21函数及其表示

2.函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法 .
3.映射的概念 设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f， 使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中 都有唯 一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为 从集合A到集合B的_一__个__映__射___.一个映射
4.由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函 数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A, B必须是非空数集 .
且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为 2 2 ，求f(x)的解析式； （2）已知 f ( x 1) x 2 x,求f (x); （3）已知f(x)满足2f(x)+ f ( 1 ) =3x,求f(x).
x
解 （1）∵f（x）为二次函数，
∴设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)，且f(x)=0的两根为x1,x2.
第二章 函数与基本初等函数Ⅰ
§2.1 函Biblioteka 及其表示 基础知识 自主学习要点梳理
1.函数的基本概念 （1）函数定义 设A，B是非空的 数集 ，如果按照某种确定的对应 关系f,使对于集合A中的 任意 一个数x,在集合B中
都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为 从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A. (2)函数的定义域、值域 在函数y=f(x),x∈A中，x叫做自变量,x的取值范围A 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数 值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域 .显 然，值域是集合B的子集. (3)函数的三要素：定义域 、值域 和对应关系 . (4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完 全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的 依据.
基础自测
1.设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面
的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的
有
(C )
A.①②③④ B.①②③ C.②③ D.② 解析 由映射的定义，要求函数在定义域上都有图 象，并且一个x对应着一个y，据此排除①④，选C.
2.给出四个命题：
①函数是其定义域到值域的映射；②f（x）=
x
0, 0,
排除A；
y
|
x
1|
x 1, 1 x,
x x
1, 1,
排除B；
当
x 0, x 1 0,
即x≥1时,y=|x|+|x-1|=2x-1,排除C.
故选D.
答案 D
4.函数 y x 1 1 的定义域为{x|x≥-1且x≠2}. 2x
解析
若使该函数有意义，则有
x 2
1 0 ,
x0
∴x≥-1且x≠2,∴其定义域为{x|x≥-1且x≠2}.
x 3 2 x 是函数；③函数y=2x（x∈N）的图象
是一条直线；④f（x）= x2 与g(x)=x是同一个函数. x
其中正确的有
（ A）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析 由函数的定义知①正确.
∵满足f（x）= x 3 2 x的x不存在，∴②不正确. 又∵y=2x（x∈N)的图象是一条直线上的一群孤立的
知能迁移1
(2008·湖北)函数
f
(x)
1 1n(
x2 3x 2
x
x2 3x 4) 的定义域为
（）
A.（-∞，-4］∪［2，+∞）
B.（-4，0）∪（0，1）
C.［-4，0）∪（0，1］
D.［-4，0）∪（0，1）
x2 3x 2 0 解析 不 等 式 组 x2 3x 4 0的 解 集 为
(3)把 题 目 中 的x换 成 1 , 得2 f ( 1 ) f ( x) 3 ,
x
x
x
联 立 方 程2 f ( x)
点，∴③不正确.
又∵f（x）与g（x）的定义域不同，∴④也不正确.
3.下列各组函数是同一函数的是
A .y | x | 与y 1 x
B.y
|
x
1| 与y
x 1, 1 x,
x x
1 1
C .y | x | | x 1| 与y 2x 1
D
.y
x3 x x2 1
与y
x
()
解析
y
|
x x
|
1, x 1,
A.34，1 C．(1，＋∞)
B.34，＋∞ D.34，1∪(1，＋∞)
解析 要使函数有意义，则log0.5(4x－3)＞0， ∴0＜4x－3＜1，∴34＜x＜1.
探究提高 (1)求函数的定义域，其实质就是以函数 解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不 等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是： ①分式中，分母不为零； ②偶次根式，被开方数非负； ③对于y＝x0，要求x≠0； ④对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1； ⑤由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问 题的约束． (2)抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的 关系．
5.已知f（ 1 ）=x2+5x,则f(x)= x
1
x
5
2
x
(
x
0)
.
解析
x
0, 令
1
t,即x
1 (t
0),
x
t
f
(t)
(1)2 t
5·1 t
1 5t t2
(t
0),
故f
(
x)
1 5x x2
(
x
0).
题型分类 深度剖析
【例1】
(2010·湖北)函数y＝
1
的定义域为
log0.5(4x－3)
(A )
由f(x-2)=f（-x-2），得4a-b=0.
①
又 | x1 x2 |
b2 4ac 2 2,b2 4ac 8a2. |a|
②
由已知得c=1.
③
由①、②、③式解得b=2,a= 1 ,c=1, 2
∴f（x）= 1 x2+2x+1. 2
(2)方法一 设 x 1 t(t 1),则 x t 1. 代 入f ( x 1) x 2 x , 得f (t) t 2 1(t 1), f ( x) x2 1( x 1). 方法二 f ( x 1) x 2 x ( x )2 2 x 11 ( x 1)2 1, 且 x 1 1, f ( x) x2 1( x 1).
x
0
4,0 0,1.
当x 1时, x2 3x 2 x2 3x 4 0, 不 满 足 题 意, 舍 去.
当x 4时, x2 3x 2 x2 3x 4 0,
所以函数 f ( x)的定义域为 4,0 (0,1).
答案 D
题型二 求函数的解析式 【例2】 （1）设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，