函数单调性的定义和应用

函数的性质——单调性
【教学目的】使学生了解增函数、减函数的概念，掌握判断函数增减性的方法步骤；
【重点难点】重点：函数的单调性的有关概念；
难点：证明或判断函数的单调性
一、增函数与减函数
⒈增函数与减函数定义：对于函数f(x)的定义域I某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2.
⑴若当x1<x2时，都有f(x1)<(fx2),则说f(x)在这个区间上是增函数
⑵若当x1<x2时，都有f(x1)>(fx2),则说f(x) 在这个区间上是减函数
说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数y=x2，当x∈[0,+∞)时是增函数，当x∈(-∞,0)时是减函数.
⒉单调性与单调区间
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.
说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；
⑵应是该区间任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保
证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在x1,x2那样的特定位置上，虽然使得f(x1)<(fx2)，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；
⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“f(x 1)<(fx 2) 或f(x 1)>(fx 2) ”改为“f(x 1)≤(fx 2) 或f(x 1)≥(fx 2)”即可；
⑷定义的涵与外延：涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减. ②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数. ⒊ 例题
例1 图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.
练习：1、函数1
1-=x y 的增减性的正确说法是： A ．单调减函数 B.在)0,(-∞上是减函数,在),0(+∞上是减函数
C. 在)1,(-∞是减函数,在),1(+∞是减函数
D.除1=x 点外,在),(+∞-∞上是单调递减函数
二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ，
当0>a 时函数)(x f 在对称轴a
b x 2-
=的左侧单调减小，右侧单调增加； 当0<a 时函数)(x f 在对称轴a b x 2-=的左侧单调增加，右侧单调减小； 例：讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)的单调性。

二、函数单调性的证明步骤：
① 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；
② 作差f(x 1)－f(x 2)；
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．
例1、证明函数x
x y 1+
=在（1，+∞）上为减函数．
例2、证明函数x x x f -1)(2+=在R 上是单调减函数。

练习1 证明函数f(x)=1/x 在(0,+∞)上是减函数.
练习2 试判断函数x
x x f 1-)(2=在)(0,+∞上的单调性并加以证明。

例已知函数f(x)＝
x a
x+2(a>0)在(2，＋∞)上递增，数a的取值围．
三、复合函数单调性
对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果u＝g(x)在区间(a，b)上具有单调性，当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且y＝f(u)在区间(m，n)上也具有单调性，则复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)具有单调性的规律见下表：
例：函数3
2
2-
+
=x
x
y的单调减区间是（）
A.]3
,
(-
-∞ B.)
,1
[+∞
- C.]1
,
(-
-∞ D.)
,1[+∞求函数单调区间（复合函数）
1.函数1
y
x
=-的单调区间是（）
A．（-∞，+∞） B.（-∞，0）（1，∞，）
C.（-∞，1）、（1，∞）
D. （-∞，1）（1，∞）
2. 下列函数中,在区间（0,2）上为增函数的是().
A ．32y x =-+
B ．3y x
=
C ．245y x x =-+
D ．23810y x x =+-
3．函数y =的增区间是（ ）。

A ．[-3，-1]
B ．[-1,1]
C ．113
a -<<-(,3)-∞- D ．(1,)-∞ 4、已知函数1()f x x x =+
，判断()f x 在区间〔0，1〕和（1，+∞）上的单调性。

五、函数单调性的应用：判断函数)(x f y =的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。

例 （1）若函数52)(2
++=ax x x f 在)(-2,+∞上单调递增，在)2,-(-∞上单调递减，求其实数a 的取值；
（2）若函数52)(2
++=ax x x f 在)(-2,+∞上单调递增，其实数a 的取值围；
（3）若函数52x )(2
++=ax x f 在)(-2,+∞上单调递增，其实数a 的取值围；。