2 概率基本知识(含分布等)(可靠性讲义)--64

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• 例：并列双回线向负荷供电，求负荷点的概率。
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随机现象
• 自然界和社会上发生的现象是多种多样的。有 一类现象，在一定的条件下，可能出现这样的 结果，也可能出现那样的结果，而在实验或观 察之前不能预知确切的结果。这类现象我们称 之为随机现象。 • 特征：在个别试验中其结果呈现出不确定性， 在大量重复试验中其结果又具有统计规律性。
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• 例：某一系统由三个单元组成，每一单元的工作概 率分别为1/3、1/2、1/2，任一单元工作，系统即能成
功。求该系统成功工作的概率。
全概率公式
• 条件概率的概念，可以推广到事件A的发生与n个互 斥事件 Bi 相关的情形，全概率公式为：
P ( A) = ∑ P ( A I Bi ) = ∑ P ( A | Bi ) ⋅ P (Bi )
集合的关系
• 如果集A和集B具有完全相同的元素，则说A等于B， 记为A=B。有限集A中元素的数目称为A的基数，记 为|A|。 • 有两个集A和B，如果B的每个元素都是A的元素，则 说B是A的子集，记为：A ⊇ B 或 B ⊆ A ；有时 读成A包含B。一个集A也总是它本身的一个子集， 即 A ⊆ A。集A中任何一个不等于A的子集B称为A 的真子集，记为： ⊃ B 或 B ⊂ A 。如果 A ⊆ B A 且 B ⊆ A ，则A=B。 5
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概率基本概念
对于一个试验，我们不仅关系它可能出现哪 些结果，而更为重要的是要知道这些结果即随机 事件发生的可能性大小。随机事件A发生可能性大 小的度量，称为A发生的概率，记作P(A) 。它在不 可能事件的零概率值和必然事件的1概率值之间的 范围内取值。
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概率的古典定义
• 如果某一试验的全部可能结果为n个，且每个结果都 具有等可能性和互不相容性，而其中对应于A的结果 是m个，则事件A发生的概率为
A − B = {x | x ∈ A 且 x ∉ B}
• 如果B是A的一个子集，则有时称A–B为B对于A的补 集。 • 例： 如果有集合S = {2、3、5、7}和T = {1、2、 3}，则 S–T = {5、7}； T–S = {1}
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8
事件
• 事件满足的假设： (1) 在相同条件下重复进行； (2) 试验的结果可能不只一个； (3) 不可能预先判定每一次试验将出现的结果。 • 样本空间中的一个子集称为事件。 • 例：设某种电子元件使用寿命的样本空间 为 S = {t | t ≥ 0} ，式中t为该元件的寿命，则
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• 随机变量本身就是一个函数，其取值是随机的，因
之可用概率来量化描述其函数值。
• 如果样本空间只包含有限个可能的数或一个可数无
穷数列，则这个样本空间称为离散样本空间；由这 个样本空间定义的随机变量称为离散随机变量。
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随机变量的概率分布
• 通常用概率方法来研究随机变量函数取值范围的分
布规律。
随机变量的数字特征
S U T ={1、2、3、5、7}, S I T ={2、3}
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1
集合的组合规则
• 集A和集B的差A–B定义为
集合的组合规则
• 如果集A和集B没有公共元素，则称它们为不 相交的集。这两个不相交集之交得到一个不 包含任何元素的集。称其为空集，以 φ 表 示，即A I B = φ ，而且 φ 也是任意集N的 子集。
电力系统可靠性 电力系统可靠性概率基础知识
1 集合与事件 2 概率基本概念 3 事件的概率方法 4 正态分布(连续) 5 二项分布(离散)
谢开贵 Email: kaiguixie@
6 泊松分布(离散) 7 指数分布(连续)
1 2
集合的定义
• 具有某种规定性质的事物的总体称为集合。组成集合 的这些事物的每一个体称为集的元素或成员。只有有 限个元素的集称为有限集，具有无限个元素的集称为 无限集。 • 例如，“A城中18岁及以上的全体公民”是一个有限 集，“所有正整数的全体”则是一个无限集。
A和 B可能同时发生的方式数 B可能发生的方式数
P( A I B) P(B)
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P( A I B) = P( A) ⋅ P( B)
对于多个独立事件，则可推广给出
P( A1 I A2 I L I Ai I L I An ) = ∏ P( Ai )
i =1
n
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3
事件的交
• 对相关事件有 P( AI B) = P(B | A) ⋅ P( A) = P( A | B) ⋅ P(B) • 例：某产品中有4%的次品，在100件合格品中一 等品占75%，求任取一件产品是一等品的概率。 • 解：以A表示一等品，B表示合格品，C表示次 品。则
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样本空间
• 统计方法：一定条件下进行试验或现场观测，将其 结果记录下来，作为研究和推断的依据 。 • 原始数据：按原始形式收集的观察记数或试验的测 量记录 。 • 样本空间：通常将一个给定条件的统计试验中所有 可能结果的总和称为“样本空间”，或者用集合的术语 描述为：一项统计记录的全部可能结果的集合称为 样本空间，并常用S表示。 24
i =1 i =1 n n
• 解：设A、B、C分别为三个单元成功工作的三个事
件。根据题意，可假设这三个事件是独立的，因此 所求概率应为
P(A+ B + C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A)P(B) − P(A)P(C) − P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) 1 1 1 1 1 1 1 5 = + + − − − + = 3 2 2 6 6 4 12 6
• 常用有代表性的几个关键数值来近似刻画随机变量 及其分布的总体特性，并将其称为随机变量的数字 特征。其中最常用的有均值和方差，分别用符号 E(X)和V(X)表示，并定义为 • •
E(X ) =
x i ∈S ∞
• 常用的分布函数有概率密度函数PDF (probability density function)和累积分布函数CDF (cumulative distribution function)；它们常分别用符号f(X)和F(X)
P ( A ) = p = lim (
n→∞
事件的分类
• 独立事件：如果某一事件的发生不影响另一事件发 生的概率，则这两个事件称为独立事件。 • 实际工程中，只要相关程度不大时，都假设是独立 事件，例如一个发电厂中不同回路中主设备的故障 事件。 • 如果事件具有一定相关性时，则不适用独立性假 设。事件独立性假设可能导致可靠性的偏高估计。
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集合的表示
• 集合常用大写字母表示，元素常用小写字母表示，如果 某一个体x是集A的元素，则记为 x∈ A ，且读作“x属于 A”；而 x∉ A 则表示x不属于A。 • 一个集S可以用列举出它的全部元素的方式来表示，例 如：S = {2,3,5,7}，且与元素的排列次序无关。一个集P 也可以按照它的元素某种特定的属性来表示，例如：P = {x｜x是质数}，括号中垂直线左右的记号代表集的典 型元素。则前面列出的集S也可写成： = {x | x ∈ P且x < 8} S 或 S = {x ∈ P | x < 8} 。 4
表示，其中X表示随机变量。
∑ x P( x )
i i
对离散变量 对连续变量
σ X = V (X )
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E(X ) =
∫
−∞
xf ( x ) dx
2 2
• 如果一个随机变量的分布函数及有关参数完全确
定，则其概率特征可以得到完全描述。
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V (X ) = E(X ) − E (X )
• 式中 σ X 称为标准差。
P( B) = 1 − P(C ) = 1 − 4% = 96%
事件的并
• 两个事件A和B中至少一件发生，称为事件的并，记 为 (A U B)。 • 对独立事件有 P( A U B) = P( A) + P( B) − P( A) ⋅ P( B)
推广到n个随机事件的情形有
n ⎛ n ⎞ P ⎜ ∑ Ai ⎟ = ∑ P ( Ai ) − ∑ P ( Ai A j ) + i =1 i =1 1≤ i < j ≤ n ⎝ ⎠
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μA
n)Leabharlann 13事件的分类• 互斥事件：如果两个事件不可能同时发生，则称 它们是互斥事件，或称不相交事件。 • 例如一个设备的成功运行和故障退出工作这两种 状态就不可能同时存在，因而是互斥事件。
事件的分类
• 对立事件：如果一个事件只存在两种可能结果， 其中一种结果不发生，另一种结果就必然发生， 则称它们是对立事件，或称互补事件。 • 如果这两种结果A和B的概率分别是P(A)和P(B)， 则根据定义有 P ( A) + P ( B ) = 1 或 P ( B ) = P ( A ) • 例：设“一台发电机投入运行”为事件A，“该发电 机停运”为事件Ｂ，则事件A和事件B是对立事件， 且 P ( A ) + P ( B ) = 1。
集合的组合规则
• 如果A和B是两个集，则它们的并 A U B 定义为 A U B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B或x ∈ A B} • 它们的交 A I B 定义为
A I B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B }
• 例： 如果有集合S = {2、3、5、7}和T = {1、2、 3}，则
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事件的分类
• 条件事件：条件事件是一些在另一个或另几个事件 发生的条件下发生的事件。 • 事件B发生的条件下事件A发生的概率，则将其记为 P(A|B)：
P( A | B) =
P( A | B) =
事件的交
• 两个事件A和B同时发生，称为两个事件的交，并记 为 ( A I B) 或 ( AB )。 • 对于2个独立事件有 P( B | A) = P( B) ，则两者都发 生的概率是: