2020届辽宁省部分重点中学协作体高三模拟数学(理科)试题
2020届辽宁省辽南协作校高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2020届辽宁省辽南协作校高三第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}20M x =，，{}1,2N =，若{}2M N =I，则=M N U ( )A ．{}20,,1,2x B ．{}2,0,1,2C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2【答案】C【解析】由{}2M N =I 可知2M ∈，进而可求得集合M ，即可求得M N ⋃. 【详解】 集合{}20M x=，，{}1,2N =，{}2M N =I，则2M ∈，所以{}02M =，， 则{}0,2=,1M N U ， 故选：C. 【点睛】本题考查了元素与集合关系，根据交集运算结果得集合，集合并集的简单运算，属于基础题.2．已知复数z 满足(1)|2|i z i +=，i 为虚数单位，则z 等于（ ） A ．1i - B ．1i +C ．1122i - D ．1122i + 【答案】A【解析】根据复数z 满足(1)|2|i z i +=，利用复数的除法求解. 【详解】∵(1)|2|2i z i +==， ∴211z i i==-+. 故选：A 【点睛】本题主要考查复数的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．设,a b rr 是向量，则“a b =r r ”是“a b a b +=-r r r r ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【详解】试题分析：由a b =r r无法得到a b a b +=-r r r r ，充分性不成立；由a b a b +=-r r r r ，得0a b ⋅=r r ，两向量的模不一定相等，必要性不成立，故选D.【考点】充要条件,向量运算 【名师点睛】由向量数量积的定义cos a b a b θ⋅=⋅⋅r r r r (为a r ，b r的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.4．若空间中三条两两不同的直线1l ，2l ，3l ，满足12l l ⊥，23l l ⊥，则下列结论一定正确的是( ) A ．13l l ⊥ B ．1l 与3l 既不垂直又不平行 C ．1//l 3l D ．1l 与3l 的位置关系不确定【答案】D【解析】根据12l l ⊥，23l l ⊥，将三条线段置于正方体中，即可判断各选项. 【详解】空间中三条两两不同的直线1l ，2l ，3l ，满足12l l ⊥，23l l ⊥， 位置关系可如下图所示：根据图示可知，当1l 取两个不同位置时，满足12l l ⊥，23l l ⊥，可排除ABC 选项， 即1l 与3l 的位置关系不确定， 故选：D. 【点睛】本题考查了空间中直线与直线位置关系的判断，属于基础题.5．已知正三棱锥P ABC -，点P 、A 、B 、C 都在直径为3的球面上，若PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则该正三棱锥的体积为（ ）A ．16B ．12C ．13D ．112【答案】A【解析】将正三棱锥补形成正方体，根据几何体外接球的直径，计算出,,PA PB PC 的长，由此求得正三棱锥的体积. 【详解】将正三棱锥补形成正方体，如下图所示.设PA PB PC x ===， 由于正三棱锥的外接球和正方体的外接球相同， 正方体的体对角线即为外接球的直径， 即33,1x x ==，所以正三棱锥的体积为111111326⨯⨯⨯⨯=. 故选：A【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，属于基础题.6．点()5,3M 到抛物线2y ax =的准线的距离为6，则该抛物线的方程是（ ） A ．212y x = B ．236y x =- C ．212y x =或236y x =-D ．2112y x =或2136y x =- 【答案】D【解析】根据点M 到准线的距离为1|3|64a+=，分0a >和0a <两种情况分别求得a ，进而得到抛物线方程． 【详解】当0a >时，开口向上，准线方程为14y a =-，则点M 到准线的距离为1364a+=，求得112a =，抛物线方程为2112y x =， 当0a <时，开口向下，准线方程为14y a =-，点M 到准线的距离为1|3|64a+=解得136a =-，抛物线方程为2136y x =-． 故选：D ． 【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对抛物线开口方向的讨论. 7．函数2cos sin 1y x x =+-的值域为（ ） A ．1,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1 0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1 2,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]2,0-【答案】C【解析】2211sin sin sin 24y x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，由于[]sin 1,1x ∈-，故当1sin 2x =时，函数取得最大值为14，当sin 1x =-时，函数取得最小值为2-，故函数的值域为12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系，考查了二次函数最大值的求解方法，同时考查了化归与转化的数学思想方法.第一步首先用同角三角函数关系将cos x 化为sin x ，转化为同一个角的式子，为后续配方法做好准备.第第二步配方之后利用三角函数的值域，即可求得函数的值域.8．函数1()||(1)x xe f x x e +=-的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】研究函数的定义域和奇偶性，用排除法求解． 【详解】函数1()||(1)x xe f x x e +=-的定义域是{|0}x x ≠，排除BD ， 又11()()(1)(1)x xx x e e f x f x x e x e --++-===----，即函数为奇函数．排除A ． 故选：C. 【点睛】本题考查由函数解析式选取函数图象．这类问题可研究函数的性质，求定义域，值域，研究奇偶性，单调性，对称性等，研究特殊值，特殊点（如顶点，与坐标轴交点），函数值的正负，变化趋势等，采取排除法． 9．函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，为了得到sin2y x =的图象，只需将()f x 的图象( )A ．向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位D ．向左平移6π个单位【答案】B【解析】试题分析：由图象知1A =，74123T T πππ=-⇒=，22ππωω=⇒=，7()112f π=-7322122k ππϕπ⇒⋅+=+，2πϕ<，得3πϕ=，所以()sin(2)3f x x π=+，为了得到()sin 2g x x =的图象，所以只需将()f x 的图象向右平移6π个长度单位即可，故选D ． 【考点】三角函数图象.10．如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15︒、北偏东45︒方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60︒方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为（ ）A ．6海里B ．406C ．(2013海里D ．40海里【答案】A【解析】在ACD V 中，1590105,30ADC ACD ∠=+=∠=o o o o，所以45CAD ∠=o ， 由正弦定理可得：sin sin CD ADCAD ACD=∠∠，解得140sin 2202sin 2CD ACD AD CAD ⨯∠===∠ 在Rt DCB ∆中，45BDC ∠=o ，所以2402BD CD ==，在ABD ∆中，由余弦定理可得：22212cos 8003200220240224002AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠=+-⨯=，解得206AB =11．甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（ ） A ．甲得9张，乙得3张 B ．甲得6张，乙得6张C ．甲得8张，乙得4张D ．甲得10张，乙得2张 【答案】A【解析】【详解】试题分析：由题意可知：乙获得12张游戏牌概率为111=224⨯，所以甲应分得112(1)94⨯-=张牌，乙应分得11234⨯=张牌，故选A ． 【考点】排列组合问题．12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两顶点分别为1A ，2A ，F 为双曲线的一个焦点，B 为虚轴的一个端点，若在线段BF （不含端点）上存在两点1P ，2P ，使得1121222A P A A P A π∠=∠=，则双曲线的渐近线斜率的平方的取值范围是( )A ．11,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．32⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A【解析】根据题意，先求得直线BF 的方程，由在线段BF （不含端点）上存在两点1P ，2P ，使得1121222A P A A P A π∠=∠=可得线段BF 与以12A A 为直径的圆相交，即可求得22102b a <<；再根据a b <即可得双曲线的渐近线斜率的平方的取值范围. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，F 为双曲线的一个焦点，B 为虚轴的一个端点，不妨设()(),0,0,F c B b ，则直线BF 的方程为0bx cy bc +-=，因为在线段BF （不含端点）上存在两点1P ，2P ，使得1121222A P A A P A π∠=∠=，所以线段BF 与以12A A a <，化简可得()22222b c a b c <+，双曲线中满足222b c a =-，代入上述不等式可得42240a a b b +->，则220b a <<， 由在线段BF （不含端点）上存在两点1P ，2P ，使得1121222AP A A P A π∠=∠=可知a b <，所以22112b a<<，即双曲线的渐近线斜率的平方的取值范围为⎛ ⎝⎭， 故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线几何性质的简单应用，渐近线斜率取值范围的应用，直线与圆位置关系的判断及应用，属于中档题.二、填空题13．已知函数()()291log 1,02,0x x x f x x +⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，则()0f f +=______．【答案】3【解析】利用分段函数解析式，求得所求表达式的值. 【详解】依题意，()()0190log 1012123ff ++=-+=+=.故答案为：3.14．我国古代数学名著《数术九章）有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒.估计这批米内所夹的谷有______石. 【答案】170【解析】根据等古典概型概率公式求法即可得解. 【详解】由等可能事件概率公式可知，这批米内所夹的谷有281530=170252⨯石 故答案为：170. 【点睛】本题考查了古典概型概率的求法，属于基础题.15．考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半.假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用y 表示该有机体死亡x 年后体内碳14的含量，则y 与x 的关系式可以表示为______.【答案】573012x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】根据题意，建立函数模型，由经过大约5730年后会变为原来的一半可求得解析式. 【详解】由题意可设12axy ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 当5730x =时，12y =，即57301122a⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得15730a =， 所以573012x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故答案为：573012x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了函数模型的选择，函数解析式的求法，属于基础题. 16．已知()()ln f x x e x =+，()31332g x x x m =++，对于1,2x ⎡⎫∀∈+∞⎪⎢⎣⎭时都有()()f x g x ≤恒成立，则m 的取值范围为______.【答案】23m ≥【解析】构造函数()()()1,2F x g x f x x =-≥，利用导数研究()F x 的最小值，由此列不等式，解不等式求得m 的取值范围. 【详解】构造函数()()()3131ln ,322F x g x f x x e x x x m x ⎛⎫=-=+--+≥ ⎪⎝⎭，依题意()0F x ≥在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立.()21ln 2F x x x e =+'--， ())2111212x F x x x xx+--=''=-=，所以()F x '在区间12⎛⎝⎭上递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上递增， 所以()F x '在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的最小值为11ln 202F e =+-<⎭'⎝， 11113ln ln 2024224F e e ⎛⎫=-+-=+-< '⎪⎝⎭，()21ln 02F e e e e =-+->'，102F e e '=--=，所以在区间12⎛⎝，()0F x '<，在区间)+∞，()0F x '>，所以当x =()F x有最小值313ln 32Fe m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭23m =+. 依题意()0F x ≥在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，0m ≥，解得23m ≥故答案为：23m ≥【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.三、解答题17．数列{}n a 的前n 项和n S ，满足13122n n S a a =-，且13a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设32log 1n n na b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）3nn a =；（2）113n nn T +=-. 【解析】（1）根据1n n n a S S -=-，结合条件式即可判断数列{}n a 为等比数列，即可由首项与公比求得数列{}n a 的通项公式.（2）将数列{}n a 的通项公式代入，结合对数式的化简即可知数列{}n b 为等差乘等比形式，结合错位相减法即可得解. 【详解】（1）∵13122n n S a a =-， ∴当2n ≥时，1113122n n S a a --=-.∴113322n n n n n a S S a a --=-=-，∵13a =，∴13nn a a -=，故{}n a 为等比数列，公比为3，首项为3. ∴1333n nn a -=⨯=.（2）∵3nn a =，可得()1213nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ∴()2341111113572133333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()23451111111135721333333n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得()2345121111111222222133333333n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1212233n n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭可得113n nn T +=-. 【点睛】本题考查了递推公式证明数列为等比数列的方法，错位相减法的综合应用，属于中档题. 18．港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥.它连通了珠海香港澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹.截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人次的最高纪录. 2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如下（1）①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图.估计客流量的平均数. ②求客流量的中位数.（2）设这100天中客流量超过5万人次的有n 天，从这n 天中任取两天，设X 为这两天中客流量超过7万人的天数.求X 的分布列和期望． 【答案】（1）①4.15，②4.125；（2）分布列见解析，()23E X =【解析】（1）①根据频率分布直方图估计平均数的方法，计算出平均数； ②根据频率分布直方图估计中位数的方法，计算出中位数；（2）根据超几何分布的分布列和数学期望的计算方法，计算出X 的分布列和期望. 【详解】 （1）①平均值为()2.50.2 3.50.25 4.50.4 5.50.05 6.50.057.50.051 4.15⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=②设中位数为x ，则()0.200.250.4040.5x ++-= 解得中位数为 4.125x =（2）可知15n =其中超过7万人次的有5天()2010521545301057C C P X C ==== ()111052155010110521C C P X C ====()02105215102210521C C P X C ==== X0 1 2P371021 221所以()31022012721213E X =⨯+⨯+⨯= 【点睛】本小题主要考查利用频率分布直方图估计平均数和中位数，考查超几何分布的分布列和期望的计算，属于基础题.19．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，//AB DC ，AB AD ⊥，1AD CD ==，12AA AB ==，E 为棱1AA 的中点（1）证明：11B C CE ⊥；（2）设点M 在线段1C E 上，且直线AM 与平面11ADD A 所成角的正弦值为26，求线段AM 的长.【答案】（1）证明见解析；（22.【解析】（1）通过勾股定理计算证明证得111B C EC ⊥，再证得111CC B C ⊥，由此证得11B C ⊥平面1CC E ，从而证得11B C CE ⊥.（2）建立空间直角坐标系，利用1EM EC λ=u u u u r u u u u r得出M 点的坐标，根据直线AM 与平面11ADD A 所成角的正弦值为26列方程，解方程求得λ的值，进而求得线段AM 的长.（1）在11B C E △中2211115EB EA A B =+=，22111111()22A B B C A D =+=， 2211113EC ED D C =+=，∴2221111B C EC EB +=，111B C EC ⊥∵1AA ⊥平面ABCD ，平面ABCD ∥平面1111D C B A ，∴1AA ⊥平面1111D C B A ，又1AA ∥1CC ，所以1CC ⊥平面1111D C B A ， 所以111CC B C ⊥且111CC EC C =I ∴11B C ⊥平面1CC E ，∴11B C CE ⊥（2）由题可知，DA ，1AA ，AB 两两垂直，以A 为原点，分别以AD ，1AA ，AB 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,0,2B ，()1,0,1C ，()10,2,2B ，()11,2,1C ，()0,1,0E()0,1,0AE =u u u v ，()11,1,1EC =u u u u v ，设1EM EC λ=u u u u r u u u u r ，则()(),,,01EM λλλλ=≤≤u u u u v则(),1,AM AE EM λλλ=+=+u u u u v u u u v u u u u v易知()0,0,2AB =u u u v为平面11ADD A 的一个法向量.设θ为直线AM 与平面11ADD A 所成角，则22sin cos ,321AM AB AM AB AM AB θλλ⋅====⋅++u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u v 解得13λ=，15λ=-（舍去） 所以141,,333AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u v ，2AM =u u u u v，故线段AM 的长为2.本小题主要考查线线垂直的证明，考查根据线面角求线段的长，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．已知椭圆C 的标准方程是22162x y +=，设F 是椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 做TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q . （1）证明：线段OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；（2）当TFPQ最小时，求点T 的坐标.【答案】（1）证明见解析；（2）()3,1-或()3,1--.【解析】（1）由椭圆的标准方程可得F 的坐标，设T 点坐标为()3,m -，可得直线TF 的斜率，讨论0m ≠与0m =两种情况，设直线PQ 的方程是2x my =-，()11,P x y ，()22,Q x y ；联立直线与椭圆方程，即可用m 表示点M 的坐标，即可证明结论.（2）由（1）结合弦长公式，表示出,TF PQ ，即可得TFPQ，结合基本不等式即可求得最小值及最小值时m 的值，进而得点T 的坐标. 【详解】（1）证明：椭圆C 的标准方程是22162x y +=，设F 是椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点， 所以F 得坐标为()2,0-，设T 点坐标为()3,m -， 则直线TF 的斜率TF k m =-， 当0m ≠时，直线PQ 的斜率1PQ k m=， 直线PQ 的方程是2x my =-， 当0m =时，直线PQ 的方程2x =-， 也符合方程2x my =-的形式，设()11,P x y ，()22,Q x y ，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立得：222162x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得()223420m y my +--=， 有()22122122168304323m m m y y m y y m ⎧∆=++>⎪⎪⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩，设PQ 的中点M 的坐标为1200022(,),23y y mx y y m +==+， 002623x my m -=-=+， 2262,33m M m m -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭， 所以直线OM 的斜率3OM m k =-，又因为直线OT 的斜率3OT mk =-， 所以点M 在直线OT 上，因此线段OT 平分线段PQ .（2）由（1）知TF =，)212213m PQ y y m+=-=+，所以3TF PQ ==， 当且仅当22411m m +=+， 即1m =±时等号成立，此时TFPQ取得最小值， T 点的坐标为()3,1-或()3,1--【点睛】本题考查了椭圆的几何性质的应用，由韦达定理分析弦的中点坐标问题，线段比值最值的求法，基本不等式的应用，属于中档题. 21．已知函数()cos sin xf x x x x e ax =++-（1）若函数()f x 在点()()0,0f 处的切线与x 轴平行，求实数a 的值及函数()f x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间； （2）在（1）的条件下，若12x x ≠，()()12f x f x =，求证：'1202x x f +⎛⎫<⎪⎝⎭.（()f x '【答案】（1）1a =，函数()f x 的递增区间为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减区间为,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析.【解析】（1）利用()00f '=求得a 的值.再结合()f x '求得()f x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间.（2）将要证明的不等式1202x x f +⎛⎫<⎪⎝⎭'转化为证明12x x <-，进一步转化为证明()()0,(0,]2f x f x x π-->∈.利用构造函数法，结合导数证得()()0f x f x -->在区间(0,]2π上成立，由此证得不等式1202x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭'成立. 【详解】（1）()cos xf x x x e a =+'-()000k f e a ='=-=∴1a =所以()cos 1xf x x x e =+-'当,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()0f x '<，()f x 递减，当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '>，()f x 递增所以函数()f x 的递增区间为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减区间为,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知1x 与2x 异号，不妨设12022x x ππ-≤<<≤，则12424x x ππ+-<< 因为()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减， 要证1202x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭'，需要证明12[,0)22x x π+∈-，需要证明12x x <- 因为12,x x -∈,02π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∴需证()()12f x f x >-，即需要证明()()22f x f x >-，即()()220f x f x --> 即()()0,f x f x x -->∈(0,]2π 令()()(),0,2h x f x f x x π⎛⎤=--∈ ⎥⎝⎦()()()h x f x f x '='+'-()cos 1cos 1x x x x e x x e -=+---+-1220x x e e =+->-= 所以()h x 在(0,]2π上递增()()00h x h >=综上1202x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭' 【点睛】本小题主要考查根据切线的斜率求参数，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的单位长度，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的极坐标方程为2cos 0ρθ+=. （1）若4πα=可，试判断曲线1C 和2C 的位置关系； （2）若曲线1C 与2C 交于点M ，N 两点，且()3,0P，满足5PM PNMN +=.求sin α的值.【答案】（1）相离；（2. 【解析】（1）将4πα=代入，可将1C 和2C 转化为直角坐标方程，结合点到直线距离即可判断1C 和2C 的位置关系；（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，由参数方程的几何意义即可确定12,t t 的关系，进而求得sin α的值. 【详解】（1）曲线1C的参数方程为32x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，化为普通方程为30x y --=，曲线2C 的极坐标方程为2cos 0ρθ+=，∴2C 的直角坐标方程2220x y x ++=，是以()1,0-为圆心，1为半径的圆， 因为圆心到直线30x y --=的距离1d ==>， 所以曲线1C 和2C 相离.（2）将3cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入2220x y x ++=.整理得28cos 150t t α++=， 由>0∆得215cos 16α>， 设交点M ，N 对应的参数分别为1t ，2t ， 则12128cos 15t t t t α+=-⎧⎨=⎩，因此5PM PN MN +=所以12125t t t t +=-， 又120t t >，所以12125t t t t +=-，即()()()222121212122525100t t t t t t t t +=-=+-， 所以()2248cos 10015α-=⨯， 解得212515cos 12816α=>，故sin α=【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程几何意义的应用，属于中档题.23．已知函数()|2||24|f x x x =-++. （Ⅰ）解不等式：()34f x x ≥-+；（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为a ，且(0,0)m n a m n +=>>，求11m n+的最小值. 【答案】（Ⅰ）1{|}2x x ≥-；（Ⅱ）1.【解析】（Ⅰ）去掉绝对值符号转化为分段函数求解即可（Ⅱ）求出分段函数的最小值()24f -=，则4m n +=，0m >，0n >，根据()111114m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用均值不等式求最值即可. 【详解】（Ⅰ）()224f x x x =-++ 32,26,2232,2x x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩可得当2x <-时，3234x x --≥-+，即24-≥，所以无解； 当22x -≤≤时，634x x +≥-+，得12x ≥-，可得122x -≤≤； 当2x >时，3234x x +≥-+，得13x ≥，可得2x >. ∴不等式的解集为1{|}2x x ≥-.（Ⅱ）根据函数()32,26,2232,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩可知当2x =-时，函数取得最小值()24f -=，可知4a =， ∵4m n +=，0m >，0n >， ∴()111114m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭()111122144n m m n ⎛⎫=+++≥+= ⎪⎝⎭.当且仅当n mm n=，即2m n ==时，取“=”. ∴11m n+的最小值为1. 【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，分段函数，均值不等式，属于中档题.。
2020届辽宁省辽南协作校高三第二次模拟数学理科试题(wd无答案)
2020届辽宁省辽南协作校高三第二次模拟数学理科试题一、单选题(★) 1. 已知，，则( )A．B．C．D．(★) 2. 已知复数.则( )A．B．1C．0D．2(★★) 3. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A．100，40B．100，20C．200，40D．200，20(★★) 4. 设是直线，，是两个不同的平面( )A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则(★★) 5. 已知，则条件“ ”是条件“ ”的( )条件.A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件(★★) 6. 如图所示算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减相术”，执行该算法框图，若输入的分别为12、30，则输出的( )A ．2B ．4C ．6D ．18(★★★) 7. 某个家庭有三个孩子，已知其中一个孩子是女孩，则至少有两个孩子是女孩的概率是( ) A ．B ．C ．D ．(★★★) 8. 已知半径为 的圆与 轴交于 两点，圆心 到 轴的距离为 .若，并规定当圆与 轴相切时 ，则圆心的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线(★★★) 9. 已知周期为 的函数是奇函数，把的图象向右平移 个单位得到的图象，则的一个单调增区间为( )A ．B ．C ．D ．(★★★) 10. 已知数列 满足 .则 ( )A ．B ．C ．D ．(★★★★) 11. 在直角坐标系中， 是椭圆 ： 的左焦点， 分别为左、右顶点，过点作 轴的垂线交椭圆 于 ， 两点，连接 交 轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为( )A．B．C．D．(★★★) 12. 已知函数满足.当时，下列说法：① ；② 只有一个零点；③ 有两个零点；④ 有一个极大值.其中正确的是( )A．①③B．②③C．①④D．②④二、填空题(★★) 13. 已知函数（且）的图象恒过定点，且点在函数的图象上，则______.(★★) 14. 已知数列为等差数列，成公比不为1的等比数列，且，则公差_____.(★★) 15. 已知平面向量与的夹角，且.若平面向量满足，则______.(★★★) 16. 已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，为中点，，则球的体积为_______.三、解答题(★★★) 17. 已知的内角所对的边分别为，且.（1）求角的值.（2）若面积为，且，求及的值.(★★★) 18. 数据的收集和整理在当今社会起到了举足轻重的作用，它用统计的方法来帮助人们分析以往的行为习惯，进而指导人们接下来的行动.某支足球队的主教练打算从预备球员甲、乙两人中选一人为正式球员，他收集到了甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次数，如下表：场次第一场第二场第三场第四场第五场甲2833363845乙3931433933（1）根据这两名球员近期5场比赛的传球成功次数，完成茎叶图（茎表示十位，叶表示个位）；分别在平面直角坐标系中画出两名球员的传球成功次数的散点图； （2）求出甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次数的平均值和方差； （3）主教练根据球员每场比赛的传球成功次数分析出球员在场上的积极程度和技术水平，同时根据多场比赛的数据也可以分析出球员的状态和潜力.你认为主教练应选哪位球员?并说明理由.(★★★) 19. 已知矩形， 为 中点，将 至 折起，连结.（1）当 时，求证：；（2）当时，求二面角的余弦值. (★★★★★) 20. 已知函数.（1）若 .证明函数有且仅有两个零点；（2）若函数存在两个零点，证明： .(★★★★) 21. 已知点是抛物线：的准线与 轴的交点，点 是抛物线上的动点，点 、 在 轴上， 的内切圆为圆：，且，其中 为坐标原点. （1）求抛物线 的标准方程； （2）求面积的最小值.(★★★) 22. 在直角坐标系中，直线 的参数方程为 （ 为参数），圆 的参数方程为（ 为参数）.（1）求 和 的普通方程；（2）将向左平移后，得到直线，若圆上只有一个点到的距离为1，求. (★★★) 23. 设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范围．。
2020届辽宁省部分重点中学协作体高三模拟数学(理科)试题(解析版)
辽宁省部分重点中学协作体2020年高考模拟考试数学（理科）试卷考试时间：120分钟 考试分数：150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{}220A x xx =--≤，{}0B x x =>，则A B =I （ ）A. [1-，2]B. （1，2]C. （0，2]D. （2，+∞）【答案】C 【分析】由题意可得{}12A x x =-≤≤，再由集合交集的概念即可得解. 【详解】由题意{}()(){}{}22021012A x xx x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，所以{}{}{}(]120020,2A B x x x x x x ⋂=-≤≤⋂>=<≤=. 故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解及集合的运算，属于基础题. 2.已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A. i - B. iC. 1D.1-【答案】D 【分析】 根据复数z 满足()11zi i +=-，利用复数的除法求得z ，再根据复数的概念求解.【详解】因为复数z 满足()11zi i +=-，所以()()()211111i i z i i i i --===-++-， 所以z 的虚部为1-. 故选：D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.已知10.330.3log 22,2a b c -===，，则a b c 、、的大小关系是（ ）A.a b c <<B. a c b <<C.c a b <<D.b c a <<【答案】A【分析】由题意结合对数函数、指数函数的性质可得01a b c <<<<，即可得解. 【详解】由题意0.30.3log 2log 10a =<=，1030221b -<=<=，0.30221c =>=，所以01a b c <<<<. 故选：A.【点睛】本题考查了对数式、指数式的大小比较，考查了对数函数、指数函数单调性的应用，属于基础题. 4.已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润额依次统计如下：由此所得回归方程为ˆ12yx a =+，若2020年4月广告投入9万元，可估计所获利润约为（ ） A. 100万元 B. 101 万元C. 102万元D. 103万元．【答案】C 【分析】由题意计算出x 、y ，进而可得12a y x =-，代入9x =即可得解. 【详解】由题意()18.27.887.98.185x =++++=，()19289898793905y =++++=， 所以12901286a y x =-=-⨯=-，所以ˆ126yx =-， 当9x =时，ˆ1296102y=⨯-=. 故选：C.【点睛】本题考查了线性回归方程的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3644a a a +=+，则9S =（ ）A. 18B. 24C. 48D. 36【答案】D 【分析】由题意结合等差数列的性质可得54a =，再由等差数列前n 项公式结合等差数列的性质可得1995992a a S a +=⨯=，即可得解. 【详解】Q 数列{}n a 是等差数列，∴365444a a a a a +=+=+，∴54a =，∴199599362a a S a +=⨯==. 故选：D.【点睛】本题考查了等差数列的性质及其前n 项和公式的应用，属于基础题.6.人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，30~40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为()f x dB ，则有12()10lg 110x f x -=⨯⨯，则90dB 的声音与50dB 的声音强度之比为（ ） A. 10 B. 100C. 1000D. 10000【答案】D 【分析】设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ，由题意1219010lg 110x -=⨯⨯，1225010lg110x -=⨯⨯，计算即可得解.【详解】设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ， 由题意1219010lg110x -=⨯⨯，1225010lg110x -=⨯⨯，所以3110x -=，7210x -=，所以3417210101000010x x --===. 故选：D.【点睛】本题考查了对数运算的应用，考查了对于新概念的理解，属于基础题. 7.函数tan 2y x =图象的对称中心坐标为（ ） A.(2,0),k k Z π∈ B. (,0),k k Z π∈C. (,0),2k k Z π∈ D. (,0),4k k Z π∈ 【答案】D 【分析】由题意结合正切函数的图象与性质可得2,2k x k Z π=∈，即可得解.【详解】令2,2k x k Z π=∈，则,4k x k Z π=∈， 所以函数tan 2y x =图象的对称中心坐标为,0,4k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了正切函数图象与性质的应用，属于基础题. 8.已知二项式121(2)nx x+的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ） A .240B. 120C. 48D. 36【答案】A 【分析】由题意结合二项式系数和的性质可得264n =即6n =，写出二项式展开式的通项公式3362162r rr r T C x--+=⋅⋅，令3302r -=即可得解. 【详解】由题意264n=，解得6n =，则1162211(2)(2)n x x x x+=+，则二项式1621(2)x x +的展开式的通项公式为6133622166122rrr r r r r T C x C x x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 令3302r -=即2r =，则6426622240r r C C -⋅=⋅=. 故选：A.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.9.已知函数228,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值不可能是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【分析】由题意结合基本不等式可得当1x >时，()4f x a ≥+；由二次函数的性质可得1a >，进而可得924a a -≤+，即可得解.【详解】由题意当1x >时，()44f x x a a a x =++≥=+， 当且仅当2x =时，等号成立； 当1x ≤时，()228f x x ax =-+，图象为二次函数图象的一部分，对称轴为x a =，当1a <时，()f a 为函数()f x 在(],1-∞上的最小值，不合题意； 当1a ≥时，()1f 为函数()f x 在(],1-∞上的最小值，()192f a =-，由题意可得924a a -≤+，解得53a ≥； 综上，实数a 的取值范围为53a ≥. 故选：A.【点睛】本题考查了分段函数最值相关问题的求解及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 10.已知三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，ABC V 是边长为3的正三角形，BCD V 是直角三角形，且90BCD ∠=︒，2CD =，则此三棱锥外接球的体积等于（ ）A. B.323πC. 12πD.643π【答案】B 【分析】取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ，过点O 作OHAG ⊥于H ，连接AO 、BO ，设1OO m =，由勾股定理可得22134OD m =+、221OA m ⎫=+-⎪⎪⎝⎭，利用22OD OA =即可得2m =，进而可得外接球半径2R =，即可得解.【详解】取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，由题意可得1O 为BCD V 的外心，AG ⊥平面BCD ，过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ， 过点O 作OHAG ⊥于H ，连接AO 、OD ，可知四边形1OHGO 为矩形，Q ABC V 是边长为3，2CD =，∴33AG =，13BD =11O G =，设1OO m =，则332HA m =-，∴222211134OD DO OO m =+=+，2222331OA OH HA m ⎫=+=+-⎪⎪⎝⎭， 由22OD OA =可得22133314m m ⎫+=+-⎪⎪⎝⎭，解得32m =， ∴三棱锥A BCD -外接球的半径21324R m =+=， ∴此三棱锥外接球体积343233V R ππ==. 故选：B .【点睛】本题考查了三棱锥几何特征的应用及外接球的求解，考查了面面垂直性质的应用和空间思维能力，属于中档题.11.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A B ，两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点C ，若2BC =，1FB =，则AB =（ ）A. 3B. 4C. 6D. 6【答案】B 【分析】分别过点B 、A 作准线l 的垂线，垂足分别为G 、H ，由抛物线的性质可得1BG FB ==，设AF AH x ==，由平面几何的知识即可得解.【详解】分别过点B 、A 作准线l 的垂线，垂足分别为G 、H ，由题意1BG FB ==，2BC =，设AF AH x ==，由三角形相似可得BG BC AH AC =即1212x x=++，解得3x =， 则4AB AF BF =+=.故选：B.【点睛】本题考查了抛物线性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.12.已知2()2(ln )x e f x t x x x x=-++恰有一个极值点为1，则t 的取值范围是（ ）A. 1(]46e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭， B. 1(,]6-∞C. 1[0]46e ⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭，D. 1(,]4-∞【答案】D 【分析】由题意结合导数转化条件得()22x t e x =+在()0,∞+上无解，令()()()022xe g x x x =≥+，求导后确定函数()g x 的值域即可得解.【详解】由题意，函数()f x 的定义域为()0,∞+，对函数()f x 求导得()()()2221212()2(1)21xx x e x e f x t x x x t x x⎡⎤-+⎣⎦'--=-+-=，Q 2()2(ln )xe f x t x x x x=-++恰有一个极值点为1， ∴()220x e x t +=-在()0,∞+上无解，即()22xt ex =+在()0,∞+上无解，令()()()022xe g x x x =≥+，则()()()()()222222102222x x x e x e e x g x x x +-+'==>++， ∴函数()g x 在[)0,+∞单调递增，当()0,x ∈+∞时，()()104g x g >=， ∴14a ≤. 故选：D.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.己知x ，y 满足约束条件1020x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值是______．【答案】2- 【分析】由题意作出可行域，转化目标函数为2y x z =-，数形结合即可得解.【详解】由题意画出可行域，如图阴影所示：令2z x y =-，目标函数可转化为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，数形结合可得，当直线2y x z =-过点A 时，z 取最小值，由010y x y =⎧⎨-+=⎩可得()1,0A -，此时min 2z =-. 故答案为：2-.【点睛】本题考查了简单线性规划的应用，属于基础题.14.古代中国，建筑工匠们非常注重建筑中体现数学美，方形和圆形的应用比比皆是，在唐、宋时期的单檐建筑中较多存在2的比例关系，这是当时工匠们着意设计的常见比例，今天，4A 纸之所以流行的重要原因之一，就是它的长与宽的比无限接近2，我们称这种满足了2的矩形为“优美”矩形．现有一长方体1111ABCD A B C D -，126AD =25AC =127AC =“优美”矩形的个数为___________． 【答案】4 【分析】由题意求出该长方体长、宽、高后，根据新概念验证即可得解.【详解】由题意，该长方体如图所示：Q 126AD =，25AC =127AC =，∴211222CC C AC A =-=，222211114AD AD AD DD CC =-==-，222CD AC AD =-=，∴2AB CD ==，1122CC AA == ∴12AA AB =12AD AA =2AD AB=， ∴此长方体的表面六个矩形中，“优美”矩形的个数为4.故答案为：4.【点睛】本题考查了长方体几何特征的应用及对于新概念的理解，属于基础题. 15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，121n n S a +=+则n S =______．【答案】()11312n -+ 【分析】由题意利用数列n a 与n S 的关系可转化条件为131n n S S +=-，进而可得111322n n S S +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用等比数列的通项公式即可得解.【详解】Q 121n n S a +=+，11a =，∴111S a ==，11211nn n n S a S S ++=+=-+,∴131n n S S +=-即113133222n n n S S S +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，又11122S -=，∴数列12n S ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为12，公比为3的等比数列，∴111322n n S --=⋅，∴()11111331222n n n S --=⋅+=+. 故答案为：()11312n -+. 【点睛】本题考查了数列n a 与n S 关系的应用，考查了通过构造新数列求数列的通项，属于中档题.16.已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点12F F ，，点P 是1C 与2C 的一个公共点，12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形，24PF =，1C 的离心率为37，则2C 的离心率是______．【答案】3 【分析】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，122F F c =，由椭圆的离心率结合题意可得1123PF F F ==，再由双曲线的离心率公式即可得解.【详解】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，122F F c =，由题意椭圆1C 的离心率12111122327F F c c e a a PF PF ====+， 又12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形，24PF =，∴1212347F F F F =+，解得1123PF F F ==，∴双曲线2C 的离心率1222212232F F c ce a a PF PF ====-. 故答案为：3.【点睛】本题考查了椭圆性质、双曲线性质综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答， （一）必考题：共60分17.已知(2cos ,sin ),(cos ,)m x x n x x ==u r r ，且()f x m n =⋅u r r． （1）求()f x 在[0,]2π上的值域；（2）已知,,a b c 分别为ABC V 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，若()32Af =，且2a =，4b c +=，求ABC V 的面积．【答案】（1）[0,3]（2【分析】（1）由题意结合平面向量数量积运算、三角恒等变换可得()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，进而可得1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即可得解； （2）由题意可得3A π=，利用余弦定理可得24()3b c bc =+-，求得4bc =后，利用三角形面积公式即可得解.【详解】（1）由题意可得2()2cos cos f x m n x x x=⋅=+u r r1cos 222cos 2212sin 2126x x x x x π+⎛⎫=⨯+=++=++ ⎪⎝⎭ Q 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ∴()f x 的值域为[0,3]；（2）因为32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2sin 136A π⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=，sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为0A π<<，所以3A π=，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc =+-∴24()3b c bc =+-，由4b c +=可得4bc =，1sin 2ABC S bc A ∴==△【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算、三角恒等变换与解三角形的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.18.已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，D 是BC 的中点．（1）求证：1A B ∥平面1ADC ； （2）求锐二面角1D AC C --的余弦值．【答案】（1）见解析（2）155【分析】（1）连结1A C ，设11AC AC M =I ，由平面几何知识可得1//A B MD ，由线面平行的判定即可得证；（2）建立空间直角坐标系，表示出点的坐标后，求得平面1DAC 的一个法向量m u r 、平面1ACC 的一个法向量n r ，利用cos ,m nm n m n⋅=⋅u r ru r r u r r 即可得解. 【详解】（1）证明：连结1A C ，设11AC AC M =I ，则M 是1A C 的中点，再连结DM ，因为D 是BC 的中点，所以DM 是1A BC V 的中位线，所以1//A B MD ， 又因为1A B ⊄平面1ADC ，DM ⊂平面1ADC ， 所以1//A B 平面1ADC ；（2）取AB 的中点O ，过点O 作1//Oz AA ，连结OC ，易知OB 、OC 、Oz 两两垂直，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则有(1,0,0)A -，132D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,0)C ，13,2)C ， 所以33,22AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()13,2AC =u u u ur ，()3,0AC =u u u r ，设平面1DAC 的一个法向量(,,)m x y z =u r，则133022320m AD x y mAC x z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=++=⎩u u u v v u u u u v v ，令1x =，则有(1,3,1)m =-u r ， 设平面1ACC 的一个法向量(,,)n a b c =r，则130320m AC a b n AC a b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u u vv ，令1b =-则()3,1,0n =-r ， 所以13(3)(1)1015cos ,52m n m n m n⋅⨯+-⨯-+⨯===⨯⋅u r ru r r u r r ，所以二面角1D AC C --15． 【点睛】本题考查了线面平行的证明及利用空间向量求二面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.19.某工厂计划建设至少3个，至多5个相同的生产线车间，以解决本地区公民对特供商品A 的未来需求．经过对先期样本的科学性调查显示，本地区每个月对商品A 的月需求量均在50万件及以上，其中需求量在50~ 100万件的频率为0.5，需求量在100~200万件的频率为0.3，不低于200万件的频率为0.2．用调查样本来估计总体，频率作为相应段的概率，并假设本地区在各个月对本特供商品A 的需求相互独立．（1）求在未来某连续4个月中，本地区至少有2个月对商品A 的月需求量低于100万件的概率．（2）该工厂希望尽可能在生产线车间建成后，车间能正常生产运行，但每月最多可正常生产的车间数受商品A 的需求量x 的限制，并有如下关系：若一个车间正常运行，则该车间月净利润为1500万元，而一个车间未正常生产，则该车间生产线的月维护费（单位：万元）与月需求量有如下关系：试分析并回答该工厂应建设生产线车间多少个？使得商品A 的月利润为最大． 【答案】（1）1116（2）4个 【分析】（1）由独立重复实验的概率公式结合题意计算即可得解；（2）按照建设3个车间、4个车间、5个车间讨论，分别求出对应的分布列和期望，比较期望大小即可得解. 【详解】（1）由题意每月需求量在50~ 100万件的概率为0.5，则由独立重复实验概率公式可得所求概率223142344441111111112222216P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）（i ）当建设3个车间时，由于需求量在50万件以上，此时的净利润Y 的分布列为：则()450014500E Y =⨯=（万元）；（ii ）当建设4个车间时，需求量50100x ≤<时，则有3个车间正常运行时，会有1个车间闲置，此时的净利润150035004000Y =⨯-=；需求量100x ≥时，则4个车间正常运行，此时的净利润150046000Y =⨯=；则Y 的分布列为：则()40000.560000.55000E Y =⨯+⨯=（万元）（iii ）当建设5个车间时，需求量50100x ≤<时，则有3个车间正常运行时，会有2个车间闲置，此时的净利润1500350023500Y =⨯-⨯=；需求量100200x ≤<时，则4个车间正常运行，会有1个车间闲置， 此时1500460015400Y =⨯-⨯=；需求量200x ≥时，则5个车间正常运行，此时的净利润150057500Y =⨯=；则Y 的分布列为：则()35000.554000.375000.24870E Y =⨯+⨯+⨯=（万元） 综上所述，要使该工厂商品A 的月利润为最大，应建设4个生产线车间．【点睛】本题考查了独立重复实验概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望的求解与应用，属于中档题.20.己知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：过点2P ，1(0,1)F -，2(0,1)F 是两个焦点．以椭圆C 的上顶点M 为圆心作半径为()0r r >的圆， （1）求椭圆C 的方程；（2）存在过原点的直线l ，与圆M 分别交于A ，B 两点，与椭圆C 分别交于G ，H 两点（点H 在线段AB 上），使得AG BH =u u u r u u u r，求圆M 半径r 的取值范围．【答案】（1）22:12y C x +=（2）【分析】（1）由题意结合椭圆性质可得122|a PF PF =+=2221b a c =-=，即可得解；（2）当直线斜率不存在时，r=l 方程为：y kx =， ()11,G x y ，()22,H x y ，联立方程后利用弦长公式可得||GH =||AB =||||AB GH =，可得24212132r k k ⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭，即可得解. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c ， 由题意1c=，122|a PF PF =+=22a =，2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2212y x +=；（2）当直线斜率不存在时，圆M 过原点，符合题意，r =当直线斜率存在时，设直线l 方程为：y kx =，()11,G x y ，()22,H x y ，由直线l 与椭圆C 交于G 、H 两点，则2212y kx y x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以()22220k x +-=，>0∆， 则1212220,2x x x x k+==-+，所以||H G ==，点M 到直线l的距离d=，则||AB =，因为AG BH =u u u ru u u r，点H 在线段AB 上，所以点G 在线段AB 的延长线上，只需||||AG BH =即||||AB GH =，所以()2222812421k r k k +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 则()()2422224242212332*********k k k r k k k k k k +++⎛⎫=+==+ ⎪++++++⎝⎭因为24223132224k k k ⎛⎫++=+-≥ ⎪⎝⎭， 所以42110322k k <≤++，所以(]22,3r ∈，r ∈；综上，r的取值范围为.【点睛】本题考查了椭圆方程的确定，考查了直线、圆、椭圆的综合应用，属于中档题. 21.已知函数()1ln f x ax x =++． （1）221()()(1)2g x af x x a a x =+-++，求函数()g x 的单调区间： （2）对于任意0x >，不等式()xf x xe ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）1a ≤ 【分析】（1）求导后，按照1a >、1a =、01a <<与0a ≤分类，分别解出不等式()0g x '>，即可得解；（2）转化条件得对于任意0x >，不等式ln 1x xe x a x --≤恒成立，设ln 1()x xe x F x x--=，则22ln ()x x e x F x x+'=，设2()ln xh x x e x =+，求导后可得()h x 在(0,)+∞上单调递增，进而可得01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00hx =，即0()0F x '=，则()0()F x F x ≥，设()()0x x xe x ϕ>=，求导后可得()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，即可证000011ln x x e x x ⎛⎫=⇔= ⎪⎝⎭，代入求出()0F x 后，即可得解.【详解】（1）由题意21()ln (1),(0)2g x a x x a x a x =+-++>， 则2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a g x x a x x x'-++--=+-+==， （i ）当1a >时，()0g x '>的解集为((,1))0,a +∞U ，则()g x 的单调增区间为(0,1)和(,)a +∞，单调减区间为(1,)a ；（ii ）当1a =时，()0g x '≥，则()g x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间；（iii ）当01a <<时，()0g x '>的解集为(0,)(1,)a +∞U ，则()g x 的单调增区间为(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间为(,1)a ；（iiii ）当0a ≤时，()0g x '>的解集为(1,)+∞，则()g x 的单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1).（2）由已知，问题等价于对于任意0x >，不等式ln 1x xe x a x--≤恒成立，设ln 1()x xe x F x x --=，则22ln ()x x e xF x x+'=， 设2()ln xh x x e x =+，则()21()2x h x xx e x'=++， 在(0,)+∞上，()0h x '>，()h x 单调递增，又12110eh ee -⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，(1)0h e =>，所以1(1)0h h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以01,1x e ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，使得()00h x =，即0()0F x '=， 在()00,x 上，()0F x '<，()F x 单调递减；在()0x +∞上，()0F x '>，()F x 单调递增；所以()0()F x Fx ≥，又有00001ln 20000000111ln ln ln x x x x x e x x e x e e x x x ⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇔⇔，设()()0xx xe x ϕ>=，则有()001lnx x ϕϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭和()(1)0xx x e ϕ'=+>， 所以在(0,) +∞上，()x ϕ单调递增，所以000011ln x x e x x ⎛⎫=⇔= ⎪⎝⎭，所以()0000000ln 111()1x x e x x F x F x x x --+-≥===， 故实数a 的取值范围为1a ≤.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于难题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.已知平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为221162x y +=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos()6πρθ+=1C 上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标伸长到原来的倍，得曲线2C ．（1）写出直线l 和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点(1,0)P ， 直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A ，B ，求11PA PB+的值． 【答案】（1）0y -=，224x y +=（2【分析】（1）转化直线l的极坐标方程为12sin 22ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，利用极坐标方程与直角坐标方程转化公式得直线l 的直角坐标方程；设点(),Px y 在曲线1C 上，点(),Q x y ''为坐标变换后点(),P x y的对应点，由题意得12x xy ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，代入化简即可得解； （2）写出直线的参数方程112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数)，代入2C 的直角坐标方程，由根与系数的关系可得1A B t t +=-，30A B t t =-<，转化条件11PA PB+=即可得解.【详解】（1）Q 直线l的极坐标方程可化为12sin 22ρθθ⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭，∴直线l的直角坐标方程为0y -=；设点(),Px y 在曲线1C 上，点(),Q x y ''为坐标变换后点(),P xy 的对应点，则12x x y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，∴()22221162x ⎛⎫' ⎪'⎝⎭+=，化简得()()224x y ''+=，∴曲线2C 的直角坐标方程为224x y +=；（2）由题意点(1,0)P 在直线l 上，21则直线l的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数)， 将直线l 的参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程可得：230t t +-=，112130∆=+=>，则1A B t t +=-，30A B t t =-<， ∴1111A B A B A B A B A B t t t t PA PB t t t t t t +-+=+====⋅⋅. 【点睛】本题考查了极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的转化，考查了直线参数方程t 的几何意义的应用，属于中档题.23.已知函数()ln(12)f x x x m =--+-．（1）当2m =时，求函数()y f x =的定义域；（2）己知函数()f x 的定义域为R ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）3|2x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭（2）3m <- 【分析】（1）由题意，分类讨论求解不等式|1||2|2x x --+>，即可得解；（2）转化条件得|1||2|m x x <--+恒成立，由绝对值三角不等式求得|1||2|x x --+的最小值即可得解.【详解】（1）当2m =时，由题意可得|1||2|2x x --+>， 所以2122x x x <-⎧⎨-++>⎩或21122x x x -≤<⎧⎨--->⎩或1122x x x ≥⎧⎨--->⎩，解得32x <-， 所以函数()y f x =的定义域为3|2x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭； （2）由题意可得|1||2|0x x m --+->恒成立即|1||2|m x x <--+恒成立，又因为()()()|1||2||2||1||21|3x x x x x x --+=-+--≥-+--=-，当且仅当1x ≥时，等号成立.所以实数m 的取值范围为3m <-.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解及绝对值三角不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题。
2020年辽宁省重点中学协作校 理科数学试题与答案
A. 2
B.1
C.
4 5
D.
-
3 5
不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不
不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不
题 ）
8. 已知函数
f (x) = sin(ωx + ϕ)(ω > 0,| ϕ| <
π 2
)
图象相邻两条对称轴之间的距离为
π 2
，将函数
线
y = f (x) 的图象向左平移
π 6
个单位后，得到的图象关于
y
轴对称，那么函数
y
=
f
(x)
的图象（
）
不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不
不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不
7. 设 a = 0.20.3 ，b = log0.30.2 ，c = 0.40.3 ，则（ ）
不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不
○ 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不
不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不
辽宁省2020年部分重点中学协作体高考模拟数学(理科)试卷(含答案)
辽宁省部分重点中学协作体2020年高考模拟考试数学（理科）试卷考试时间： 120 分钟f 考试分数： 150 分试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题，1—12题， 共60分）和第Ⅱ卷（非选择题，13-23题，共90分）。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
作答时，将答案写在答题卡，写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}022≤--=x x x A ，{}0>=x x B ，则A ∩B=（ ）A ． [-1，2]B ．（1，2]C ．（0，2]D ．（2，+∞）2．已知复数z 满足i i z -=+1)1(，i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ）A ．i -B ．1-C ．1D ．i3．已知3.0313.02,22log ===-c b a ，，则c b a 、、的大小关系是（ ）A ． a<b<cB ，a<c<bC ． c<a<bD ． b<c<a4．已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润额依次统计如下：由此所得回归方程为a x y+=12ˆ，若2020年4月广告投入9万元，可估计所获利润约为（ ） A ．100万元 B ．101 万元 C ．102万元 D ．103万元．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4634a a a +=+，则9S =（ ）A ．18B ． 24C ．48D ．366．人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，30~40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为dB x f )(，则有12101lg10)(-⨯⨯=x x f ，则dB 90的声音与dB 50的声音强度之比为（ ） A ．10 B ．100 C ．1000 D ．100007．函数x y 2tan =图象的对称中心坐标为（ ）A ．Z k k ∈),0,2(πB ．Z k k ∈),0,(πC ．Z k k ∈),0,2(π D ．Z k k ∈),0,4(π 8．已知二项式nx x )12(21+的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ）A ．240B ．120C ．48D ．36 9．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>++≤+-=1,41,82)(2x a x x x ax x x f ，若)(x f 的最小值为)1(f ，则实数a 的值不可能是（ ） A ． 1 B ．2 C ．3 D ．410．已知三棱锥A —BCD 中，侧面ABC ⊥底面BCD ，△ABC 是边长为3的正三角形，△BCD 是直角三角形，且∠BCD=90°，CD=2，则此三棱锥外接球的体积等于（ ）A ．π34B ．332π C ．π12 D ．364π 11．已知过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于B A ，两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点C ，若|BC|=2，|FB|=1，则|AB|=（ ）A ．3B ．4C ．6D ．612．已知)2(ln 2)(xx x t x e x f x ++-=恰有一个极值点为1，则t 的取值范围是（ ） A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∞6]41(e Y ， B ．]61,(-∞ C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧6]410[e Y ， D ．]41,(-∞ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．己知x ， y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+-0201y y x y x ，则y x -2的最小值是 .14．古代中国，建筑工匠们非常注重建筑中体现数学美，方形和圆形的应用比比皆是，在唐、宋时期的单檐建筑中较多存在1:2的比例关系，这是当时工匠们着意设计的常见比例，今天， A4纸之所以流行的重要原因之一，就是它的长与宽的比无限接近1:2，我们称这种满足了1:2的矩形为“优美”矩形。
辽宁省六校协作体2020届高三上学期期中考试数学(理)试卷(有答案)
辽宁省六校协作体2020届高三上学期期中考试数学（理）试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U R =，集合2{}230{|24}A x x x B x x =-->=<<，，则()U C A B = （ ） A ．[1,4]- B ．[1,4)-C ．[2,3)D ． (2,3]2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A ．“至少有1个白球”和“都是红球” B ．“至少有2个白球”和“至多有1个红球” C ．“恰有1个白球” 和“恰有2个白球” D ．“至多有1个白球”和“都是红球”3. 若22)4sin(2cos -=-παα，则cos sin αα+的值为（ ）A ．12 B ．12- C． D ．4. 已知分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且＝（ ）A ．－3B ． 1C ．－1D ．35. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则角A 的值为（ ） A ．3π B. 6π C. 2πD. 23π6. ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1= B ．⊥ C ． 1a b ⋅= D ．()4C a b +⊥B7.若样本1231,1,1,,1n x x x x ++++的平均数是10，方差为2，则对于样本12322,22,22,,22n x x x x ++++，下列结论正确的是（ ）(),()f x g x 32()()1,f x g x x x -=++(1)(1)f g +则A ．平均数为20，方差为4B ．平均数为11，方差为4C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为8 8.等差数列333log (2),log (3),log (42),x x x +的第四项为( )A ．3B ．4C ．3log 18D ．3log 249.已知()f x 的定义域为(,)-∞+∞，且满足(1)(1)(1)(1)0f x f x f x f x --+-=--+=， 若(1)2,f =则20191()i f i ==∑( )A ．2019-B ．0C ．2D ．201910. 如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于（ ）A ．1)mB ．1)mC ．1)mD ．1)m11. 设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>,已知()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点,有下述四个结论：①()f x 在(0,2)π恰好有3次取到最大值 ②()f x 在(0,2)π恰好有2次取到最小值③()f x 在(0,)10π单调递增④ω的取值范围是1229[,)510其中所有正确结论．．．．．．的编号是（ ） A ．①③④ B ．②④C ．①④D ．①③12. 已知函数有两个零点，，，则下面说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 有极小值点，且二．填空题：本大题共4小题，每小题5分 13. 函数lg 10x y =的值域是_________.14.若向量(1,2),(1,1),a b ==- 则2a b +与a 夹角的正弦值等于________. 15. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是34，连续两天为优良的概率是12，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是_______. 16. 如图，已知ABC ∆中，点D 在边BC 上，AD 为BAC ∠ 的平分线，且1,2AB AD AC ===. 则BDDC的值为_______， ABC ∆的面积为_______________.（本题第一空2分，第二空3分．）三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知函数()22cos cos 213f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.（1）求函数f (x )的最小正周期和对称轴方程；（2）讨论函数f (x )在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性.18.（本小题满分12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且b =ABC ∆面积的取值范围．19.（本小题满分12分）辽宁省六校协作体（葫芦岛第一高中、东港二中、凤城一中、北镇高中、瓦房店高中、丹东四中）中的某校理科实验班的100名学生期中考试的语文、数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100,110），[110,120），[120,130），[130,140），[140,150]．这100名学生语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比如下表所示：（1）估计这100名学生数学成绩的平均数、方差；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）从数学成绩在[130，150] 的学生中随机选取2人，该2人中数学成绩在[140，150]的人数为X ，求X 的数学期望()E X ．20.（本小题满分12分）已知数列}{n a 、}{n b 满足1,211==b a ，且1111434(2)434n n n n n n a a b n b a b ----=++⎧≥⎨=++⎩（1）令,,n n n n n n c a b d a b =+=-证明：{}n c 是等差数列，{}n d 是等比数列；)（2）求数列}{n a 和{}n b 的通项公式；（3）求数列22{}nn a b -的前n 项和公式n S ．21.（本小题满分12分）已知函数x ax ax x f ln 221)(2+-=有两个极值点1x 、2x ，且2121>⋅x x ． （1）求实数a 的取值范围M ； （2）若]2,221[0+∈∃x ，使不等式2ln 2)1()1()1ln()(20++-->++a a b a x f 对M a ∈∀ 恒成立，求实数b 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是πtan (π)2y x αα=<<，曲线1C 的参数方程是cos sin x a a y a ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程是2sin b ρθ=． （1）写出l 及1C 的极坐标方程；（2）已知12a =，1b =，l 与1C 交于,O M 两点，l 与2C 交于,O N 两点， 求22||||||OM OM ON +的最大值．23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设0,0,0a b c >>>，1ab bc ca ++=． （1）求证：111a b c bc ca ab a b c++≥++．（2）求证：a b c ++≥．数学参考答案（理科）一、选择题二、填空题13、 (0,)+∞ 14、10 15、 23 16、1,12三、解答题17. 解：（1），…………（3分）因为，所以最小正周期，…………（5分）令，所以对称轴方程为，.…………（6分）（2）令，得，，…………（8分） 设，{|,}36B x k x k k Z ππππ=-+≤≤+∈，易知，…………（10分）所以，当时，在区间上单调递增； 在区间上单调递减. …………（12分）18. （1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=． 因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A CB +=． ()22cos cos 213f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭1cos 2cos 22sin 226x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭2ω=2Tππω==2=62x k πππ++62k x ππ=+k Z ∈222262k x k πππππ-+≤+≤+36k x k ππππ-+≤≤+k Z ∈,44A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,46AB ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x ,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦由180A B C ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos 02B ≠，故1sin 22B =，因此60B ︒=．…………（4分）（2）由正弦定理，2sin sin sin a c b A C B ===，所以2sin ,2sin a A c C == ， ABC ∆的面积11sin 2sin 2sin 22S ac B A C ==⋅⋅sin A C=2sin()3A A π=-213sin )sin cos 22A A A A A A =+=+31cos2sin 242A A -=+)6A π=-…………（8分） 因为ABC ∆为锐角三角形，所以022032A C A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，因此62A ππ<<.…………（10分） 所以52666A πππ<-<，1sin(2)126A π<-≤S <≤， 因此ABC ∆的面积的取值范围是. …………（12分）19. 解：（1）这100名学生语文成绩的平均数是：1050.051150.41250.31350.21450.05123⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…………（2分） 这100名学生语文成绩的方差是：22222(105123)0.05(115123)0.4(125123)0.3(135123)0.2(145123)0.0596-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=…………（4分）（2）∵数学成绩在[100，140）之内的人数为14(20.050.40.30.2)1009023⨯+⨯+⨯+⨯=∴数学成绩在[140，150]的人数为1009010-=人，而数学成绩在[130，140）的人数为0.210020⨯=人，…………（6分） X 可取0,1,2，021********(0)87C C P X C ===，11102023040(1)87C C P X C ===，2010202303(2)29C C P X C ===，X 的分布列…………（10分） ∴384032()0128787293E X =⨯+⨯+⨯=．…………（12分）（注：或用超几何分布的期望公式计算：这里X 服从参数为30,10,2N M n ===的超几何分布，因此102()2.303M E X n N =⋅=⨯=） 20.（1）证明：由题设得114()4()8n n n n a b a b --+=++，即112n n n n a b a b --+=++，因此12(2)n n c c n --=≥，又1113c a b =+=， 所以数列{}n c 是首项为3，公差为2的等差数列. …………（2分） 又由题设得114()2()n n n n a b a b ---=-， 即112()n n n n a b a b ---=-，因此11(2)2n n d d n -=≥，又1111d a b =-=， 所以数列{}n d 是首项为1，公比为12的等比数列. …………（4分） (2)由（1）知1121,().2n n n c n d -=+=即1211()2n n n n n a b n a b -+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1111(),().2222n n n na nb n =++=+-…………（6分） （3）2211()()(21)().2n n n n n n n n n a b a b a b c d n --=+-==+0221111113()57()(21)()(21)()22222n n n S n n --=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅23111111135()7()(21)()(21)()222222n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅ 2311211111132[()()()](21)()22222211[1()]12232(21)()1212115()(21)()22n nn n nn nS n n n ---=+⨯++++-+⋅⨯-=+⨯-+⋅-=--+⋅两式相减得， 所以1110(25)()2n n S n -=-+⋅.…………（12分）21. 解：（1）)0(1212)(2>+-=+-='x xax ax x a ax x f ， ………………（2分）0120)(2=+-⇔='ax ax x f ，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>+>-=∆≠210044021212x x x x a a a ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>>-≠2110204402a a a a ， ………………（4分）解得a 的取值范围)2,1(=M ． ………………（6分）（2）由0122=+-ax ax ，解得aaa a x a a a a x -+=--=2221,，而)(x f 在),0(1x 上递增，在),(21x x 上递减，在),(2+∞x 上递增 ∵21<<a ，∴2211112+<-+=a x ．∴)(x f 在]2,221[+上单调递增， ∴在]2,221[+上，2ln 2)2()(max +-==a f x f ． ………………（7分） ∴“]2,221[0+∈∃x ，使2ln 2)1()1()1ln()(20++-->++a a b a x f 对M a ∈∀恒成立”等价于“不等式2ln 2)1()1()1ln(2ln 22++-->+++-a a b a a 恒成立”，即，不等式012ln )1ln(2>+-+--+b a ba a 对任意的a （21<<a ）恒成立． ………………（8分） 令12ln )1ln()(2+-+--+=b a ba a a g ，则0)1(=g ．1221211)(2+---=--+='a aba ba ba a a g ． ①当0≥b 时，0122)(2<+---='a aba ba a g ，)(a g 在)2,1(上递减．0)1()(=<g a g ，不合题意．②当0<b 时，1)211(2)(+++-='a b a ba a g ，∵21<<a ，若1)211(>+-b，即041<<-b 时，则)(a g 在)2,1(上先递减，∵0)1(=g ，∴21<<a 时，0)(>a g 不能恒成立；若1)211(≤+-b ，即41-≤b 时，则)(a g 在)2,1(上单调递增， ∴>)(a g 0)1(=g 恒成立，∴b 的取值范围为]41,(--∞． ………………（12分）22. 解：（1）把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入tan y x α=得tan tan θα=，所以l 极坐标方程是π(,π)2θαρα=∈<<R ． 1C 的普通方程是2220x y ax +-=，其极坐标方程是2cos a ρθ=．…………（5分）（2）1C ：cos ρθ=，2C ：2sin ρθ=，θα=分别代入1C ，2C 得||cos OM α=-，||2sin ON α=．所以22π2||||||2cos 2cos sin 2)14OM OM ON αααα+=-=-+．因为ππ2α<<，当7π8α=时，所以22||||||OM OM ON +1．…………（10分）23. 证明：（1）因为2a b bc ca c +≥=，同理2b c ca ab a +≥，2a c bc ab b +≥， 所以111a b c bc ca ab a b c++≥++． …………（5分） （2）由（1）得222a b c ab bc ca ++≥++．因为1ab bc ca ++=， 所以2221a b c ++≥．因为2222222()2222a b c a b c ab bc ca a b c ++=+++++=+++．所以2()3a b c ++≥，即a b c ++≥． …………（10分）。
2020届辽宁省部分重点中学协作体高三下学期高考模拟考试数学(理)试题(带答案)
辽宁省部分重点中学协作体2020年高考模拟考试数学（理科）试卷考试时间： 120 分钟f 考试分数： 150 分试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题，1—12题， 共60分）和第Ⅱ卷（非选择题，13-23题，共90分）。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
作答时，将答案写在答题卡，写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}022≤--=x x x A ，{}0>=x x B ，则A ∩B=（ ）A ． [-1，2]B ．（1，2]C ．（0，2]D ．（2，+∞） 2．已知复数z 满足i i z -=+1)1(，i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．i - B ．1- C ．1 D ．i 3．已知3.0313.02,22log ===-c b a ，，则c b a 、、的大小关系是（ ）A ． a<b<cB ，a<c<bC ． c<a<bD ． b<c<a 4．已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润额依次统计如下：由此所得回归方程为a x y+=12ˆ，若2020年4月广告投入9万元，可估计所获利润约为（ ） A ．100万元 B ．101 万元 C ．102万元 D ．103万元． 5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4634a a a +=+，则9S =（ ）A ．18B ． 24C ．48D ．366．人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，30~40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为dB x f )(，则有12101lg10)(-⨯⨯=xx f ，则dB 90的声音与dB 50的声音强度之比为（ ） A ．10 B ．100 C ．1000 D ．10000 7．函数x y 2tan =图象的对称中心坐标为（ ）A ．Z k k ∈),0,2(πB ．Z k k ∈),0,(πC ．Z k k ∈),0,2(π D ．Z k k ∈),0,4(π8．已知二项式nxx )12(21+的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ） A ．240 B ．120 C ．48 D ．369．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>++≤+-=1,41,82)(2x a x x x ax x x f ，若)(x f 的最小值为)1(f ，则实数a 的值不可能是（ ） A ． 1 B ．2 C ．3 D ．410．已知三棱锥A —BCD 中，侧面ABC ⊥底面BCD ，△ABC 是边长为3的正三角形，△BCD 是直角三角形，且∠BCD=90°，CD=2，则此三棱锥外接球的体积等于（ ） A ．π34 B ．332π C ．π12 D ．364π11．已知过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于B A ，两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点C ，若|BC|=2，|FB|=1，则|AB|=（ ）A ．3B ．4C ．6D ．612．已知)2(ln 2)(xx x t x e x f x ++-=恰有一个极值点为1，则t 的取值范围是（ ） A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∞6]41(e Y ， B ．]61,(-∞ C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧6]410[e Y ， D ．]41,(-∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．己知x ， y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+-0201y y x y x ，则y x -2的最小值是 .14．古代中国，建筑工匠们非常注重建筑中体现数学美，方形和圆形的应用比比皆是，在唐、宋时期的单檐建筑中较多存在1:2的比例关系，这是当时工匠们着意设计的常见比例，今天， A4纸之所以流行的重要原因之一，就是它的长与宽的比无限接近1:2，我们称这种满足了1:2的矩形为“优美”矩形。
2020年辽宁协作体-理数答案
步骤应有作图（到 1 分）、简证（到 3 分）、求解(到 6 分)
19.解：（I）由 n 次重复试验恰好发生 k 次的概率公式可知，在未来的 4 个月
中，至少有 2 个月的月需求量低于 100 万件的概率：
方法一：
p
C42
(
1 2
)2
(1
1)2 2
C43
(
1 2
)3
(1
1 )1 2
C44
(
1 2
)4
cos 2x 3 sin 2x 1 2sin(2x ) 1 ………………………3 分 6
Q
x
0,
2
,
2x 6
6
,
7 6
,
f
(x)的值域为0,3 …………6
分
（II）因为 f ( A) 3 ，所以 2sin( A ) 1 3 ， sin( A ) 1
2
6
6
因为 0 A ，所以 A ． 3
（ II ） 方 法 一 ： 取 AB 的 中 点 O , A1B1 的 中 点 O1 , 连 结 OO1 和 OC , 易 知
OB, OC, OO1 两两垂直，以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系。则有
高三数学理科答案 共 6 页 (第 1 页)
A(1, 0, 0), D( 1 , 3 , 0), C(0, 22
20．解：（I）设椭圆的焦距为 2c ，
方法一：利用椭圆定义 2a | PF1 | PF2 | 2 2 , a2 2 ,
所以 b2 a2 c2 1,故 C ： y2 x2 1………………………………………4 分 2
方法二：由已知
1
a2
1 2b2
辽宁部分重点中学协作体2020年高三数学(理)高考模拟试卷附答案解析
A．18
B． 24
C．48
D．36
6．人们通常以分贝（符号是 dB）为单位来表示声音强度的等级，30~40 分贝是较理想的
安静环境，超过 50 分贝就会影响睡眠和休息，70 分贝以上会干扰谈话，长期生活在 90
1
分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然 暴露在高达 150 分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳
x
1
，若
f
(x)
的最小值为
f
(1) ，则实数
a
的值不可能
是（ ）
A． 1
B．2
C．3
D．4
10．已知三棱锥 A—BCD 中，侧面 ABC⊥底面 BCD，△ABC 是边长为 3 的正三角形，△
BCD 是直角三角形，且∠BCD=90°，CD=2，则此三棱锥外接球的体积等于（ ）
A． 4 3
B．
32 3
C．12
6
7
8
9
10
11
12
（2）设点 P(1,0) ，
直线 l 与曲线 C2 的两个交点分别为 A，
B，求
1 PA
1 PB
的值．
23．选修 4—5：不等式选讲（本小题满分 10 分）
已知函数 f (x) ln( x 1 x 2 m) ． （1）当 m=2 时，求函数 y f (x) 的定义域； （2）己知函数 f (x) 的定义域为 R，求实数 m 的取值范围．
A．(2k ,0), k Z
B．(k ,0), k Z
C．(
k 2
,0), k
Z
D．(
k 4
,0), k
2020届辽宁省六校协作体高三上学期期中联考数学(理)试卷及答案
绝密★启用前辽宁省六校协作体2020届高三年级上学期期中质量监测联考数学（理）试题一．选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U R =,集合2{}230{|24}A x x x B x x =-->=<<，,则()U C A B = （ ）A ．[1,4]-B ．[1,4)-C ．[2,3)D ． (2,3] 2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．“至少有1个白球”和“都是红球”B ．“至少有2个白球”和“至多有1个红球”C ．“恰有1个白球” 和“恰有2个白球”D ．“至多有1个白球”和“都是红球”3. 若22)4sin(2cos -=-παα,则cos sin αα+的值为（ ）A ．12B ．12- C．2- D ．24. 已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且32()()1,f x g x x x -=++(1)(1)f g +则＝（ ）A ．－3B ． 1C ．－1D ．35. 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若cos cos sin b C c B a A +=,则角A 的值为（ ）A ．3π B. 6π C. 2π D. 23π 6. ABC ∆是边长为2的等边三角形,已知向量a ,b 满足2AB a =,C 2a b A =+,则下列结论正确的是（ ）A ．1=B ．⊥C ． 1a b ⋅=D ．()4C a b +⊥B7.若样本1231,1,1,,1n x x x x ++++的平均数是10,方差为2,则对于样本12322,22,22,,22n x x x x ++++,下列结论正确的是（ ） A ．平均数为20,方差为4 B ．平均数为11,方差为4C ．平均数为21,方差为8D ．平均数为20,方差为88.等差数列333log (2),log (3),log (42),x x x +的第四项为( )A ．3B ．4C ．3log 18D ．3log 249.已知()f x 的定义域为(,)-∞+∞,且满足(1)(1)(1)(1)0f x f x f x f x --+-=--+=,若(1)2,f =则20191()i f i ==∑( )A ．2019-B ．0C ．2D ．201910. 如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为75,30,此时气球的高是60cm ,则河流的宽度BC 等于（ ）A ．1)mB ．1)mC ．1)mD ．1)m。
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2020届辽宁省部分重点中学协作体高三模拟数学（理科)试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合{}220A x x x =--≤，{}0B x x =>，则A B =I （ ） A ．[1-，2] B ．（1，2] C ．（0，2] D ．（2，+∞） 2．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i -B ．iC ．1D ．1- 3．已知10.330.3log22,2a b c -===，，则a b c 、、的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润额依次统计如下：由此所得回归方程为ˆ12yx a =+，若2020年4月广告投入9万元，可估计所获利润约为（ ）A ．100万元B ．101 万元C ．102万元D ．103万元． 5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3644a a a +=+，则9S =（ ） A ．18 B ．24 C ．48 D ．36 6．人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，30~40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为()f x dB ，则有12()10lg110x f x -=⨯⨯，则90dB 的声音与50dB 的声音强度之比为（ ）A ．10B ．100C ．1000D ．10000 7．函数tan 2y x =图象的对称中心坐标为（ ）A ．(2,0),k k Z π∈B ．(,0),k k Z π∈C ．(,0),2k k Z π∈D ．(,0),4k k Z π∈ 8．已知二项式121(2)n x x+的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ）A ．240B ．120C ．48D ．36 9．已知函数228,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值不可能是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，ABC V 是边长为3的正三角形，BCD V 是直角三角形，且90BCD ∠=︒，2CD =，则此三棱锥外接球的体积等于（ ）A． B ．323π C ．12π D ．643π 11．已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A B ，两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点C ，若2BC =，1FB =，则AB =（ ）A ．3B ．4C ．6D ．612．已知2()2(ln )x e f x t x x x x=-++恰有一个极值点为1，则t 的取值范围是（ ） A ．1(]46e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭， B ．1(,]6-∞ C ．1[0]46e ⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭， D ．1(,]4-∞ 13．己知x ，y 满足约束条件1020x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值是______．14．古代中国，建筑工匠们非常注重建筑中体现数学美，方形和圆形的应用比比皆是，的比例关系，这是当时工匠们着意设计的常见比例，今天，4A 纸之所以流行的重要原因之一，，的矩形为“优美”矩形．现有一长方体1111ABCD A B C D -，1AD =，AC =1AC =“优美”矩形的个数为___________．15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，121n n S a +=+则n S =______． 16．已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点12F F ，，点P 是1C 与2C 的一个公共点，12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形，24PF =，1C 的离心率为37，则2C 的离心率是______．17．已知(2cos ,sin ),(cos ,)m x x n x x ==u r r ，且()f x m n =⋅u r r ．（1）求()f x 在[0,]2π上的值域；（2）已知,,a b c 分别为ABC V 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，若()32Af =，且2a =，4b c +=，求ABC V 的面积．18．已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，D 是BC 的中点．（1）求证：1A B ∥平面1ADC ；（2）求锐二面角1D AC C --的余弦值．19．某工厂计划建设至少3个，至多5个相同的生产线车间，以解决本地区公民对特供商品A 的未来需求．经过对先期样本的科学性调查显示，本地区每个月对商品A 的月需求量均在50万件及以上，其中需求量在50~ 100万件的频率为0.5，需求量在100~200万件的频率为0.3，不低于200万件的频率为0.2．用调查样本来估计总体，频率作为相应段的概率，并假设本地区在各个月对本特供商品A 的需求相互独立．（1）求在未来某连续4个月中，本地区至少有2个月对商品A 的月需求量低于100万件的概率．（2）该工厂希望尽可能在生产线车间建成后，车间能正常生产运行，但每月最多可正常生产的车间数受商品A 的需求量x 的限制，并有如下关系：若一个车间正常运行，则该车间月净利润为1500万元，而一个车间未正常生产，则该车间生产线的月维护费（单位：万元）与月需求量有如下关系：试分析并回答该工厂应建设生产线车间多少个？使得商品A 的月利润为最大．20．己知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：过点2P ，1(0,1)F -，2(0,1)F 是两个焦点．以椭圆C 的上顶点M 为圆心作半径为()0r r >的圆，（1）求椭圆C 的方程；（2）存在过原点的直线l ，与圆M 分别交于A ，B 两点，与椭圆C 分别交于G ，H 两点（点H 在线段AB 上），使得AG BH =u u u r u u u r ，求圆M 半径r 的取值范围．21．已知函数()1ln f x ax x =++．（1）221()()(1)2g x af x x a a x =+-++，求函数()g x 的单调区间： （2）对于任意0x >，不等式()x f x xe ≤恒成立，求实数a 的取值范围．22．已知平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为221162x y +=，以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos()6πρθ+=若将曲线1C 上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，倍，得曲线2C ． （1）写出直线l 和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点(1,0)P ， 直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A ，B ，求11PA PB+的值． 23．已知函数()ln(12)f x x x m =--+-．（1）当2m =时，求函数()y f x =的定义域；（2）己知函数()f x 的定义域为R ，求实数m 的取值范围．参考答案1．C【解析】【分析】 由题意可得{}12A x x =-≤≤，再由集合交集的概念即可得解.【详解】 由题意{}()(){}{}22021012A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤， 所以{}{}{}(]120020,2A B x x x x x x ⋂=-≤≤⋂>=<≤=.故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解及集合的运算，属于基础题.2．D【解析】【分析】根据复数z 满足()11z i i +=-，利用复数的除法求得z ，再根据复数的概念求解.【详解】因为复数z 满足()11z i i +=-， 所以()()()211111i i z i i i i --===-++-， 所以z 的虚部为1-.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．A【解析】【分析】由题意结合对数函数、指数函数的性质可得01a b c <<<<，即可得解.【详解】由题意0.30.3log 2log 10a =<=，1030221b -<=<=，0.30221c =>=，所以01a b c <<<<.故选：A.【点睛】本题考查了对数式、指数式的大小比较，考查了对数函数、指数函数单调性的应用，属于基础题.4．C【解析】【分析】 由题意计算出x 、y ，进而可得12a y x =-，代入9x =即可得解.【详解】 由题意()18.27.887.98.185x =++++=，()19289898793905y =++++=， 所以12901286a y x =-=-⨯=-，所以ˆ126yx =-， 当9x =时，ˆ1296102y=⨯-=. 故选：C.【点睛】本题考查了线性回归方程的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.5．D【解析】【分析】由题意结合等差数列的性质可得54a =，再由等差数列前n 项公式结合等差数列的性质可得1995992a a S a +=⨯=，即可得解. 【详解】Q 数列{}n a 是等差数列，∴365444a a a a a +=+=+，∴54a =，∴199599362a a S a +=⨯==. 故选：D.【点睛】本题考查了等差数列的性质及其前n 项和公式的应用，属于基础题.6．D【解析】【分析】设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ，由题意1219010lg 110x -=⨯⨯，1225010lg110x -=⨯⨯，计算即可得解.【详解】 设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ， 由题意1219010lg110x -=⨯⨯，1225010lg 110x -=⨯⨯， 所以3110x -=，7210x -=，所以3417210101000010x x --===. 故选：D.【点睛】本题考查了对数运算的应用，考查了对于新概念的理解，属于基础题.7．D【解析】【分析】 由题意结合正切函数的图象与性质可得2,2k x k Z π=∈，即可得解. 【详解】 令2,2k x k Z π=∈，则,4k x k Z π=∈， 所以函数tan 2y x =图象的对称中心坐标为,0,4k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了正切函数图象与性质的应用，属于基础题.8．A【解析】【分析】由题意结合二项式系数和的性质可得264n =即6n =，写出二项式展开式的通项公式3362162r r rr T C x --+=⋅⋅，令3302r -=即可得解. 【详解】由题意264n =，解得6n =，则1162211(2)(2)n x x x x +=+， 则二项式1621(2)x x +的展开式的通项公式为6133622166122r r r r r r r T C x C x x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令3302r -=即2r =，则6426622240r r C C -⋅=⋅=. 故选：A.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.9．A【解析】【分析】由题意结合基本不等式可得当1x >时，()4f x a ≥+；由二次函数的性质可得1a >，进而可得924a a -≤+，即可得解.【详解】由题意当1x >时，()44f x x a a a x =++≥=+， 当且仅当2x =时，等号成立；当1x ≤时，()228f x x ax =-+，图象为二次函数图象的一部分，对称轴为x a =， 当1a <时，()f a 为函数()f x 在(],1-∞上的最小值，不合题意；当1a ≥时，()1f 为函数()f x 在(],1-∞上的最小值，()192f a =-，由题意可得924a a -≤+，解得53a ≥； 综上，实数a 的取值范围为53a ≥.故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数最值相关问题的求解及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 10．B 【解析】 【分析】取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ，过点O 作OH AG ⊥于H ，连接AO 、BO ，设1OO m =，由勾股定理可得22134OD m =+、221OA m ⎫=+⎪⎪⎝⎭，利用22OD OA =即可得m =，进而可得外接球半径2R =，即可得解. 【详解】取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，由题意可得1O 为BCD V 的外心，AG ⊥平面BCD ，过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ， 过点O 作OH AG ⊥于H ，连接AO 、OD ，可知四边形1OHGO 为矩形，Q ABC V 是边长为3，2CD =，∴AG =，BD =11O G =，设1OO m =，则2HA m =-，∴222211134OD DO OO m =+=+，22221OA OH HA m ⎫=+=+⎪⎪⎝⎭，由22OD OA =可得221314m m ⎫+=+-⎪⎪⎝⎭，解得m =，∴三棱锥A BCD -外接球的半径2R ==， ∴此三棱锥外接球的体积343233V R ππ==. 故选：B. 【点睛】本题考查了三棱锥几何特征的应用及外接球的求解，考查了面面垂直性质的应用和空间思维能力，属于中档题. 11．B 【解析】 【分析】分别过点B 、A 作准线l 的垂线，垂足分别为G 、H ，由抛物线的性质可得1BG FB ==，设AF AH x ==，由平面几何的知识即可得解. 【详解】分别过点B 、A 作准线l 的垂线，垂足分别为G 、H ，由题意1BG FB ==，2BC =，设AF AH x ==，由三角形相似可得BG BC AHAC=即1212x x=++，解得3x =， 则4AB AF BF =+=. 故选：B. 【点睛】本题考查了抛物线性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 12．D 【解析】 【分析】由题意结合导数转化条件得()22xt e x =+在()0,∞+上无解，令()()()022x e g x x x =≥+，求导后确定函数()g x 的值域即可得解. 【详解】由题意，函数()f x 的定义域为()0,∞+， 对函数()f x 求导得()()()2221212()2(1)21xx x e x e f x t x x x t x x⎡⎤-+⎣⎦'--=-+-=，Q 2()2(ln )xe f x t x x x x=-++恰有一个极值点为1，∴()220xe x t +=-在()0,∞+上无解，即()22xt e x =+在()0,∞+上无解，令()()()022xe g x x x =≥+，则()()()()()222222102222x x x e x e e x g x x x +-+'==>++， ∴函数()g x 在[)0,+∞单调递增，当()0,x ∈+∞时，()()104g x g >=， ∴14a ≤. 故选：D. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于基础题. 13．2- 【解析】 【分析】由题意作出可行域，转化目标函数为2y x z =-，数形结合即可得解. 【详解】由题意画出可行域，如图阴影所示：令2z x y =-，目标函数可转化为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，数形结合可得，当直线2y x z =-过点A 时，z 取最小值，由010y x y =⎧⎨-+=⎩可得()1,0A -，此时min 2z =-.故答案为：2-. 【点睛】本题考查了简单线性规划的应用，属于基础题. 14．4 【解析】 【分析】由题意求出该长方体的长、宽、高后，根据新概念验证即可得解. 【详解】由题意，该长方体如图所示：Q1AD =，AC =1AC =∴1CC ==4AD ===，2CD ==，∴2AB CD ==，11CC AA ==∴1AA AB =1AD AA =2AD AB=， ∴此长方体的表面六个矩形中，“优美”矩形的个数为4.故答案为：4. 【点睛】本题考查了长方体几何特征的应用及对于新概念的理解，属于基础题. 15．()11312n -+ 【解析】 【分析】由题意利用数列n a 与n S 的关系可转化条件为131n n S S +=-，进而可得111322n n S S +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用等比数列的通项公式即可得解. 【详解】Q 121n n S a +=+，11a =，∴111S a ==，11211n n n n S a S S ++=+=-+,∴131n n S S +=-即113133222n n n S S S +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭， 又11122S -=，∴数列12n S ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为12，公比为3的等比数列，∴111322n n S --=⋅，∴()11111331222n n n S --=⋅+=+. 故答案为：()11312n -+. 【点睛】本题考查了数列n a 与n S 关系的应用，考查了通过构造新数列求数列的通项，属于中档题. 16．3 【解析】 【分析】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，122F F c =，由椭圆的离心率结合题意可得1123PF F F ==，再由双曲线的离心率公式即可得解. 【详解】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，122F F c =， 由题意椭圆1C 的离心率12111122327F F c c e a a PF PF ====+， 又12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形，24PF =，∴1212347F F F F =+，解得1123PF F F ==，∴双曲线2C 的离心率1222212232F F c ce a a PF PF ====-. 故答案为：3. 【点睛】本题考查了椭圆性质、双曲线性质的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题. 17．（1）[0,3]（2【解析】 【分析】（1）由题意结合平面向量数量积运算、三角恒等变换可得()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，进而可得1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即可得解； （2）由题意可得3A π=，利用余弦定理可得24()3b c bc =+-，求得4bc =后，利用三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）由题意可得2()2cos cos f x m n x x x=⋅=+u rr1cos 222cos 2212sin 2126x x x x x π+⎛⎫=⨯+=++=++ ⎪⎝⎭ Q 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴()f x 的值域为[0,3]；（2）因为32A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以2sin 136A π⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=，sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 因为0A π<<，所以3A π=，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc =+-∴24()3b c bc =+-，由4b c +=可得4bc =，1sin 2ABC S bc A ∴==△【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算、三角恒等变换与解三角形的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题. 18．（1）见解析（2【解析】 【分析】（1）连结1A C ，设11AC AC M =I ，由平面几何知识可得1//A B MD ，由线面平行的判定即可得证；（2）建立空间直角坐标系，表示出点的坐标后，求得平面1DAC 的一个法向量m u r、平面1ACC 的一个法向量n r，利用cos ,m n m n m n⋅=⋅u r ru r r u r r 即可得解. 【详解】（1）证明：连结1A C ，设11AC AC M =I ，则M 是1A C 的中点，再连结DM ，因为D 是BC 的中点，所以DM 是1A BC V 的中位线，所以1//A B MD ， 又因为1A B ⊄平面1ADC ，DM ⊂平面1ADC ， 所以1//A B 平面1ADC ；（2）取AB 的中点O ，过点O 作1//Oz AA ，连结OC ，易知OB 、OC 、Oz 两两垂直，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则有(1,0,0)A -，12D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，C，1C ，所以32AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r，()1AC =u u u ur，()AC =u u u r ，设平面1DAC 的一个法向量(,,)m x y z =u r，则130220m AD x y mAC x z ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=++=⎩u u u v v u u u u v v ，令1x =，则有(1,m =u r ， 设平面1ACC 的一个法向量(,,)n a b c =r，则1020m AC a n AC a c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u u v v ，令1b =-则)1,0n =-r ，所以cos ,m n m n m n⋅===⋅u r ru r r u r r ，所以二面角1D AC C --． 【点睛】本题考查了线面平行的证明及利用空间向量求二面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题. 19．（1）1116（2）4个 【解析】 【分析】（1）由独立重复实验的概率公式结合题意计算即可得解；（2）按照建设3个车间、4个车间、5个车间讨论，分别求出对应的分布列和期望，比较期望大小即可得解. 【详解】（1）由题意每月需求量在50~ 100万件的概率为0.5，则由独立重复实验概率公式可得所求概率223142344441111111112222216P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）（i ）当建设3个车间时，由于需求量在50万件以上，此时的净利润Y 的分布列为：则()450014500E Y =⨯=（万元）；（ii ）当建设4个车间时，需求量50100x ≤<时，则有3个车间正常运行时，会有1个车间闲置，此时的净利润150035004000Y =⨯-=；需求量100x ≥时，则4个车间正常运行，此时的净利润150046000Y =⨯=； 则Y 的分布列为：则()40000.560000.55000E Y =⨯+⨯=（万元）（iii ）当建设5个车间时，需求量50100x ≤<时，则有3个车间正常运行时，会有2个车间闲置，此时的净利润1500350023500Y =⨯-⨯=；需求量100200x ≤<时，则4个车间正常运行，会有1个车间闲置， 此时1500460015400Y =⨯-⨯=；需求量200x ≥时，则5个车间正常运行，此时的净利润150057500Y =⨯=； 则Y 的分布列为：则()35000.554000.375000.24870E Y =⨯+⨯+⨯=（万元） 综上所述，要使该工厂商品A 的月利润为最大，应建设4个生产线车间． 【点睛】本题考查了独立重复实验概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望的求解与应用，属于中档题.20．（1）22:12y C x +=（2）【解析】 【分析】（1）由题意结合椭圆性质可得122|a PF PF =+=，进而可得2221b a c =-=，即可得解；（2）当直线斜率不存在时，r =当直线斜率存在时，设直线l 方程为：y kx =， ()11,G x y ，()22,H x y ，联立方程后利用弦长公式可得||GH =||AB =||||AB GH =，可得24212132r k k ⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭，即可得解. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意1c =，122|a PF PF =+=22a =，2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2212y x +=；（2）当直线斜率不存在时，圆M过原点，符合题意，r =当直线斜率存在时，设直线l 方程为：y kx =，()11,G x y ，()22,H x y ， 由直线l 与椭圆C 交于G 、H 两点，则2212y kx y x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以()22220k x +-=，>0∆， 则1212220,2x x x x k+==-+，所以||H G ==点M 到直线l的距离d=，则||AB =， 因为AG BH =u u u r u u u r，点H 在线段AB 上，所以点G 在线段AB 的延长线上， 只需||||AG BH =即||||AB GH =，所以()2222812421k r k k +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 则()()2422224242212332*********k k k r k k k k k k +++⎛⎫=+==+ ⎪++++++⎝⎭因为24223132224k k k ⎛⎫++=+-≥ ⎪⎝⎭，所以42110322k k <≤++，所以(]22,3r ∈，r ∈；综上，r的取值范围为.【点睛】本题考查了椭圆方程的确定，考查了直线、圆、椭圆的综合应用，属于中档题.21．（1）见解析（2）1a ≤ 【解析】 【分析】（1）求导后，按照1a >、1a =、01a <<与0a ≤分类，分别解出不等式()0g x '>，即可得解；（2）转化条件得对于任意0x >，不等式ln 1x xe x a x --≤恒成立，设ln 1()x xe x F x x--=，则22ln ()x x e x F x x +'=，设2()ln xh x x e x =+，求导后可得()h x 在(0,)+∞上单调递增，进而可得01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即0()0F x '=，则()0()F x F x ≥，设()()0x x xe x ϕ>=，求导后可得()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，即可证000011ln x x e x x ⎛⎫=⇔= ⎪⎝⎭，代入求出()0F x 后，即可得解.【详解】（1）由题意21()ln (1),(0)2g x a x x a x a x =+-++>， 则2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a g x x a x x x'-++--=+-+==， （i ）当1a >时，()0g x '>的解集为((,1))0,a +∞U ，则()g x 的单调增区间为(0,1)和(,)a +∞，单调减区间为(1,)a ；（ii ）当1a =时，()0g x '≥，则()g x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间； （iii ）当01a <<时，()0g x '>的解集为(0,)(1,)a +∞U ，则()g x 的单调增区间为(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间为(,1)a ；（iiii ）当0a ≤时，()0g x '>的解集为(1,)+∞，则()g x 的单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1).（2）由已知，问题等价于对于任意0x >，不等式ln 1x xe x a x--≤恒成立，设ln 1()x xe x F x x --=，则22ln ()x x e xF x x+'=， 设2()ln xh x x e x =+，则()21()2xh x x x e x'=++， 在(0,)+∞上，()0h x '>，()h x 单调递增，又12110e h e e -⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，(1)0h e =>，所以1(1)0h h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即0()0F x '=， 在()00,x 上，()0F x '<，()F x 单调递减； 在()0x +∞上，()0F x '>，()F x 单调递增； 所以()0()F x F x ≥，又有00001ln 20000000111ln ln ln x x x x x e x x e x e ex x x ⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇔⇔， 设()()0xx xex ϕ>=，则有()001lnx x ϕϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭和()(1)0xx x e ϕ'=+>， 所以在(0,) +∞上，()x ϕ单调递增，所以000011ln x x e x x ⎛⎫=⇔= ⎪⎝⎭， 所以()0000000ln 111()1x x e x x F x F x x x --+-≥===， 故实数a 的取值范围为1a ≤. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于难题.22．（10y -=，224x y +=（2【解析】 【分析】（1）转化直线l的极坐标方程为12sin 22ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭标方程转化公式得直线l 的直角坐标方程；设点(),P x y 在曲线1C 上，点(),Q x y ''为坐标变换后点(),P x y的对应点，由题意得12x xy ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，代入化简即可得解； （2）写出直线的参数方程112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数)，代入2C 的直角坐标方程，由根与系数的关系可得1A B t t +=-，30A B t t =-<，转化条件11PAPB+=即可得解. 【详解】（1）Q 直线l的极坐标方程可化为12cos sin 22ρθθ⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭，∴直线l0y --=；设点(),P x y 在曲线1C 上，点(),Q x y ''为坐标变换后点(),Px y 的对应点，则12x x y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，∴()22221162x ⎛⎫' ⎪'⎝⎭+=，化简得()()224x y ''+=，∴曲线2C 的直角坐标方程为224x y +=；（2）由题意点(1,0)P 在直线l 上，则直线l 的参数方程为1122x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数)， 将直线l 的参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程可得：230t t +-=，112130∆=+=>， 则1A B t t +=-，30A B t t =-<，∴1111A B A B A BA BA Bt t t t PA PBt t t t t t +-+=+====⋅⋅. 【点睛】本题考查了极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的转化，考查了直线参数方程t 的几何意义的应用，属于中档题.23．（1）3|2x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭（2）3m <- 【解析】 【分析】（1）由题意，分类讨论求解不等式|1||2|2x x --+>，即可得解；（2）转化条件得|1||2|m x x <--+恒成立，由绝对值三角不等式求得|1||2|x x --+的最小值即可得解. 【详解】（1）当2m =时，由题意可得|1||2|2x x --+>，所以2122x x x <-⎧⎨-++>⎩或21122x x x -≤<⎧⎨--->⎩或1122x x x ≥⎧⎨--->⎩，解得32x <-，所以函数()y f x =的定义域为3|2x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭；（2）由题意可得|1||2|0x x m --+->恒成立即|1||2|m x x <--+恒成立， 又因为()()()|1||2||2||1||21|3x x x x x x --+=-+--≥-+--=-， 当且仅当1x ≥时，等号成立. 所以实数m 的取值范围为3m <-. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解及绝对值三角不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.。