选修1-1,选修2-1双曲线(讲义)

双曲线
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F F |21)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2.双曲线的标准方程及简单几何性质
(1)定义：实轴和虚轴长相等的双曲线，叫做等轴双曲线.其方程的一般形式λ=-22
y x .
(2)性质：①渐近线方程：x y ±=；②离心率2e =.
4.有共同渐近线的双曲线方程
(1)当已知双曲线的渐近线方程x a b y ±=,可设双曲线方程为)0(b
y a x 22
22≠λλ=-.
(2)与双曲线1b y a x 2222=-有相同的渐近线的双曲线方程可设为)0(b
y a x 22
22≠λλ=-.
基础巩固：
1.双曲线
2
16
x
-
2
9
y
=1的左、右焦点分别为F1,F2,P在双曲线上,且|PF1|=2,则|PF2|等于
___________.
2.已知点F1(-4,0)和F2(4,0),一曲线上的动点P到F1,F2距离之差为6,该曲线方程是________________.
3.已知方程
2
3
x
k-+
2
5
y
k-=1表示双曲线,则k的取值范围为____________________.
4.双曲线
2
4
x
-
2
5
y
=1的离心率e等于__________.
5.已知双曲线C:
2
2
x
a-
2
2
y
b=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为____________.
6.已知双曲线过点),且渐近线方程为y=±1
2x,则该双曲线的标准方程为.
7.椭圆
2
4
x
+
2
2
y
m=1与双曲线
2
2
x
m-
2
2
y
=1有相同的焦点,则m的值是___________.
8.已知双曲线
2
25
x
-
2
9
y
=1的左、右焦点分别为F1,F2,若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2
的距离为18,N是MF2的中点,O为坐标原点,则|NO|等于_________.
例题讲解：
例1双曲线x2+my2=1的虚轴长是实轴长的2倍,求双曲线的渐近线方程变式训练：
设双曲线
2
2
x
a-
2
2
y
b=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A
1,A2,过F作A1A2的垂线
与双曲线交于B,C两点.若A1B⊥A2C,求双曲线的渐近线的斜率
例2已知中心在原点,x-y=0,求双曲线的离心率.
过双曲线C: 22x a -22
y b =1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C 于点P.若
点P 的横坐标为2a,则C 的离心率为 .
例3 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为(1)求双曲线C 的方程;
(2)若直线C 恒有两个不同的交点A 和B,且OA ·OB
>2(其中O 为原点),
求k 的取值范围.
变式训练：
已知点N(1,2),过点N 的直线交双曲线x 2-2
2y =1于A,B 两点,且ON =12(OA +OB
).
(1)求直线AB 的方程;
(2)若过N 的直线交双曲线于C,D 两点,且CD ·AB =0,那么A,B,C,D 四点是否共圆?为什
么?
1.已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,且|AB|=5,若实轴长为8,则△ABF2的周长为( )
(A)16 (B)18 (C)21 (D)26
2.设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于
( )
(A)1 (B)17(C)1或17 (D)以上答案均不对
3.若k∈R,方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围是( )
(A)(-3,-2) (B)(-∞,-3)(C)(-∞,-3)∪(-2,+∞) (D)(-2,+∞)
4.已知双曲线
2
2
x
a-
2
3
y
=1(a>0)的离心率为2,则a等于( )
(A)2 (B) (C) (D)1
5.以椭圆
2
4
x
+
2
2
y
=1的长轴端点为焦点,以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为_____________.
6.设F1,F2是双曲线C的两焦点,点M在双曲线上,且∠MF2F1=,若|F1F2|=8,|F2M|=,则双曲线C的实轴长为_______________.
7.设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为_____________
8.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m的值是.
9.过双曲线x2-=1的左焦点F1作倾斜角为的直线AB,其中A,B分别为直线与双曲线的交点,则|AB|的长为___________.
10.F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点.若△ABF2是等边三角形,则该双曲线的离心率为( )
(A)(B)(C)(D)。