理论力学__点的运动学
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理论力学——运动学
v2
n
加速度a的大小：
a
aτ + a n
2
2
dv 2 v 2 2 ( ) ( ) dt
加速度和主法线所夹的锐角的正切：
tan
aτ an
4、直角坐标于自然坐标之间的关系：
ds 2 dx 2 dy 2 dz 2 v ( ) ( ) ( ) ( ) dt dt dt dt
2
2
九、刚体的基本运动
1、刚体的平动
（1）刚体平动的定义 刚体运动时，若其上任一直线始终保持与它的初始
位置平行，则称刚体作平行移动，简称为平动或移动 。 (2) 平动刚体的运动特点
刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；同一瞬时，
各点的速度相同，加速度也相同。
刚体平动判别：P169题三图，P176题五图，题七图
点加的速度
i + y j + z k vx
a vx i + v y j + vz k xi + yj + zk
ax v x x ay v y y az v z z
3、自然法
用自然法描述的运动方程：
s பைடு நூலகம் f (t )
a 2 a x a y a z a an
1
2
2
2
2
2
a 2 a v2
2
5、匀速、匀变速公式
（1）
aτ＝常数，
v v0 aτ t
（ 2）v=常数，
1 2 s s0 v0t aτ t 2 2 v 2 v0 2a ( s s0 )
平面运动。
理论力学(5.6)--点的运动学-思考题
第五章 点的运动学5-1和 ， 和 是否相同？5-2点沿曲线运动，如图所示各点所给出的速度v和加速度a哪些是可能的？哪些是不可能的？5-3点M 沿螺线自外向内运动，如图所示。
它走过的弧长与时间的一次方成正比，问点的加速度是越来越大，还是越来越小?点M越跑越快，还是越跑越慢？5-4当点作曲线运动时，点的加速度a是恒矢量，如图所示。
问点是否作匀变速运动?5-5 作曲线运动的两个动点，初速度相同、运动轨迹相同、运动中两点的法向加速度也相同。
判断下述说法是否正确：（1）任一瞬时两动点的切向加速度必相同；（2）任一瞬时两动点的速度必相同；（3）两动点的运动方程必相同。
5-6 动点在平面内运动，已知其运动轨迹)(x f y 及其速度在x 轴方向的分量。
判断下述说法是否正确：（1）动点的速度可完全确定；（2）动点的加速度在x 轴方向的分量可完全确定；（3）当速度在x 轴方向的分量不为零时，一定能确定动点的速度、切向加速度、法向加速度及全加速度。
5-7 下述各种情况，动点的全加速度，切向加速度和法向加速度三个矢量之间有何关系？（1）点沿曲线作匀速运动；（2）点沿曲线运动，在该瞬时其速度为零；（3）点沿直线作变速运动；（4）点沿曲线作变速运动。
5-8 点作曲线运动时，下述说法是否正确：（1）若切向加速度为正，则点作加速运动；（2）若切向加速度与速度的符号相同，则点作加速运动；（3）若切向加速度为零，则速度为常矢量。
5-9 在极坐标系中，ρρ =v ，ρϕϕ =v 分别代表在极径方向与极径垂直方向（极角ϕ的方向）的速度。
但为什么沿这两个方向的加速度为2ϕρρρ -=a ϕρϕρϕ 2+=a 试分析ρa 中2ϕρρ -=a 和ϕa 中的ϕρ 出现的原因和它们的几何意义。
理论力学重难点及相应题解
运动学部分：一、点的运动学重点难点分析1．重点：点的运动的基本概念（速度与加速度，切向加速度和法向加速度的物理意义等）；选择坐标系，建立运动方程，求速度、加速度。
求点的运动轨迹。
2．难点：运动方程的建立。
解题指导：1．第一类问题（求导）：建立运动方程然后求导。
若已知点的运动轨迹，且方程易于写出时，一般用自然法，否则用直角坐标法。
根据点的运动性质选取相应的坐标系，对于自然法要确定坐标原点和正向。
不管用哪种方法，注意将点置于一般位置，而不能置于特殊位置。
根据运动条件和几何关系把点的坐标表示为与时间有关的几何参数的函数，即可得点的运动方程。
2．第二类问题（积分）：由加速度和初始条件求运动方程，即积分并确定积分常数。
二、刚体的简单运动重点难点分析：1．重点：刚体平移、定轴转动基本概念；刚体运动方程，刚体上任一点的速度和加速度。
2．难点：曲线平移。
解题指导：首先正确判断刚体运动的性质。
其后的分析与点的运动分析一样分两类问题进行。
建立刚体运动方程时，应将刚体置于一般位置。
三、点的合成运动（重要）重点难点分析：1．重点：动点和动系的选择；三种运动的分析。
速度合成与加速度合成定理的运用。
2．难点：动点和动系的选择。
解题指导：1．动点的选择、动系的确定和三种运动的分析常常是同时进行的，不可能按顺序完全分开。
2．常见的运动学问题中动点和动系的选择大致可分以下五类：（1）两个（或多个）不坟大小的物体独立运动，（如飞机、海上的船舶等）对该类问题，可根据情况任选一个物体为动点，而将动系建立在另一个物体上。
由于不考虑物体的大小，因此动系（刚体）与物体（点）只在一个点上连接，可视为铰接，建立的是平移动坐标系。
（2）一个小物体（点）相对一个大物体（刚体）运动，此时选小物体为动点，动系建立在大物体上。
（3）两个物体通过接触而产生运动关系。
其中一个物体的接触只发生在一个点上，而另一个物体的接触只发生在一条线上。
选动点为前一物体的接触点，动系则建立在后一物体上。
理论力学(第7版)第五章 点的运动学
a 4、匀速运动： v 常数， 0, s s0 vt
运 动 规 律
[例5-1 ] 已知点的运动方程为x=2sin 4t m，y=2cos 4t m， z=4t m。 求：点运动轨迹的曲率半径 。
解：
vx x 8 cos 4t , ax 32 sin 4t x
r r t
—以矢量表示的 点的运动方程
矢端曲线：动点M在运动过程中，矢 径r的末端绘出的一条连续曲线。 ——动点M的运动轨迹
3
二.点的速度
dr v r dt
方向：沿着矢径r的矢端曲线的切线 方向，且与此点的运动方向一致。
大小：速度矢的模，表明点运动的快慢。
三.加速度
dv d 2r a r 2 dt dt
dv v2 a a a n a a n n n dt
17
5-3 自然法 曲率(1 / ) ：
定义——曲线切线的转角对弧长 一阶导数的绝对值。表示曲线的 弯曲程度。
d lim| | t 0 S dS 1
由于a , an均在密切面内，全加速a必在密切面内。 度
— 与 弧 坐 标 的 正 向 一 致 n — 指 向 曲 线 内 凹 一 侧 b — 与 , n 构 成 右 手 系
b n
[注]：自然坐标系是沿曲 13 线而变动的游动坐标系。
(动画自然坐标轴的几何性质)
曲线在P点的密切面形成
5-3 自然法
二.点的速度
当t 0时，r MM' S
v y y 8 sin 4t , a y 32 cos 4t y
v z z 4, a z 0 z
2 2 2 2 v v x v 2 v z 80 m s , a a x a 2 a z 32m s 2 y y
运 动 规 律
[例5-1 ] 已知点的运动方程为x=2sin 4t m，y=2cos 4t m， z=4t m。 求：点运动轨迹的曲率半径 。
解：
vx x 8 cos 4t , ax 32 sin 4t x
r r t
—以矢量表示的 点的运动方程
矢端曲线：动点M在运动过程中，矢 径r的末端绘出的一条连续曲线。 ——动点M的运动轨迹
3
二.点的速度
dr v r dt
方向：沿着矢径r的矢端曲线的切线 方向，且与此点的运动方向一致。
大小：速度矢的模，表明点运动的快慢。
三.加速度
dv d 2r a r 2 dt dt
dv v2 a a a n a a n n n dt
17
5-3 自然法 曲率(1 / ) ：
定义——曲线切线的转角对弧长 一阶导数的绝对值。表示曲线的 弯曲程度。
d lim| | t 0 S dS 1
由于a , an均在密切面内，全加速a必在密切面内。 度
— 与 弧 坐 标 的 正 向 一 致 n — 指 向 曲 线 内 凹 一 侧 b — 与 , n 构 成 右 手 系
b n
[注]：自然坐标系是沿曲 13 线而变动的游动坐标系。
(动画自然坐标轴的几何性质)
曲线在P点的密切面形成
5-3 自然法
二.点的速度
当t 0时，r MM' S
v y y 8 sin 4t , a y 32 cos 4t y
v z z 4, a z 0 z
2 2 2 2 v v x v 2 v z 80 m s , a a x a 2 a z 32m s 2 y y
《理论力学》第九章质点动力学
《理论力学》第九章质点动力 学
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
05 点的运动学 理论力学
理 论 力 学
南通大学建筑工程学院 力学教研室 金江
运动学
物体运动规律比平衡规律复杂很多，采用运动 学和动力学来进行研究。
运动学是从几何的观点来研究物体的机械运动，不 考虑运动原因
两种模型：点和刚体 学习运动学的目的： 为学习动力学提供必要的基础知识 工程实际中独立的应用价值
运动学 第五章 点的运动学
τ 2 τ sin 2
5-3 自然法
Δ
τ
M
s
Δφ
M'
Δτ
τ ''
τ'
d lim s 0 s ds 1
0
τ
s 0
τ 1
∆τ与 τ垂直
运动学
dτ τ 1 lim lim n n s 0 s 0 ds s s
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt
运动学
v vx i v y j vz k
dx vx x dt dy vy y dt dz vz z dt
5-2 直角坐标法 速度大小
dx dy dz 2 2 2 v vx vy vz dt dt dt
面 法平
b
密切 面
M1
M
n
线 主法
τ1
τ τ 1'
切线
主法线——法平面与密切面的交线，单位方向矢量n， 指向曲线内凹一侧
副法线——过点 M且垂直于切线及主法线的直线
b τ n
运动轨 迹
运动学
点运动时，在轨迹曲线 上位置变化，其自然轴 系的方位也改变 曲线运动，轨迹的曲率或 曲率半径是重要的参数， 表示曲线的弯曲程度
南通大学建筑工程学院 力学教研室 金江
运动学
物体运动规律比平衡规律复杂很多，采用运动 学和动力学来进行研究。
运动学是从几何的观点来研究物体的机械运动，不 考虑运动原因
两种模型：点和刚体 学习运动学的目的： 为学习动力学提供必要的基础知识 工程实际中独立的应用价值
运动学 第五章 点的运动学
τ 2 τ sin 2
5-3 自然法
Δ
τ
M
s
Δφ
M'
Δτ
τ ''
τ'
d lim s 0 s ds 1
0
τ
s 0
τ 1
∆τ与 τ垂直
运动学
dτ τ 1 lim lim n n s 0 s 0 ds s s
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt
运动学
v vx i v y j vz k
dx vx x dt dy vy y dt dz vz z dt
5-2 直角坐标法 速度大小
dx dy dz 2 2 2 v vx vy vz dt dt dt
面 法平
b
密切 面
M1
M
n
线 主法
τ1
τ τ 1'
切线
主法线——法平面与密切面的交线，单位方向矢量n， 指向曲线内凹一侧
副法线——过点 M且垂直于切线及主法线的直线
b τ n
运动轨 迹
运动学
点运动时，在轨迹曲线 上位置变化，其自然轴 系的方位也改变 曲线运动，轨迹的曲率或 曲率半径是重要的参数， 表示曲线的弯曲程度
理论力学 第一章 点的运动学
已知速度的投影求速度
大小
v v v v
2 x 2 y
2 z
方向由方向余弦确定
cosv , i v x v cosv , j v y v cosv , k v z v
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
§ 1.1点的运动矢量分析方法
加
速
度
t 瞬时: 速度 v(t) t＋ t 瞬时:速度 v(t ＋ t ) 或v
t 时间间隔内速度的改变量
v ( t ) ＝ v ( t ＋ t ) － v( t )
点在 t 瞬时的加速度
§ 1.2 点的运动的直角坐标法
加速度
a ax i a y j az k
dv x d 2 x ax 2 dt dt dv y d 2 y ay 2 dt dt dv z d 2 z az 2 dt dt
dv y dv x dv z d2 y d2x d2z a i j k 2 i 2 j 2 k dt dt dt dt dt dt
方 cosa, i a x a, 向 cosa, j a y a, 余 弦 cosa, k a z a
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
§1.3 点的运动的自然坐标法
在点的运动轨迹已知的情况下，可建立弧
坐标和自然轴系来描述该点的运动，这种方
点的切线所组成的 平面，称为P点的密 切面。
P P
lim a1 a
理论力学第5章(点的运动)
包括几何静力学、分析静力学
(2) 运动学: 研究点与刚体运动的几何性质。
包括位移、轨迹、速度、加速度。 (与力无关、也是变形体运动基础)
A B
F
C
B
刚体运动
C
变形(包含刚体位移和相对位移)
(3) 动力学: 研究物体所受力与运动间的关系。
包括质点系、刚体，变形体的动力效应。
第五章 点的运动学
§5-1 运动学的基本概念
速度
已知： OC AC BC l , MC a , t。 求：运动方程、轨迹、速度和加速度。
x l a cost ax v x 2 a y vy y l a sin t
2
加速度
a a a
F ( x, y) 0
二、点的速度v
又
r = xi + yj + zk
式中 v x 所以得
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt v = vx i + vy j + vz k
、v y
、v z
vx
dx dt
v
表明：“动点的速度在坐标轴上的投影，等于动点对应的位置 坐标对时间 t 的一阶导数”。 则速度的大小和方向余弦为
弧坐标的运动方程sf切向加速度表示速度大小的变化三点的加速度法向加速度表示速度方向的变化匀速运动v常数常数常数匀变速直线运动匀速圆周运动匀速直线运动或静止直线运动匀速运动圆周运动匀速运动直线运动匀速曲线运动匀变速曲线运动点作曲线运动画出下列情况下点的加速度方向
(1) 静力学: 研究物体所受力系的简化、平衡规律及其应用。
△r称为在△t时间内动点M的位移。
间间隔△t内的平均速度。以 v*表示。则： Δr v Δt 平均速度表示动点在△t内平均运动的快慢和运动方向。
(2) 运动学: 研究点与刚体运动的几何性质。
包括位移、轨迹、速度、加速度。 (与力无关、也是变形体运动基础)
A B
F
C
B
刚体运动
C
变形(包含刚体位移和相对位移)
(3) 动力学: 研究物体所受力与运动间的关系。
包括质点系、刚体，变形体的动力效应。
第五章 点的运动学
§5-1 运动学的基本概念
速度
已知： OC AC BC l , MC a , t。 求：运动方程、轨迹、速度和加速度。
x l a cost ax v x 2 a y vy y l a sin t
2
加速度
a a a
F ( x, y) 0
二、点的速度v
又
r = xi + yj + zk
式中 v x 所以得
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt v = vx i + vy j + vz k
、v y
、v z
vx
dx dt
v
表明：“动点的速度在坐标轴上的投影，等于动点对应的位置 坐标对时间 t 的一阶导数”。 则速度的大小和方向余弦为
弧坐标的运动方程sf切向加速度表示速度大小的变化三点的加速度法向加速度表示速度方向的变化匀速运动v常数常数常数匀变速直线运动匀速圆周运动匀速直线运动或静止直线运动匀速运动圆周运动匀速运动直线运动匀速曲线运动匀变速曲线运动点作曲线运动画出下列情况下点的加速度方向
(1) 静力学: 研究物体所受力系的简化、平衡规律及其应用。
△r称为在△t时间内动点M的位移。
间间隔△t内的平均速度。以 v*表示。则： Δr v Δt 平均速度表示动点在△t内平均运动的快慢和运动方向。
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5
运动学
几个基本概念
引言
1、参考体： 研究物体运动时所选择的参考物体。 2、参考系：与参考物固连的坐标系。
通常取与地面固连的坐标系为参考系。
3、时间间隔： 4、瞬时：
Δt = t2 – t1
时间间隔趋于零时称之为瞬时。
6
运动学
第五章
点的运动学
7
第五章
点的运动学
采用以下三种方法研究点的运动方程、 运动的速度和加速度：
v3
M2
r1
矢径矢端曲线 r (t ) O
M1
速度矢端曲线 v (t ) M2 a2 a1 M3 v 2 a3 v1 v3
M1
O
速度是什么呢？ v = r
- 矢径矢端曲线的切线
加速度是什么呢？ a = v
- 速度矢端曲线的切线
12
第五章
（1）若点的运动轨迹未知： —— 直角坐标法
x x (t ) y y (t ) , z z (t )
2 x 2 y
(t ) vx x (t ) , v y y v z z (t )
2 z
x (t ) x (t ) ax v y (t ) y (t ) a y v a v z (t ) z z (t )
2 2 aB xB r sin t xB
23
第五章
点的运动学
§5-3 自然法
—— 已知运动轨迹
求速度和加速度
24
§5-3 自然法
一、弧坐标与运动方程
如果点沿着已知的轨迹 运动，则点的运动方程， 可用点在已知轨迹上所走 过的弧长随时间变化的规 律来描述。
(1) 矢量法
(2) 直角坐标法 — 点的轨迹未知
(3) 自然法 — 点的轨迹已知
8
第五章
点的运动学
基本要求
（1） 熟练掌握直角坐标法求解点的运动方程、 速度和加速度； （2）熟练掌握自然法求解点的速度和加速度。
（3）正确理解切向加速度和法向加速度的物理 意义。
9第Leabharlann 章点的运动学§5-1 矢量法
25
§5-3 自然法
弧坐标具有以下要素：
（1）有坐标原点(一般在轨迹上
任选一参考点作为坐标原点)； （2）有正、负方向(一般以点的
运动方向作为正向)；
（3）可用弧长随时间变化的规 律来描述点的运动。
★ 用弧坐标表示点的运动方程
s=f(t)
26
§5-3 自然法
二、自然轴系
1、 密切面
s+
P P´
当P´点无限接
15
§5-2 直角坐标法 dv 3、点的加速度 a dt
a ax i a y j az k dvx dv y dvz i j k dt dt dt d2 x d2 y d2 z 2 i 2 j 2 k dt dt dt
10
§5-1 矢量法
矢径 r ：
点M相对于原点O的位置矢量。
M
点的运动方程 ： r = r t
r t
矢径的 矢端曲线 r M'
M'' r dr lim =r 速度 ： v = r t + t t 0 t O dt 物理意义：表征点运动快慢的物理量。
: 切向加速度，at
v s, 方向沿轨迹的切向；
v2
表征速度矢量大小的变化率； : 法向加速度， an
, 方向沿主法线方向指向曲率中心；
表征速度矢量方向的变化率；
ab 0
全加速度在密切面内。
a a a
2 t
2 n
37
小 结（之二 ）
二、直角坐标法与弧坐标法的关系
学习运动学的意义
1、为学习动力学打基础； 2、为机构的设计打基础。
引言
已知输入和输出运动，设计机构的具体形式；
已知机构的具体形式，由输入运动求输出运动
或由输出运动求输入运动。
4
运动学
运动学模型及其运动形式
（1）直线运动
（2）曲线运动
引言
1、点
2、刚体
（1）平移（平动） （2）定轴转动 （3）平面运动
(1) 点 A、B 的运动方程:
A
xA b r sin b r sin(t ) xB r sin r sin(t )
22
§5-2 直角坐标法
（2）求点B的速度和加速度
xB r sin r sin(t )
B r cos t vB x
2 2 2 v v v v x y z 2 2 2 a a a a vx v y vz 2 x 2 y 2 z
38
（2）若点的运动轨迹已知，且做曲线运动： —— 弧坐标法
s?
v?
t s ds vs vdt ds 0 s0 dt t t 2 y 2 z s s0 vdt s0 x 2 dt
20
§5-2 直角坐标法
正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O轴匀速 转动，它与水平线间的夹角为 t , 其中θ为t=0时 的夹角，ω为一常数。已知动杆上A，B两点间距离为b。 求: 点A和B的运动方程及点B的速度和加速度。
A
21
§5-2 直角坐标法
解：A、B点都作直线运动，取Ox轴如图所示。
r t + Δt
单位：m/s，方向沿矢径的矢端曲线的切线。 2 dv d r 加速度 ： a = 2 =v=r dt dt 物理意义：表征点速度变化快慢的物理量。
单位：m/s2，方向沿速度矢端曲线的切线。
11
§5-1 矢量法
矢端曲线
v2 v1
M3
r2 r3
点的运动学
§5-2 直角坐标法
13
§5-2 直角坐标法
1、点的运动方程
矢径写成直角坐标的形式为：
r = r t
r x t i y(t ) j z(t )k
则点M在直角坐标下的运动方程为：
x x(t ) y y (t ) z z (t )
v n
n ？
1
v
2 dv dτ dv v a τ v = τ+ n dt dt dt
at
an
36
小 结（之一 ）
一、用弧坐标表示点的加速度为:
at
an
dv v 2 a = at an at τ an n = τ + n dt
τ
r
r
r
v
dr ds ds dt τv vτ
ds 速度的大小： v s dt 速度的方向：沿轨迹的切线方向
32
§5-3 自然法
四、点的加速度
v vτ,
dv a dt
dv dτ a τ v dt dt
第二篇
1
运动学
0 引言 运动学的主要内容 学习运动学的意义 运动学模型及其运动形式 几个基本概念
2
运动学
运动学的主要内容
引言
－ 研究物体(点、刚体)运动的几何性质。 1、建立物体的运动方程；
2、分析运动的速度、加速度、角速度 和角加速度等。 3、研究运动分解和合成的规律。
3
运动学
近于 P点时，过这
两点的切线所组 成的平面，称为P 点的密切面。
s
-
27
§5-3 自然法
关于密切面的三点说明
空间曲线上的任意点都存在且仅存在唯一
的一个密切面。 空间曲线上任意点的无穷小邻域内的一段 弧长，可以看作是位于密切面内的平面曲线。 曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的 曲率，用
1
表示。
28
§5-3 自然法
2、自然轴系
副法线
法平面－ 过动点P并与切 线垂直的平面；
s+
b n P τ
主法线－ 密切面与法平面的 交线； 副法线－ 过动点P且垂直于 切线和主法线的直线。
自然轴系－ τnb 坐标系 密切面 τ、n、b 为自然轴系的单位向量，且满足： b = τ n
消去t, 得点M的运动轨迹为：
D E
(x,y)
x2 y2 1 2 2 (l a ） (l a)
∴点M的运动轨迹为椭圆，长轴与x轴重合。
请同学们思考
若M点选在BC段，椭圆的长轴还与x轴重合吗？
18
（2）求速度
l a sin t vx x (l a) cos t vy y
x (l a) cos t y (l a)sin t
v vx 2 vy 2 (l a) 2 2 sin 2 t (l a) 2 2 cos 2 t l a 2al cos 2t vx (l a)sin t cos(v , i ) v l 2 a 2 2al cos 2t vy (l a) cos t cos(v , j ) v l 2 a 2 2al cos 2t
14
§5-2 直角坐标法 dr 2、点的速度 v dt v vx v y vz vx i vy j vz k
dx dy dz i j k dt dt dt
∴ 速度在三个坐标轴上的投影为：
运动学
几个基本概念
引言
1、参考体： 研究物体运动时所选择的参考物体。 2、参考系：与参考物固连的坐标系。
通常取与地面固连的坐标系为参考系。
3、时间间隔： 4、瞬时：
Δt = t2 – t1
时间间隔趋于零时称之为瞬时。
6
运动学
第五章
点的运动学
7
第五章
点的运动学
采用以下三种方法研究点的运动方程、 运动的速度和加速度：
v3
M2
r1
矢径矢端曲线 r (t ) O
M1
速度矢端曲线 v (t ) M2 a2 a1 M3 v 2 a3 v1 v3
M1
O
速度是什么呢？ v = r
- 矢径矢端曲线的切线
加速度是什么呢？ a = v
- 速度矢端曲线的切线
12
第五章
（1）若点的运动轨迹未知： —— 直角坐标法
x x (t ) y y (t ) , z z (t )
2 x 2 y
(t ) vx x (t ) , v y y v z z (t )
2 z
x (t ) x (t ) ax v y (t ) y (t ) a y v a v z (t ) z z (t )
2 2 aB xB r sin t xB
23
第五章
点的运动学
§5-3 自然法
—— 已知运动轨迹
求速度和加速度
24
§5-3 自然法
一、弧坐标与运动方程
如果点沿着已知的轨迹 运动，则点的运动方程， 可用点在已知轨迹上所走 过的弧长随时间变化的规 律来描述。
(1) 矢量法
(2) 直角坐标法 — 点的轨迹未知
(3) 自然法 — 点的轨迹已知
8
第五章
点的运动学
基本要求
（1） 熟练掌握直角坐标法求解点的运动方程、 速度和加速度； （2）熟练掌握自然法求解点的速度和加速度。
（3）正确理解切向加速度和法向加速度的物理 意义。
9第Leabharlann 章点的运动学§5-1 矢量法
25
§5-3 自然法
弧坐标具有以下要素：
（1）有坐标原点(一般在轨迹上
任选一参考点作为坐标原点)； （2）有正、负方向(一般以点的
运动方向作为正向)；
（3）可用弧长随时间变化的规 律来描述点的运动。
★ 用弧坐标表示点的运动方程
s=f(t)
26
§5-3 自然法
二、自然轴系
1、 密切面
s+
P P´
当P´点无限接
15
§5-2 直角坐标法 dv 3、点的加速度 a dt
a ax i a y j az k dvx dv y dvz i j k dt dt dt d2 x d2 y d2 z 2 i 2 j 2 k dt dt dt
10
§5-1 矢量法
矢径 r ：
点M相对于原点O的位置矢量。
M
点的运动方程 ： r = r t
r t
矢径的 矢端曲线 r M'
M'' r dr lim =r 速度 ： v = r t + t t 0 t O dt 物理意义：表征点运动快慢的物理量。
: 切向加速度，at
v s, 方向沿轨迹的切向；
v2
表征速度矢量大小的变化率； : 法向加速度， an
, 方向沿主法线方向指向曲率中心；
表征速度矢量方向的变化率；
ab 0
全加速度在密切面内。
a a a
2 t
2 n
37
小 结（之二 ）
二、直角坐标法与弧坐标法的关系
学习运动学的意义
1、为学习动力学打基础； 2、为机构的设计打基础。
引言
已知输入和输出运动，设计机构的具体形式；
已知机构的具体形式，由输入运动求输出运动
或由输出运动求输入运动。
4
运动学
运动学模型及其运动形式
（1）直线运动
（2）曲线运动
引言
1、点
2、刚体
（1）平移（平动） （2）定轴转动 （3）平面运动
(1) 点 A、B 的运动方程:
A
xA b r sin b r sin(t ) xB r sin r sin(t )
22
§5-2 直角坐标法
（2）求点B的速度和加速度
xB r sin r sin(t )
B r cos t vB x
2 2 2 v v v v x y z 2 2 2 a a a a vx v y vz 2 x 2 y 2 z
38
（2）若点的运动轨迹已知，且做曲线运动： —— 弧坐标法
s?
v?
t s ds vs vdt ds 0 s0 dt t t 2 y 2 z s s0 vdt s0 x 2 dt
20
§5-2 直角坐标法
正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O轴匀速 转动，它与水平线间的夹角为 t , 其中θ为t=0时 的夹角，ω为一常数。已知动杆上A，B两点间距离为b。 求: 点A和B的运动方程及点B的速度和加速度。
A
21
§5-2 直角坐标法
解：A、B点都作直线运动，取Ox轴如图所示。
r t + Δt
单位：m/s，方向沿矢径的矢端曲线的切线。 2 dv d r 加速度 ： a = 2 =v=r dt dt 物理意义：表征点速度变化快慢的物理量。
单位：m/s2，方向沿速度矢端曲线的切线。
11
§5-1 矢量法
矢端曲线
v2 v1
M3
r2 r3
点的运动学
§5-2 直角坐标法
13
§5-2 直角坐标法
1、点的运动方程
矢径写成直角坐标的形式为：
r = r t
r x t i y(t ) j z(t )k
则点M在直角坐标下的运动方程为：
x x(t ) y y (t ) z z (t )
v n
n ？
1
v
2 dv dτ dv v a τ v = τ+ n dt dt dt
at
an
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小 结（之一 ）
一、用弧坐标表示点的加速度为:
at
an
dv v 2 a = at an at τ an n = τ + n dt
τ
r
r
r
v
dr ds ds dt τv vτ
ds 速度的大小： v s dt 速度的方向：沿轨迹的切线方向
32
§5-3 自然法
四、点的加速度
v vτ,
dv a dt
dv dτ a τ v dt dt
第二篇
1
运动学
0 引言 运动学的主要内容 学习运动学的意义 运动学模型及其运动形式 几个基本概念
2
运动学
运动学的主要内容
引言
－ 研究物体(点、刚体)运动的几何性质。 1、建立物体的运动方程；
2、分析运动的速度、加速度、角速度 和角加速度等。 3、研究运动分解和合成的规律。
3
运动学
近于 P点时，过这
两点的切线所组 成的平面，称为P 点的密切面。
s
-
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§5-3 自然法
关于密切面的三点说明
空间曲线上的任意点都存在且仅存在唯一
的一个密切面。 空间曲线上任意点的无穷小邻域内的一段 弧长，可以看作是位于密切面内的平面曲线。 曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的 曲率，用
1
表示。
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§5-3 自然法
2、自然轴系
副法线
法平面－ 过动点P并与切 线垂直的平面；
s+
b n P τ
主法线－ 密切面与法平面的 交线； 副法线－ 过动点P且垂直于 切线和主法线的直线。
自然轴系－ τnb 坐标系 密切面 τ、n、b 为自然轴系的单位向量，且满足： b = τ n
消去t, 得点M的运动轨迹为：
D E
(x,y)
x2 y2 1 2 2 (l a ） (l a)
∴点M的运动轨迹为椭圆，长轴与x轴重合。
请同学们思考
若M点选在BC段，椭圆的长轴还与x轴重合吗？
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（2）求速度
l a sin t vx x (l a) cos t vy y
x (l a) cos t y (l a)sin t
v vx 2 vy 2 (l a) 2 2 sin 2 t (l a) 2 2 cos 2 t l a 2al cos 2t vx (l a)sin t cos(v , i ) v l 2 a 2 2al cos 2t vy (l a) cos t cos(v , j ) v l 2 a 2 2al cos 2t
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§5-2 直角坐标法 dr 2、点的速度 v dt v vx v y vz vx i vy j vz k
dx dy dz i j k dt dt dt
∴ 速度在三个坐标轴上的投影为：