常微分方程积分曲线
§4.1 微分方程的基本概念
dx Q( x, y) 则称其为一阶微分方程的典则形式.
也可写为： P x, ydx Q x, ydy,
称为微分方程的对称形式。
“对称”指方程关于变量 x 和 y 对称。
y y x或 x x y
dy dx
P Q
x, x,
y y
Q x, y 0
或
dx dy
Q P
x, x,
y y
P x, y 0.
一、可分离变量的微分方程
形如 g( y)dy f ( x)dx
的微分方程称为可分离变量的微分方程.
例如
dy dx
2x2
4
y5
4
y 5dy
2 x 2dx,
解法 设函数g y 和 f x 是连续的,
g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
设函数G y和F x 依次为g y 和 f x 的原函数,
故 x C1 coskt C2 sinkt是原方程的解.
x A, dx 0,
t0
dt t0
C1 A, C2 0. 所求特解为 x Acoskt.
一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式：
F x, y, y 0.
若方程可解出 y′, 即
y f x, y dy P( x, y)
y 2x2 y sin x y 2
y y x3 y 0,
线性微分方程
x( y)2 2 yy x 0;
y y x3 y2 0,
d 2
dt 2
3sin
0.
非线性微分方程
三、微分方程的解及积分曲线
微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.
常微分方程的常见解法
# 定义网格密度
arrows=LINE,
# 定义线段类型
axes=NORMAL);
# 定义坐标系类型
在MATLAB的向量场命令为 quiver(x,y,px,py)
回车后Maple就在1 1 的网格点上画出了向量场
44
的图形，并给出了过点(-2, 2) (-2 ,1) (-2,2) 的三
条积分曲线，见下图
M (x,y)co x s2xye , y
N (x,y)co x s2xye x
M(x,y)N(x,y)
y
x
所以方程为全微分方程。
由公式F (x ,y ) 0M (s ,y )d s 0N (0 ,s )d s
x(yc o ss 2 se y)d sy2 d s
0
0
ysinxx2ey2y
或
x
y
F (x ,y )x 0M (s ,y ) d s y 0N (x 0 ,s ) d
s
例：验证方程
( y c o s x 2 x e y ) d x ( s i n x x 2 e y 2 ) d y 0
是全微分方程，并求它的通解。 解：由于 M (x ,y ) y c o sx 2 x e yN (x ,y ) s in x x 2 e y 2
dx
令 zy1n,则 dz(1n)yndy
dx
dx
d z (1 n )P (x )z (1 n )Q (x )
d x
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解。
例 湖泊的污染
设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸， 这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20 立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水 中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊 中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小 时,求该厂排污1年时, 湖泊水中盐酸的含量。 解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为 x ( t )
常微分方程求曲线
求 曲 线1、求过点(1,2)的曲线，其上每点的切线，从原点到切点的向径和x 轴围成以x 轴为底的等腰三角形。
2、3、456、设曲线L 的极坐标方程为(),(,r r M r θ=若极径0OM ,OM 与曲线L 的一半，求曲线L 的方程。
7、设函数()(0)y x x ≥二阶可导，且'()y x (,)P x y 作该曲线的切线及x 1S ，区间[0,]x 上以()y y x =为曲边的曲边梯形面积记为2S ，并设122S S -恒为1，求此曲线()y y x =的方程。
8、设()y y x =是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(,)x y ，且此曲线上点(0,1)处的切线方程为1y x =+，求该曲线的方程，并求函数()y y x =的极值。
9、求xoy 平面上的一曲线，使其过每点的切线同该点的向径及oy 轴一起构成一个等腰三角形。
10、求一曲线，它的切线在坐标轴间的线段长等于常数a 。
11、设曲线y=f (x)上任意点M(x,y )到坐标原点的距离等于曲线在M 点切线的纵截距，已知曲线过(1,0)点，求此曲线的方程。
求 曲 线 答 案1、解：设曲线上一点（x,y ）则切线与x 轴的交点为（2x,0） y从而切线斜率为∴y y x x y x y ''=-=-414即 A （x,y ） 从而xy=c 又过点（1,2），故xy =22、解：设曲线上任取一点（x,y ）则点的切线与y 轴的截点为（0，2x ） 于是∴yy xxyxy''=-=-414即故y e c e dx x c x c x xdxxdxxdx=⎰-⎰=-⎰=--⎰111444[][][ln]3、解：设曲线上任取一点（x,y）则该点的切线与y轴的截点为（0，x）于是∴yy xxyxy''=--+=3130即故y e c e dx x c x c x xdxxdxxdx=⎰-⎰=-⎰=--⎰111333[][][ln]4、解：设曲线上任取一点（x,y）则该点的切线与y轴的截点为（0，3x）于是∴yy xxyxy''=--+=3130即故y e c e dx x c x c x xdxxdxxdx=⎰-⎰=-⎰=--⎰111333[][][ln]5、解：设曲线上任取一点（x,y）y则点的切线与y轴的截点为（0，4x）于是∴yy xxyxy''=-=-414即故y e c e dx x c x c x xdxxdxxdx=⎰-⎰=-⎰=--⎰111444[][][ln]6、解：由已知条件得2001122r dθθθθ=⎰⎰*）两边对θ求导得2r=，即'r=±，从而dθ=±。
常微分课后答案第一章
常微分课后答案第一章yx C x C y x C x C y 2222121sin cos ,cos sin ωωωωωωωωω-=--=''+-='，所以0222=+y dxyd ω，故xCx C y ωωsin cos 21+=为方程的解．（6）yB x A y B x A y 22)sin(,)cos(ωωωωω-=+-=''+='，故0222=+y dxyd ω，因此)sin(B x A y +=ω为方程的解．3．验证下列各函数是相应微分方程的解：（1）xxy sin =，x y y x cos =+'； （2）212x Cy -+=，xxy y x2)1(2=+'-（C 是任意常数）；（3）x Ce y =，02=+'-''y y y （C 是任意常数）； （4）xe y =，xx xe ye y ey 2212-=-+'-；（5）x y sin =，0cos sin sin 222=-+-+'x x x y yy ；（6）xy 1-=，1222++='xy y x y x ； （7）12+=xy ，xy x yy 2)1(22++-='；（8）)()(x f x g y =，)()()()(2x f x g y x g x f y '-'='．证明 （1）因为2sin cos x xx x y -='，所以xxxx x x x y y x cos sin sin cos =+-=+'．（2）由于21xCx y --='，故xx C x xCx x xy y x 2)12(1)1()1(2222=-++--⋅-=+'-．（3）由于xCe y ='，xCe y =''，于是022=+-=+'-''x x x Ce Ce Ce y y y ．（4）由xe y ='，因此xx x x x x x x e e e e e e ye y e y 22212)(2-=⋅-+⋅=-+'--．（5）因为x y cos ='，所以cos sin sin sin 2sin cos cos sin sin 22222=-+⋅-+=-+-+'x x x x x x x x x y y y ． （6）从21xy ='，得1111122222++=+⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=='xy y x x x x x y x ．（7）由x y 2='，得到xy x y x x x x x y 2)1(2)1)(1()1(2222222++-=+++-+=='．（8）)()()()()()()()()()()()()()()(222x f x g y x g x f x f x g x f x g x g x f x f x g x f x g x f y '-'='-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅'='-'='．4．给定一阶微分方程x dx dy 2=， （1）求出它的通解； （2）求通过点)4,1(的特解； （3）求出与直线32+=x y 相切的解；（4）求出满足条件210=⎰ydx 的解；（5）绘出（2），（3），(4)中的解的图形． 解 （1）通解 Cx xdx y +==⎰22．（2）由41==x y ，得到3=C ，所以过点)4,1(的特解为32+=xy ．（3）这时122=⇒=x x ，切点坐标为)5,1(，由51==x y ，得到4=C ，所以与直线32+=x y 相切的解为42+=xy ．（4）由231)31()(131210=+=+=+=⎰⎰C Cx x dx C x ydx ，得到35=C ，故满足条件21=⎰ydx 的解为352+=xy ．（5）如图1-1所示．-3-2-1123x24681012y图1-15．求下列两个微分方程的公共解： （1）422x x yy -+='；（2）2422y y x xx y --++='．解 公共解必须满足2424222y y x x x x x y --++=-+，即 022242=-+-x y x y ，得到2x y =或212--=x y 是微分方程422x x y y -+='和2422y y x x x y --++='的公共解．6．求微分方程02=-'+'y y x y 的直线积分曲线．解 设直线积分曲线为0=++C By Ax ，两边对x 求导得，0='+y B A ，若0=B ，则0=A ，得到0=C ，不可能．故必有0≠B ，则B Ay -='，代入原方程有02=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-B Cx B A B A x B A ，或)(22=-++B AB C x B A BA ，所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+0,022BA B C B AB A ，得到⎩⎨⎧==0,0C A 或B C A -==．所求直线积分曲线为0=y 和1+=x y ． 7．微分方程32224xy y y x=-'，证明其积分曲线关于坐标原点)0,0(成中心对称的曲线，也是此微分方程的积分曲线．证明 设0),(=y x F 是微分方程32224xy y y x =-'的积分曲线，则与其关于坐标原点)0,0(成中心对称的曲线是),(=--y x F ．由于),(=y x F 适合微分方程32224xy y y x =-'，故3222),(),(4xyy y x F y x F x y x =-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⋅，分别以y x --,代yx ,，亦有3222))(()(),(),()(4y x y y x F y x F x y x --=--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----⋅-，而由0),(=--y x F ，得到),(),(y x F y x F y yx -----='，从而0),(=--y x F 也是此微分方程的积分曲线．8．物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温差成比例，如果物体在20分钟内由100C 冷至60C ，那么，在多久的时间内，这个物体的温度达到30C ？假设空气的温度为20C ． 解 设物体在时刻t 的温度为)(t u u =，20=au，微分方程为)(au u k dtdu --=，解得ktaCe u u -+= ，根据初始条件10000===u ut ，得80=-=a u uC ，因此 kta a e u u u u --+=)(0，根据60,201===uu t ，得到ka a e u u u u2001)(--+=，由此202ln ln 20110=--=a a u u u u k ，所以得到t e u 202ln 8020-+=，当30=u 时，解出60=t （分钟）1=（小时）．在1小时的时间内，这个物体的温度达到30C ．9．试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：（1）曲线上任一点的切线与该点的向径夹角为α；（2）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ；（3）曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数2a ；（4）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分被切点等分；（5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；（6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项；（7）曲线上任一点的切线的斜率与切点的横坐标成正比．（提示：过点),(y x d 的横截距和纵截距分别为'-yy x 和y x y '-）．解 （1）曲线上任一点为),(y x ，则xy y x yy '+-'=1tan α，即ααtan tan y x x y y -+='． （2）曲线上任一点),(y x 处的切线方程为yy x Y X y -'=-'，与两坐标轴交点为),0(y x y '-和)0,(y yy x '-'，两点间距离为l y x y y y y x ='-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'22)(，即 222)()(l y x y y y x ='-+'-． （3）由（2），有221a y x y y yy x ='-'-'，或y a y y x '=-'222)(．（4）由（2），有2y x y y '-=，或0=+'y y x ．（5）由（2），2xy xy='-．（6）同样由（2），2yxy xy +='-，或xy xy='-2．（7）易得kxy='（k为常数且0>k）．。
常微分方程
重点
五种标准类型的一阶方程的求解 可降阶的高阶方程的求解 二阶常系数齐次和非齐次线性方程的求解
难点
求解全微分方程 求常系数非齐次线性方程的通解
基本要求
①明确微分方程的几个基本概念 ②牢固掌握分离变量法，能熟练地求解可 牢固掌握分离变量法， 分离变量的微分方程 ③牢固掌握一阶线性微分方程的求解公式， 牢固掌握一阶线性微分方程的求解公式， 会将Bernoulli 方程化为一阶线性方程来求解 会将 ④掌握全微分方程的解法 ⑤会用降阶法求解几种特殊类型的高阶方程 ⑥掌握二阶线性微分方程解的结构并能熟 练地应用特征根法、 练地应用特征根法、待定系数法求解二阶 常系数线性方程
的切线的斜率为 2 x，求此曲线 L 的方程.
设曲线的方程为 y = y ( x)，则有 dy (1) = 2 x. dx
微分方程
此外，函数y = y (x) 应满足条件
y ( x) x =1 = 2 ， 将(1)式两边关于 x 积分，得
y = ∫ 2 x∫ 2xx= x =+x + C y= d d C
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
y′ = f ( x , y ) 一阶: 一阶 y x = x0 = y 0
过定点的积分曲线; 过定点的积分曲线
y ′′ = f ( x , y , y ′ ) 二阶: 二阶 ′ y x = x0 = y0 , y ′x = x0 = y0
即 y = x2 + C,
求得 C = 1,
所求曲线方程为 y = x 2 + 1 .
以20 / 的 度 驶 例2 列 在 直 线 上 20 米 秒 速 行 , 车 平 的 路 以 − 0.4米 秒2,问 始 动 当 动 列 获 加 度 制 时 车 得 速 / 开 制 后 少 间 车 能 住 以 列 在 段 间 多 时 列 才 停 ？ 及 车 这 时 内 行 了 少 程 驶 多 路 ？
常微分方程课程总结
常微分方程课程总结第一章 绪论§1.2微分方程的基本概念（1）常微分方程偏微分方程微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。
常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程。
()(),dyaxy a dxdy p x y Q x dx=+=为常数 偏微分方程：未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程。
()22,22242u uf x y x y u u y x ∂∂+=∂∂∂∂=∂∂（2）线性与非线性一般n 阶线性微分方程具有形式：（等式左面全是一次有理整式）()(1)11()()()().n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++=（3）解和隐式解微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 隐式解：Φ（x,y ）=0 （4）通解和特解通解：微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数同.） 特解： 确定了通解中任意常数以后的解. 初始条件：用来确定任意常数的条件.初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.（5）积分曲线：微分方程任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积曲线。
第二章 一阶微分方程的初等解法§2.1 变量分离方程与变量变换2.1.1、变量分离方程)()(y x f dxdyϕ= ⎰⎰+=c dx x f y dy )()(ϕ 2.1.2、可化为变量分离方程的类型1.形如)(x y g dx dy =，称为齐次微分方程，令u ＝xy ,即y ＝ux ，于是dx dy ＝x dx du ＋u ，代入原方程，变形为x dx du ＋u ＝g （u ），整理得dx du ＝xuu g -)(2.形如222111c x b x a c x b x a dx dy ++++= 的方程也可经变量变换化为变量分离方程（1）常数）(212121k c c b b a a ===，方程化为dxdy ＝k ，有通解c kx y += （2）≠==k b b a a 212121c c 情形，令u ＝y b x a 21+，这时有dx du ＝dx dy b a 22+＝2122c u c ku b a +++是分离变量方程 （3）2121b b a a ≠情形，若21c c 、不全为零，方程右端分子、分母都是x 、y 的一次多项式，因此111c x b x a ++＝0，222c y b x a ++＝0，交点（),βα，令X ＝x －α，Y ＝y －β，化为011=+Y b X a ， 022=+Y b X a 。
常微分方程的几何解释
(2.2)
a x b, y ,
假设函数 f x, y在给定区域上连续且有界.于是
它在这个区域上确定了一个线素场.下面利用线素场
求出经过 x0, y0 的近似积分曲线.把
x0 ,b n 等分,其分点为:
xk x0 kh, k 0,1, , n
h b x0 , n
xn b
常微分方程
绵阳师范学院
先求出 f x0, y0
用经过 x0, y0 斜率为
y
x1
,
y1
x2
,
y2
f x0, y0 的直线段来近
y0
似积分曲线,其方程为
y y0 f x0, y0 x x0
x0 x1 x2
bx
求出直线上横坐标 x1 处的点的纵坐标
y1 y0 f x0, y0 x1 x0 y0 f x0, y0 h
如果 h 很小 x1, y1 就很接近积分曲线上的点 x1, y x1
因 f x, y 连续.于是由点 x1, y1 出发的斜率为
f x1, y1 的直线段又近似于原积分曲线.它的方程为
了线素场.
y k x
易见在点 x, y 的线素与
过原点与该点的射线重合.
常微分方程
绵阳师范学院
定理2.1 L为(2.1)的积分曲线的充要条件是: 在L 上任一点,L 的切线方向与(2.1)所确定的线 素场在该点的线素方向重合;即L在每间点均与 线素场的线素相切.
证明 必要性 设L为(2.1)的积分曲线,其方程为
20
若初值问题
dy dx
f ( x, y),的解是存在,是否唯一?
什么叫做积分曲线
什么叫做积分曲线引言在数学中，积分曲线是一个重要的概念，它在微积分和几何学中发挥着关键作用。
积分曲线是由一个给定的微分方程定义的曲线，能够帮助我们理解函数的性质和行为。
本文将介绍积分曲线的概念、性质和应用，并探讨它在数学领域中的重要性。
什么是积分曲线积分曲线是一个给定微分方程dy/dx=f(x,y)的解曲线。
换句话说，它是通过微分方程描述的一族曲线，满足在每一点的切线斜率等于f(x,y)。
积分曲线可以帮助我们理解微分方程的解在平面上的表现。
积分曲线的性质•唯一性：对于给定的初始条件，微分方程通常会有唯一的积分曲线与之对应。
这意味着通过给定的初始点，我们可以确定唯一的积分曲线。
•存在性：在一些特殊条件下，不存在唯一的积分曲线。
这取决于微分方程的性质以及初值问题的设定。
•解析性：积分曲线通常是通过数值方法求解微分方程得到的，但在一些简单的情况下，我们可以找到解析解析解，即用一个公式表示积分曲线。
积分曲线的应用积分曲线在数学和物理学中有着广泛的应用，例如：•物理建模：在物理学中，我们经常需要解决微分方程来描述自然现象。
积分曲线能够帮助我们理解这些微分方程的解以及物理系统的行为。
•工程应用：在工程和技术领域，积分曲线可以用来建立模型、预测系统行为等。
例如，用微分方程描述电路中的电流变化，通过积分曲线来解决这些问题。
•数值计算：积分曲线也可以通过数值方法求解，为我们提供了一种近似解法，尤其是在复杂微分方程的求解中。
积分曲线的重要性积分曲线是微分方程的重要解之一，它们不仅帮助我们理解微分方程的解析性质，还能够应用于现实世界的问题中。
通过研究积分曲线，我们可以深入理解微分方程的解的性质，并为应用数学和物理学提供有效的工具。
结论积分曲线在数学领域中扮演着重要的角色，它通过微分方程的解来描述曲线的特性和性质。
在现实世界中，积分曲线也有着广泛的应用，帮助我们解决各种复杂的问题。
通过学习和理解积分曲线，我们能够更深入地理解微积分和微分方程的应用，为解决各种问题提供有力的数学工具。
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设 f(x) 是自变量为 x 的已知连续函数，试求函数 y=y(x) 满足下列方程：
dy f (x)
(**)
dx
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二、微分方程的定义
方程（*）和方程（**）共同之处在于未知的都是函数，不 同处在于方程（*）中只有未知函数本身，而方程（**）中却出 现了未知函数的导数，这种情况不仅在研究数学时会遇到，而 且在研究物理学、力学、化学、生物学、工程技术、甚至若干 社会科学时也会出现，因为在研究这些实际问题时，往往不能 直接找到所研究的那些量之间的依赖关系，但是却能建立起它 们和其变化率（导数）之间的规律，于是，把包含未知函数导 数的方程叫做微分方程.
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分析
了解有关物体温度变化的基本规律：热量 总是从温度高的物体向温度低的物体传导；在 一定的温度范围内（其中包括了上述问题的温 度在内），一个物体的温度变化速度与这一物 体和其所在介质温度的差值成比例，这就是牛 顿（Newton）冷却定律.
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ua
)
(1.1)
其中k是比例常数，方程（1.1）就是物体冷却过程的数学模型，它含有未
知函数u及它的(一阶)导数
du dt
，这样的方程，就成为（一阶）微分方程
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改写（1.1）为：
d (u ua ) kdt (1.2) (u ua )
变量u和t被分离出来了,对上式两边积分得到 ：
第一章 绪论
主要内容
序：什么是方程？ 微分方程及其应用 微分方程的基本概念 小结
重点：理解微分方程的解等基本概念。 难点：微分方程的解（解、特解、通解）、积分曲线、方向场。
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第一节 微分方程的定义
一、序及方程
在初等数学中，曾经学习过代数方程，三角方程，指数方程 和对数方程等等。 在高等代数中又学习过高次代数方程，n元线 性代数方程组。 这些方程（组）有一个共同点，就是作为未知而 要求的是一个或几个特定的值（称为方程的根或解）。但在高等 数学中，常常需要研究的是另外一类性质上完全不同的方程。在 这类方程中，作为未知而要去求的已经不是一个或几个特定的值， 而是一个函数。这类方程称为函数方程。
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三、物体冷却过程的数学模型
问题一：将某物体放置于空气中，在时刻 t 0 时，
测量得它的温度为 u0 150 0 C ，10分钟后测量得温度为 u1 100 0 C. 问题与要求：决定此物体的温度 u 和时间 t 的关系， 并计算20分钟后物体的温度。 基本假设：空气的温度保持为 ua 240 C .
ln(u ua ) kt c1 (1.3)
其中 c 是积分常数，对上式进行变形又得到： 1
u ua e ktc1
由此，令 c ec1 ，有：u ua cekt (1.4)
代入初始条件，并整理得到： 图解
u 24 126 e0.051t (1.5)
解曲线
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数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过 程中量与量之间的一种关系，但是在大量的实际问题中遇到 稍为复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的 关系 (即函数)往往不能直接写出来，却比较容易建立这些变 量和它们的导数(或微分)间的关系式.
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天气预报模型（Lorenz方程）和化学动力学模型等
人口增长模型（Logistic）:
天气预报模型（Lorenz方程）:
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dN
N
r(1 )N
dt
Nm
dx dt
a(
y
x),
dy
dt
xz
cx
y,a
10,b
8
3,c
28
dz dt
分析：符合实际情况，真实地反映了物理现象，即高温
物体在低温环境中的温度变化过程和情况.
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
问题二：数学摆（下图）的运动方程(下面三个方程).
O
d 2
dt 2
g l
s in
d 2
dt 2
m
d
dt
g l
s in
0
(有阻力)
A
M
P
Q
mg
d 2
微分方程是数学中的古老分支之一．它与动力系统紧密相 关并有重要应用价值．如分支问题、混沌问题、非线性振动的 复杂性，以及常微分方程与其他学科的关联问题．
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偏微分方程是研究客观世界数量间相互制约关系的有力 工具．它的研究对象来源于数学的其它分支和自然科学及工 程技术中的有关问题．在本世纪中偏微分方程的理论取得了 重大进展，但是关于偏微分方程初始边值问题适定性的研究 还有许多问题．
dt 2
m
d
dt
g sin
l
1 ml
F (t)
(有阻力及外力）
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
问题三
：R-L-C电路电流方程；ddt22I
R L
dI dt
I LC
0
问题四：R-L电路电流方程；
d2I I 0
dt2 LC
其它问题：人口模型、传染病模型、两种生物种群生态模型、
xy
bz,
假设：设物体在时刻的温度为 u u(t) ，则温度的变
化速度以
du dt
来表示。注意到热量总是从温度高的
物体向温度低的物体传导的。因而 u0 ua ，所以温
差 u0 ua 恒正；又因物体将随时间而逐渐冷却，故
温度变化速度 du 恒为负。因此由牛顿冷却规律得 dt
到：
du dt
k (u
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例如数学分析中的隐函数问题，就是在一定条件下， 由方程
F(x, y) 0 (*)
来确定隐函数，上述方程（*）是众所周知的隐函数方 程，它是函数方程中最简单的一种。而隐函数是所要求 的未知函数。
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在数学分析中，不定积分问题 F (x) f (x)dx ，实际上