理论力学__点的运动学
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已知：OC=AC=BC=l，
MC=a,
t 。
求：规尺上点M 的 ① 运动方程； ② 运动轨迹； ③ 速度； ④ 加速度。
17
解： 点M作曲线运动，建立Oxy坐标系如图所示。 （1）求运动方程和运动轨迹
x (OC CM ) cos (l a) cos t
y AM sin (l a)sin t
2 2 aB xB r sin t xB
23
第五章
点的运动学
§5-3 自然法
—— 已知运动轨迹
求速度和加速度
24
§5-3 自然法
一、弧坐标与运动方程
如果点沿着已知的轨迹 运动，则点的运动方程， 可用点在已知轨迹上所走 过的弧长随时间变化的规 律来描述。
τ
r
r
r
v
dr ds ds dt τv vτ
ds 速度的大小： v s dt 速度的方向：沿轨迹的切线方向
32
§5-3 自然法
四、点的加速度
v vτ,
dv a dt
dv dτ a τ v dt dt
学习运动学的意义
1、为学习动力学打基础； 2、为机构的设计打基础。
引言
已知输入和输出运动，设计机构的具体形式；
已知机构的具体形式，由输入运动求输出运动
或由输出运动求输入运动。
4
运动学
运动学模型及其运动形式
（1）直线运动
（2）曲线运动
引言
1、点
2、刚体
（1）平移（平动） （2）定轴转动 （3）平面运动
5
运动学
几个基本概念
引言
1、参考体： 研究物体运动时所选择的参考物体。 2、参考系：与参考物固连的坐标系。
通常取与地面固连的坐标系为参考系。
3、时间间隔： 4、瞬时：
Δt = t2 – t1
时间间隔趋于零时称之为瞬时。
6
运动学
第五章
点的运动学
7
第五章
点的运动学
采用以下三种方法研究点的运动方程、 运动的速度和加速度：
: 切向加速度，at
v s, 方向沿轨迹的切向；
v2
表征速度矢量大小的变化率； : 法向加速度， an
, 方向沿主法线方向指向曲率中心；
表征速度矢量方向的变化率；
ab 0
全加速度在密切面内。
a a a
2 t
2 n
37
小 结（之二 ）
二、直角坐标法与弧坐标法的关系
v n
n ？
1
v
2 dv dτ dv v a τ v = τ+ n dt dt dt
at
an
36
小 结（之一 ）
一、用弧坐标表示点的加速度为:
at
an
dv v 2 a = at an at τ an n = τ + n dt
14
§5-2 直角坐标法 dr 2、点的速度 v dt v vx v y vz vx i vy j vz k
dx dy dz i j k dt dt dt
∴ 速度在三个坐标轴上的投影为：
dx dy dz vx , v y , vz dt dt dt
2 4 sin 2 t l a 4 cos2 t (l a） 2
l 2 a 2 2al cos 2t
ay (l a) cos t cos(a , i ) a l 2 a 2 2al cos 2t
ax (l a)sin t cos(a , j ) a l 2 a 2 2al cos 2t
ϕ
P n 当φ0时， 和 ´以及 同处 于P点的密切面内，这时， 的极
1
2 τ sin 2 lim 0 sin 2 lim 0 2
限方向垂直于 ，亦即 n 方向。
dτ ?n d
35
§5-3 自然法
dτ dτ d ds dt d ds dt
20
§5-2 直角坐标法
正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O轴匀速 转动，它与水平线间的夹角为 t , 其中θ为t=0时 的夹角，ω为一常数。已知动杆上A，B两点间距离为b。 求: 点A和B的运动方程及点B的速度和加速度。
A
21
§5-2 直角坐标法
解：A、B点都作直线运动，取Ox轴如图所示。
25
§5-3 自然法
弧坐标具有以下要素：
（1）有坐标原点(一般在轨迹上
任选一参考点作为坐标原点)； （2）有正、负方向(一般以点的
运动方向作为正向)；
（3）可用弧长随时间变化的规 律来描述点的运动。
★ 用弧坐标表示点的运动方程
s=f(t)
26
§5-3 自然法
二、自然轴系
1、 密切面
s+
P P´
当P´点无限接
（1）若点的运动轨迹未知： —— 直角坐标法
x x (t ) y y (t ) , z z (t )
2 x 2 y
(t ) vx x (t ) , v y y v z z (t )
2 z
x (t ) x (t ) ax v y (t ) y (t ) a y v a v z (t ) z z (t )
近于 P点时，过这
两点的切线所组 成的平面，称为P 点的密切面。
s
-
27
§5-3 自然法
关于密切面的三点说明
空间曲线上的任意点都存在且仅存在唯一
的一个密切面。 空间曲线上任意点的无穷小邻域内的一段 弧长，可以看作是位于密切面内的平面曲线。 曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的 曲率，用
r t + Δt
单位：m/s，方向沿矢径的矢端曲线的切线。 2 dv d r 加速度 ： a = 2 =v=r dt dt 物理意义：表征点速度变化快慢的物理量。
单位：m/s2，方向沿速度矢端曲线的切线。
11
§5-1 矢量法
矢端曲线
v2 v1
M3
r2 r3
(1) 点 A、B 的运动方程:
A
xA b r sin b r sin(t ) xB r sin r sin(t )
22
§5-2 直角坐标法
（2）求点B的速度和加速度
xB r sin r sin(t )
B r cos t vB x
x (l a) cos t y (l a)sin t
v vx 2 vy 2 (l a) 2 2 sin 2 t (l a) 2 2 cos 2 t l a 2al cos 2t vx (l a)sin t cos(v , i ) v l 2 a 2 2al cos 2t vy (l a) cos t cos(v , j ) v l 2 a 2 2al cos 2t
1
表示。
28
§5-3 自然法
2、自然轴系
副法线
法平面－ 过动点P并与切 线垂直的平面；
s+
b n P τ
主法线－ 密切面与法平面的 交线； 副法线－ 过动点P且垂直于 切线和主法线的直线。
自然轴系－ τnb 坐标系 密切面 τ、n、b 为自然轴系的单位向量，且满足： b = τ n
2 2
19
（3）求加速度
2 ay vy y l a sin t
2 2 a ax ay
vx l a sin t
x ax v x l a 2 cos t v y (l a ) cos t
(1) 矢量法
(2) 直角坐标法 — 点的轨迹未知
(3) 自然法 — 点的轨迹已知
8
第五章
点的ห้องสมุดไป่ตู้动学
基本要求
（1） 熟练掌握直角坐标法求解点的运动方程、 速度和加速度； （2）熟练掌握自然法求解点的速度和加速度。
（3）正确理解切向加速度和法向加速度的物理 意义。
9
第五章
点的运动学
§5-1 矢量法
2 2 2 v v v v x y z 2 2 2 a a a a vx v y vz 2 x 2 y 2 z
38
（2）若点的运动轨迹已知，且做曲线运动： —— 弧坐标法
s?
v?
t s ds vs vdt ds 0 s0 dt t t 2 y 2 z s s0 vdt s0 x 2 dt
15
§5-2 直角坐标法 dv 3、点的加速度 a dt
a ax i a y j az k dvx dv y dvz i j k dt dt dt d2 x d2 y d2 z 2 i 2 j 2 k dt dt dt
v3
M2
r1
矢径矢端曲线 r (t ) O
M1
速度矢端曲线 v (t ) M2 a2 a1 M3 v 2 a3 v1 v3
M1
O
速度是什么呢？ v = r
- 矢径矢端曲线的切线
加速度是什么呢？ a = v
- 速度矢端曲线的切线
12
第五章
点的运动学
§5-2 直角坐标法
13
§5-2 直角坐标法
1、点的运动方程
矢径写成直角坐标的形式为：
r = r t
r x t i y(t ) j z(t )k
则点M在直角坐标下的运动方程为：
x x(t ) y y (t ) z z (t )
消去t, 得点M的运动轨迹为：
D E
(x,y)
x2 y2 1 2 2 (l a ） (l a)
∴点M的运动轨迹为椭圆，长轴与x轴重合。
请同学们思考
若M点选在BC段，椭圆的长轴还与x轴重合吗？
18
（2）求速度
l a sin t vx x (l a) cos t vy y
∴ 加速度在三个坐标轴上的投影为：
dv y d 2 y dvx d 2 x dvz d 2 z ax 2 , ay 2 , az 2 dt dt dt dt dt dt
16
§5-2 直角坐标法
椭圆规的曲柄OC 可绕定轴O 转动，其端点C 与规尺AB 的中点以铰链相连接，而规尺A、B 两端 分别在相互垂直的滑槽中运动。
29
s-
切线
自然轴系的特点
随动坐标系——跟随动点在轨迹上作空间曲线运动。
30
§5-3 自然法
三、点的速度
1、 曲率及曲率半径
曲率：曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值。
曲率半径ρ：曲率的倒数称为曲率半径。
1 d lim s 0 s ds
31
§5-3 自然法
2、 点的速度 v r d r v lim t 0 t dt
10
§5-1 矢量法
矢径 r ：
点M相对于原点O的位置矢量。
M
点的运动方程 ： r = r t
r t
矢径的 矢端曲线 r M'
M'' r dr lim =r 速度 ： v = r t + t t 0 t O dt 物理意义：表征点运动快慢的物理量。
第二篇
1
运动学
0 引言 运动学的主要内容 学习运动学的意义 运动学模型及其运动形式 几个基本概念
2
运动学
运动学的主要内容
引言
－ 研究物体(点、刚体)运动的几何性质。 1、建立物体的运动方程；
2、分析运动的速度、加速度、角速度 和角加速度等。 3、研究运动分解和合成的规律。
3
运动学
dτ ? dt
法向加速度
表征速度方向变化
33
at
an
切向加速度 表征速度大小变化
§5-3 自然法
dτ ? dt
dτ dτ d ds dt d ds dt
？
1
v
34
§5-3 自然法
dτ ? d dτ τ lim d 0
MC=a,
t 。
求：规尺上点M 的 ① 运动方程； ② 运动轨迹； ③ 速度； ④ 加速度。
17
解： 点M作曲线运动，建立Oxy坐标系如图所示。 （1）求运动方程和运动轨迹
x (OC CM ) cos (l a) cos t
y AM sin (l a)sin t
2 2 aB xB r sin t xB
23
第五章
点的运动学
§5-3 自然法
—— 已知运动轨迹
求速度和加速度
24
§5-3 自然法
一、弧坐标与运动方程
如果点沿着已知的轨迹 运动，则点的运动方程， 可用点在已知轨迹上所走 过的弧长随时间变化的规 律来描述。
τ
r
r
r
v
dr ds ds dt τv vτ
ds 速度的大小： v s dt 速度的方向：沿轨迹的切线方向
32
§5-3 自然法
四、点的加速度
v vτ,
dv a dt
dv dτ a τ v dt dt
学习运动学的意义
1、为学习动力学打基础； 2、为机构的设计打基础。
引言
已知输入和输出运动，设计机构的具体形式；
已知机构的具体形式，由输入运动求输出运动
或由输出运动求输入运动。
4
运动学
运动学模型及其运动形式
（1）直线运动
（2）曲线运动
引言
1、点
2、刚体
（1）平移（平动） （2）定轴转动 （3）平面运动
5
运动学
几个基本概念
引言
1、参考体： 研究物体运动时所选择的参考物体。 2、参考系：与参考物固连的坐标系。
通常取与地面固连的坐标系为参考系。
3、时间间隔： 4、瞬时：
Δt = t2 – t1
时间间隔趋于零时称之为瞬时。
6
运动学
第五章
点的运动学
7
第五章
点的运动学
采用以下三种方法研究点的运动方程、 运动的速度和加速度：
: 切向加速度，at
v s, 方向沿轨迹的切向；
v2
表征速度矢量大小的变化率； : 法向加速度， an
, 方向沿主法线方向指向曲率中心；
表征速度矢量方向的变化率；
ab 0
全加速度在密切面内。
a a a
2 t
2 n
37
小 结（之二 ）
二、直角坐标法与弧坐标法的关系
v n
n ？
1
v
2 dv dτ dv v a τ v = τ+ n dt dt dt
at
an
36
小 结（之一 ）
一、用弧坐标表示点的加速度为:
at
an
dv v 2 a = at an at τ an n = τ + n dt
14
§5-2 直角坐标法 dr 2、点的速度 v dt v vx v y vz vx i vy j vz k
dx dy dz i j k dt dt dt
∴ 速度在三个坐标轴上的投影为：
dx dy dz vx , v y , vz dt dt dt
2 4 sin 2 t l a 4 cos2 t (l a） 2
l 2 a 2 2al cos 2t
ay (l a) cos t cos(a , i ) a l 2 a 2 2al cos 2t
ax (l a)sin t cos(a , j ) a l 2 a 2 2al cos 2t
ϕ
P n 当φ0时， 和 ´以及 同处 于P点的密切面内，这时， 的极
1
2 τ sin 2 lim 0 sin 2 lim 0 2
限方向垂直于 ，亦即 n 方向。
dτ ?n d
35
§5-3 自然法
dτ dτ d ds dt d ds dt
20
§5-2 直角坐标法
正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O轴匀速 转动，它与水平线间的夹角为 t , 其中θ为t=0时 的夹角，ω为一常数。已知动杆上A，B两点间距离为b。 求: 点A和B的运动方程及点B的速度和加速度。
A
21
§5-2 直角坐标法
解：A、B点都作直线运动，取Ox轴如图所示。
25
§5-3 自然法
弧坐标具有以下要素：
（1）有坐标原点(一般在轨迹上
任选一参考点作为坐标原点)； （2）有正、负方向(一般以点的
运动方向作为正向)；
（3）可用弧长随时间变化的规 律来描述点的运动。
★ 用弧坐标表示点的运动方程
s=f(t)
26
§5-3 自然法
二、自然轴系
1、 密切面
s+
P P´
当P´点无限接
（1）若点的运动轨迹未知： —— 直角坐标法
x x (t ) y y (t ) , z z (t )
2 x 2 y
(t ) vx x (t ) , v y y v z z (t )
2 z
x (t ) x (t ) ax v y (t ) y (t ) a y v a v z (t ) z z (t )
近于 P点时，过这
两点的切线所组 成的平面，称为P 点的密切面。
s
-
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§5-3 自然法
关于密切面的三点说明
空间曲线上的任意点都存在且仅存在唯一
的一个密切面。 空间曲线上任意点的无穷小邻域内的一段 弧长，可以看作是位于密切面内的平面曲线。 曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的 曲率，用
r t + Δt
单位：m/s，方向沿矢径的矢端曲线的切线。 2 dv d r 加速度 ： a = 2 =v=r dt dt 物理意义：表征点速度变化快慢的物理量。
单位：m/s2，方向沿速度矢端曲线的切线。
11
§5-1 矢量法
矢端曲线
v2 v1
M3
r2 r3
(1) 点 A、B 的运动方程:
A
xA b r sin b r sin(t ) xB r sin r sin(t )
22
§5-2 直角坐标法
（2）求点B的速度和加速度
xB r sin r sin(t )
B r cos t vB x
x (l a) cos t y (l a)sin t
v vx 2 vy 2 (l a) 2 2 sin 2 t (l a) 2 2 cos 2 t l a 2al cos 2t vx (l a)sin t cos(v , i ) v l 2 a 2 2al cos 2t vy (l a) cos t cos(v , j ) v l 2 a 2 2al cos 2t
1
表示。
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§5-3 自然法
2、自然轴系
副法线
法平面－ 过动点P并与切 线垂直的平面；
s+
b n P τ
主法线－ 密切面与法平面的 交线； 副法线－ 过动点P且垂直于 切线和主法线的直线。
自然轴系－ τnb 坐标系 密切面 τ、n、b 为自然轴系的单位向量，且满足： b = τ n
2 2
19
（3）求加速度
2 ay vy y l a sin t
2 2 a ax ay
vx l a sin t
x ax v x l a 2 cos t v y (l a ) cos t
(1) 矢量法
(2) 直角坐标法 — 点的轨迹未知
(3) 自然法 — 点的轨迹已知
8
第五章
点的ห้องสมุดไป่ตู้动学
基本要求
（1） 熟练掌握直角坐标法求解点的运动方程、 速度和加速度； （2）熟练掌握自然法求解点的速度和加速度。
（3）正确理解切向加速度和法向加速度的物理 意义。
9
第五章
点的运动学
§5-1 矢量法
2 2 2 v v v v x y z 2 2 2 a a a a vx v y vz 2 x 2 y 2 z
38
（2）若点的运动轨迹已知，且做曲线运动： —— 弧坐标法
s?
v?
t s ds vs vdt ds 0 s0 dt t t 2 y 2 z s s0 vdt s0 x 2 dt
15
§5-2 直角坐标法 dv 3、点的加速度 a dt
a ax i a y j az k dvx dv y dvz i j k dt dt dt d2 x d2 y d2 z 2 i 2 j 2 k dt dt dt
v3
M2
r1
矢径矢端曲线 r (t ) O
M1
速度矢端曲线 v (t ) M2 a2 a1 M3 v 2 a3 v1 v3
M1
O
速度是什么呢？ v = r
- 矢径矢端曲线的切线
加速度是什么呢？ a = v
- 速度矢端曲线的切线
12
第五章
点的运动学
§5-2 直角坐标法
13
§5-2 直角坐标法
1、点的运动方程
矢径写成直角坐标的形式为：
r = r t
r x t i y(t ) j z(t )k
则点M在直角坐标下的运动方程为：
x x(t ) y y (t ) z z (t )
消去t, 得点M的运动轨迹为：
D E
(x,y)
x2 y2 1 2 2 (l a ） (l a)
∴点M的运动轨迹为椭圆，长轴与x轴重合。
请同学们思考
若M点选在BC段，椭圆的长轴还与x轴重合吗？
18
（2）求速度
l a sin t vx x (l a) cos t vy y
∴ 加速度在三个坐标轴上的投影为：
dv y d 2 y dvx d 2 x dvz d 2 z ax 2 , ay 2 , az 2 dt dt dt dt dt dt
16
§5-2 直角坐标法
椭圆规的曲柄OC 可绕定轴O 转动，其端点C 与规尺AB 的中点以铰链相连接，而规尺A、B 两端 分别在相互垂直的滑槽中运动。
29
s-
切线
自然轴系的特点
随动坐标系——跟随动点在轨迹上作空间曲线运动。
30
§5-3 自然法
三、点的速度
1、 曲率及曲率半径
曲率：曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值。
曲率半径ρ：曲率的倒数称为曲率半径。
1 d lim s 0 s ds
31
§5-3 自然法
2、 点的速度 v r d r v lim t 0 t dt
10
§5-1 矢量法
矢径 r ：
点M相对于原点O的位置矢量。
M
点的运动方程 ： r = r t
r t
矢径的 矢端曲线 r M'
M'' r dr lim =r 速度 ： v = r t + t t 0 t O dt 物理意义：表征点运动快慢的物理量。
第二篇
1
运动学
0 引言 运动学的主要内容 学习运动学的意义 运动学模型及其运动形式 几个基本概念
2
运动学
运动学的主要内容
引言
－ 研究物体(点、刚体)运动的几何性质。 1、建立物体的运动方程；
2、分析运动的速度、加速度、角速度 和角加速度等。 3、研究运动分解和合成的规律。
3
运动学
dτ ? dt
法向加速度
表征速度方向变化
33
at
an
切向加速度 表征速度大小变化
§5-3 自然法
dτ ? dt
dτ dτ d ds dt d ds dt
？
1
v
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§5-3 自然法
dτ ? d dτ τ lim d 0