，3、网络最大流问题例：求图容量网络中从V1到V6的最大流和最小割。

v2 4 v43 3 5v1 1 1 v65 2v3 2 v51）最大流：弧容量Cij:网络的组成图所具有的确定的通过能力。

弧流量fij:实际流过弧的流量。

容量网络：标有弧容量Cij的网络。

可行流：对于给定的网络流量，满足两个条件的网络流F={fij}成为可行流。

容量约束条件：0≤fij≤Cij节点流量平衡条件：每个节点的流入总量等于流出总量。

最大流：使得从起点到收点的总流量Q达到最大的可行流F={fij}称为最大流2）最小流：割集：是连通图分为两个互不联通子图的弧的最小集合称为割集。

最小割集：容量网络的所有割集中容量最小的割集叫最小割，记为S(V*,V*) 实际可行流F的流量 Q(F)≤C(V*,V*)最大流与最小割定理：在容量网络中，实际可行流F所能达到的最大流量Q(F*)等于该容量网络最小割的容量C(V*,V*),即Q(F*)=C(V*,V*)第一步：给出初始可行流，如图v2 4,3 v43 53 1,1 3v1 3,0 v65 1,1 11 2v3 v5（1）找出回路{V2，V3，V5，V2},给该回路上各弧同一流量值1，使该回路上容量较小的弧（V2，V3)和（V5，V2)优先达到饱和。

（2）找出从V1到V6的路：{V1，V2，V4，V6},给该路上各弧同一流量值3，使该回路上容量较小的弧（V1，V2)，优先达到饱和；{V1，V3，V5，V6}给该路上各弧同一流量值1，使该回路上容量较小的弧（V3，V5)，优先达到饱和第二步：判断当前流是否为最大流给顶点标号找增广链：（1）对起点V1标号（0，∞）（2）从V1可达V2，V3：(V1，V2)为正向饱和弧，不入链，V2不标号；（V1，V3)为正向非饱和弧，入链，V3标（+V1，4)（3）从V3可达V2，V5：(V3，V2)为反向非零弧，入链，V2标（-V3，1)；（V3，V5)为正向饱和弧，不入链，V5不标号（4）从V2可达V4，V5：(V2，V4)为正向非饱和弧，入链，V4标（+V2，1)；（V2，V5)为反向非饱和弧，入链，V5标（-V2，1)（5）从V4可达V6：(V4，V6)为正向非饱和弧，入链，V6标（+V4，2)。

从而得到一条增广链：L1={V1，V3，V2，V4，V6}.从V5可达V6：(V5，V6)为正向非饱和弧，入链，V6标（+V5，1)。