第04章 均匀平面波的传播

式中，右边第一项代表沿 +z 轴方向传播的均匀平面波，第二项 代表沿 -z 轴方向传播的均匀平面波，E x 0 和
E x 0 是由边界条件决定
的常数。这两个波除传播方向相反外，其它性质均相同。 如果在无界理想介质中，则只有一个沿 +z 轴方向传播的均 匀平面波。此时，电场矢量可一般地表示为： E ( r )= E x m e j(kz
部代表位移电流的贡献，它不引起功率损耗；虚部代表传导电流 的贡献，将引起能量的损耗。因此，我们可以根据传导电流与位 移电流的比值

的大小对媒质进行分类：若


1，即传导电流
占优势，称为导体；若
(电介质)；若
1，则位移电流占优势，称为绝缘体
的值介于两者之间，则称为半导体。
t kz x
与
z 的关系曲线右下图所示。可见，在传播
方向上，行波的相位随距离 z 的增大而连
续滞后（相位连续减小）。这是行波的一 个基本概念。
4.1 无界理想介质中的均匀平面波
行波既然是一个行进的波，那么，必然可以找到一个物理量 来表示其行进的速度。我们定义平面波的等相位面移动的速度称 为相速。所谓等相位面就是满足下面关系的平面：
t 0 时的状态，称为初相位。
z 0，
2. 行波与相速 平面波在空间某点 z z 0 处的 E x 与 t 的关系如上图所示。可以 看出，均匀平面波在空间任意观察点处，其场强是以角频率 随 时间按正弦规律变化的。当 t 增加一个周期 T ， T 2 ，场强恢 复其初始的大小和相位。
此称 k 为相位常数(也称为传播常数、相移常数)。
4.1 无界理想介质中的均匀平面波
4. 波阻抗与功率流密度 由麦克斯韦第二方程，得：
j H ( r ) E ( r )
将平面波的电场
E ( r ) E xm e
j( kz x )
ˆ x
代入上式，相应的磁场为：
k
j x
E x0e
j kz
j ， E x 0 E x m e x， E x m 、 E x m 0， x、 x
是实数。
4.1 无界理想介质中的均匀平面波
在时域中可将其写为瞬时表达式：
E x ( z , t ) E x m co s( t kz x ) E x m co s( t kz x )
8
9
7
vp 3 1 0 ( m / s ) c0 （真空中的光速）。因此，电磁波在自由
空间中传播的速度等于光速。
4.1 无界理想介质中的均匀平面波
相速还以表示为
vp c0 / n
，式中， n

r r
，称为媒介的
折射率。显然，相速取决于媒质的介电常数和磁导率。如果相速
与频率无关，此时的媒质称为非色散媒质，否则称为色散媒质。
t kz x 常 数
将上式两边对时间 t 微分，整理可得行波的相速为：
vp dz dt

k

1

，
vp
1

ˆ z
在自由空间中，其介电常数和磁导率与真空中的几乎相同，
即： 0
速为
1 36
10 (F / m )， 0 4 10 (H / m )，代入上式，可得其相
波的任一等相位面上的 E 和 H 都相等，则称为均匀平面波。
例如，沿 z 轴方向传播的均匀平面波，电场 E 和磁场 H 都 不是 x 和 y 的函数，而只是 z 的函数，其方向在 xy 平面内。
4.1 无界理想介质中的均匀平面波
一、波动方程的均匀平面波解 设均匀平面波沿 z 轴传播，其电场沿 x 轴取向，也就是沿 y 轴和 z 轴的电场分量为零。因此，有：

ˆ - j k r ?k jk r
= E 0e
= E 0e
1 ˆ 1 ˆ jk r H k E k E 0e
ˆ kk 为传播矢量，其方向和大小分别表示电磁波的传播

4.1 无界理想介质中的均匀平面波
这样，根据同上类似的推导，有：
1 ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ E k 0， H k k ( k E ) E (k k ) 0

ˆ z E (r )
其中，

，E T 、 H T 分别为垂直于传播方向的电场分
量和磁场分量。
ˆ 类似地，可得： E ( r ) z H ( r )
4.1 无界理想介质中的均匀平面波
由于 E 的单位是 V/m，H 的单位是 A/m，则 的单位是 ， 因此称之为本征阻抗(或波阻抗)。 在自由空间(或真空)中， 0
x
)
ˆ x，
电场在时域中表达式为： E ( r , t )
ˆ E x m co s( t kz x ) x
下面，我们将对平面波进行较为详细的分析，从而建立起电 磁波的一些重要概念。
4.1 无界理想介质中的均匀平面波
二、均匀平面波的传播参数和传播特性 1. 电磁波的相位 上式中的 ( t kz x ) 代表了场的波动状态，称为电磁波的相 位。它由三部分构成，其中， t 表示随时间变化部分；-kz表示随 空间距离变化部分； x 表示场在
ˆ E (z) Ex (z)x
E
2
于是，电场的波动方程
Ex (z)
2
E
2
t
2
0
简化为一个标量方程：

E x0e
j kz
z
2
k E x ( z ) 0， 其 中 k
2
这是一个齐次二阶常微分方程，其通解为： E x ( z )
其中，
E x 0 E xm e
其中，E 0 是一个包含方向的复振幅矢量。
4.1 无界理想介质中的均匀平面波
在无源区域内，由于：
E ( E 0e
ˆ jk r z
) E 0 (e
ˆ jk r z
)0
式中， (e jk r zˆ )
所以有：

jke
ˆ jk r z
j H ( r ) j kE x m e H (r )
ET HT Ex H
y
j( kz x )
ˆ y H (r ) 1

E xm e
j( kz x )
ˆ y
1

E xm e

j( kz x )
ˆ ˆ y H y (z) y


由此可知，平面波的电场和磁场均没有纵向分量，只有横向 分量，故又称为横电磁波(TEM波)。 综合以上讨论，可以归纳出无界理想介质中传播的均匀平面 波具有以下特征： (1) 电磁波的电场 E 和磁场 H 都与传播方向垂直，即沿传播
方向的电场和磁场分量等于零，因此称为横电磁波；E 、H 和 S
三者互相垂直，且按顺序成右手螺旋关系。
4.2 无界均匀导电媒质中的均匀平面波 二、无界导电媒质中的均匀平面波 引入复介电常数的概念，使导电媒介中的麦克斯韦方程与无 耗媒质中的麦克斯韦方程形式上完全相同，所不同的是前者为复 介电常数 ，而后者是实介电常数 。因此，只要将无耗媒质中场 表达式中的 用 取代即可得到导电媒质中场的表达式。 我们知道，在无耗媒质中电磁场的的解中，有两处出现
前面均匀、线性、各向同性的无耗媒质一定是非色散媒质。 3. 波长与相位常数 由于平面波在任意给定的时刻( t
t 0 )，其波形随距离
z 按正
弦变化，如图所示。因此，任意给定时 刻，相位相差 2 的两平面间的距离 称 为波长，即 由于 k
2 / k
。
2 /
，它表示电磁波在单位距离上的相位变化，因
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ r z ( xx yy zz ) z z ˆ ˆ ˆ r xx yy zz ，则：
ˆ 。可见，等相位面也可用 r ×z 为常数来表
示。因此，沿 +z 轴传播的平面波可以表示为：
E E x0e
ˆ jk r z
ˆ x E 0e
ˆ jk r z
ˆ z
ˆ jk r z
ˆ j k ( E 0 z )e
0
ˆ 要使上式成立，必须 E 0 z 0 ，即电场与传播方向垂直。可见平
面波电场表达式隐含了平面波电场垂直于传播方向这一条件。 这样，若均匀平面波沿任意单位矢量 kˆ 的方向传播，则空间 任一点处的电场矢量可表示为： E 相应的磁场矢量为： 其中， k 方向和传播常数。
E
2
vp
H
2
vp
。
4.2 无界均匀导电媒质中的均匀平面波 一、复介电常数 在导电媒介中，麦克斯韦第一方程的复数形式可写成如下形 式： H 式中，
E j E j ( j / ) E j E j /
是个复数，称为导电媒质的复介电常数，其实
4.2 无界均匀导电媒质中的均匀平面波 可见，媒质分类没有绝对的界限。在时谐电磁场中，对材料 性质的划分，不仅要考虑材料本身的电导率，还要考虑材料的介 电常数以及工作频率。通常， 时可认为是电介质； 0 .0 1


100
时可认为是导体；


0 .0 1
100
时可认为半导体。
4.1 无界理想介质中的均匀平面波
(2) 电场与磁场的振幅之比为一常数 ，故只要求得电场就可 求得磁场，即电场和磁场不仅有相同的波形，且在空间同一点具 有相同的相位。 (3) 在无界理想介质中平面电磁波以光速无衰减地传播。 (4) 电能等于磁能，即： S av