博雅几何证明(一)------对角互补四边形
几何模型与证法-中考几何专题复习：对角互补四边形
对角互补四边形课程名称授课教师年级日期学科时段数学掌握含有一对直角和一组等邻边四边形的基本模型，通过旋转或作垂直构造全等三角形。
解决相关问题掌握掌握含有60°和120°和一组等邻边四边形的基本模型，通过旋转或作垂直构造全等三角形，解决相关问题。
教学目标掌握含有一组对角互补的四边形，作垂直构造相似三角形，解决相关问题掌握对角互补四边形的共同特征-----四点共圆，作出其外接圆，利用圆的性质和定理解决相关问题。
精准诊查课首沟通了解学生的复习进度，提问学生对对角互补的四边形有怎样的认识！说明对角互补的四边形是中考重点考察的对象，尤其在做辅助线方面要求比较高，这个内容涉及勾股定理，图形的旋转，圆，相似等知识，比较综合，需要学生高度重视。
知识导图课首小测1. [单选题] 如图，四边形ABCD内接于圆，则下列结论中正确的是（）A．∠A+∠C＝180°B．∠A+∠C＝90°C．∠A+∠B＝180°D．∠A+∠B＝90°2. [单选题] 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，点E是对角线BD的中点，连接AE、CE，DF平分∠BDA交AB于点F，交AE于点G，则下列结论正确的是（）A．BC＝CD B．DG＞AG C．点G是△AFD的外心D．点G是△BCD的外心3. [单选题] 将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心（对角线的交点），则图中四块阴影面积的和为（）2 2 2 D．8cm2A．2cm B．4cm C．6cm4.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，AC＝4，求四边形ABCD的面积．5.如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边AB上一点，点P是对角线BD上一点，且PE⊥PC．（1）求证：PC＝PE；（2）若BE＝2，求PB的长．互动导学导学一对角互补四边形模型（一）知识点讲解1：含有一对直角和一组等邻边的四边形基本模型：例题1.在对角互补，一组邻边相等的四边形中，通常可以通过旋转来解决问题。
全等与相似模型-对角互补模型(学生版)-2024年中考数学常见几何模型
全等与相似模型-对角互补模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、旋转中的对角互补模型对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。
思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。
常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60°对角互补模型、2α-(180°-2α)对角互补模型。
1)“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(异侧型)条件：如图，已知∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB.结论：①CD=CE，②OD+OE=2OC，③S ODCE=S△COE+S△COD=12OC2.2)“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(同侧型)条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB.结论：①CD=CE，②OE-OD=2OC，③S△COE-S△COD=12OC2.3)“等边三角形对120°模型”(1)条件：如图，已知∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB.结论：①CD=CE，②OD+OE=OC，③S△COD+S△COE=34OC2.4)“等边三角形对120°模型”(2)条件：如图，已知∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D，结论：①CD=CE，②OD-OE=OC，③S△COD-S△COE=34OC2.5)“120°等腰三角形对60°模型”条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。
圆内接四边形对角互补证明过程
圆内接四边形对角互补证明过程哎呀，这道题目可真是让人头疼啊！不过，既然咱们要证明圆内接四边形的对角互补，那咱们就得好好聊聊这个话题。
咱们得明确什么是圆内接四边形。
简单来说，就是四个顶点都在圆上的四边形。
好了，现在咱们开始吧！1. 圆内接四边形的定义咱们得明确什么是圆内接四边形。
简单来说，就是四个顶点都在圆上的四边形。
这个概念听起来有点复杂，不过没关系，咱们一点点来解释。
在平面几何中，有一个概念叫做“内接三角形”。
内接三角形是指一个三角形的三个顶点都在同一个圆上。
那么，如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么这个四边形就是圆内接四边形了。
2. 圆内接四边形的性质既然我们已经知道了圆内接四边形的定义，那么接下来就得说说它的性质了。
圆内接四边形有哪些性质呢？别着急，咱们一点点来分析。
咱们知道圆内接四边形的四个顶点都在同一个圆上。
那么，这个圆心一定在这个四边形的一个顶点上。
而且，这个圆心到另外三个顶点的距离都相等。
这就是圆内接四边形的第一个性质。
接下来，咱们还得说说圆内接四边形的对角互补。
对角互补是什么意思呢？简单来说，就是两条相邻的边的夹角之和等于$180^\circ$。
那么，圆内接四边形的对角互补有什么意义呢？这个问题很重要哦！因为只有满足这个条件的四边形才是圆内接四边形。
3. 证明过程好了，现在咱们开始证明圆内接四边形的对角互补吧！咱们得明确一点：对于任意一条直线段AB和CD,它们的夹角之和一定等于$180^\circ$。
这是几何学中的基本定理之一。
但是，对于圆内接四边形来说，这个定理并不成立。
为什么呢？因为在圆内接四边形中，有两条相邻的边的夹角之和可能不等于$180^\circ$。
比如说，考虑一个正方形和一个长方形。
正方形的每个角都是$90^\circ$,而长方形的两个相邻角分别是$90^\circ$和$45^\circ$。
这两个图形都是圆内接四边形，但是它们的对角互补条件并不成立。
那么，怎么办呢？咱们得换一种方法来证明这个结论。
精品解析：2024年广东省茂名市博雅中学中考一模数学试题(解析版)
春季学期初三数学（一）答题注意事项：1．本试卷一共25道题，答卷时间120分钟；2．所有试题在答题卡上作答，在试卷作答无效；3．所有试题在答题框内作答，超出答题框否则无效；一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 的倒数是（ ）A. B. 2024 C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可．【详解】解：∵，∴的倒数是，故选；C ．2. “墙角数枝梅，凌寒独自开，遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》，梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，解题的关键是确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：，故选：B ．3. 如图，俯视图是（）2024-2024-12024-120241202412024⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭2024-12024-0.000036m 3.610m n ⨯n 4-5-4510n a ⨯110a ≤<n a n n a n 50.000036 3.610-=⨯A. B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了几何体的三视图，俯视图是从上往下看，即可得到结果，正确得到俯视图是解题的关键．【详解】解：从上往下看，是一个矩形，看不见的线为虚线，所以左右两边为两条虚线，在两条虚线的中间有两条实线，故选：C ．4. 下列运算结果正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂乘除法，幂的乘方．根据幂的乘方，合并同类项的方法，以及同底数幂的乘除法的运算方法，逐项判断即可．【详解】解：A 、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；B 、，故本选项不符合题意；C 、，故本选项不符合题意；D 、，故本选项符合题意；故选：D ．5. 如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ）A. B. C.D.的532a a a -=5315a a a ⋅=632a a a ÷=()2510a a -=5a 3a 53815a a a a ⋅=≠6332a a a a ÷=≠()2510a a -=ab ∥90DCB ∠=︒1118∠=︒2∠28︒38︒26︒30︒【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质（两直线平行，同位角相等），可以求得的度数，即可求得的度数．【详解】解：如图，，，，，，故选：A ．6. 小明、小华、小亮、小雨4位同学在射箭训练中的平均成绩相同，他们的方差分别是，，，，你认为谁在训练中的发挥更稳定（ ）A. 小明B. 小华C. 小亮D. 小雨【答案】A【解析】【分析】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．【详解】解：∵小明、小华、小亮、小雨4位同学在射箭训练中的平均成绩相同，他们的方差分别是，，，，∴，∴在训练中的发挥更稳定小明，故选：A ．7. 如果不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集为x ＜1，则a 必须满足()A. a ＜0 B. a≤1 C. a ＞－1 D. a ＜－1BCE ∠2∠ a b ∥90DCB ∠=︒1118∠=︒1118BCE ∴∠=∠=︒228BCE DCB ∴∠=∠-∠=︒20.5s =小明21s =小华24s =小亮26s =小雨20.5s =小明21s =小华24s =小亮26s =小雨2222s s s s <<<小明小华小雨小亮【详解】∵不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集为x ＜1，∴a+1<0，解得：a<-1.故选D.点睛：解不等式时，当不等式两边同时除以（或乘以）一个数后，若不等号的方向发生了改变，则说明同时除以的这个数的值小于0.8. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上，若线段，则线段的长是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【详解】解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，则，即，解得：，故选：A ．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．9. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ）A B C 4AB =BC 24113A B D C E A B D C E AB AD BC DE =42BC=2BC =ABCD O 110A ∠=︒BOD ∠A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键．先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【详解】解：∵四边形是的内接四边形，，∴，∴．故选：D ．10. 如图，在中，，，，直线经过点，且垂直于，直线从点出发，沿方向以的速度向点运动，当直线经过点时停止运动，分别与、（）相交于点，，若运动过程中的面积是（），直线的运动时间是（s ），则与之间函数关系的图象大致是（ ）A.B.40︒70︒110︒140︒C ∠ABCD O 110A ∠=︒18011070C ∠=︒-︒=︒2140BOD C ∠=∠=︒ABC 10AB =8AC =6BC =l A AB l A AB 1cm/s B l B AB AC BC M N AMN y 2cm l x y xC. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用．分类讨论是解答本题的关键．过点C 作于D ．先证明是直角三角形，进而求出的长．然后分和两种情况，求出的长，根据三角形面积公式即可得出y 与x 的函数关系式，进而得出结论．【详解】过点作于．∵，∴是直角三角形，∴，，∴，．分两种情况：（1）当时，如图1．∵，∴，∴，函数图象是开口向上，对称轴为轴，位于轴右侧的抛物线的一部分；（2）当时，如图2．∵，∴，∴，函数图象是开口向下，对称轴为直线，位于对称轴右侧的抛CD AB ⊥ABC CD AD 、0 6.4x ≤≤ 6.410x <≤MN C CD AB ⊥D 2222228610010AC BC AB +=+===ABC 63cos 105CD BC CAB AC AB ∠====84cos 105AD AC CAB AC AB ∠====4.8CD = 6.4AD =0 6.4x ≤≤3tan 4MN BC CAB AM AC ∠===34MN x =2133248y x x x =⋅=y y 6.410x <≤4tan 3MN AC CBA BM BC ∠===()4103MN x =-()()2142501052333y x x x =⋅⋅-=--+5x =物线的一部分；综上所述：B 选项符合题意．故选：B ．二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11. 分解因式：___________．【答案】【解析】【分析】本题考查了运用平方差公式分解因式，注意运算的准确性即可.详解】解：，故答案为：12.______．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次根式的乘除法运算，根据法则计算即可．故答案为：13.的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】直接根据二次根式有意义的条件列不等式求解即将．，∴．故答案为．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据题意正确列出不等式是解答本题的关键．14. 如图，禁令标志是交通标志中的一种，是对车辆加以禁止或限制的标志，如禁止通行、禁止停车、禁止【214a -=1122a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22211114222a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1122a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭====x 1x ≥10x -≥1x ≥1x ≥左转弯、禁止鸣喇叭、限制速度、限制重量等．如图，该禁令标志的内角和是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了正多边形的内角和，根据公式可得到正多边形的内角和，正确计算是解题的关键．【详解】解：由图可得，该标志为正八边形，即，故答案为：．15. 若单项式的与是同类项，则______．【答案】6【解析】【分析】由题意直接根据同类项的概念，进行分析求解即可．【详解】解：∵单项式与是同类项，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查同类项的定义，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”即相同字母的指数相同．16. 如图，的半径为4，圆心M 的坐标为，点P 是上的任意一点，，且、与x 轴分别交于A 、B 两点．若点A 、点B 关于原点O 对称，则当取最大值时，点A 的坐标为______．1080︒()2180n -⨯︒()()2180821801080n -⨯︒=-⨯︒=︒1080︒3m x y 62x y -m =3m x y 62x y -6m =6M ()68，M PA PB ⊥PA PBAB【答案】【解析】【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置．由中知要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得．【详解】解：连接，∵，∴，∵点、点关于原点对称，∴，∴，若要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，过点作轴于点，则、，∴，又∵，∴，∴；∴，即点A 的坐标为，故答案为：．()14,0-AB P Rt APB 2AB OP =AB PO OM M P 'P P 'OP 'PO PA PB ⊥90APB ∠=︒A B O AO BO =2AB PO =AB PO OM M P 'P P 'OP 'M MQ x ⊥Q 6OQ =8MQ =10OM =4MP r '==10414OP MO MP ''=+=+=221428AB OP '==⨯=1142OA OB AB ===()14,0-()14,0-三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17. 计算：【答案】5【解析】【分析】按照乘方，算术平方根，零指数幂，负整数指数幂的性质化简，进行计算即可解答【详解】解：原式【点睛】此题考查算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，解题关键在于掌握运算法则18. 先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值和分母有理化，括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除运算，最后代入数值进行分母有理化计算即可【详解】解：原式，当时，原式19. 小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排志愿者被随机分到组（体温检测）、组（便民代购）、组（环境消杀）．（1）小红的爸爸被分到组的概率是______；（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）共有3种可能出现的结果，被分到“B 组”的有1中，可求出概率．20-11-23++（））（4313=-++5=2221211a a a a a a+⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭2a =2a a +1-()()()()()21211111a a a a a a a a a ⎡⎤-+=-÷⎢⎥+-+--⎢⎥⎣⎦()()()11112a a a a a a -+=⋅+-+2a a =+2a =-11===-=A B C B 1313（2）用列表法表示所有可能出现的结果，进而计算“他与小红的爸爸”分到同一组的概率．【详解】（1）共有3种可能出现的结果，被分到“B 组”的有1种，因此被分到“B 组”的概率为，故答案为：；（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：小红爸爸王老师AB CAAA AB AC BBA BB BC C CA CB CC 共有9种可能出现的结果，其中“他与小红的爸爸”在同一组的有3种，∴P （他与小红爸爸在同一组）=．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确求解的前提．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）20. 已知关于x 的一元二次方程．（1）若方程有两个实数根，求m 的范围；（2）若方程的两个实数根为、，且，求m 的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则．（1）根据题意可得，据此求解即可；13133193=240x x m -+=1x 2x 12121x x x x ++=4m ≤3m =-()200ax bx c a ++=≠240b ac ∆=->240b ac ∆=-=24<0b ac ∆=-12x x ，1212b c a x x x x a+=-=，()2440m ∆=--≥（2）由根与系数的关系得到，再根据已知条件得到，解之即可得到答案．【小问1详解】解：∵关于x 的一元二次方程有两个实数根，∴，∴；【小问2详解】解：∵关于x 的一元二次方程的两个实数根为、，∴，∵，∴，∴，∵，∴符合题意．21. 如图，在四边形中，，过点B 作交于点E ，点F 为边上一点，，连接．（1）求证：四边形为矩形；（2）若，求的长．【答案】（1）见解析（2）10【解析】【分析】（1）由题意易证四边形为平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判定；（2）由题意易证，即得出，代入数据，即可求出的长，最后由勾股定理即可求解．【小问1详解】12124x x x x m +==，41m +=240x x m -+=()2440m ∆=--≥4m ≤240x x m -+=1x 2x 12124x x x x m +==，12121x x x x ++=41m +=3m =-34-<3m =-ABCD 90A C ∠=∠=︒BE AD ∥CD AD AF BE =EF ABEF 634AB BC CE ===，，ED ABEF BEC EDF ∽CE BC DF EF=DF证明：∵，即，，∴四边形为平行四边形．∵，∴四边形为矩形；【小问2详解】解：∵，∴．∵四边形矩形，∴，，∴，∴，即，解得：，∴．【点睛】本题考查矩形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握上述知识是解题关键．22. 应用题：深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高10%，用3300元购进的甲种书柜的数量比用4500元购进的乙种书柜的数量少5台．（1）求甲、乙两种书柜的进价；（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．请您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱．【答案】（1）每个甲种书柜的进价为360元，每个乙种书柜的进价为300元．（2）购进甲种书柜20个，购进乙种书柜40个时花费最少，费用为18600元．【解析】【分析】（1）设每个乙种书柜的进价为x 元，每个甲种书柜的进价为元，根据“用3300元购进的甲种为BE AD ∥BE AF ∥AF BE =ABEF 90A ∠=︒ABEF BE AD ∥BEC D ∠=∠ABEF 90C EFD ∠=∠=︒6EF AB ==BEC EDF ∽CE BC DF EF =436DF =8DF =10DE == 1.1x书柜的数量比用4200元购进的乙种书柜的数量少5台”列方程求解即可；（2）设购进甲种书柜m 个，则购进乙种书柜个，购进两种书柜的总成本为y 元，然后根据意义列出y 与m 的函数关系式，然后再根据“乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍”列不等式确定m 的 取值范围，最后根据函数的增减性求最值即可解答．【小问1详解】解：设每个乙种书柜的进价为x 元，则每个甲种书柜的进价为元，根据题意得，，解得，经检验，是原方程的根．（元）．答：每个甲种书柜的进价为360元，每个乙种书柜的进价为300元．【小问2详解】解：设购进甲种书柜m 个，则购进乙种书柜个，购进两种书柜的总成本为y 元，根据题意得：，即，∵，∴y 随x 的增大而增大，当时，（元）．答：购进甲种书柜20个，购进乙种书柜40个时花费最少，费用为18600元．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列出方程和不等式以及函数解析式是解答本题的关键．五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）23. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，OF ⊥AD 于点E ，交CD 于点F ．（1）求证：∠ADC=∠AOF ；（2）若sinC=，BD=8，求EF 的长．()60m - 1.1x 3300450051.1x x+=300x =300x =300 1.1330⨯=()60m -()33030060602y m m m m ⎧=+-⎨-≤⎩301800020y m m =+≥（）600k =＞20m =18600y =13【答案】（1）见解析；（2）2．【解析】【分析】（1）连接OD ，根据CD 是⊙O 的切线，可推出∠ADC+∠ODA=90°，根据OF ⊥AD ，∠AOF+∠DAO=90°，根据OD=OA ，可得∠ODA=∠DAO ，即可证明；（2）设半径为r ，根据在Rt △OCD 中，，可得，AC=2r ，由AB 为⊙O 的直径，得出∠ADB=90°，再根据推出OF ⊥AD ，OF ∥BD ，然后由平行线分线段成比例定理可得，求出OE ，，求出OF ，即可求出EF ．【详解】（1）证明：连接OD ，∵CD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥CD ，∴∠ADC+∠ODA=90°，∵OF ⊥AD ，∴∠AOF+∠DAO=90°，∵OD=OA ，∴∠ODA=∠DAO ，∴∠ADC=∠AOF ；（2）设半径为r ，在Rt △OCD 中，，∴，∴，sin 13C =3OD r OC r ==，12OE OA BD AB ==34OF OC BD BC ==1sin 3C =13OD OC =3OD r OC r ==，∵OA=r ，∴AC=OC-OA=2r ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，又∵OF ⊥AD ，∴OF ∥BD ，∴，∴OE=4，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，切线的性质，直径所对的圆周角是90°，灵活运用知识点是解题关键．24. 如图，二次函数，与时的函数值相等，其图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴正半轴交于C 点．（1）求二次函数的解析式．（2）在第一象限抛物线上求点P ，使得最大．（3）点Q 是抛物线上x 轴上方一点，若，求Q 点坐标．【答案】（1） （2） （3）【解析】的12OE OA BD AB ==34OF OC BD BC ==6OF =2EF OF OE =-=()()()21121y t x t x t -++=+≠0x =3x =PBC S 45CAQ ∠=︒213222y x x =-++()2,31013,39⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）把与代入，求出t 的值，即可；（2）过点P 作轴，交于点D ．先求出直线的解析式为，设点，则点D 的坐标为，可得，再由，得到S 关于a 的函数关系式，即可求解；（3）将绕点A 顺时针旋转得到，则，取的中点H ，作直线交抛物线于Q ，则，，求出直线的解析式，即可求解．【小问1详解】解：∵与时的函数值相等，∴，解方程，得，把代入二次函数，∴二次函数的解析式为：．【小问2详解】解：如图，过点P 作轴，交于点D ．把代入，得：，解得，∴点A ，∴，0x =3x =()()()21121y t x t x t -++=+≠PD y ∥BC BC 122y x =-+213,222P a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭1,22a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭2221a PD a -=+12PBC S PD OB =⋅△AC 90︒AC '()1,1C '-CC 'AH 11,22H ⎛⎫ ⎪⎝⎭45CAQ ∠=︒AH 0x =3x =()()()()221010213132t t t t =++-⨯+⨯+-⨯+⨯+12t =12t =()()()21121y t x t x t -++=+≠213222y x x =-++PD y ∥BC 0y =213222y x x =-++2132022x x -++=121,4x x =-=()()1,0,4,0B -4OB =当时，，∴，设直线的解析式为，把点，代入得：，解得：，∴直线的解析式为，设点，则点D 的坐标为，∴，∴，当时，有最大值，最大值为4，所以点P 的坐标；【小问3详解】解：如图，将绕点A 顺时针旋转得到，则，取的中点H ，作直线交抛物线于Q ，则，，设直线的解析式为，把代入得：0x =2y =()0,2C BC y kx b =+()4,0B ()0,2C 240b k b =⎧⎨+=⎩122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩BC 122y x =-+213,222P a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭1,22a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭2211312222222a a PD a a a ⎛⎫-+=+ ⎭=-++-⎝-⎪()22211244241222PBC PD OB a S a a a a ⎛⎫⋅=+⨯=-+=--- ⎪⎝=+⎭ 2a =PBC S ()2,3AC 90︒AC '()1,1C '-CC 'AH 11,22H ⎛⎫ ⎪⎝⎭45CAQ ∠=︒AH ()1110y k x b k =+≠()21,02,11,A H -⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得：，∴直线的解析式为，联立得，解得或，∴．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的图象和性质，求一次函数解析式，利用数形结合思想解答是解题的关键．25. 在中，．将绕点A 顺时针旋转得到，旋转角小于，点B 的对应点为点D ，点C 的对应点为点E ，交于点O ，延长交于点P ．（1）如图1，求证：；（2）当时，①如图2，若，求线段的长；②如图3，连接，延长交于点F ，判断F 是否为线段的中点，并说明理由．【答案】（1）见解析（2）①；②F 是线段的中点．理由见解析【解析】【分析】（1）由旋转的性质得到，，，根据证明，即可证明；（2）①连接，由勾股定理求得，利用全等三角形性质和平行线的性质求得，推出，据此求解即可；②连接，延长和交于点G ，证明，求得，得到，再证明，据此即可证明F 是线段的中点．的111101122k b k b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩111313k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩AH 1133y x =+2113313222y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩10x y =-⎧⎨=⎩103139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1013,39Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭Rt ABC △90C ∠=︒ABC ADE V CAB ∠DE AB DE BC PC PE =AD BC ∥68CA CB ==，BP BD CE ，CE BD BD 6BP =BD AC AE =90C AEP ∠=∠=︒HL Rt Rt APE APC ≌△△PC PE =AP 10AB =DAP APD ∠=∠10DP AD ==AP AD CE Rt Rt ACP GAC ∽△△18AG =8GD BC ==GDF CBF ≌△△BD【小问1详解】证明：连接，由旋转的性质知，，，∵，∴，∴；【小问2详解】解：①连接，∵，，∴，由旋转的性质知，，， 由（1）知，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴；②F 是线段的中点．理由如下，连接，延长和交于点G，如图，AP AC AE =90AED C AEP ∠=∠=∠=︒AP AP =()Rt Rt HL APE APC ≌PC PE =AP 90C ∠=︒68CA CB ==，10AB ==10AD AB ==8DE BC ==Rt Rt APE APC ≌△△PC PE =APE APC ∠=∠AD BC ∥DAP APC ∠=∠DAP APD ∠=∠10DP AD ==1082PC PE ==-=826BP BC PC =-=-=BD AP AD CE由（1）知，，∴是的垂直平分线，∴，∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，即F 是线段的中点．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．AE AC =PE PC =PA CE PA CG ⊥90PAC ACG G ∠=︒-∠=∠Rt Rt ACP GAC ∽△△AC AG PC AC=2PC =6CA =18AG =18108GD BC =-==AD BC ∥G BCF ∠=∠GDF CBF ∠=∠GDF CBF ≌△△DF BF =BD。
对角互补四边形模型结论推理
对角互补四边形模型结论推理一、引言在几何学中，角互补四边形（Complementary Quadrilateral）是一种特殊的四边形，具有独特的性质和特征。
通过研究角互补四边形的结论和推理，我们可以进一步理解其性质和应用。
本文将深入探讨角互补四边形模型的结论推理，并分享对这个模型的观点和理解。
二、角互补四边形的定义与性质角互补四边形是指四个内角的度数之和等于360度的四边形。
根据角的性质，我们可以得出如下结论和推理：1. 结论一：角互补四边形的每条边上的两个相对角互补。
由于角互补四边形的内角和为360度，可以得出每个角的补角之和也为360度。
根据角的性质，补角之和为180度。
角互补四边形的每条边上的两个相对角互补。
2. 结论二：角互补四边形的对角线互相垂直。
考虑角互补四边形的对角线，可以观察到相互连接的两对对角互相补足。
根据补角的性质，可以得出结论角互补四边形的对角线互相垂直。
三、角互补四边形的应用角互补四边形的性质和特点在实际应用中具有一定的价值和应用场景。
下面列举了一些常见的应用：1. 建筑设计与规划：在建筑设计中，角互补四边形可以用于优化房间的布局和空间利用。
通过合理配置房间的位置和角度，可以最大程度地利用空间，提高空间利用效率。
2. 几何推理与证明：角互补四边形的性质可以在几何证明和推理中起到重要的作用。
通过运用角补角的原理，可以简化证明过程，更直观地理解和展示几何问题的解决方法。
3. 图形设计与艺术创作：角互补四边形的对称性和美学特点可以在图形设计和艺术创作中得到应用。
通过运用角互补四边形的结构和形状，可以创造出美观和平衡的图案和艺术作品。
四、对角互补四边形模型的观点和理解角互补四边形模型作为几何学中的一个重要概念，具有丰富的性质和应用。
对于我个人而言，我将其视为一种思维工具和解决问题的途径。
通过研究角互补四边形的结论和推理，我可以从多个角度和层次来理解和解决问题。
角互补四边形模型还启示我在学习和探索其他领域时，可以采用由简到繁、由浅入深的方式来探索主题，并从整体上把握问题。
对角互补模型(解析版)--中考数学满分突破
对角互补模型对角互补模型的特征：外观呈现四边形，且对角和为180°。
主要：含90°对角互补，含120°的对角互补两种类型。
解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线。
模型一：90°的对角互补模型【基础】如图，四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，BD 平分∠ABC ，则①AD =CD ②AB +BC =2BD ③S △ABD +S △BDC =12BD 2思路：①方法一(基础)：过点D 分别作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F∵BD 平分∠ABC ∴DE =DF∵∠ABC =ADC =90°∴∠DAB +∠DCF =∠DAB +∠DAE =180°∴∠DCF =∠DAE ∴∆DAE ≌∆DCF ∴AD =CD方法二(基础)：作DE ⊥BD 交BC 延长线于点E ∴∠BDE =90°∵BD 平分∠ABC ∴∠4=∠5=∠6=45°∴DE =BD ∵∠ABC =ADC =90°∴∠1+∠2=∠2+∠3=180°∴∠1=∠3∴∆ABD ≌∆CED ∴AD =CD方法三(进阶)：∵四边形ABCD 对角互补∴A 、B 、C 、D 四点共圆∵BD 平分∠ABC∴∠ABD =∠CBD =45°∴AD =CD②③方法一：∵∆DAE ≌∆DCF∴AE =FC S △DAE =S △DCF∵∠ABC =∠ADC =90°，BD 平分∠ABC∴∠EBD =∠DBF =45°∴∆DEB 与∆DFB 为等腰直角三角形∴AB +BC =AB +BF +FC =AB +BF +AE =BE +BF =22BD +22BD =2BD S △ABD +S △BDC =S △ABD +S △BDF +S △DFC =S △ABD +S △BDF +S △AED =S △DEB +S △DFB =S 正方形BFDE =12BD 2方法二：∵∆ABD ≌∆CED∴AB =CE S △ABD =S △CED 而∠BDE =90°∠5=∠6=45°∴∆BDE 为等腰直角三角形则AB +BC =BC +CE =BE =2BDS △ABD +S △BDC =S △DCE +S △BDC =S △BDE =12BD 2【进阶】如图，∠AOB =∠DCE =90°，OC 平分∠AOB ，当∠DCE 的一边与AO 的延长线交于点D 时，有以下结论：①CD =CE ②OE -OD =2OC ③S △OCE -S △OCD =12OC 2思路：①方法一：过点C 分别作CM ⊥AO 于点M , CN ⊥BO 于点N∴∠CMD =∠CNE =90°∵∠AOB =90°∴∠MCN =90°则∠MCD =∠ECN而OC 平分∠AOB ∴CM =CN∴∆CMD ≌∆CNE ∴CD =CE方法二：过点C 作CH ⊥CO 交OB 于点H ∴∠OCH =90°∴∠OCD +∠DCH =∠HCE +∠DCH =90°∴∠OCD =∠HCE∵∠AOB =90°，OC 平分∠AOB∴∠AOC =∠COH =∠CHO =45°∴∆OCH 为等腰直角三角形∴OC =CH∵∠COD =180°-∠AOC ，∠CHE =180°-∠CHO∴∠COD =∠CHE ∴∆COD ≌∆CHE ∴CD =CE方法三：连接DE∵∠AOB =∠DCE =90°∴∠DOE =∠DCE =90°∴O 、C 、E 、D 四点共圆∵OC 平分∠AOB ∴∠CDE =∠COE =∠CED =45°∴CD =CE②③∵∆COD ≌∆CHE ∴OD =HE S △OCD =S △HCE则OE -OD =OE -EH =OH =2OCS△OCE-S△OCD=S△OCE-S△HCE=S△OCH=12OC2模型二：120°的对角互补模型【基础】如图，已知∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，则①CD=CE②OD+OE=OC③S△DCO+S△COE=√34OC2思路：①方法一：过点C分别作CM⊥AO于点M，CN⊥OB于点N所以∠CMD=∠CNE=90°由OC平分∠AOB可知CM=CN由∠AOB=2∠DCE=120°，可得∠CDO+∠CEN=180°而∠CDO+∠CDM=180°因此∠CDM=∠CEN所以∆CMD≌∆CNE则CD=CE方法二：作∠OCF=60°交OB于点F由已知条件可知∆COF为等边三角形所以CO=CF∠COD=∠CFE=60°因为∠DCE=∠OCF=60°所以∠DCO=∠ECF所以∆DCO≌∆ECF则CD=CE方法三：∵∠AOB=2∠DCE=120°∴∠DOE+∠DCE=180°∴O、D、C、E四点共圆∵OC平分∠AOB∴∠COD=∠COE=60°∴CD=CE②由于∆DCO≌∆ECF, ∆COF为等边三角形则OD=EF OC=OF所以OD+OE=EF+OE=OF=OC③过点F作FH⊥CO于点H由于∆DCO≌∆ECF所以S△DCO=S△ECF设OC=x，则OH=X2FH=√3X2S△DCO+S△COE=S△ECF+S△COE=S△OCF=12OC•FH=12•x•√3X2=√3 4x2=√34OC2【进阶】如图，∠AOB =2∠DCE =120°，OC 平分∠AOB ，当∠DCE 的一边与BO 的延长线交于点E 时，有以下结论：①CD =CE ②OD -OE =OC ③S △DCO -S △COE =√34OC 2思路：①方法一：过点C 分别作CM ⊥DO 于点M ，CN ⊥EB 于点N所以∠CMD =∠CNB =90°由OC 平分∠AOB ∠AOB =2∠DCE =120°可知CM =CN ∠DCE =∠MCN =60°则∠DCM =∠ECN所以∆CDM ≌∆CEN 则CD =CE方法二：过点C 作∠OCH =60°根据已知条件可知∠DCE =∠OCH =∠COH =60°，∴∆COH 为等边三角形，∠DCO =∠ECH∴∠COD =∠CHE =60°CO =CH所以∆CDO ≌∆CEH 则CD =CE OD =EH S △DCO =S △ECH∴OD -OE =EH -OE =OH =OCS △DCO -S △COE =S △ECH -S △COE =S △COH =√34OC 2方法三：连接DE∵∠AOB =2∠DCE =120°，OC 平分∠AOB∴∠DOE =∠DCE =∠DOC =60°∴O 、C 、D 、E 四点共圆∴∠DEC =∠DOC =∠DCE =60°∴△DEC 是等边三角形∴CD =CE模型三：全等型之任意角如图，∠AOB =2α，∠DCE =180°-2α，OC 平分∠AOB ，则：①CD =CE②OD +OE =2OC •COSα③S △DCO +S △COE =OC 2•sin αCOSα思路：1)过点C作CM⊥AO于点M, 作CN⊥BO于点N易证∆CDM≌∆CEN∴CD=CE则OD+OE=2ON=2OC•COSαS△DCO+S△COE=2S△CON=CN•ON=OC2•sinαCOSα2)作∠OCH=180°-2α,与OB交于点H易证∆CDO≌∆CEH∴CD=CE OD=EH S△DCO=S△ECH则OD+OE=OH=2OC•COSαS△DCO+S△COE=S△COH=OC2•sinαCOSα【进阶】如图，除满足以上条件外，当∠DCE的一边与BO延长线交于点E 时，则：①CD=CE②OD-OE=2OC•COSα③S△DCO-S△COE=OC2•sinαCOSα[自行证明]模型四：内含90°的相似型如图，∠AOB=∠DCE=90°，∠COB=α，则CE=CD•tanα[自行证明]【进阶】如图，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则CE=CD•tanα[自行证明]【过关培优练】1.(2019春·江苏南京·八年级校联考期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=OB，点C在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若∠BCA=90°，则BC+AC的值为．【答案】32【分析】可将△OBC绕着O点顺时针旋转90°，所得的图形与△OAC正好拼成等腰直角三角形BC+ AC等于等腰三角形的斜边CD.【详解】解：将△OBC绕O点旋转90°，∵OB=OA∴点B落在A处，点C落在D处且有OD=OC=3，∠COD=90°，∠OAD=∠OBC，在四边形OACB中∵∠BOA=∠BCA=90°，∴∠OBC+∠OAC=180°，∴∠OAD+∠OAC=180°∴C、A、D三点在同一条直线上，∴△OCD为等要直角三角形，根据勾股定理CD2=OC2+OD2即CD2=32+32=18解得CD=32即BC+AC=3 2.【点睛】本题考查旋转的性质，旋转前后的图形对应边相等，对应角相等.要求两条线段的长，可利用作图的方法将两条线段化成一条线段，再求这条线段的长度即可，本题就是利用旋转的方法做到的，但做本题时需注意，一定要证明C、A、D三点在同一条直线上.本题还有一种化一般为特殊的方法，因为答案一定可考虑CB⊥y轴的情况，此时四边形OACB刚好是正方形，在做选择或填空题时，也可以起到事半功倍的效果.2.如图，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，若四边形ABCD的面积为43，则AC=．【答案】4．【分析】将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△ABE．证明△AEC是等边三角形，四边形ABCD面积等于△AEC面积，根据等边△AEC面积特征可求解AC长．【详解】解：将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△ABE．∵四边形内角和360°，∴∠D+∠ABC=180°．∴∠ABE+∠ABC=180°，∴E、B、C三点共线．根据旋转性质可知∠EAC=60度，AE=AC，∴△AEC是等边三角形．四边形ABCD面积等于△AEC面积，等边△AEC面积=34Ac2=43，解得AC=4．故答案为4．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、旋转的性质，解题的关键是根据AB=AD及∠BAD=60°，对△ACD进行旋转，把四边形转化为等边三角形求解．3.(2021春·福建三明·八年级统考期中)感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°．判断DB与DC的大小关系并证明．探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，DB与DC的大小关系变吗？请说明理由．应用：如图③，四边形ABDC中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC=m，则AB与AC差是多少(用含m的代数式表示)【答案】感知：DB=DC，证明见详解；探究：DB与DC的大小关系不变，理由见详解；应用：AB与AC差是2m．【分析】感知：根据角平分线的性质定理即可求证；探究：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC延长线于点F，根据角平分线的性质定理可得DE=DF，由题意可得∠B=∠DCF，进而可证△DEB≌△DFC，然后问题可求证；应用：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，连接AD，由题意易证△DHB≌△DGC，则有DH=DG，进而可得AG=AH，然后根据等腰直角三角形的性质可得DG=CG=DH=BH=22m，则有AG=AH=AC+22m，最后问题可求解．【详解】感知：DB=DC，理由如下：∵∠B+∠C=180°，∠B=90°，∴∠B=∠C=90°，即DB⊥AB,DC⊥AC，∵AD平分∠BAC，∴DB=DC；探究：DB与DC的大小关系不变，还是相等，理由如下：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC延长线于点F，则∠DEB=∠DFC=90°，如图所示：∵AD平分∠BAC，∴DE=DF，∵∠ABD+∠ACD=180°，∠DCF+∠ACD=180°，∴∠B=∠DCF，∴△DEB≌△DFC(AAS)，∴DB=DC；应用：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，连接AD，如图所示：∵∠B=45°，∠C=135°，∴∠B+∠C=180°，∵∠ACD+∠DCG=180°，∴∠B=∠DCG=45°，∵∠DHB=∠DGC=90°，DB=DC=m，∴△DHB≌△DGC(AAS)，且△DHB与△DGC都为等腰直角三角形，∴DG=CG=DH=BH，由勾股定理可得DH2+BH2=DB2，∴2DH2=m2，m，∴DG=CG=DH=BH=22在Rt△AHD和Rt△AGD中，AD=AD，DH=DG，∴Rt△AHD≌Rt△AGD(HL)，∴AG=AH=AC+2m，2∴AB=AH+BH=AC+2m，∴AB-AC=2m．【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．4.(2013秋·江苏盐城·九年级阶段练习)已知∠MAN，AC平分∠MAN.(1)在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，我们可得结论：AB+AD=AC；在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则上面的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(2)在图3中：(只要填空，不需要证明).①若∠MAN=60°，∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD=AC；②若∠MAN=α(0°<α<180°)，∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD=AC(用含α的三角函数表示)．【答案】(1)成立，证明如下；(2)3，2cos α2 .【详解】试题分析：(1)作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．根据角平分线的性质，得CE=CF，根据等角的补角相等，得∠CDE=∠ABC，再根据AAS得到△CDE≌△CBF，则DE=BF．再由∠MAN =120°，AC平分∠MAN，得到∠ECA=∠FCA=30°，从而根据30°所对的直角边等于斜边的一半，得到AE=12AC，AF=12AC，等量代换后即可证明AD+AB=AC仍成立．试题解析：(1)仍成立．证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F∵AC平分∠MAN∴CE=CF∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°∴∠CDE=∠ABC又∠CED=∠CFB=90°，∴△CED≌△CFB(AAS)∵ED=FB，∴AD+AB=AE-ED+AF+FB=AE+AF∴AE+AF=AC∴AD+AB=AC(2)3，2cosα2.考点:(1)角平分线的性质；(2)全等三角形的判定与性质；(3)含30度角的直角三角形．5.(2021·全国·八年级专题练习)已知：∠ABC=∠ADC=90°,AD=DC，求证：BC+AB=2BD．6.(2021·全国·八年级专题练习)已知∠ABC =60°,∠ADC =120°,AB =BC ，求证：AD +DC =BD ，S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD =34BD 2．【答案】见解析【分析】延长DC 至点E 使CE =AD ，先证明△BAD ≌△BCE ，再证明△BDE 是等边三角形，可证结论成立．【详解】证明：延长DC 至点E 使CE =AD ，∵∠ABC =60°,∠ADC =120°，∴∠A +∠BCD =180°，∵∠BCE +∠BCD =180°，∴∠A =∠BCE ，在△BAD 和△BCE 中BA =BC∠A =∠BCE AD =CE，∴△BAD ≌△BCE ，∴BD =BE ，∠ABD =∠CBE ，∵∠ABC =∠ABD +∠CBD =60°，∴∠DBE =∠CBE +∠CBD =60°，∴△BDE 是等边三角形，∴BD =DE ，∵DC +CE =DE ，∴AD +DC =BD ；作BF ⊥DE 于点F ，则∠EBF =30°，EF =DF =12DE =12BE ，∴BF =BE 2-EF 2=32BE ，∴S △DBE =12DE ×BF =12×BE ×32BE =34BE 2，∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD =34BD 2．【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解决问题的关键是正确作出辅助线，证出△BAD≌△BCE，再证出△BDE是等边三角形．7.(2021·贵州黔东南·统考中考真题)在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．【探究发现】(1)如图①，若∠BAD=120°，∠ABC=∠ADC=90°．求证：AD+AB=AC；【拓展迁移】(2)如图②，若∠BAD=120°，∠ABC+∠ADC=180°．①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；②若AC=10，求四边形ABCD的面积．【答案】(1)见解析；(2)①AD+AB=AC，见解析；②253【分析】(1)根据角平分线的性质得到∠DAC=∠BAC=60o，然后根据直角三角形中30o是斜边的一半即可写出数量关系；(2)①根据第一问中的思路，过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，构造AAS证明△CFB≅△CED，根据全等的性质得到FB=DE，结合第一问结论即可写出数量关系；②根据题意应用60o的正弦值求得CE的长，然后根据S四边形ABCD=12AD×CE+12AB×CF=1 2AD+AB×CE的数量关系即可求解四边形ABCD的面积．【详解】(1)证明：∵AC平分∠BAD，∠BAD=120o，∴∠DAC=∠BAC=60o，∵∠ADC=∠ABC=90o，∴∠ACD=∠ACB=30o，∴AD=12AC，AB=12AC．∴AD+AB=AC，(2)①AD+AB=AC，理由：过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F．∵AC平分∠BAD，∴CF=CE，∵∠ABC+∠ADC=180o，∠EDC+∠ADC=180o，∴∠FBC=∠EDC，又∠CFB=∠CED=90o，∴△CFB≅△CED AAS，∴FB=DE，∴AD+AB=AD+FB+AF=AD+DE+AF=AE+AF，在四边形AFCE中，由⑴题知：AE+AF=AC，∴AD+AB=AC；②在Rt△ACE中，∵AC平分∠BAD，∠BAD=120o∴∠DAC=∠BAC=60o，又∵AC=10，∴CE=A sin∠DAC=10sin60o=53，∵CF=CE，AD+AB=AC，∴S四边形ABCD =12AD×CE+12AB×CF=12AD+AB×CE=12AC×CE=12×10×53=253．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和应用，解直角三角形，关键是辨认出本题属于角平分线类题型，作垂直类辅助线．8.(2017·四川乐山·中考真题)在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD．(1)如图1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．(2)如图2，若将(1)中的条件“∠B=90°”去掉，(1)中的结论是否成立？请说明理由．(3)如图3，若∠DAB=90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．【答案】(1)AC=AD+AB；(2)成立；(3)AD+AB=2AC．【分析】(1)结论：AC=AD+AB，只要证明AD=12AC，AB=12AC即可解决问题；(2)(1)中的结论成立．以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明△DAC≌△BEC即可解决问题；(3)结论：AD+AB=2AC．过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，只要证明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解决问题；【详解】(1)AC=AD+AB．理由如下：如图1中，在四边形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，∴∠D=90°，∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC=60°，∵∠B=90°，∴AB=12AC，同理AD=12 AC，∴AC=AD+AB．(2)(1)中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，如图2，∵∠BAC=60°，∴△AEC为等边三角形，∴AC=AE=CE，∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°，∴∠DCB=60°，∴∠DCA=∠BCE，∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠D=∠CBE，∵CA=CE，∴△DAC≌△BEC，∴AD=BE，∴AC=AE=AD+AB．(3)结论：AD+AB=2AC．理由如下：过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，如图3，∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=90°，∴∠DCB=90°，∵∠ACE=90°，∴∠DCA=∠BCE，又∵AC平分∠DAB，∴∠CAB=45°，∴∠E=45°，∴AC=CE．又∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠CBE=180°，∴∠D=∠CBE，∴△CDA≌△CBE，∴AD=BE，∴AD+AB=AE．在Rt△ACE中，AC=CE，∴AE=AC2+CE2=2AC2=2AC，∴AD+AB=2AC．【点睛】本题是四边形探究的综合题，属于压轴题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段的和差倍分关系，对于线段和差问题，常常采用截长法或补短法构造辅助线，通过全等三角形来解决．9.(2022秋·广东惠州·九年级校考期中)在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°．将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交边AC、CB于点D、E．(1)如图①，当PD⊥AC时，则DC+CE的值是．(2)如图②，当PD与AC不垂直时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，在∠DPE内作∠MPN=45°，使得PM、PN分别交DC、CE于点M、N，连接MN．那么△CMN的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)2(2)依然成立(3)△CMN的周长为定值，且周长为2【分析】(1)由等腰三角形的性质和P为斜边AB的中点可知DC=1，CE=1，所以DC+CE的值可求；(2)结论成立．连接PC，通过证明△PCD≌△PBE．可得DC=EB，所以DC+CE=EB+CE= BC=2；(3)△CMN的周长为定值，且周长为2．在EB上截取EF=DM，通过证明△PMN≌△PFN，得到MN=NF．所以MC+CN+NM=MC+CN+NE+EF=MC+CE+DM=DC+CE=2．【详解】(1)连PC∵P是AB的中点，AC=BC=2，∠C=90°∴PC=AP=PB∵PD⊥AC，AC=1∴DC=12∠C=∠DPE=90°∴四边形PDCE是矩形，∴PE⊥BC又∵PC=PBBC=1∴EC=12∴DC+CE=2；故答案为：2；(2)结论成立．连接PC，如图②．∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，∠ACB=45°．∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=12∴∠ACP=∠B=45°，∠CPB=90°．∴∠BPE=90°-∠CPE．又∵∠DPC=90°-∠CPE，∴∠DPC=∠EPB．∴△PCD≌△PBE．∴DC=EB，∴DC+CE=EB+CE=BC=2．(3)△CMN的周长为定值，且周长为2．在EB上截取EF=DM，如图③，由(2)可知：PD=PE，∠PDC=∠PEB，∴△PDM≅△PEF，∴∠DPM=∠EPF，PM=PF．∵∠NPF=∠NPE+∠EPF=∠NPE+∠DPM=∠DPE-∠MPN=45°=∠NPM，又PN=PN，∴△PMN≌△PFN，∴MN=NF．∴MC+CN+NM=MC+CN+NE+EF，=MC+CE+DM，=DC+CE，=2．∴△CMN的周长是2．【点睛】此题比较复杂，综合考查全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、图形的变换．综合性很强，是一道不错的题目．10.(2021秋·河南漯河·八年级统考期中)在等边△ABC中，点D为AC的中点，点F在BC延长线上，点E在射线AB上，∠EDF=120°．(1)如图1，当点E与点B重合时，则DE与DF的数量关系是；(2)当点E在线段AB上时，(1)中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；(3)如图3，当点E在AB的延长线上时，BF=8,BE=2，请直接写出BC的长．【答案】(1)DE=DF；(2)DE=DF，理由见解析；(3)4【分析】(1)根据等腰三角形的性质及已知，可得∠DBC =∠F =30゜，从而可得DE =DF ；(2)仍有DE =DF ；过点D 作DG ∥BC 交AB 于点G ，可证明△DGE ≌△DCF ，从而可得DE =DF ；(3)过点D 作DG ∥BC 交AB 于点G ，可证明△DGE ≌△DCF ，从而可得GE =CF ；设BC =a ，则CF =8-a ，GB =12a ，GE =12a +2，则可得方程，解方程即可求得a ．【详解】(1)∵△ABC 是等边三角形，D 点为AC 的中点∴∠DBC =30゜∵∠EDF =120゜∴∠F =180゜-∠DBC -∠EDF =30゜∴∠DBC =∠F∴DE =DF故答案为：DE =DF(2)仍有DE =DF ；理由如下：过点D 作DG ∥BC 交AB 于点G ，如图2所示则∠AGD =∠ABC∵△ABC 是等边三角形∴AB =AC ，∠A =∠ABC =∠ACB =60゜∴∠AGD =∠A =60゜∴△AGD 是等边三角形∴∠ADG =∠AGD =60゜，AD =GD∴∠DGE =∠GDC =120゜∴∠EDF =∠GDC =120゜∵∠GDE +∠EDC =∠EDC +∠CDF∴∠GDE =∠CDF∵D 点是AC 的中点∴AD =DC =GD∵∠ACB =60゜∴∠DCF =120゜∴∠DGE =∠DCF在△DGE 和△DCF 中∠DGE =∠DCFGD =DC∠GDE =∠CDF∴△DGE ≌△DCF (ASA )∴DE =DF(3)过点D 作DG ∥BC 交AB 于点G ，如图3所示与(2)同理有：△DGE ≌△DCF∴GE =CF设BC =a ，则CF =8-a ，GB =12a ∴GE =12a +2由GE =CF ，得：12a +2=8-a 解得：a =4【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造三角形全等是本题后两问的关键．11.(2017·辽宁葫芦岛·中考真题)如图，∠MAN =60°，AP 平分∠MAN ，点B 是射线AP 上一定点，点C 在直线AN 上运动，连接BC ，将∠ABC (0°<∠ABC <120°)的两边射线BC 和BA 分别绕点B 顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM 交于点D 和点E ．(1)如图1，当点C 在射线AN 上时，①请判断线段BC 与BD 的数量关系，直接写出结论；②请探究线段AC ，AD 和BE 之间的数量关系，写出结论并证明；(2)如图2，当点C 在射线AN 的反向延长线上时，BC 交射线AM 于点F ，若AB =4，AC =3，请直接写出线段AD 和DF 的长．【答案】(1)①BC =BD ；②AD +AC =3BE ；(2)AD =53，DF =3137．【分析】(1)①结论：BC =BD ．只要证明△BGD ≌△BHC 即可．②结论：AD +AC =3BE ．只要证明AD +AC =2AG =2EG ，再证明EB =32BE 即可解决问题；(2)如图2中，作BG ⊥AM 于G ，BH ⊥AN 于H ，AK ⊥CF 于K ．由(1)可知，△ABG ≌△ABH ，△BGD ≌△BHC ，易知BH ，AH ，BC ，CH ，AD 的长，由sin ∠ACH =AK AC=BH BC ，推出AK 的长，设FG =y ，则AF =23-y ，BF =4+y 2，由△AFK ∽△BFG ，可得AF BF =AK BG ，可得关于y 的方程，求出y 即可解决问题．【详解】(1)①结论：BC=BD，理由：如图1中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，∵∠MAN=60°，PA平分∠MAN，BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，∴BG=BH，∠GBH=∠CBD=120°，∴∠CBH=∠GBD，∵∠BGD=∠BHC=90°，∴△BGD≌△BHC，∴BD=BC；②结论：AD+AC=3BE，∵∠ABE=120°，∠BAE=30°，∴∠BEA=∠BAE=30°，∴BA=BE，∵BG⊥AE，∴AG=GE，EG=BE•cos30°=32BE，∵△BGD≌△BHC，∴DG=CH，∵AB=AB，BG=BH，∴Rt△ABG≌Rt△ABH，∴AG=AH，∴AD+AC=AG+DG+AH-CH=2AG=3BE，∴AD+AC=3BE；(2)如图2中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，AK⊥CF于K，由(1)可知，△ABG≌△ABH，△BGD≌△BHC，易知BH=GB=2，AH=AG=EG=23，BC=BD=BH2+CH2=31，CH=DG=33，∴AD=53，∵sin∠ACH=AKAC =BH BC，∴AK3=231，∴AK=2331，设FG=y，则AF=23-y，BF=4+y2，∵∠AFK=∠BFG，∠AKF=∠BGF=90°，∴△AFK∽△BFG，∴AFBF =AKBG，∴23-y4+y2=23312，解得y=1037或310(舍弃)，∴DF=GF+DG=1037+33，即DF=3137．12.(2021·重庆·统考中考真题)在等边△ABC中，AB=6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．(1)将线段EF 绕点E 逆时针旋转60°得到线段EG ，连接FG ．①如图1，当点E 与点B 重合，且GF 的延长线过点C 时，连接DG ，求线段DG 的长；②如图2，点E 不与点A ，B 重合，GF 的延长线交BC 边于点H ，连接EH ，求证：BE +BH =3BF ；(2)如图3，当点E 为AB 中点时，点M 为BE 中点，点N 在边AC 上，且DN =2NC ，点F 从BD 中点Q 沿射线QD 运动，将线段EF 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EP ，连接FP ，当NP +12MP 最小时，直接写出△DPN 的面积．【答案】(1)①21；②见解析；(2)433【分析】(1)①连接AG ，根据题意得出△ABC 和△GEF 均为等边三角形，从而可证明△GBC ≌△GAC ，进一步求出AD =3，AG =BG =23，然后利用勾股定理求解即可；②以点F 为圆心，FB 的长为半径画弧，与BH 的延长线交于点K ，连接KF ，先证明出△BFK 是顶角为120°的等腰三角形，然后推出△FEB ≌△FHK ，从而得出结论即可；(2)利用“胡不归”模型构造出含有30°角的直角三角形，构造出NP +12MP =NP +PJ ，当N 、P 、J 三点共线的时候满足条件，然后利用等边三角形的性质及判定、矩形的判定及性质以及解直角三角形的知识分别计算出PN 与DN 的长度，即可得出结论．【详解】(1)解：①如图所示，连接AG ，由题意可知，△ABC 和△GEF 均为等边三角形，∴∠GFB =60°，∵BD ⊥AC ，∴∠FBC =30°，∴∠FCB =30°，∠ACG =30°，∵AC =BC ，GC =GC ，∴△GBC ≌△GAC (SAS )，∴∠GAC =∠GBC =90°，AG =BG ，∵AB =6，∴AD =3，AG =BG =23，∴在Rt △ADG 中，DG=AD 2+AG 2=23 2+32=21，∴DG =21；②证明：以点F 为圆心，FB 的长为半径画弧，与BH 的延长线交于点K ，连接KF ，如图，∵△ABC 和△GEF 均为等边三角形，∴∠ABC =60°，∠EFH =120°，∴∠BEF +∠BHF =180°，∵∠BHF +∠KHF =180°，∴∠BEF =∠KHF ，由辅助线作法可知，FB =FK ，则∠K =∠FBE ，∵BD 是等边△ABC 的高，∴∠K =∠DBC =∠DBA =30°，∴∠BFK =120°，在△FEB 与△FHK 中，∠FEB =∠FHK∠FBE =∠KFB =FK∴△FEB ≌△FHK (AAS )，∴BE =KH ，∴BE +BH =KH +BH =BK ，∵FB =FK ，∠BFK =120°，∴BK =3BF ，即：BE +BH =3BF ；(2)方法一：以M 为顶点，MP 为一边，作∠PML =30°，ML 交BD 于G ，过P 作PH ⊥ML 于H ，设MP 交BD 于K ，如图：Rt ΔPMH 中，HP =12MP ，∴NP +12MP 最小即是NP +HP 最小，此时N 、P 、H 共线，∵将线段EF 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EP ，∴F 在射线QF 上运动，则P 在射线MP 上运动，根据“瓜豆原理”，F 为主动点，P 是从动点，E 为定点，∠FEP =60°，则F 、P 轨迹的夹角∠QKP =∠FEP =60°，∴∠BKM =60°，∵∠ABD =30°，∴∠BMK =90°，∵∠PML =30°，∴∠BML =60°，∴∠BML=∠A，∴ML⎳AC，∴∠HNA=180°-∠PHM=90°，而BD⊥AC，∴∠BDC=∠HNA=∠PHM=90°，∴四边形GHND是矩形，∴DN=GH，∵边ΔABC中，AB=6，BD⊥AC，∴CD=3，又DN=2NC，∴DN=GH=2，∵等边ΔABC中，AB=6，点E为AB中点时，点M为BE中点，∴BM=32，BD=AB⋅sin A=6×sin60°=33，RtΔBGM中，MG=12BM=34，BG=BM⋅cos30°=334，∴MH=MG+GH=114，GD=BD-BG=93 4，RtΔMHP中，HP=MH⋅tan30°=11312，∴PN=HN-HP=GD-HP=433，∴SΔDPN=12PN⋅DN=433．方法二：如图，连接EQ，∵在等边△ABC中，AB=6，BD⊥AC，∴∠A=60°，∠BDA=90°，∠ABD=30°，∵点E、Q分别为AB、BD的中点，∴EQ为△ABD的中位线，∴EQ⎳AD，∴∠BEQ=∠A=60°，∠BQE=∠BDA=90°，∵∠BQE=90°，∠ABD=30°，∴EQ=12BE，∵点M为BE的中点，∴ME=12BE=EQ，∵将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，∴△EPF 为等边三角形，∠PEF =60°，PE =EF =PF ，∴∠BEQ =∠PEF ，∴∠BEQ -∠PEQ =∠PEF -∠PEQ ，即∠MEP =∠QEF ，在△MEP 与△QEF 中，ME =EQ∠MEP =∠QEF PE =EF，∴△MEP ≌△QEF (SAS )∴∠EMP =∠EQF =90°，∴MP ⊥BE ，∴点P 在射线MP 上运动，如图，以M 为顶点，MP 为一边，作∠PML =30°，ML 交BD 于G ，过P 作PH ⊥ML 于H ，设MP 交BD 于K ，则在Rt △PMH 中，HP =12MP ，∴NP +12MP 最小即是NP +HP 最小，此时N 、P 、H 共线，如图：∵∠EMP =90°，∠PML =30°，∴∠BML =180°-∠EMP -∠PML =60°，∴∠BML =∠A ，∴ML ⎳AC ，∴∠HNA =180°-∠PHM =90°，又∵BD ⊥AC ，∴∠BDC =∠HNA =∠PHM =90°，∴四边形GHND 是矩形，∴DN =GH ，∵在等边△ABC 中，AB =6，BD ⊥AC ，∴CD =3，又DN =2NC ，∴DN =GH =2，∵在等边△ABC 中，AB =6，点E 为AB 中点时，点M 为BE 中点，∴BM =32，BD =AB ⋅sin A =6×sin60°=33，∴在Rt △BGM 中，MG =12BM =34，BG =BM ⋅cos30°=334，∴MH =MG +GH =114，GD =BD -BG =934，∴在Rt△MHP中，HP=MH⋅tan30°=11312，∴PN=HN-HP=GD-HP=433，∴S△DPN=12PN⋅DN=12×433×2=433．【点睛】本题考查等边三角形性质及应用，涉及旋转变换、解直角三角形、三角形全等的判定及性质、矩形的判定及性质等知识，难度较大，解题的关键是构造辅助线．13.(2022·辽宁朝阳·统考中考真题)【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=60°，∠BCD=120°，AB=AD，连接AC．求证：BC+CD=AC．(1)小明的思路是：延长CD到点E，使DE=BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD=180°，推得∠B+∠ADC=180°，从而得到∠B=∠ADE，然后证明△ADE≌△ABC，从而可证BC+CD=AC，请你帮助小明写出完整的证明过程．(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=6，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．【答案】(1)AC=BC+CD；理由见详解；(2)CB+CD=2AC；理由见详解；(3)33-3或3-3【分析】(1)如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AE．证明△ADE≌△ABC(SAS)，推出∠DAE=∠BAC，AE=AC，推出△ACE的等边三角形，可得结论；(2)结论：CB+CD=2AC．如图2中，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥CB交CB的延长线于点N．证明△AMD≌△ANB(AAS)，推出DM=BN，AM=AN，证明Rt△ACM≌Rt△ACN(HL)，推出CM=CN，可得结论；(3)分两种情形：如图3-1中，当∠CDA=75°时，过点O作OP⊥CB于点P，CQ⊥CD于点Q．如图3-2中，当∠CBD=75°时，分别求解即可．【详解】(1)证明：如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AE．∵∠BAD +∠BCD =180°，∴∠B +∠ADC =180°，∵∠ADE +∠ADC =180°∴∠B =∠ADE ，在△ADE 和△ABC 中，DA =BA∠ADE =∠B DE =BC，∴△ADE ≌△ABC (SAS )，∴∠DAE =∠BAC ，AE =AC ，∴∠CAE =∠BAD =60°，∴△ACE 的等边三角形，∴CE =AC ，∵CE =DE +CD ，∴AC =BC +CD ；(2)解：结论：CB +CD =2AC ．理由：如图2中，过点A 作AM ⊥CD 于点M ，AN ⊥CB 交CB 的延长线于点N ．∵∠DAB =∠DCB =90°，∴∠CDA +∠CBA =180°，∵∠ABN +∠ABC =180°，∴∠D =∠ABN ，∵∠AMD =∠N =90°，AD =AB ，∴△AMD ≌△ANB (AAS )，∴DM =BN ，AM =AN ，∵AM ⊥CD ，AN ⊥CN ，∴∠ACD =∠ACB =45°，∴AC =2CM ，∵AC =AC ．AM =AN ，∴Rt △ACM ≌Rt △ACN (HL )，∴CM =CN ，∴CB +CD =CN -BN +CM +DM =2CM =2AC ；(3)解：如图3-1中，当∠CDA =75°时，过点O 作OP ⊥CB 于点P ，CQ ⊥CD 于点Q ．∵∠CDA =75°，∠ADB =45°，∴∠CDB =30°，∵∠DCB =90°，∴CD =3CB ，∵∠DCO =∠BCO =45°，OP ⊥CB ，OQ ⊥CD ，∴OP =OQ ，∴S ΔCDO S ΔOBC=12CD ·OQ 12BC ·OP =CD BC ，∴ODOB =CD CB=3，∵AB =AD =6，∠DAB =90°，∴BD =2AD =23，∴OD =31+3×23=33-3．如图3-2中，当∠CBD =75°时，同法可证OD OB =13，OD =11+3×23=3-3，综上所述，满足条件的OD 的长为33-3或3-3．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．14.(2020·湖南湘西·中考真题)问题背景：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD =90°，∠BCD =90°，BA =BC ，∠ABC =120°，∠MBN =60°，∠MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC 于E 、F ．探究图中线段AE ，CF ，EF 之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC 到G ，使CG =AE ，连接BG ，先证明△BCG ≌△BAE ，再证明△BFC ≌△BFE ，可得出结论，他的结论就是；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD 中，∠BAD =90°，∠BCD =90°，BA =BC ，∠ABC =2∠MBN ，∠MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC 于E 、F ．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论(直接写出“成立”或者“不成立”)，不要说明理由．探究延伸2：如图3，在四边形ABCD 中，BA =BC ，∠BAD +∠BCD =180°，∠ABC =2∠MBN ，∠MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC 于E 、F ．上述结论是否仍然成立？并说明理由．实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O 处)北偏西30°的A 处舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E 、F 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．【答案】EF =AE +CF ．探究延伸1：结论EF=AE +CF 成立．探究延伸2：结论EF =AE +CF 仍然成立．实际应用：210海里．【分析】延长FC 到G ，使CG =AE ，连接BG ，先证明△BCG ≌△BAE ，可得BG =BE ，∠CBG =∠ABE ，再证明△BGF ≌△BEF ，可得GF =EF ，即可解题；探究延伸1：延长FC 到G ，使CG =AE ，连接BG ，先证明△BCG ≌△BAE ，可得BG =BE ，∠CBG =∠ABE ，再证明△BGF ≌△BEF ，可得GF =EF ，即可解题；探究延伸2：延长FC 到G ，使CG =AE ，连接BG ，先证明△BCG ≌△BAE ，可得BG =BE ，∠CBG =∠ABE ，再证明△BGF ≌△BEF ，可得GF =EF ，即可解题；实际应用：连接EF ，延长AE ，BF 相交于点C ，然后与探究延伸2同理可得EF =AE +CF ，将AE 和CF 的长代入即可．【详解】解：EF =AE +CF理由：延长FC 到G ，使CG =AE ，连接BG ，在△BCG 和△BAE 中，BC =BA∠BCG =∠BAE =90°CG =AE，∴△BCG ≌△BAE (SAS )，∴BG =BE ，∠CBG =∠ABE ，∵∠ABC =120°，∠MBN =60°，∴∠ABE +∠CBF =60°，∴∠CBG +∠CBF =60°，即∠GBF =60°，在△BGF 和△BEF 中，BG =BE∠GBF =∠EBF BF =BF，∴△BGF ≌△BEF (SAS )，∴GF =EF ，∵GF =CG +CF =AE +CF ，∴EF =AE +CF ．探究延伸1：结论EF =AE +CF 成立．理由：延长FC 到G ，使CG =AE ，连接BG，在△BCG 和△BAE 中，BC =BA∠BCG =∠BAE =90°CG =AE，∴△BCG ≌△BAE (SAS )，∴BG =BE ，∠CBG =∠ABE ，∵∠ABC =2∠MBN ，∴∠ABE +∠CBF =12∠ABC ，∴∠CBG +∠CBF =12∠ABC ，即∠GBF =12∠ABC ，在△BGF 和△BEF 中，BG =BE∠GBF =∠EBF BF =BF，∴△BGF ≌△BEF (SAS )，∴GF =EF ，∵GF =CG +CF =AE +CF ，∴EF =AE +CF ．探究延伸2：结论EF =AE +CF 仍然成立．理由：延长FC 到G ，使CG =AE ，连接BG ，∵∠BAD +∠BCD =180°，∠BCG +∠BCD =180°，∴∠BCG =∠BAD在△BCG 和△BAE 中，BC =BA∠BCG =∠BAE CG =AE，∴△BCG ≌△BAE (SAS )，∴BG =BE ，∠CBG =∠ABE ，∵∠ABC =2∠MBN ，.。
初中数学几何模型(四)对角互补模型
初中数学几何模型（四）对角互补模型对角互补模型：解决这种模型常用到的辅助线主要有三种：旋转补全法、双垂法和四点共圆。
（一）含90°的对角互补模型1、如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，求证：（1）CD=CE；（2）OD+OE=√2OC；OC2。
（3）S△OCD+S△OCE=12方法1：（1）过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M、N。
∵OC平分∠AOB，∴CM=CN；∵∠AOB=∠DCE=90°，∴∠CDO+∠CEO=180°，∵∠CDO+∠CDM=180°，∴∠CDM=∠CEO；∵CM⊥OA，CN⊥OB，∴∠CMD=∠CNE；∴△CDM≌△CEN，∴CD=CE，DM=NE。
（2）∵OD=OM-DM，OE=ON+NE，∴OD+OE=OM-DM+ON+NE=OM+ON，∵易证四边形MONC是正方形，∴OD+OE=2ON；∵OC平分∠AOB，∴∠CON=45°，∴OC=√2ON，即ON=√22OC，∴OD+OE=√2OC；（3）∵S△OCD+S△OCE=S正方形MONCE，又∵S正方形MONCE =12OC×MN=12OC2，∴S△OCD+S△OCE=12OC2。
方法2（略）2、如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，求证：（1）CD=CE；（2）OE-OD=√2OC；（3）S△OCE−S△OCD=12OC2。
方法1（略）方法2：过点C作CF⊥CO，点C为垂足。
∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠COF=∠CFO=45°，∴OC=FC，∠COD=∠CFE，∵∠OCD+∠DCF=∠DCF+∠FCE=90°，∴∠OCD=∠FCE，∴△OCD≌△FCE，∴CD=CE，OD=FE；（2）在等腰直角三角形OCF 中，OF=√2 OC ， ∵OF=OE -FE=OE -OD ，∴OE -OD=√2 OC 。
对角互补四边形模型结论推导
对角互补四边形模型结论推导对角互补四边形模型结论推导介绍对角互补四边形是指一个四边形中，两个对角线相交于一点，并且这两个对角线互相垂直。
在数学中，对角互补四边形被广泛应用于几何证明和计算机图形学等领域。
本文将从定义、性质、证明等多方面来探讨对角互补四边形模型的结论推导。
定义在平面几何中，四边形是由四条线段组成的图形。
而对角互补四边形则是指一个四边形中，两个对角线相交于一点，并且这两个对角线互相垂直。
性质1. 对于任意一个对角互补四边形，它的两组相邻的内角和都为180度。
2. 对于任意一个对角互补四边形，它的两组相邻的外角和都为360度。
3. 对于任意一个正方形（正方形是一种特殊的对角互补四边形），它的所有内角都为90度。
4. 对于任意一个矩形（矩形也是一种特殊的对角互补四边形），它的相邻内角和为180度，但是不一定所有内角都为90度。
证明1. 对于任意一个对角互补四边形，它的两组相邻的内角和都为180度。
证明方法一：首先，我们可以将对角互补四边形分成两个三角形。
然后，我们可以通过计算这两个三角形的内角和来证明这个结论。
具体来说，我们可以将四边形的两条对角线分别标记为AC和BD，并且它们相交于点O。
接着，我们可以将四边形分成两个三角形：三角形ABO和三角形CDO。
由于ABCD是一个四边形，所以AB+BC+CD+DA=360度。
又因为AO和CO是垂直的，并且BO和DO也是垂直的，所以∠AOC+∠BOC=90度，∠COD+∠AOD=90度。
因此，在三角形ABO 中，∠A+∠B+∠O=180度；在三角形CDO中，∠C+∠D+∠O=180度。
综上所述，对于任意一个对角互补四边形，它的两组相邻的内角和都为180度。
证明方法二：另一种证明方法是利用向量来证明这个结论。
具体来说，在平面直角坐标系中，我们可以将对角互补四边形的两条对角线分别表示为向量u和v。
然后，我们可以计算这两个向量的内积，即u·v=|u||v|cosθ，其中θ是两个向量之间的夹角。
园内四边形对角互补标准证明
园内四边形对角互补标准证明同学们，咱们今天来一起研究一个很有趣的数学问题——园内四边形对角互补的证明。
先给大家说个小故事吧。
有一个大花园，这个花园的形状就像咱们要研究的园内四边形。
花园的四个角就像四边形的四个角。
想象一下，在这个花园里有好多漂亮的花，蜜蜂啊、蝴蝶啊都在花园里飞来飞去。
咱们现在就来看看为什么园内四边形的对角互补。
咱们画一个圆，然后在圆里面画一个四边形ABCD。
连接圆心O和四边形的四个顶点，这样就把四边形分成了四个三角形，像△AOB、△BOC、△COD和△DOA。
咱们知道，在一个圆里，圆心角的度数是它所对弧的度数的两倍。
比如说，∠AOB 所对的弧是弧AB，那弧AB的度数的两倍就是∠AOB的度数。
那对于四边形的一个角，比如∠A，它是由两个圆心角的一部分组成的。
∠A等于1/2（弧BCD的度数），同样，∠C等于1/2（弧DAB的度数）。
那∠A + ∠C就等于1/2（弧BCD的度数 + 弧DAB的度数）。
而弧BCD的度数加上弧DAB的度数正好是整个圆的度数，整个圆是360度，所以1/2（弧BCD的度数 + 弧DAB的度数）就是180度，这就说明∠A和∠C是互补的。
同样的道理，对于∠B和∠D也是这样的。
∠B等于1/2（弧CDA的度数），∠D 等于1/2（弧ABC的度数）。
∠B + ∠D就等于1/2（弧CDA的度数 + 弧ABC的度数），这也是整个圆的度数的一半，也就是180度，所以∠B和∠D也是互补的。
再给大家举个例子。
假如咱们有一个圆形的蛋糕，咱们把这个蛋糕当成是那个圆。
然后咱们用刀沿着这个圆切出一个四边形的形状。
这个四边形蛋糕的四个角，相对的两个角合起来吃的话，就像是把一半的蛋糕吃掉了，也就是180度。
所以啊，同学们，这就是园内四边形对角互补的证明啦。
大家可以自己拿纸画一画这个圆和四边形，再好好想想这个道理，就会觉得数学真的很有趣呢。
圆内接四边形对角互补证明方法
圆内接四边形对角互补证明方法1.引言1.1 概述概述圆内接四边形对角互补是一个经典的几何问题。
在数学的研究中，我们经常遇到探讨几何形状与其特性之间的关系。
本文将介绍圆内接四边形对角互补这一问题，并提出一种证明方法。
圆内接四边形是指有一个圆完全内切于四边形的四边形。
而对角互补是指四边形的对角线相互垂直。
所以，圆内接四边形对角互补指的是四边形的对角线相互垂直，并且该四边形内切于一个圆。
本文将首先介绍圆内接四边形的性质和特点，然后给出一个简洁明了的证明方法，以证明对角互补的成立。
接着，我们将进一步探讨该结论的意义和应用。
了解圆内接四边形对角互补的证明方法有助于我们理解几何问题的本质，并提高我们解决几何问题的能力。
通过本文的阐述，读者将能够掌握圆内接四边形对角互补的证明思路和方法，从而加深对几何学的理解。
在接下来的正文部分，我们将详细讨论圆内接四边形对角互补的证明过程，并展示相关的例子和图形，以便更好地理解该结论的推导过程。
最后，我们将总结我们的研究成果，并对结果进行验证。
同时，我们还将探讨这一结论的意义和具体应用领域，以展示几何学在实际问题中的重要性。
本文的目的是通过论述圆内接四边形对角互补的证明方法，增进读者对几何学的理解，培养解决几何问题的思维能力，并拓宽几何学的应用领域。
接下来，我们将开始正文部分，详细展开对这一问题的讨论。
文章结构部分的内容应该包括对整篇文章的组织和结构进行说明和概述。
以下是根据大纲进行编写的文章1.2文章结构部分的内容：第一部分：引言在引言部分，我们将简要概述本篇文章的背景和研究对象，并说明我们的研究目的和意义。
第二部分：正文正文将按照以下三个要点来展开对圆内接四边形对角互补的证明方法进行详细阐述。
2.1 第一个要点在这一部分，我们将介绍圆内接四边形的定义和性质，说明对角线的特征以及对角互补的概念。
我们将给出基本的证明方法和步骤，并附上几个具体的例子来帮助读者理解和应用。
2.2 第二个要点本部分将进一步阐述圆内接四边形对角互补的证明方法。
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可编辑
几何证明（一）---- 对角互补
方法点拨：已知中有公共端点的两条线段相等，利用互补及平角可得另一对角相等，再通过添加辅助线得到全等的的三个条件解决问题。
补例（2013聊城）如图，四边形ABCD 中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD ，CE⊥AD，垂足为E ， 求证：AE=CE ．
例：如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，P 是△ABC 外一点，且PB ⊥PC
试判断PA 、PB 、PC 的关系，并加以证明
变式一：
如图，△ABC 是等腰三角形，AB=AC ，∠BAC=120°，P 是△ABC 外一点，
且∠BPC=60°，试判断PA 、PB 、PC 的关系，并加以证明
变式二：
如图，△ABC 是等腰三角形，AB=AC ，∠BAC=α，P 是△ABC 外一点，
且∠BAC ＋∠BPC=180°，试判断PA 、PB 、PC 的关系，并加以证明（用含α的式子 表示
变式三
如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB=BC ，P 是△ABC 外一点，且∠BPC=135°， 试判断PA 、PB 、PC 的关系，并加以证明
A B P
C
A
B
P
C
A
B C
P
A
B
P
C
可编辑
变式四
如图，△ABC 是直角三角形，∠ABC=90°，∠BAC=α，P 是△ABC 外一点，
且∠BAC ＋∠BPC=180°，
试判断PA 、PB 、PC 的关系，并加以证明（用含α的式子 链接中考
1．已知：如图13，在ABC △中，,AB AC BAC α=∠=（ 不大于90o
），点P 为ABC △外一
点，且o
1902
APC α∠=+，连接BP ．
（1）当o
60α=时，APC ∠= o
；,,PA PB PC 这三条线段满足的数量关系是 ；
（2）如图14，当
o
60α=时，探究,,PA PB PC 三条线段之间的数量关系，并证明； （3）用含α的式子表示,,PA PB PC 三条线段之间的数量关系，并证明．
图13 图14 2、链接中考：2013甘井子一模25题。
如图①，在△ABC 和△ADE 中，AC=AB,AE=AD,∠BAC=∠DAE=m,CE,DB 交于点F ，连接AF. (1) 如图②，当m=90°时，猜想BD,CE 的关系，并证明你的结论； (2) 在（1）的条件下，猜想线段AF,BF,CF 数量关系，并证明你的结论； (3) 直接写出AF,BF,CF 数量关系（用含m 的三角函数表示）
图① 图②
3、 .在□ABCD 中，E 是AD 上一点，AE =AB ，过点E 作直线EF ，在EF 上取一点G ，使得∠EGB =∠EAB ，
连接AG .如图当EF 与CD 相交时，且∠EAB =90°，请求出线段EG 、AG 、BG 之间的数量关系，并证明你的结论.
A B P
C D
C
B
E P
C
B
A
P
C
B
A
90°
4、链接中考（2012一模）25．如图12，四边形ABCD中，∠ABC＝2∠ADC＝2α，点E、F分别在CB、CD的延长线上，且EB＝AB＋AD，∠AEB＝∠FAD．
（1）猜想线段AE、AF的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若将“EB＝AB＋AD”改为“EB＝AB＋kAD（k为常数，且k＞0）”，其它条件不变
（如图13）
，求DF
AB
的值（用含k、a的式子表示）．
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