高中数学必修二立体几何初步第一课时
重点：直观图平面图的关系
• P8-例1.24 • P9-例1.25，1.26 • P10～P11课后练习
1.1 空间几何体
1.1.5 三视图
知识点一：正投影
• 定义：在物体的平行投影中，如果投射线与投射 面垂直，则称这样的平行投影为正投影。
性质：
• 垂直于投射面的直线或线段的正投影是点， • 垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一
第一章 立体几何初步
第一课时 辽宁师范大学 王晓桐
1.1 空间几何体
1.1.1 构成空间几何体的基本元素
知识点一：长方体的有关概念
• 长方体由六个矩形围成，围成长方体的各个矩形 叫做长方体的面；相邻两个面的公共边叫做长方 体的棱；棱和棱的公共点叫做长方体的顶点。
• 长方体共有 6 个面，12 条棱，8 个顶点。
其中正确的有（Ａ）个．
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
例1.20：下列命题中正确的Ａ是（ ）
Ａ．以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥 Ｂ．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 Ｃ．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 Ｄ．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于 圆锥底面圆的半径
3．下面几何体中，过轴的截面一定是圆面的是（Ｃ）
行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
顶点
侧面
底面
侧棱
两底面之间的距离叫做棱柱的高
按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…
棱柱的表示法
(1) .用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如：
棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1 (2).用表示一条对角线端点的两个字母表示，
如：棱柱AC1
D1 A1
C1
上底面
下底面
棱台和圆台统称为台体。
例1.16：下列命题中，真命题是（A）
• A.以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转 体是圆锥；
• B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆 台；
• C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； • D.圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的
半径等于圆锥底面圆的半径。
母线
轴 侧面
• P6-例1.14
圆柱用表示它的轴的字母表示。
知识点二：圆锥
以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转
轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体
叫做圆锥。
A
母线
轴 侧面
• P6-例1.15
C
B
底面
圆锥用表示它的轴的字母表示
圆锥和棱锥统称为锥体
知识点三：圆台
圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆 锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。
相邻两个面的公共边叫做多面体的棱．
棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．
连接不在同一个面上的两个顶点的线段 叫做多面体的对角线。 按围成多面体的面数分为：四面体．五面 体．六面体．．．．
• 把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的 各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就 叫做凸多面体，如P2-4。我们研究的多面体，若 没有特殊说明，都是指凸多面体。
• P8-例1.21
知识点三：中心投影
• 一个点光源把一个图形照射到一个平面
• 例1.22：下列光线所形成的投影，不是中心投影 的是（A）
• A.太阳光线 • B.台灯的管线 • C.手电筒的光线 • D.路灯的光线
重点：中心投影与平行投影的区别和联 系
• 区别： • 平行投影的投射线相互平行 • 中心投影的投射线相交于一点（光源）
B1
A1
C1 A1 B1 B1
E1 D1 C1
D
C
A
BA
C
A
B
B
E
D C
知识拓展：
特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱； 侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱； 底面是正多边形的直棱柱是正棱柱； 底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体； 侧棱垂直于底面的平行六面体叫做直平行六面体； 底面是矩形的直平行六面体叫做长方体； 棱长都相等的长方体叫做正方体．
P4-例1.12
重点：
• 空间几何体表面上两点间的最短路线问题 • 化为求平面内两点的线段长，体现转化思想。
• P3-例1.13 • 课后练习：P4～P5
1.1 空间几何体
1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球
知识点一：圆柱
圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋 转轴，其余三边旋转形成的曲面所围 底面
成的几何体叫做圆柱。
知识点二：三视图
• 俯视图、主视图、左视图
• 口诀:长对正、高平齐、宽相等；
•
主左一样高、主俯一样长，俯左一样宽。
• P9-例1.27
知识回顾 Knowledge Review
棱柱的特点：
• 底面互相平行； • 侧棱互相平行且相等； • 侧面是平行四边形； • 与底面平行的截面是与底面全等的多边形； • 与侧棱平行的截面是平行四边形。
• P3-例1.7
例1.9：下列几何体中是棱柱的有C（ ）
Ａ.1个 Ｂ.2个 Ｃ.3个 Ｄ.4个
棱柱的结构特征：①有两个面互相平行 ②其余各面是四边形 ③每相邻两个四边形的公共边都是互相平行
侧面展开 图
母线
矩形 平行且相等
圆
两底面平行但 半径不相等
无
扇形
扇环
不可
展开
相交于顶点 延长线交于一点 无
平行于底 面的截面
轴截面
与两底面是平行 且半径相等的圆
平行于底面且半 径不相等的圆
与两底面是平行但 半径不相等的圆
全体截面 都是圆
矩形
等腰三角形 等腰梯形
圆
简单几何体的分类：
棱柱
多面体 棱锥
棱台
Ａ．圆柱 Ｂ．圆锥 Ｃ．球 Ｄ．圆台
知识点五：组合体
• 多面体与多面体的组合体，如P6图1. • 多面体与旋转体的组合体，如P6图2. • 旋转体与旋转体的组合体，如P6图3. • 重点：拆成简单的几何体。
P7-课后练习
1.1 空间几何体
1.1.4 投影与直观图
知识点一：平行投影
• 当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行 投影都具有以下性质：
三棱锥 （四面体）
棱锥的分类
四棱锥
五棱锥
P3-例1.8
特殊的棱锥：如果棱锥的底面为正多边形，且各侧面是全
等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥。 正棱锥各侧面底边上的高均相等，叫做正棱锥的斜高； 侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体。
知识点四：棱台
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截 面之间的部分叫做棱台．
例1.1：下列说法中正确的是：
• 1、空间中没有孤立的点、线、面，它们只能作为 几何体的组成元素；
• 2、长方体有6个面，6条棱，8个顶点； • 3、几何体的点线面都是抽象的概念，在现实中可
以说是不存在的。
• A.1个 B.2个
C.3个 D.0个
知识点二：构成几何体的基本元素
观察长方体和各种几何体的构成可以发现，任意一 个几何体都是由点线面构成的，也就是说，点线面 是构成几何体的基本元素。 空间的线和面都是由点构成的集合。 点A在线l上，记作A∈l，点A在平面a内，记作A∈a； 线l在平面a内，记作l a。
两底面是相 似的多边形
梯形
相交于顶点 延长线交于一点
与底面是相 与两底面是相 似的多边形 似的多边形
三角形
梯形
例1.11：
１．下列命题中正确的是（Ｃ）
Ａ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱 Ｂ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱 柱 Ｃ．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱 锥 Ｄ．棱台各侧棱的延长线交于一点
简单几何体
Байду номын сангаас圆柱
旋转体
圆锥 圆台
球
例1.19：下列几个命题中，①两个面平行且相似，其余各面 都是梯形的多面体是棱台．②有两个面互相平行，其余四 个面都是等腰梯形的六面体是棱台．③各侧面都是正方形 的四棱柱一定是正方体．④分别以矩形两条不等的边所在 直线为旋转轴，将矩形旋转，所得到的两个圆柱是两个不 同的圆柱．
线是点的集合，面是线的集合，也是点的集合，将三者用图形来形象表 示：
P1-例1.2
∪
知识点三：从运动的观点来理解空间基 本图形之间的关系
• 点动成线，线动成面 • 线可以是直线也可以是曲线，面可以使平面也可
以是曲面。
• P1-例1.3
重点：
• 长方体每组对棱互相平行； • 长方体每组相对面相互平行； • 长方体任一棱均与相对面平行； • 长方体任一棱均与两平面垂直。
上底面 下底面
棱台用表示底 面各顶点的字 母表示。
按底面多边形的边 数为三棱台、四棱 台、五棱台….
棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较
结构特征 棱柱
棱锥
棱台
定义
底面 侧面
两底面是全 等的多边形
平行四边形
侧棱
平行且相等
平行于底面 的截面
过不相邻两 侧棱的截面
与两底面是全 等的多边形
平行四边形
多边形 三角形
• 多面体的截面：一个集合体和一个平面相交所得 到的平面图形。
• 多面体至少有四个面。 • P3-例1.6
２．旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一 条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．
这条定直线叫做旋转体的轴．
知识点二：棱柱
定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边 形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平
• 直线或线段的平行投影仍是直线或线段； • 平行直线的平行投影是平行或重合的直线； • 平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行
高中数学必修二立体几何初步第一课时 精品优选公开课件
棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．
连接不在同一个面上的两个顶点的线段 叫做多面体的对角线。 按围成多面体的面数分为：四面体．五面 Fra bibliotek．六面体．．．．
• 把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的 各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就 叫做凸多面体，如P2-4。我们研究的多面体，若 没有特殊说明，都是指凸多面体。
• 直线或线段的平行投影仍是直线或线段； • 平行直线的平行投影是平行或重合的直线； • 平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行
且等长； • 与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形
全等； • 在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的
比等于这两条线段的比。
知识点二：斜二侧画法画直观图
• 横不变 • 竖折半 • 平行关系不改变 • 九十度画一半
上底面 下底面
棱台用表示底 面各顶点的字 母表示。
按底面多边形的边 数为三棱台、四棱 台、五棱台….
棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较
两底面是全 等的多边形 平行四边形
平行且相等
与两底面是全 等的多边形
平行四边形
多边形 三角形
两底面是相 似的多边形
梯形
相交于顶点 延长线交于一点
与底面是相 与两底面是相 似的多边形 似的多边形
• P3-例1.13 • 课后练习：P4～P5
1.1 空间几何体
1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球
知识点一：圆柱
圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋 转轴，其余三边旋转形成的曲面所围 底面
成的几何体叫做圆柱。
母线
轴 侧面
• P6-例1.14
圆柱用表示它的轴的字母表示。
人教B版高中数学必修二《第一章 立体几何初步 1.1 空间几何体 1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征》_14
第一章：空间几何体1.1.1柱、锥、台、球的结构特征第一课时简单多面体的结构特征一、教学目标1．知识与技能：（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、教学思路（一）、学生了解教学目标见PPT（二）、学生自学教材P2~P4，探究新知自主探究，通过学生观察、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、棱锥、棱台等。
并且通过交流、讨论、概括出各几何体的结构特征，完成下表。
教师对学生的活动及时给予评价。
1、自学检测题填空：如果只考虑物体的和，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的叫做空间几何体；常见的空间几何体有和两类。
2、完成表格，认识几何体的结构特征见PPT①棱柱名称棱柱直棱柱正棱柱图形动画展示定义有两个面互相平行，而其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的交线都互相平行的多面体侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形平行于底面的截面的形状与底面全等的多边形与底面全等的多边形与底面全等的正多边形②棱锥和棱台名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分由正棱锥截得的棱台侧棱相交于一点但不一定相等相交于一点且相等延长线交于一点相等且延长线交于一点侧面的形状三角形全等的等腰三角形梯形全等的等腰梯形对角面的形状三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截面形状与底面相似的多边形与底面相似的正多边形与底面相似的多边形与底面相似的正多边形其他性质高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所两侧面所成角都相等成角都相等③几种特殊四棱柱的特殊性质名称特殊性质平行六面体底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分直平行六面体侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分长方体底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分正方体棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。
高中数学必修二第一章立体几何初步第一节简单几何体北师大版ppt课件
A1B1C1D1 .
D1 A1
B1 C1
D A
C B
1.用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，
则这个几何体一定是 ( C )
A.圆柱
B.圆锥
C.球体
D.圆柱，圆锥，球体的组合体
【解析】当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形 和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．
2.下列说法正确的是( D ) A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱. B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫 棱柱. C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫 棱锥. D.棱台各侧棱的延长线交于一点.
线段叫作球的半径. 5.连接_球__面__上两点并且过_球__心__的线段叫作球的
直径.
直径 球面
球心
半径
二、圆柱、圆锥、圆台
（Hale Waihona Puke ）圆柱1.以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余 各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作 圆柱. 2.在旋转轴上这条边的长度叫做圆柱的高. 3.垂直于旋转轴的边旋转形成的圆面叫做圆 柱的底面.
第一章 立体几何初步
§1 简单几何体
情境引入
课堂探究
简单旋转体 一、球
1.以半圆的_直__径__所__在__的__直__线__为旋转轴，将半圆旋
转所形成的曲面叫作球面. 2._球__面__所围成的几何体叫作球体，
简称球.
3.半圆的_圆__心__叫作球心.
O
4.连接球心和_球__面__上__任__意__一__点__的
3.以下四个叙述：
① 正棱锥的所有侧棱相等；
② 直棱柱的侧面都是全等的矩形；
③ 圆柱的母线垂直于底面；
高中数学第一章立体几何初步1.2.2第1课时平行直线学案新人教B版必修2
第1课时 平行直线学习目标 1.掌握空间中两条直线的位置关系，理解空间平行性的传递性.2.理解并掌握基本性质4及等角公理．知识点一 基本性质41．文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． 2．符号表达：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c .知识点二 等角定理思考 观察图，在长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，∠ADC 与∠A ′D ′C ′，∠ADC 与∠D ′A ′B ′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答案 从图中可以看出，∠ADC ＝∠A ′D ′C ′，∠ADC ＋∠D ′A ′B ′＝180°. 梳理 等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等． 知识点三 空间四边形顺次连接不共面的四点A ，B ，C ，D 所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．空间四边形用表示顶点的四个字母表示．1．若AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，则∠BAC ＝∠B ′A ′C ′.( × ) 2．没有公共点的两条直线是异面直线．( × )3．若a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，且a ⊂α，b ⊂β，则a ，b 是异面直线．( × )类型一 基本性质4的应用例1 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E ，F ，G ，H 分别为PA ，PB ，PC ，PD 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形．解 在△PAB 中，因为E ，F 分别是PA ，PB 的中点， 所以EF ∥AB ，EF ＝12AB ，同理GH ∥DC ，GH ＝12DC .因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以AB ∥CD ，AB ＝CD . 所以EF ∥GH ，EF ＝GH .所以四边形EFGH 是平行四边形．反思与感悟 证明两条直线平行的两种方法(1)利用平行线的定义：证明两条直线在同一平面内且无公共点．(2)利用基本性质4：寻找第三条直线，然后证明这两条直线都与所找的第三条直线平行，根据基本性质4，显然这两条直线平行．若题设条件中含有中点，则常利用三角形的中位线性质证明直线平行．跟踪训练1 如图所示，E ，F 分别是长方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 的棱A 1A ，C 1C 的中点． 求证：四边形B 1EDF 是平行四边形．证明 设Q 是DD 1的中点，连接EQ ，QC 1.∵E 是AA 1的中点， ∴EQ 綊A 1D 1. 又在矩形A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1綊B 1C 1，∴EQ綊B1C1(基本性质4)．∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E綊C1Q.又∵Q，F是DD1，C1C的中点，∴QD綊C1F.∴四边形QDFC1为平行四边形．∴C1Q綊DF，∴B1E綊DF.∴四边形B1EDF为平行四边形．类型二等角定理的应用例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形；(2)∠BMC＝∠B1M1C1.证明(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1綊AM，∴四边形AMM1A1是平行四边形，∴A1A綊M1M.又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.反思与感悟有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径(1)利用等角定理及其推论．(2)利用三角形相似．(3)利用三角形全等．本例是通过第一种途径来实现的．跟踪训练2 已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：(1)四边形MNA 1C 1是梯形； (2)∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. 证明 (1)如图，连接AC ，在△ACD 中，∵M ，N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN 是△ACD 的中位线， ∴MN ∥AC ，MN ＝12AC .由正方体的性质，得AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1. ∴MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1，∴四边形MNA 1C 1是梯形．(2)由(1)可知MN ∥A 1C 1，又∵ND ∥A 1D 1， ∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补．而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的一个锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.类型三 空间四边形的认识例3 如图，设E ，F ，G ，H 分别是四面体A －BCD 的棱AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE AB ＝AH AD＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ，求证：(1)当λ＝μ时，四边形EFGH 是平行四边形； (2)当λ≠μ时，四边形EFGH 是梯形． 证明 (1)∵AE AB ＝AH AD ＝λ，∴EH ∥BD ，∴EHBD ＝λ.同理，GF ∥BD ，GF BD＝μ.又∵λ＝μ，∴EH ＝GF ，∴EH 綊GF . ∴四边形EFGH 是平行四边形．(2)由(1)知EH ∥GF ，又∵λ≠μ，∴EH ≠GF . ∴四边形EFGH 是梯形．反思与感悟 因空间图形往往包含平面图形，在解题时容易混淆，所以把相似的概念辨析一下，区分异同，有利于解题时不出错，如本例中明确给出了“空间四边形ABCD ”，不包含平面四边形，说明“A ，B ，C ，D 四点必不共面”，不能因直观图中AD 与BC 看似平行的关系认为它们是平行的．跟踪训练3 已知空间四边形ABCD 中，AB ≠AC ，BD ＝BC ，AE 是△ABC 的边BC 上的高，DF 是△BCD 的边BC 上的中线，判定AE 与DF 的位置关系． 解 由已知，得E ，F 不重合． 设△BCD 所在平面为α， 则DF ⊂α，A ∉α，E ∈α，E ∉DF ， 所以AE 与DF 异面．1．直线a ∥b ，直线b 与c 相交，则直线a ，c 一定不存在的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．无法判断答案 B解析如图，a与c相交或异面．2．下列四个结论中假命题的个数是( )①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面；当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．3．下列结论正确的是( )A．若两个角相等，则这两个角的两边分别平行B．空间四边形的四个顶点可以在一个平面内C．空间四边形的两条对角线可以相交D．空间四边形的两条对角线不相交答案 D解析空间四边形的四个顶点不在同一平面上，所以它的对角线不相交，否则四个顶点共面，故选D.4．下面三个命题，其中正确的个数是( )①三条相互平行的直线必共面；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四边形．A．1 B．2 C．3 D．0答案 D解析空间中三条平行线不一定共面，故①错；当把正方形沿对角线折成空间四边形，这时满足两组对边分别相等，也满足有一组对角都是直角，故②、③都错，故选D.5．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )A．全等B．不相似C．仅有一个角相等D．相似答案 D解析由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具．3．注意：等角定理的逆命题不成立．一、选择题1．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于( )A．30° B．30°或150°C．150° D．以上结论都不对答案 B解析由等角定理可知∠PQR与∠ABC相等或互补，故答案为B.2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面答案 D3．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( ) A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行答案 D解析等角定理的实质是角的平移，其逆命题不一定成立，OB与O1B1有可能平行，也可能不在同一平面内，位置关系不确定．4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是( )A．相交B．异面C．平行D．垂直答案 C解析如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理知，EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C.5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为AA1，CC1的中点，则四边形D1PBQ是( )A．正方形B．菱形C．矩形D．空间四边形答案 B解析设正方体棱长为2，直接计算可知四边形D1PBQ各边均为5，又D1PBQ是平行四边形，所以四边形D1PBQ是菱形．6.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中(如图)，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是( )A．l与AD平行B．l与AD不平行C．l与AC平行D．l与BD垂直答案 A解析假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1知，l∥B1C1，这与l与B1C1不平行矛盾，所以l与AD 不平行．7．长方体ABCD－A1B1C1D1的12条棱中，所在直线与棱AA1所在直线垂直的共有( )A．6条 B．8条 C．10条 D．12条答案 B解析所在直线与棱AA1所在直线垂直的有AB，BC，CD，DA，A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，共8条．8．异面直线a，b，有a⊂α，b⊂β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是( ) A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交答案 D解析若c与a，b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由基本性质4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．二、填空题9．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β＝________.答案60°或120°10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面11．a，b，c是空间中三条直线，下面给出几个说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交；③若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行．则上述说法中正确的为________．(仅填序号)答案①解析由基本性质4知①正确．若a与b相交，b与c相交，则a与c可能平行，也可能相交或异面，②错误；若平面α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∥l，b∥l，则a∥b，③错误．三、解答题12.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的面A 1C 1内有一点P ，经过点P 作棱BC 的平行线，应该怎样画？并说明理由．解 如图所示，在面A 1C 1内过点P 作直线EF ∥B 1C 1，交A 1B 1于点E ，交C 1D 1于点F ，则直线EF 即为所求．理由：因为EF ∥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以EF ∥BC .13.如图所示，两个三角形△ABC 和△A ′B ′C ′的对应顶点的连线AA ′，BB ′，CC ′交于同一点O ，且AO A ′O ＝BO B ′O ＝CO C ′O ＝23.(1)证明：AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′； (2)求S △ABCS △A ′B ′C ′的值．(1)证明 ∵AA ′与BB ′相交于O 点， 且AO OA ′＝BO OB ′，∴AB ∥A ′B ′. 同理AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′.(2)解 ∵AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′且AB 和A ′B ′，AC 和A ′C ′的方向相反， ∴∠BAC ＝∠B ′A ′C ′. 同理∠ABC ＝∠A ′B ′C ′， 因此△ABC ∽△A ′B ′C ′，又AB A ′B ′＝AO A ′O ＝23. ∴S △ABCS △A ′B ′C ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49. 四、探究与拓展14.如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD ) B ．MN ≤12(AC ＋BD ) C ．MN ＝12(AC ＋BD ) D ．MN <12(AC ＋BD ) 答案 D解析 如图所示，取BC 的中点E ，连接ME ，NE ，则ME ＝12AC ，NE ＝12BD ，所以ME ＋NE ＝12(AC ＋BD )． 在△MNE 中，有ME ＋NE >MN ，所以MN <12(AC ＋BD )． 15.如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)判断C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？(1)证明 由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解 由BE 綊12AF ，G 为FA 的中点知，BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG .由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面． 又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．。
人教B版必修二：第一章-立体几何初步-1.2.1ppt课件
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学
易
教
错
法
易
分
误
析
辨
教
2.共面与异面直线
析
学 方
(1)共面：空间中的 几个点 或 几条直线 ，如果都在同一
当 堂
案
双
设 计
平面内，我们就说它们共面．
基 达
标
课
前 自
(2)异面直线：既不相交又 不平行 的直线.
课
主
时
导
作
学
业
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平面的基本性质
易 错
法
易
分
误
析
【问题导思】
辨 析
教
学 方
1．直线 l 与平面 α 有且仅有一个公共点 P.直线 l 是否在 当 堂
案
设 平面 α 内？有两个公共点呢？
双 基
计
达
课
【提示】 前者不在，后者在．
标
前
自
课
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法 分
文字语言
析
教 学 方 案 设 计
基 本
性 质
经过不在同一条直 线上的三点，
有且只有一个 平
面，简称为不共线 的三点确定 一个平
课 前
2面
易
错
易
图形语言
符号语言
误
新人教B版高中数学必修二教学课件 第一章 立体几何初步 1.2.3《(第1课时)直线与平面垂直》
[答案]
AC⊥BD
[ 解析] AA′⊥平面A′B′C′D′ ⇒AA′⊥B′D′ B′D′⊂平面A′B′C′D′ A′C⊥B′D′ AA′∩A′C＝A′ ⇒B′D′⊥平面AA′C′ ⇒BD⊥平面AA′C′ BD∥B′D′ AC⊂平面AA′C′ ⇒BD⊥AC， 反过来当 BD⊥AC 时，有 A′C⊥B′D′.
线面垂直的性质
如图在△ABC中，∠B＝90°，SA⊥平面ABC， 点A在SB和SC上的射影分别是N、M，求证：MN⊥SC．
[ 解析]
∵SA⊥平面 ABC，
∴SA⊥BC，又∠ABC＝90° ， ∴BC⊥AB，∴BC⊥平面 SAB， ∴AN⊥BC， 又 AN⊥SB，∴AN⊥平面 SBC， ∴AN⊥SC，又 AM⊥SC， ∴SC⊥平面 AMN， ∴MN⊥SC．
[辨析]
[ 正解]
错解中只注意到OA＝OP＝OC，而忽视了点O到
如图所示
顶点B的距离是否等于OA．
取 PB 的中点 O，∵PA⊥平面 ABC， ∴PA⊥AB，PA⊥BC，又 BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥ 平面 PAC， 1 1 ∴BC⊥PC．∴OA＝2PB，OC＝2PB，∴OA＝OB＝OC＝ OP，故 O 为外接球的球心． 又 PA＝2，AC＝BC＝1， ∴AB＝ 2，PB＝ 6， 6 ∴外接球的半径 R＝ 2 . 4 3 4 63 ∴V 球＝3πR ＝3π×( 2 ) ＝ 6π.
在正方体中 ABCD－ A1B1C1D1 中， P 为 DD1 的中点， O 为底
人教B版高中数学必修二《第一章 立体几何初步 1.1 空间几何体 1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征》_2
第一章立体几何初步
第一课时棱柱、棱锥和棱台
教学目标：
使学生掌握集合的概念和性质，集合的元素特征，有关数的集合；培养学生的思维能力，提高学生理解掌握概念的能力；培养学生认识事物的能力，引导学生爱班、爱校、爱国.
教学重点：
集合的概念，集合元素的三个特征.
教学难点：
集合元素的三个特征，数集与数集关系.
教学方法：
尝试指导法
学生依集合概念的要求、集合元素的特征，在教师指导下，能自己举出符合要求的实例，加深对概念的理解、特征的掌握.
教学过程：
观察下面的几何体，它们有什么共同特点？
它们分别由一平面多边形按一定的方向平移而得。
高中数学必修2立体几何初步课件
2、圆台的表示： 用表示它的轴的字母表示，如圆台OO′
O'
底面
轴
侧面
母线
O
底面
总结：由于球体、圆柱、圆锥、圆台分别由平面 图形半圆、矩形、直角三角形、直角梯形通过绕 着一条轴旋转而生成的，所以把它们都叫旋转体。
§2:简单的多面体
• 1.多面体的定义：把由若干个平面多边形围成的空间图
•
形叫做多面体。
3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母 表示。如四棱锥S-ABCD。
棱台的结构特征
1、棱台的概念：用一个平行于棱锥底面的
平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做
棱台。
A1 D1
C1 B1
上底面 侧面
侧棱
下底面
顶点
棱台的性质：棱台的上下底面平行，侧棱的延长线交于一点
2、棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥… 截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱 台…
三棱柱
四棱柱
五棱柱
棱柱的表示法(下图)
棱柱用表示两底面多边形的顶点的字母表示 棱柱,如：棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1 。
观察下列几何体,有什么相同点？
1.棱锥的概念
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共 顶点的三角形， 由这些面所围成的几何体叫做 棱锥。
这个多边形面叫做棱锥的底面。
有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的 侧面。 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。
3、棱台的表示法：棱台用表示上、下底面各顶
点的字母来表示，如图棱台ABCD-A1B1C1D1 。
A1 D1
C B1 1
• 思考题：1．用平行于圆柱，圆锥，圆台的底面的平
•
面去截它们，那么所得的截面是什么图形？
人教B版必修二：第一章-立体几何初步-1.2.3-第1课时ppt课件
【提示】 不一定．
究
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学
思
教
想
法
方
分
法
析
技
巧
教
2．当折痕 AD 满足什么条件时，AD 与桌面垂直？
学
当
方 案
【提示】
当 AD⊥BD 且 AD⊥CD 时，折痕 AD 与桌面
堂 双
设
基
计 垂直．
达 标
课
前
自
课
主
时
导
作
学
业
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作 业
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思
教
想
法
方
分
法
析
技
●教学建议
巧
教
学 方
直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况，
当 堂
案
双
设 计
它是空间中线线垂直位置关系的拓展．也是连接线线垂直和
基 达
标
课 前
面面垂直的纽带，在教材中起到了承上启下的作用．鉴于本
③过点 A 垂直于直线 a 的所有直线都在过点 A 且垂直于 业
课
堂 互
a 的平面内．
动
探
究
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学
思
教
想
法
其中错误的是( )
分
方 法
析
A．①②
B．①③
技 巧
教
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.6 棱柱、棱锥、棱
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 2】 已知正六棱台的两底面边长分别为 1 cm 和 2 cm,高是 1 cm,求它的侧面积.
解:如图所示是正六棱台的一个侧面及其高组成 的一部分(其余部分省略),则侧面 ABB1A1 为等腰梯 形,OO1 为高,且 OO1=1 cm,AB=1 cm,A1B1=2 cm,取 AB 和 A1B1 的中点 C,C1,连接 OC,CC1,O1C1,则 CC1 为正六 棱台的斜高,且四边形 OO1C1C 为直角梯形.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】 如图所示,正四棱锥底面正方形的边长为 4 cm,高与斜 高的夹角为 30°,求该正四棱锥的侧面积和表面积.
思路分析:根据多面体的侧面积公式,必须求出相应多面体的底面边长 和各侧面的斜高,我们可以把问题转化到三角形内加以分析求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:正四棱锥的高 PO,斜高 PE,底面边心距 OE 组成一个 Rt△POE. 因为 OE=2 cm,∠OPE=30°, 所以 PE=sin���3������0��� °=4(cm).
思考 1 斜棱柱的侧面展开图是什么?它的侧面积如何求解?
提示:斜棱柱的侧面展开图是一些平行四边形连接起来的不规则图形, 它的侧面积等于各个侧面面积之和,也等于直截面(与侧棱垂直相交的截面) 的周长与侧棱长的乘积.
2.圆柱、圆锥的侧面积 几何体 侧面展开图 圆柱
圆锥
侧面积公式
S 圆柱侧=2πrl r 为底面半径 l 为侧面母线长
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
课程目标
1.掌握棱柱、棱锥和棱台的表面积公式 的推导方法,进一步加强空间问题与平 面问题相互转化的思想,并熟练运用公 式求面积. 2.了解棱柱、棱锥和棱台的侧面积的求 法——侧面展开图. 3.了解球的表面积公式,并会熟练运用公 式求球的表面积. 4.了解旋转体的构成,并会求旋转体的表 面积.