高二数学选修1、2-2-1双曲线及其标准方程

2.2.1双曲线及其标准方程一、选择题1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( )A ．双曲线B ．一条直线C ．一条线段D ．两条射线 [答案] D2．已知方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－1 [答案] A[解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.3．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．双曲线的一支B ．圆C ．抛物线D ．双曲线[答案] A[解析] 设动圆半径为r ，圆心为O ，x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4，由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．4．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1 C.x 23－y 24＝1 D.y 23－x 24＝1 [答案] B[解析] 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3，双曲线方程为y 2－x 23＝1. 5．“ab <0”是“曲线ax 2＋by 2＝1为双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0.6．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( )A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24＝1 [答案] C[解析] ∵c ＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1.7．椭圆x 24＋y 2m 2＝1与双曲线x 2m 2－y 22＝1有相同的焦点，则m 的值是( ) A ．±1B ．1C ．－1D ．不存在 [答案] A[解析] 验证法：当m ＝±1时，m 2＝1，对椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3.对双曲线来说，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3，故当m ＝±1时，它们有相同的焦点．直接法：显然双曲线焦点在x 轴上，故4－m 2＝m 2＋2.∴m 2＝1，即m ＝±1.8．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( )A.x 29－y 27＝1 B.x 29－y 27＝1(y >0) C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D.x 29－y 27＝1(x >0)[答案] D[解析] 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 29－y 27＝1(x >0) 9．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( )A ．16B ．18C ．21D ．26[答案] D[解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26.10．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －aB ．m －bC ．m 2－a 2 D.m －b [答案] A[解析] 设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a .∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，∴|PF 1|·|PF 2|＝m －a .二、填空题11．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________．[答案] x 273－y 275＝1 [解析] 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) 又点M (3,2)、N (－2，－1)在双曲线上， ∴⎩⎨⎧ 9a 2－4b 2＝14a 2－1b 2＝1，∴⎩⎨⎧ a 2＝73b 2＝75.12．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________． [答案] 833[解析] ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7，该弦所在直线方程为x ＝7，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163， ∴|y |＝433，弦长为833. 13．如果椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1的焦点相同，那么a ＝________. [答案] 1[解析] 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1.14．一动圆过定点A (－4,0)，且与定圆B ：(x －4)2＋y 2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．[答案] x 24－y 212＝1(x ≤－2) [解析] 设动圆圆心为P (x ，y )，由题意得|PB |－|P A |＝4<|AB |＝8，由双曲线定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，且2a ＝4，a ＝2的双曲线的左支．其方程为：x 24－y 212＝1(x ≤－2)． 三、解答题15．讨论x 225－k ＋y 29－k＝1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． [解析] (1)当k <9时，25－k >0,9－k >0，所给方程表示椭圆，此时a 2＝25－k ，b 2＝9－k ，c 2＝a 2－b 2＝16，这些椭圆有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．(2)当9<k <25时，25－k >0,9－k <0，所给方程表示双曲线，此时，a 2＝25－k ，b 2＝k －9，c 2＝a 2＋b 2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．(3)当k >25时，所给方程没有轨迹．16．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程．[解析] 椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，±3)， 由题意，设双曲线方程为：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， 又点A (x 0,4)在椭圆x 227＋y 236＝1上，∴x 20＝15， 又点A 在双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1上，∴16a 2－15b 2＝1， 又a 2＋b 2＝c 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5，所求的双曲线方程为：y 24－x 25＝1. 17．已知双曲线x 2－y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且MF 1→·MF 2→＝0，求点M 到x 轴的距离．[解析] 解法一：设M (x M ，y M )，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，MF 1→＝(－3－x M ，－y M )，MF 2→＝(3－x M ，－y M )∵MF 1→·MF 2→＝0，∴(－3－x M )·(3－x M )＋y 2M ＝0，又M (x M ，y M )在双曲线x 2－y 22＝1上，∴x 2M －y 2M 2＝1， 解⎩⎪⎨⎪⎧ (－3－x M )(3－x M )＋y 2M ＝1x 2M －y 2M 2＝1得y M ＝±233， ∴M 到x 轴的距离是|y M |＝233. 解法二：连结OM ，设M (x M ，y M )，∵MF 1→·MF 2→＝0，∴∠F 1MF 2＝90°，∴|OM |＝12|F 1F 2|＝3， ∴x 2M ＋y 2M ＝3①又x 2M －y 2M 2＝1② 由①②解得y M ＝±233， ∴M 到x 轴的距离是|y M |＝233. 18．在面积为1的△PMN 中，tan ∠PMN ＝12，tan ∠MNP ＝－2，建立适当坐标系．求以M 、N 为焦点且过点P 的双曲线方程．[解析] 解法一：以MN 所在直线为x 轴，MN 的中垂线为y 轴建立直角坐标系．设P (x 0，y 0)，M (－c,0)，N (c,0)(y 0>0，c >0)．(如图)则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0x 0＋c ＝12，y 0x 0－c ＝2，12·2c ·y 0＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝536，y 0＝233，c ＝32.设双曲线方程为x 2a 2－y 234－a 2＝1， 将点P ＝⎝⎛⎭⎫536，233代入，可得a 2＝512. ∴所求双曲线方程为x 2512－y 213＝1. 解法二：以MN 所在直线为x 轴，MN 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，作P A ⊥x 轴于A 点．设P (x 0，y 0)，M (－c,0)，N (c,0)，(y 0>0，c >0)(如图所示)因为tan ∠MNP ＝－2，所以tan ∠xNP ＝2，故P A AN ＝2，P A AM ＝12， 即AN ＝y 02，AM ＝2y 0， 所以2c ＝32y 0，即y 0＝43c ， 又因为S △PMN ＝1，所以12MN ·P A ＝1， 即12×2c ×43c ＝1，∴c ＝32， 而2a ＝PM －PN＝y 20＋(2y 0)2－y 20＋⎝⎛⎭⎫12y 02 ＝5y 0－52y 0＝153， ∴a ＝156， 故所求双曲线方程为x 2512－y 213＝1.。