用代入法解二元一次方程组案例分析

解决教学问题的案例

案列:

李明和妈妈买了18元的苹果和梨共5千克，1千克苹果售价4元，1千克梨售价3元，李明和妈妈买苹果和梨各多少千克？ 分析 （1）苹果的重量+梨的重量=5

（2）苹果的总价+梨的总价=18

解：设买苹果x 千克，买梨y 千克。

列方程组为5

4318x y x y +=??+=?①②

那么如何来解这个二元一次方程组呢？

观察：在①中，我们可以用变量y 来表示变量x 。

因此：由① ，得5y x =-。 ③

由于方程组中相同的字母表示同一个未知数，所以方程②中的y 也等于5x -，可以用5x -代替方程②中的y 。这样就有()43518x x +-= ④ 再观察，发现原来的二元一次方程组就化简为一元一次方程了，我们只要需要按照解一元一次方程的方法和步骤来解答就可以了。 解所得的一元一次方程④ ，得3x =

再把3x =代入③， 得2y =

这样，我们就得到二元一次方程组5

4318x y x y +=??+=?的解为3

2x y =??=?

因此，李明和妈妈共买了苹果3千克，梨2千克。

知识点：

解上面这个二元一次方程组，我们用了消元的思想即二元一次方

程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程。我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数。

消元的基本思路：未知数有多变少

消元的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程

具体解答方法：代入消元法

代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。

具体操作：

（1）当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数时，可以直接利用代入法求解。

例：

2 4312 y x

x y

=

?

?

+=?①

②

这样的方程组就可以直接将①代入②，从而解出

我们的未知数的值。

（2）若方程组中有未知数的系数为1（或者-1）的方程，则选择系数为1（或者-1）的方程进行变形比较简单。

例：

4

4312

x y

x y

+=

?

?

+=

?

①

②

像这样的方程组我们就选择①来变形，变形为()

44

x y y x

=-=-

或者③，将③直接代入②，就可以解出未知数的值。（3）若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1（或者-1），选择系数绝对值较小的方程进行变形比较简单。

例：236 3512 x y

x y

+=

?

?

+=?①

②

像这样的方程组，我们应选择未知数系数绝对值

较小的进行变形，即选236

x y

+=来变形，得到

63

2

y

x

-

=③，将③

直接代入②，解出未知数的值。