第十一章组合变形
工程力学第十一章 组合变形
土建工程中的混凝土或砖、石偏心受压柱，往往不 允许横截面上出现拉应力。这就是要求偏心压力只能作 用在横截面形心附近的截面核心内。
要使偏心压力作用下杆件横截面上不出现拉应力， 那么中性轴就不能与横截面相交，一般情况下充其量只能 与横截面的周边相切，而在截面的凹入部分则是与周边外 接。截面核心的边界正是利用中性轴与周边相切和外接时 偏心压力作用点的位置来确定的。
解：拉扭组合:
7kNm T
50kN FN
安全
例11-8 直径为d的实心圆轴，
·B
P 若m=Pd，指出危险点的位置， 并写出相当应力 。
x
m
解：偏拉与扭转组合
z
C P P 例11-9 图示折角CAB，ABC段直径
d=60mm，L=90mm，P=6kN，[σ]＝
BA
60MPa，试用第三强度理论校核轴 x AB的强度。
例11-6 图示圆轴.已知,F=8kN,Me=3kNm,［σ］=100MPa, 试用第三强度理论求轴的最小直径.
解：(1) 内力分析
4kNm M
3kNm T
(2)应力分析
例11-7 直径为d=0.1m的圆杆受力如图，T=7kNm，P=50kN， []=100MPa，试按第三强度理论校核此杆的强度。
至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力 引起的附加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有 杆的弯曲刚度相当大（大刚度杆）且在线弹性范围内 工作时才可应用叠加原理。
A M
F FN
+ ql2/8
+
B
+
=
C 10kN
A 1.6m
1.6m
10kN
1.2m
例11-3 两根无缝钢管焊接 而成的折杆。钢管外径 D=140mm，壁厚t=10mm。求 危险截面上的最大拉应力和 B 最大压应力。
动荷载、疲劳破坏(1)
M max W
2.3106 10.7(MPa)
1 133 103
32
Z Mz
My M Y
注意：矩形截面——
max
M zmax M ymax
Wz
Wy
圆形截面——
max
W=πd3/32
M
2 zm
ax
M
2 ym
ax
W
例 3某食堂采用三角形木屋架，屋面由屋面板、粘土瓦构成。
从有关设计手册中查得沿屋面的分布荷载为1.2kN／m²。
)
三、双向偏心压缩时的应力计算 x F
偏心压力F的作用点不在
ez z e
横截面的任一形心主轴上
C ey
y
F
x
F
Mey
z
y
Mez
F
M ey Fez
b h
D
M ez Fey
AB
1、内力分析
FN F
FN
N
A
M y M ey Fez
M z M ez Fey
2、应力分析(如上）
My
My Iy
弯曲与扭转的组合
轴向压缩与弯曲的组合
立柱
PF
偏心压缩与弯曲的组合
PF
q
h
轴向压缩与 弯曲的组合
F
F1
m
拉弯扭组合
FP
斜弯曲 F z
x
y
弯扭组合
F
三、组合变形的分析方法——叠加法
F
F1
扭转
m
m
F1 前提条件：弹性范围内工作的小变形杆。
叠加原理：几种（几个）荷载共同作用下的应力、变形等于每种
（每个）荷载单独作用之和（矢量和、代数和）。
材料力学 第11章 组合变形习题集
横截面m-m上任一点C(y，z)处由 弯矩Mz和My引起的正应力分别为
M z y M cos y M y z M sin z
Iz
Iz
Iy
Iy
38
C点的正应力
' ''
M
cos
Iz
y
sin
Iy
z
悬臂梁固定端截面A的弯矩Mz和My 均达到最大值，故该截
面是危险截面。设yo、zo为中性轴上任一点的坐标，并令σ
算 圆轴表面上与轴线成30°方位上的正应变。
32
解: (1)由内力图知，所有截面均为危险截面，危险点为靠近
轴表面的各点，应力状态如图。计算危险点的主应力。轴力
引起的正应力
FN 4F
A πd 2
扭矩引起的切应力
T M 8F
Wp Wp 5πd 2
危险点处的主应力为
1
2
(
)2
( )2
它在y、z两轴上的截距分别为
y* z* h / 2
该截面惯性半径的平方为
iy2
Iy A
h2 12
iz2
Iz A
b2 12
28
中性轴①对应的核心边界上点1的坐标为
ey1
iz2 y*
0
ez1
iy2 z*
h 6
按上述方法可求得与它们对应的截面核
心边界上的点2、3、4，其坐标依次为：
ey2
b 6
ez2 0
车臂的直径d。
18
解：两个缆车臂各承担缆车重量的一半，如 图。则缆车臂竖直段轴力为FN=W/2=3kN 弯矩为M=Wb/2=540N·m 危险截面发生在缆车臂竖直段左侧，由强度条件
哈尔滨工程大学力学基础课件第11章
Ni2li U U i i 1 i 1 2 EA i
m m
(11-3)
2.圆轴扭转
M
M
A
j
M
l
o
(a)
j
B
j
对于圆轴的扭转，当外力偶矩由零开始 逐渐增加至最终值M时，扭转角也由零逐渐 增至最终值。在线弹性范围内，M与 的关 系也是一条斜直线，如图所示。 1 (b) W M
O
解：
由图b可以看出，截面mn上 的扭矩和弯矩分别为
A
P
dj
R
j
m n
(b)
M n PR(1 cos j )
M PR sin j
p
A
j
m
dj
R
例3:图示半圆形等截面曲杆位于 水平面内，在A点受铅垂力P的 作用，求A点的垂直位移。
变形能为: 2
dU
M n Rdj M 2 Rdj 2GI p 2 EI P 2 R 3 (1 cos j ) 2 dj P 2 R 3 sin j dj 2GI p 2 EI
3P R P R 4GI p 4 EI
2 3 2 3
dj
j
m n
(b)
由此求得:
A
3PR PR 2GI p 2 EI
3 3
11.2 莫尔定理
莫尔定理是一种能够求 解在复杂载荷作用下的结构 任一处广义位移的有效工具。 现在以梁为例，利用变 形能的概念和特性来导出莫 尔定理。 假设梁在外力1 ,2 …… 作用下发生弯曲变形，如图a 所示。今要确定在上述外力 作用下，梁上任意一点C的 挠度 。
p
A
p
o
p
(a)
材料力学-第十一章组合变形(讲稿)
第十一章组合变形一、教学目标1、掌握组合变形的概念。
2、掌握斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的概念和区分、危险截面和危险点的确定、应力计算、强度计算、变形计算、中性轴的确定等。
3、正确区分斜弯曲和平面弯曲。
4、了解截面核心的概念、常见截面的截面核心计算。
二、教学内容1、讲解组合变形的概念及组合变形的一般计算方法：叠加法。
2、举例介绍斜弯曲和平面弯曲的区别。
3、讲解斜弯曲的应力计算、中性轴位置的确定、危险点的确立、强度计算、变形计算。
4、讲解弯曲和扭转组合变形内力计算，确定危险截面和危险点，强度计算。
5、讲解拉伸(压缩)和弯曲组合变形的危险截面和危险点分析、强度计算。
6、讲解偏心拉伸(压缩)组合变形的危险截面和危险点分析、应力计算、强度计算。
7、简单介绍截面核心的概念和计算。
三、重点难点重点：斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的应力和强度计算。
难点：1、解决组合变形问题最关键的一步是将组合变形分解为两种或两种以上的基本变形：斜弯曲——分解为两个形心主惯性平面内的平面弯曲；弯曲和扭转组合变形——分解为平面弯曲和扭转；拉伸（压缩）和弯曲组合变形——分解为轴向拉伸（压缩）和平面弯曲（因剪力较小通常忽略不计）；偏心拉伸（压缩）组合变形——单向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和一个平面弯曲，双向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和两个形心主惯性平面内的平面弯曲。
2、组合变形的强度计算，可归纳为两类：⑴危险点为单向应力状态：斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）组合变形的强度计算时只需求出危险点的最大正应力并与材料的许用正应力比较即可；⑵危险点为复杂应力状态：弯扭组合变形的强度计算时，危险点处于复杂应力状态，必须考虑强度理论。
四、教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
五、计划学时5学时六、讲课提纲(一)斜弯曲引言：*何谓平面弯曲？梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的这种弯曲称为平面弯曲（或者说：梁的挠曲线是形心主惯性平面内的一条平面曲线）**平面弯曲与斜弯曲的比较(a) (b) (c)项目平面弯曲斜弯曲受力特点p F 平面与过y轴(形心主惯性轴)的纵平面重合pF平面过形心(这里也是弯心)但不与过y轴的纵平面重合。
梁的组合变形
第十一章 组合变形11.1 组合变形的概念11.1.1 组合变形图11-1在以前各章节中分别讨论了杆件拉伸〔压缩〕、剪切、扭转和弯曲等根本变形。
但工程实际中构造的某些构件往往同时承受几种根本变形。
例如，图11-1)(a 表示小型压力机的框架。
为分析框架立柱的变形，将外力向立柱的轴线简化，如图11-1)(b ，可见立柱承受了由F 引起的拉伸和由Fa M e 引起的弯曲。
这类由两种或两种以上根本变形组合的情况，称为组合变形。
11.1.2 叠加原理在组合变形中的应用图11-2在材料服从虎克定律且变形很小的前提下，杆件上虽然同时存在着几种根本变形，但每一种根本变形都是各自独立、互不影响的。
即任一根本变形都不会改变另一种变形所引起的应力和变形。
于是，分别计算每一种根本变形各自引起的应力和变形，然后求出这些应力和变形的总和，便是杆件在原载荷作用下的应力和变形，这就是叠加原理在组合变形中的应用。
上述叠加原理的成立，除材料必须服从虎克定律外，小变形的限制也是必要的。
现以压缩与弯曲的组合变形来说明这一问题。
当弯曲变形很小，可以忽略不计时，图(a，弯矩可以按杆件变形前的位置来计算。
这时轴向力P和横向载荷q的影响11-2)是各自独立的，叠加原理可以使用。
反之，假设杆件的抗弯刚度较小，弯矩应按杆件(b，那么轴向压力P除引起轴力外，还将产生弯矩Pv，变形后的位置计算，图11-2)而挠度v又受P及q的共同影响。
显然，压力P及横向载荷q的作用并不是各自独立的。
在这种情况下，尽管杆件仍然是线弹性的，但叠加原理也不能成立。
11.1.3 组合变形的几种常见方式1.斜弯曲2.拉伸或压缩与弯曲的组合3.扭转和弯曲的组合11.2 斜弯曲11.2.1 斜弯曲的概念由第7章知，仅当作用于构件上的横向力的作用线通过弯曲中心，且垂直于截面的一根形心主惯性轴时，构件才发生平面弯曲。
在工程实际中，作用在杆件上的横向力虽然通过弯曲中心，但有时并不垂直于截面的形心主轴。
工程力学 第11章组合变形
第三节
偏心压缩
三.截面核心的概念 ——若外力作用在截面形心附近的某一个区域，使 得杆件整个截面上全为压应力而无拉应力，这个 外力作用的区域称为截面核心。
第三节
偏心压缩
例2. 起重机支架的轴线通过基础的中心。 起重机自重180kN，其作用线通过基础 底面QZ轴，且有偏心距e=0.6m.已知基 础混凝土的容重等于22kN/m3，若矩形 基础的短边长3m。 试计算：（1）其长边的尺寸为 多少时使基础底面不产生拉应力？ （2）在所选的值之下，基础底面上的 最大压应力为多少？
Mzy M cosy Iz Iz
Myz Iy
M sin z Iy
（4）应力叠加——危险点应力
Mz y Myz cos sin M ( y z) IZ Iy IZ Iy
第二节
危险点的应力为：
max
斜弯曲
工程力学
第十一章 组合变形
主要内容
第一节 组合变形的概念 第二节 斜弯曲 第三节 偏心压缩
第一节
组合变形的概念
牛腿柱
第一节
组合变形的概念
F F F
试分析受压立柱的变形形式
压缩-弯曲变形
压缩变形
压缩-弯曲变形
第一节
组合变形的概念
一.组合变形的概念 1.组合变形——由两种或两种以上的基本变形组合 而成的变形称为组合变形 。 2.组合变形杆件的强度计算方法——叠加原理。 二.叠加原理解题步骤： （1）分解：将作用于组合变形杆件上的外力分解或简化 为基本变形的受力方式； （2）叠加：对各基本变形进行应力计算后，将各基本变形 同一点处的应力进行叠加，以确定组合变形时各点的应力； （3）强度条件：分析确定危险点的应力，建立强度条件。
组合变形
第10章组合变形§10-1 组合变形的概念1.组合变形的概念组合变形：构件往往会发生两种或两种以上的基本变形的这类变形。
在前面各章分别讨论了杆件在拉(压)、剪切、扭转和弯曲基本变形时的应力和强度计算。
工程实际中，杆件在荷载作用下所发生的变形，经常是两种或两种以上基本变形的组合，这种变形称为组合变形。
例如图10．1(a)所示屋架檩条的变形，是由y/z两个方向的平面弯曲变形组成的斜弯曲；如图10．1(b)所示厂房柱，在偏心力F作用下，会发生压缩和弯曲的组合变形；如图10．1(c)所示的卷扬机轴在力F作用下，则发生弯曲和扭转的组合变行。
2．组合变形的分析方法及计算原理处理组合变形问题的方法：1.将构件的组合变形分解为基本变形；2.计算构件在每一种基本变形情况下的应力；3.将同一点的应力叠加起来，便可得到构件在组合变形情况下的应力。
叠加原理是解决组合变形计算的基本原理叠加原理应用条件：即在材料服从胡克定律，构件产生小变形，所求力学量定荷载的一次函数的情况下，计算组合变形时可以将几种变形分别单独计算，然后再叠加，即得组合变形杆件的内力、应力和变形。
计算原理：（1）圣维南原理以静力等效力系代替构件原有的荷载，为此，要求构件为细长杆，且所求应力的截面远离外力作用点；（2）叠加原理 按各基本变形计算后进行叠加，为此，要求构件处于线弹性范围内，且变形很小，可按构件的原始形状的尺寸进行计算。
在小变形和线弹性条件下，杆件上各种力的作用彼此独立，互不影响，即杆上同时有几种力作用时，一种力对杆的作用效果（变形或应力），不影响另一种力对杆的作用效果（或影响很小可以忽略）。
因此组合变形下杆件内的应力，可视为几种基本变形下杆件内应力的叠加。
本章中组合变形下杆件的应力计算，将以各基本变形的应力及叠加法为基础。
叠加法的主要步骤：a 、将组合变形按照各基本变形的条件，分解为几种基本变形，简称分解。
b 、利用基本变形的应力计算公式，分别计算各点处的正应力和切应力。
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知识点11：组合变形
一、组合变形
１．杆件同时发生两种或两种以上的基本变形时，称为组合变形。
２．计算组合变形问题，是以杆件发生“小变形”为前提，在此条件下，不同基本变形所引起的应力和变形，各自独立，互不影响，可以应用叠加原理。
即先根据各内力分量分别计算杆件在每一种基本变形下的应力和变形，再把计算结果叠加，得到杆件在原载荷作用下的应力和变形。
二、 斜弯曲
１．当梁所受到的横向力不在梁的主惯性平面内时，梁将发生斜弯曲。
斜弯曲是梁在其两个主惯性平面内弯曲的组合变形。
2．对于圆形、正方形等截面梁，其截面对两个主惯性轴的惯性矩相等，不会发生斜弯曲。
3．当梁的载荷不通过截面的弯曲中心时，除斜弯曲外，梁还发生扭转变形。
4．图11-1所示矩形截面悬臂梁受横向力Ｆ作用，把力Ｆ沿y 轴和z 轴分解，梁将在xy 和xz 两个主惯性平面内弯曲。
图11-1
xy 平面内的弯曲应力：
y I M z
z
=
'σ xz 平面内的弯曲应力：
z I M y
y =
''σ
组合变形（斜弯曲）的应力： z I M y I M y
y z z
+=''+'=σσσ 5．斜弯曲的中性轴方程
0=+z I M y I M y
y z z
中性轴通过截面形心，但和载荷作用平面不垂直。
距中性轴最远的点处正应力最大。
6．斜弯曲时梁的弯曲平面和载荷作用平面不在同一平面，但弯曲平面和中性轴相垂直。
三、拉伸（压缩）与弯曲的组合
1．杆件受拉伸（压缩）与弯曲组合时，弯曲变形的中性轴位置将偏移。
2. 杆在拉伸（压缩）与弯曲的组合变形时，分别计算拉伸（压缩）正应力和弯曲正应力，叠加后进行强度计算。
3．拉伸（压缩）时，横截面的正应力： A
N
N =σ
弯曲时，横截面的最大拉压正应力：
W
M M ±
=σ 拉伸（压缩）与弯曲的组合，横截面的最大拉压正应力： W
M
A N ±=σ
4．杆件受偏心拉伸（压缩）时，其截面上存在称为截面核心的区域，当偏心轴向力作用在截面核心内时，截面上只产生拉应力（或压应力）。
截面核心在工程上有很大的意义。
四、圆杆的弯曲与扭转组合变形
1．当圆杆发生两面弯曲与扭转的组合变形时，不能求出两个平面弯曲的最大正应力后，进行叠加得到圆杆的最大正应力，而应先求出两平面弯曲的合成弯矩，再求其最大弯曲正应力。
2. 图11-2为受弯曲与扭转组合变形构件危险点的应力状态，图中 弯曲正应力：
W
M
=
σ 扭转切应力： P
W Mz
=τ
图11-2
3．对于弯曲与扭转组合变形构件危险点的应力状态，可得第三强度理论的强度条件和第四强度理论的强度条件：
[]στσσ≤+=2234xd
[]στσσ≤+=2243xd
4．注意到圆杆的ＷＰ＝２Ｗ，可得到圆杆弯曲和扭转组合变形以内力表示的强度条件：
[]σσ≤+=
2231
n xd M M W
[]σσ≤+=224
75.01n xd M M W
五、难题解析
【例1】有一木质拉杆如图11-3所示，截面原为边长a 的正方形，拉力P F 与杆轴重和，后因使用上的需要，在杆长的某一段范围内开一
2
a
宽的切口，如图11-3所示，试求m m -截面上的最大拉应力和最大压应力，以及这最大拉应力是截面削弱前的拉应力值的几倍？
图11-3
解：截面削弱后最大拉应力为
2222max
8262
)2(614a F a F a F a a F a a a
F A F W M p p p p p N =+=⋅+⋅
=+=+σ
截面削弱后的最大压应力为
222max
426a
F a F a F A F W M p p p N =-=-=-
σ
截面削弱前的拉应力为
21a
F A F p N
==
σ 截面削弱前后拉应力之比为：
882
21max
==+
a F a F p p
σσ
【例2】如图11-4所示折杆，AB 段为圆截面，BC AB ⊥，若AB 杆直径
mm d 100=，材料的许用应力MPa 80][=σ。
试按第三强度理论确定许用载荷][F 。
图11-4
解：将外力向AB 杆轴线简化，得到一个力F '和力偶e M ，即
F M F F e '=='1200；
力F '使轴产生弯曲变形，力偶e M 使轴发生扭转变形。
危险截面上的扭矩和弯矩分别为
F M F M n '='=2.12.1；
由
][212002
23σσ≤=+=
z
z n xd W F
W M M
kN N W F z 63.42
120080
10032
21200]
[3=⨯⨯=≤
π
σ
故许用载荷][F 为kN 63.4。