计算方法(李桂成著) 实验报告 插值问题
计算方法实验报告
计算方法实验报告计算方法实验报告概述：计算方法是一门研究如何用计算机解决数学问题的学科。
在本次实验中，我们将学习和应用几种常见的计算方法，包括数值逼近、插值、数值积分和常微分方程求解。
通过实验，我们将深入了解这些方法的原理、应用场景以及其在计算机科学和工程领域的重要性。
数值逼近：数值逼近是一种通过使用近似值来计算复杂函数的方法。
在实验中，我们通过使用泰勒级数展开和牛顿迭代法等数值逼近技术，来计算函数的近似值。
这些方法在科学计算和工程领域中广泛应用，例如在信号处理、图像处理和优化问题中。
插值：插值是一种通过已知数据点来估算未知数据点的方法。
在实验中，我们将学习和应用拉格朗日插值和牛顿插值等方法，以及使用这些方法来构造函数的近似曲线。
插值技术在数据分析、图像处理和计算机图形学等领域中具有重要的应用价值。
数值积分：数值积分是一种通过将函数曲线划分为小矩形或梯形来估算函数的积分值的方法。
在实验中，我们将学习和应用矩形法和梯形法等数值积分技术，以及使用这些方法来计算函数的近似积分值。
数值积分在物理学、金融学和统计学等领域中被广泛使用。
常微分方程求解：常微分方程求解是一种通过数值方法来求解微分方程的方法。
在实验中，我们将学习和应用欧拉法和龙格-库塔法等常微分方程求解技术，以及使用这些方法来求解一些常见的微分方程。
常微分方程求解在物理学、生物学和工程学等领域中具有广泛的应用。
实验结果：通过实验，我们成功地应用了数值逼近、插值、数值积分和常微分方程求解等计算方法。
我们得到了准确的结果，并且在不同的应用场景中验证了这些方法的有效性和可靠性。
这些实验结果将对我们进一步理解和应用计算方法提供重要的指导和支持。
结论：计算方法是计算机科学和工程领域中的重要学科，它提供了解决复杂数学问题的有效工具和方法。
通过本次实验，我们深入了解了数值逼近、插值、数值积分和常微分方程求解等计算方法的原理和应用。
这些方法在科学研究、工程设计和数据分析等领域中具有广泛的应用价值。
计算方法_实验报告
一、实验目的1. 理解并掌握计算方法的基本概念和原理；2. 学会使用计算方法解决实际问题；3. 提高编程能力和算法设计能力。
二、实验内容本次实验主要涉及以下内容：1. 线性方程组的求解；2. 多项式插值；3. 牛顿法求函数零点；4. 矩阵的特征值和特征向量求解。
三、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3.83. 科学计算库：NumPy、SciPy四、实验步骤及结果分析1. 线性方程组的求解（1）实验步骤a. 导入NumPy库；b. 定义系数矩阵A和增广矩阵b；c. 使用NumPy的linalg.solve()函数求解线性方程组。
（2）实验结果设系数矩阵A和增广矩阵b如下：A = [[2, 1], [1, 2]]b = [3, 2]解得：x = [1, 1]2. 多项式插值（1）实验步骤a. 导入NumPy库；b. 定义插值点x和对应的函数值y；c. 使用NumPy的polyfit()函数进行多项式拟合；d. 使用poly1d()函数创建多项式对象；e. 使用多项式对象计算插值点对应的函数值。
（2）实验结果设插值点x和对应的函数值y如下：x = [1, 2, 3, 4, 5]y = [1, 4, 9, 16, 25]拟合得到的二次多项式为：f(x) = x^2 + 1在x = 3时，插值得到的函数值为f(3) = 10。
3. 牛顿法求函数零点（1）实验步骤a. 导入NumPy库；b. 定义函数f(x)和导数f'(x)；c. 设置初始值x0；d. 使用牛顿迭代公式进行迭代计算；e. 判断迭代结果是否满足精度要求。
（2）实验结果设函数f(x) = x^2 - 2x - 3，初始值x0 = 1。
经过6次迭代，得到函数零点x ≈ 3。
4. 矩阵的特征值和特征向量求解（1）实验步骤a. 导入NumPy库；b. 定义系数矩阵A；c. 使用NumPy的linalg.eig()函数求解特征值和特征向量。
[电子教案]计算方法 (24)
![[电子教案]计算方法 (24)](https://img.taocdn.com/s3/m/c3902058d0d233d4b14e69d0.png)
6.4 埃尔米特(Hermite)插值❖6.4.1两点三次埃尔米特插值❖6.4.2低阶含导数项的插值6.4.1 两点三次埃尔米特插值许多实际问题不仅要求插值函数在节点上与原来的函数相等(满足插值条件)，而且还要求在节点上的各阶导数值也相等。
满足这些条件的插值，称为埃尔米特(Hermite)插值。
本节讨论已知两个节点的函数值和一阶导数的情形。
10x ,x ()()1100y x f ,y x f ==()()11'00'm x f ,m x f ==()()()()0100''110011,,,,():x x f x y f x y fx m f x m H x ====已知函数在两个互异节点上的函数值和一阶导数值求一个三次插值多项式，使其满足⎩⎨⎧====11'00'1100m )x (H ,m )x (H y )x (H ,y )x (H ()1.4.6插值多项式。
称为三次这样的Herm ite )x (H 方法，可设：采用构造插值基函数的11001100m )x (H m )x (H y )x (h y )x (h )x (H +++=()2.4.61.4.6)x (H ),x (H ),x (h ),x (h 1010的取值如表都为插值基函数，它们其中1.4.6表基函数函数值一阶导数10100001001x 0x 1x 1x 0()h x 1()h x 0()H x 1()H x多项式，因此可设：(x)最多是一个三次，另外，h )x (x (x)中必有因子0所以h )(x h )(x (x)，由于h 先求h 02101'100-==210100x x x x ))x x (b a ()x (h ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=得：利用求导数，再，对，为确定得利用0)x (h )x (h b 1a 1)x (h 0'000===10x x 2b --=于是得：21010100)x x x x )(x x x x 21()x (h ----+=()3.4.6同理可得：2101011)x x x x )(x x x x 2(1(x)h ----+=()4.4.6'000010120100()()()0()0()()()()H x H x H x H x H x x x x x H x ===--再求，由于且，故中必有因式，另外，是一个不超过三次的多项式，于是可设：210100)x x x x )(x x (a )x (H ---=，于是得：可得求导数，再利用，对是常数，为确定其中，1a 1,)(x H (x)H a a 0'00==2100)x x x x )(x x ()x (H ---=()5.4.6同理可得：21011)x x x x )(x (x (x)H ---=()6.4.6所示：形如图这四个插值基函数的图1.4.61x 1x )x (h 01x 1x )x (h 11x )x (H 00x 1x )x (H 10x ()()式。
《计算方法》实验报告材料
{
b=b+1;
}
result=Y[b]*(1-(x-X[b])/c)+Y[b+1]*((x-X[b])/c);
return result;
};
（3）牛顿插值法
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
using namespace std;
cin>>b;
c=b-p;
c=c/(N-1);
for(int i=0;i<N;i++){
X[i]=p;
Y[i]=1/(1+p*p);
p=p+c;
}
cout<<"请输入要求值x的值："<<endl;
double x;
cin>>x;
double result=Lagrange(N,X,Y,x);
cout<<"由拉格朗日插值法得出结果："<<result<<endl;
B.分段线性插值
Xy(精确)y(拉格朗日) y(分段线性)误差(拉)误差(分)
0.5000000.8000000.8434070.750000-0.0542590.050000
4.5000000.0470591.578720 0.0486425 -32.547674-0.033649
（2）输出：
Xy(精确)y(牛顿插值)误差(牛顿插值)
cout<<"是否要继续？(y/n)：";
《计算方法》实验报告材料
《计算方法》实验报告材料引言：计算方法是一门应用数学的基础课程，通过实验教学，能够帮助学生更好地理解和掌握各种数值计算的方法和技巧。
本次实验旨在通过编程实现一些常用的数值计算方法，并通过对比分析实验结果，验证方法的有效性和可行性。
实验一：插值算法插值算法是利用已知的数据点，构建一个连续函数以逼近数据的方法。
本次实验中使用的插值算法为拉格朗日插值和牛顿插值。
通过编程实现这两种算法，并选取若干个数据点进行测试，得到插值函数的结果。
通过比较原始数据和插值函数的结果，可以验证插值算法的准确性和可行性。
实验二：方程求解方程求解是数值计算中的一个重要问题，求解非线性方程、线性方程组和特征值问题等都需要采用相应的迭代方法。
本次实验中，我们实现了常用的牛顿迭代法和二分法，并选择数学问题进行求解。
通过比较实验结果和理论值的误差，可以验证求解方法的精确性和可行性。
实验三：数值积分数值积分是利用数值方法对定积分进行近似求解的过程。
本次实验中，我们实现了矩形法、梯形法和辛普森法等常用的数值积分方法，并选取若干函数进行数值积分的计算。
通过比较数值积分的结果和解析解或数值解的误差，可以验证数值积分方法的准确性和可行性。
实验四：常微分方程求解常微分方程求解是数值计算中的一个重要问题，常常涉及到物理、化学、生物等科学领域。
本次实验中，我们实现了欧拉方法和龙格-库塔方法等常用的常微分方程求解算法，并选取若干常微分方程进行求解。
通过比较数值解和解析解或数值解的误差，可以验证常微分方程求解方法的精确性和可行性。
实验五：线性方程组求解线性方程组求解是数值计算中的一个重要问题，常常涉及到矩阵的运算和迭代方法。
本次实验中，我们实现了高斯消元法和追赶法等常用的线性方程组求解算法，并选择一些矩阵进行求解。
通过比较数值解和解析解或数值解的误差，可以验证线性方程组求解方法的精确性和可行性。
结论：通过本次实验，我们掌握了插值算法、方程求解、数值积分、常微分方程求解和线性方程组求解等常用的计算方法。
插值数值实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解并掌握插值法的基本原理和常用方法。
2. 学习使用拉格朗日插值法、牛顿插值法等数值插值方法进行函数逼近。
3. 分析不同插值方法的优缺点，并比较其精度和效率。
4. 通过实验加深对数值分析理论的理解和应用。
二、实验原理插值法是一种通过已知数据点来构造近似函数的方法。
它广泛应用于科学计算、工程设计和数据分析等领域。
常用的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、样条插值法等。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。
其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于插值多项式的差商的插值方法。
其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等，并且满足一定的差商条件。
三、实验内容1. 拉格朗日插值法（1）给定一组数据点，如：$$\begin{align}x_0 &= 0, & y_0 &= 1, \\x_1 &= 1, & y_1 &= 4, \\x_2 &= 2, & y_2 &= 9, \\x_3 &= 3, & y_3 &= 16.\end{align}$$（2）根据拉格朗日插值公式，构造插值多项式：$$P(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}y_0 + \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}y_1 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}y_2 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}y_3.$$（3）计算插值多项式在不同点的函数值，并与实际值进行比较。
(整理)计算方法实验报告
《计算方法》实验报告专业班级：学生姓名：学生学号：实验名称：实验一：非线性方程求根迭代法实验二：求解线性方程组(1) 实验三：求解线性方程组（2）实验四：数值积分实验五：数值微分实验一：一、实验名称非线性方程求根迭代法二、实验目的(1)熟悉非线性方程求根简单迭代法，牛顿迭代及牛顿下山法 (2)能编程实现简单迭代法，牛顿迭代及牛顿下山法 (3)认识选择迭代格式的重要性 (4) 对迭代速度建立感性的认识；分析实验结果体会初值对迭代的影响三、实验内容用牛顿下山法解方程013=--x x （初值为0.6）输入：初值，误差限，迭代最大次数，下山最大次数输出：近似根各步下山因子四、基本原理（计算公式）求非线性方程组的解是科学计算常遇到的问题，有很多实际背景．各种算法层出不穷，其中迭代是主流算法。
只有建立有效的迭代格式，迭代数列才可以收敛于所求的根。
因此设计算法之前，对于一般迭代进行收敛性的判断是至关重要的。
牛顿法也叫切线法，是迭代算法中典型方法，只要初值选取适当，在单根附近，牛顿法收敛速度很快，初值对于牛顿迭代 至关重要。
当初值选取不当可以采用牛顿下山算法进行纠正。
一般迭代：)(1k k x x φ=+ 0)()(=⇔=x f x x φ 牛顿公式：)()(1k k k k x f x f x x '-=+ 牛顿下山公式：)()(1k k k k x f x f x x '-=+λ下山因子 ，，，，322121211=λ 下山条件|)(||)(|1k k x f x f <+五、算法设计与实现（流程图）牛顿下山算法见流程图：六、个人理解：这个问题的关键之处不是公式的复杂性，而是如何对算法的实现提供一个条理清晰且方法合理的if 嵌套，这个算法中运用了许多判断，如何进行其判断结果的返回将是解决这个问题的重中之重。
把这个问题弄清楚，再结合本身并不复杂的算法公式，这个问题就可解了。
这个程序开始花费了我很长时间搞清楚如何进行判断返回的运算来解决if 语句嵌套。
插值法综述《计算方法》学习报告
插值法综述《计算方法》学习报告一、引言计算方法是计算机科学与技术专业的一门重要基础课程，主要介绍了插值法在数值计算中的应用。
插值法是一种用已知的离散数据拟合出连续函数的方法，广泛应用于数据分析、数据处理以及图像处理等领域。
本学期我在学习《计算方法》过程中，对插值法进行了深入学习与研究，现将所学内容进行总结。
二、插值法的基本概念插值法是指在给定的有限数据点集上，通过构造插值多项式来拟合出一个连续的函数，从而可以用于求解数据点之间的未知函数值。
插值法的基本思想是利用已知的数据点，通过构造插值函数来拟合这些数据点，并且能够满足特定的插值条件。
常见的插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值法等。
三、拉格朗日插值法拉格朗日插值法是由法国数学家拉格朗日在18世纪中叶提出的，它利用了多项式的唯一性和插值条件，通过巧妙选择权重系数来构造插值多项式。
拉格朗日插值法的优点是简单易懂，易于计算，而且适用于实际问题中的绝大多数情况。
四、牛顿插值法牛顿插值法是由英国物理学家牛顿在17世纪提出的，它通过不断增加插值点，逐步逼近所需插值函数。
牛顿插值法的优点是计算过程简单直观，当新增一个数据点时，只需重新计算差商即可，不需要重新计算整个插值多项式。
五、埃尔米特插值法埃尔米特插值法是由19世纪德国数学家埃尔米特提出的，它是拉格朗日插值法和牛顿插值法的推广和扩展。
埃尔米特插值法在插值点不仅给定数据值，还给定导数值的情况下，构造一个既满足插值条件又满足切线条件的插值多项式。
埃尔米特插值法的优点是在一定程度上提高了插值函数的光滑性和拟合精度。
六、插值法的应用插值法在计算机科学与技术中有广泛的应用，例如在数据处理与分析中，可以利用插值法来填补缺失数据、修复损坏数据和平滑噪声数据；在图像处理中，可以利用插值法来实现图像的放大缩小、旋转变换和形状重建等操作。
插值法还可以应用于科学计算中的数值积分、数值微分以及数值解常微分方程等问题的求解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实验报告（作业）
课程名称计算方法
班级与班级代码
专业数学与应用数学
指导教师
学号
姓名
提交日期 2012年6月1日
广东商学院教务处制
目录
一、实验目的 (1)
二、实验方法 (1)
(1)拉格朗日插值 (1)
(2)牛顿插值 (1)
三、实验内容 (2)
四、实验程序 (2)
(1)拉格朗日插值 (2)
(2)牛顿插值 (3)
五、实验结果 (4)
(1) 拉格朗日插值 (4)
(2)牛顿插值 (4)
六、结果分析 (4)
实验四 插值问题
一、 实验目的
用拉格朗日插值和牛顿插值的方法，在已知函数在点n x x x ,,,10 的函数值n y y y ,,,10 的情况下，求插值节点x 的函数值y ，即求)(x f 。
并比较结果，说明为什么相等。
二、 实验方法
（1） 拉格朗日插值
根据n x x x ,,,10 ；n y y y ,,,10 构造插值多项式
()k n k n k j j j k i n y x x x x x p •⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=∑∏=≠=00 将插值点x 代入上式，就可得到函数)(x f 在点x 处的函数值的近似值。
（2） 牛顿插值
根据n x x x ,,,10 ；n y y y ,,,10 构造插值多项式
()()()()()()()()110100100,,,,----++-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x f x f x N 牛顿插值公式中各项的系数就是函数)(x f 的各阶均差（差商）()()n x x x f x x f x f ,,,,,,),(10100 ，因此，在构造牛顿插值公式时，常
常先把均值差列成一个表，此表称为均差表。
三、实验内容
从函数表
出发，计算)5.0(f,()7.0f及)
.0(f的近似值。
85
四、实验程序
（1）拉格朗日插值
function f=agui_lagrange(x0,y0,x) %x0为节点向量，y0为节点上的函数值，x为插值点，f返回插值
n=length(x0); %n为节点向量x0的长度
m=length(x); %m为x的长度
format long %数据显示为15字长定点数
s=0.0; % s为k次插值多项式的值，初始值为0.0
for k=1:n %k=1,2,3,...,n
p=1.0; %p为关于x0,x1,...,xj的插值，初始值为1.0
for j=1:n %j=1,2,3,...,n
if j~=k %j不等于k
p=p*(x-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
end
end
s=p*y0(k)+s;
end
f=s; %f为使用拉格朗日插值多项式求得的x近似值
end
（2）牛顿插值
function f=agui_newtonint(x0,y0,x) %x0为节点向量，y0为节点上的函数值，x为插值点，f返回插值
n=length(x0); %n为节点向量x0的长度
m=length(y0); %m为x的长度
format long %数据显示为15字长定点数
Y=zeros(n); %Y为差商表,初始值为n×n的零矩阵
Y(:,1)=y0'; %把向量y0的转置依次存入矩阵Y的第一列中
for k=1:n-1 %k=1,2,3,...,n-1
for i=1:n-k %i=1,2,...,n-k
Y(i,k+1)=(Y(i+1,k)-Y(i,k))/(x0(i+k)-x0(i));
end
end
s=0.0; %s为牛顿插值多项式，初始值为0.0
for i=1:n %i=1,2,3,...,n
p=1.0; %p的初始值为1.0
for k=1:i-1 %k=1,2,...,i-1
p=p*(x-x0(k));
end
s=s+Y(1,i)*p;
end
f=s; %f为使用牛顿插值多项式求得的x近似值
end
五、实验结果
（1）拉格朗日插值
（2）牛顿插值
六、结果分析
（1）由两种程序运行的最终结果来看，使用拉格朗日插值和牛顿插值等不同的方法对于同一系列的点及相关函数求插值，所
得的结果是完全相等的。
（2）由两种程序的运行来看，对于同一系列的点及相关函数求插
值时，拉格朗日插值是通过构造n+1个n次基本多项式，然后线性组合（也是n次的多项式）而得到的；牛顿插值是通过求各阶差商，递推得到的一个牛顿多项式。
而拉格朗日插值法和牛顿插值法都是求一条n次代数曲线近似地表示待插值的函数曲线，所以它们的结果是相等的。