第一节傅立叶级数与傅里叶积分 (2)
第五章 第一节 傅里叶变换
bk
1 l
l l
f sin k
l
d ,...... 5.1.5
练习解答
解：计算傅立叶系数有
a0
1
2
f (x)dx 1
2
0
xdx
1
2
x2
2
0
4
1
1
an
f (x) cos nxdx
x cos nxdx
0
1 x sin nx
n 0
1
n2
cos
nx 0
1
n 0 sin nxdx
幂函数没有周期性，所以周期函数展开为幂级数后，周期性就很 难体现出来。这样在研究函数的周期性的时候，幂级数展开并不 适用，需要采用其他函数作为基本函数族。
在科学技术的各个领域里广泛存在振动和波这类周期现象如弹性 振子、机械振动、声振动和声波、交变电流、电磁振荡和电磁波。 我们以前接触较多的是正弦和余弦函数所描写的振动和波。实际 情况千变万化，如锯齿波、矩形波(开关)。可能的复杂振动方式 不计其数，经过研究发现，这些复杂的振动可以分解为一系列各 种频率的谐振动的叠加。在数学上，这就是把周期函数分解为傅 里叶级数。
f
x
a0
k 1
a
k
cos
kx
l
bk
sin
kx
l
..........
..5.1.3
ak
1
kl
l f cos k d ,
l
l
k 2.......k 0 k 1.......k 0
bk
1 l
l l
f
sin k
l
d ,...... 5.1.5
f
傅里叶变换三部曲（二）·傅里叶变换的定义
傅⾥叶变换三部曲（⼆）·傅⾥叶变换的定义Part1:傅⾥叶级数的复数形式设f(x)是周期为l的周期函数,若f(x)∼a02+∞∑n=1(a n cosnπxl+bn sinnπxl),an=1l∫l−lf(x)cosnπxl d x,(n=0,1,2,…)bn=1l∫l−lf(x)sinnπxl d x.(n=1,2,…)记ω=πl,引进复数形式:cos nωx=e i nωx+e−i nωx2,sin nωx=e i nωx−e−i nωx2i级数化为f(x)∼a02+∞∑n=1(a ne i nωx+e−i nωx2+bne i nωx−e−i nωx2i)=a02+∞∑n=1(a n−ib n2e i nωx+a n+ib n2e−i nωx)令c0=a02,cn=a n−ib n2,dn=a n+ib n2,则c0=12l∫l−lf(x)d x,c n=12l∫l−lf(x)(cos nωx−isin nωx)d x=12l∫l−lf(x)e−i nωx d x,d n=12l∫l−lf(x)(cos nωx+isin nωx)d x=12l∫l−lf(x)e i nωx d x≜c−n=¯c n,(n=1,2,…)合并为c n=12l=∫l−lf(x)e−i nωx d x,(n∈Z)级数化为+∞∑n=−∞c n e−i nωx=12l+∞∑n=−∞∫l−l f(x)e−i nωx d x e i nωx我们称c n为f(x)的离散频谱(discrete spectrum),|c n|为f(x)的离散振幅频谱(discrete amplitude spectrum),arg c n为f(x)的离散相位频谱(discrete phase spectrum).对任何⼀个⾮周期函数f(t)都可以看成是由某个由某个周期为l的函数f(x)当l→∞时得来的.Part2:傅⾥叶积分和傅⾥叶变换傅⾥叶积分公式设f T(t)是周期为T的周期函数,在[−T2,T2]上满⾜狄利克雷条件,则f T(t)=1T∞∑n=−∞∫T2−T2f T(t)e−j nωt d t e j nωt,ω=2πT(上式中j是虚数单位,在傅⾥叶分析中我们不⽤i⽽通常记作j)由limT→∞f T(t)=f(t)知,f(t)=limT→∞1T∞∑n=−∞[∫T2−T2f T(t)e−j nωt d t]e j nωt记Δω=2πT,则Δω→0⇔T→∞,则f(t)=limT→∞1T∞∑n=−∞[∫T2−T2f T(t)e−j nωt d t]e j nωt=limΔω→012π+∞∑n=−∞∫T2T2f T(t)e−j nωt d t e j nωtΔω[][][]令F T(nω)=∫T2−T2f T(t)e−j nωt d t,则f(t)=limΔω→012π+∞∑n=−∞F T(nω)e j nωtΔω,F T(t)→∫+∞−∞f(t)e−jωt d t≜F(ω)(T→∞),由定积分定义f(t)=12π∫+∞−∞F(ω)e jωt dω,即f(t)=12π∫+∞−∞∫+∞−∞f(t)e−jωt d t e jωt dω上述公式称为傅⾥叶积分公式.傅⾥叶积分存在定理若f(t)在任何有限区间上满⾜狄利克雷条件,且在R上绝对可积,则12π∫+∞−∞∫+∞−∞f(t)e−jωt d t e jωt dω=f(t),t为连续点,f(t−)+f(t+)2,t为间断点.傅⾥叶变换设f(t)满⾜傅⾥叶积分存在定理,定义F(ω)=∫+∞−∞f(t)e−jωt d t 为f(t)的傅⾥叶变换(Fourier Transform)(实际上是⼀个实⾃变量的复值函数),记作F(ω)=F[f(t)]类似地,定义f(t)=12π∫+∞−∞F(ω)e−jωt dω为F(ω)的傅⾥叶逆变换(Inverse Fourier Transform),记作f(t)=F−1[F(ω)]在⼀定条件下,有F[f(t)]=F(ω)⇒F−1[F(ω)]=f(t);F−1[F(ω)]=f(t)⇒F[f(t)]=F(ω). f(t)与F(ω)在傅⽒变换意义下是⼀个⼀⼀对应,称f(t)与F(ω)构成⼀个傅⽒变换对,记作f(t)F↔F(ω)在不引起混淆的情况下,简记为f(t)↔F(ω).f(t)称为原象函数(original image function),F(ω)称为象函数(image function).在频谱分析中,F(ω)⼜称为f(t)的频谱(密度)函数(spectrum function),|F(ω)|称为f(t)的振幅频谱(amplitude spectrum),arg F(ω)称为f(t)的相位频谱(phase spectrum).下⾯我们来求⼏个常见信号函数的傅⽒变换.例1 求矩形脉冲函数(rectangular pulse function)R(t)=1,|t|≤1, 0,|t|>1的傅⽒变换及其频谱积分表达式.解:F(ω)=F[R(t)]=∫+∞−∞R(t)e−jωt d t=∫1−1R(t)e−jωt t=e−jωt−jω1−1=−e−jω−e jωjω=2sinωω;R(t)=12π∫∞−∞F(ω)e jωt dω=1π∫+∞F(ω)cosωt dω=1π∫+∞2sinωωcosωt dω=2π∫+∞sinωcosωtωdω=1,|t|<1, 12,|t|=1, 0,|t|>1因此可知,当t=0时,有[] []{{ []{∫+∞0sin t xd t =π2例2 求指数衰减函数(exponential decay function)E (t )=0,t <0,e −βt ,t ≥0的傅⽒变换及其频谱积分表达式,其中β>0为常数.解:F (ω)=F [E (t )]=∫+∞−∞E (t )e −j ωt d t=∫+∞0e −βt e −j ωtd t =∫+∞0e (β+j ω)t d t =1β+j ωβ−j ωβ2+ω2E (t )=12π∫+∞−∞F (ω)e j ωt ω=12π∫+∞−∞β−j ωβ2+ω2e j ωtω=1π∫+∞βcos ωt +ωsin ωtβ2+ω2d ω=0,t <0,12,t =0,e −βt ,t >0Part3:单位脉冲函数我们记电流脉冲函数q (t )=0,t ≠0,1,t =0,严格地,由于q (t )在t =0出不连续,所以q (t )在t =0点是不可导的.但是,如果我们形式地计算这个导数,有q ′(0)=limΔt →0q (0+Δt )−q (0)Δt=limΔt →0−1Δt=∞我们引进这样⼀个函数,称为单位脉冲函数(unit pulse function)或狄拉克(Dirac)函数,简记为δ−函数,即δ(t )=0,t ≠0,∞,t =0,⼀般地,给定⼀个函数序列δε(t )=0,t <0,1ε,0≤t ≤ε,0,t >ε则有δ(t )=lim ε→0δε(t )=0,t ≠0,∞,t =0于是∫+∞−∞δ(t )d t =limε→0∫+∞−∞δεd t =limε→0∫ε01εd t =1若设f (t )为连续函数,则δ−函数有以下性质:∫+∞−∞δ(t )f (t )d t =f (0);∫+∞−∞δ(t −t 0)f (t )d t =f (t 0)于是我们可得:F [δ(t )]=∫+∞−∞δ(t )e −j ωt t =e −j ωt t =0=1于是δ(t )与常数1构成了⼀对傅⾥叶变换对.例3: 证明:e j ω0t ↔2πδ(ω−ω0)其中ω0是常数.证:{{{{{{|f(t)=F−1[F(ω)]=12π∫+∞−∞2πδ(ω−ω0)e jωt dω=e jωtω=ω=e jω0t在物理学和⼯程技术中,有许多重要函数不满⾜傅⽒积分定理中的绝对可积条件,即不满⾜条件∫+∞−∞|f(t)|d t<∞例如常数,符号函数,单位阶跃函数以及正,余弦函数等, 然⽽它们的⼴义傅⽒变换也是存在的,利⽤单位脉冲函数及其傅⽒变换就可以求出它们的傅⽒变换.所谓⼴义是相对于古典意义⽽⾔的,在⼴义意义下,同样可以说,原象函数f(t)和象函数F(ω)构成⼀个傅⽒变换对.例求正弦函数f(t)=sinω0t的傅⽒变换.解:F(ω)=F[f(t)]=∫+∞−∞f(t)e−jωt d t=∫+∞−∞e jω0t−e−jω0t2je−jωt d t=12j∫+∞−∞e−j(ω−ω0)t−e−j(ω+ω0)t d t=jπδ(ω+ω0)−δ(ω−ω0)同样我们易得F(cosω0t)=πδ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)例证明:单位阶跃函数(unit step function)u(t)=0,t<0, 1,t>0的傅⽒变换为F[u(t)]=1jω+πδ(ω)证:F−11jω+πδ(ω)=12π∫+∞−∞1jω+πδ(ω)e jωt dω=12π∫+∞−∞[πδ(ω)]e jωt dω+12π∫+∞−∞1jωe jωt dω=12+12π∫+∞−∞cosωt+jsinωtjωdω=12+12π∫+∞−∞sinωtωdω=12+1π∫+∞sinωtωdω∫+∞0sinωtωdω=π2,t>0,−π2,t<0⇒F−11jω+πδ(ω)=12+1π−π2=0,t<012,t=0,12+1ππ2=1,t>0=u(t).本⽂完|()[][]{[][][][][][] { []{()()。
第一节傅立叶级数与傅里叶积分
ej jnω0t
代入 (A) 式并整理得
fT
(t)
a0 2
(an
n1
2
jbn
e jnω0t
an
2
jbn
e jnω0t
).
推导
fT
(t)
a0 2
(an
n1
2
jbn
e jnω0t
an
2
jbn
e
jnω0t
).
令
c0
a0 2
,
cn
an jbn , 2
cn
an
jbn 2
,
则有
fT (t ) e cn jnω0t ,
特点 (1) 周期性
(2) 正交性
T/2
T/2m (t ) n (t )d t 0 ,
T/2
T/2 k (t ) l (t )d t 0 ,
T/2
T/2
k
(t )
l
(t)d
t
0,
(k l)
由 {k (t)}, { k (t)} 组合叠加可以生成周期为 T 的复杂波。
问题 对于任何一个周期为 T 的(复杂)函数 fT (t)，能否：
(B)
n
其中,
cn
1 T
T /2 T /2
fT (t ) e jnω0td t ,
n 0, 1, 2,
定义 称 (B) 式为 Fourier 级数的指数形式。
注意 (1) 分解式是惟一的。 (2) 计算系数 cn 时, 其中的积分可以在任意 一个长度为 T 的区间上进行。
(3) 采用周期延拓技术，可以将结论应用到 仅仅定义在某个有限区间上的函数。
fT
第一节傅立叶级数与傅里叶积分
理意义(从频谱的角度来描述函数的特征),
因而在许多领域被广泛地应用.离散和快速
Fourier变换在计算机时代更是特别重要．
Fourier 变换是在周期函数的 Fourier
6. 离散频谱与频谱图 a n jbn a0 a n jbn , , c n 分析 由 c0 , cn 2 2 2
An 1 2 2 a n bn ， 得 c0 A0 , | cn | | c n | 2 2
arg cn arg c n θn , ( n 0) .
1 j t j t (D) f (t ) [ f ( t ) e d t ] e dω 2π 1 在 f (t ) 的间断处，公式的左端应为 [ f ( t 0) f ( t 0)] . 2
级数的基础上发展起来的。在微积分课程
中已经学习了Fourier 级数的有关 内容，
因此本节将先简单地回顾一下 Fourier
级数展开。
§8.1 Fourier 级数与Fourier 积分
一、周期函数的 Fourier 级数 二、非周期函数的 Fourier级数即
Fourier积分
一、周期函数的 Fourier 级数
n 1
A0 a n cos n 0 t bn sin n 0 t
n 1
A0 An cos(n 0 t n ) .
n 1
3. Fourier 级数的三角形式 定理 ( Dirichlet 定理)设 fT (t )是以 T 为周期的实值函数，且在 区间 [T /2 , T /2] 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)： (1) 连续或只有有限个第一类续点处有
傅氏变换
傅氏变换对的物理意义
• 1. f (t ) 与 F（）构成一个傅氏变换对，它们是由
许多频率的正、余弦分量合成，且非周期函数包 含 0 - - 分量； • 2. f (t ) 是 F（ ） 中各频率分量的分布密度， 称为频谱密度函数 F（） 为振幅谱 为相位谱 arg F ( )
正弦、余弦傅氏变换
则在
f (t ) 的连续点t处有
1 f (t ) 2 f ( )e - j d e j t d
傅氏积分公式的三角形式：
f (t ) 1
0
f ( ) cos (t - )d d
§1.1 傅里叶积分公式
一、傅里叶级数
1.三角形式
称实系数R上的实值函数 f（t） 在闭区间[a,b] 上满足狄利克莱（DirichL et）条件，如果它满足条 件： ⑴ 在[a,b]上或者连续，或者只有有限个第一 类间断点； ⑵ f（t）在[a,b]上只有有限个极值点。
T T , 上 从T为周期的周期函数fT(t)，如果在 2 2 T T 满足狄利克雷条件，那么在 , 上fT(t)可以展成 2 2
称 u（t )为单位阶跃函数
三、广义傅里叶变换
• 关于 函数的重要公式
F ( ) F[ (t )] 1 F 1[1] (t )
• 更一般的有
F ( ) F [ (t t0 )] e - j t0
• 故
(t - t0 ) 与 e - j t 构成傅氏变换对
2
(t )dt 1
(2)矩形脉冲函数的定义
其中
(t ) lim (t )
复变函数第1节 傅氏积分,傅氏变换
解. 由Fourier变换的定义
F (w) F [ f (t)] f (t) e-iw td t -
1 e-iw t d t e-iwt 1 2sinw
-1
-iw -1
w
再求F(w)的Fourier逆变换即得 f(t)的积分表达式,
f (t) F -1[F (w)] 1 F (w) eiwtd w
1
1/2
t
二、单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理学和工程技术中，除了连续分布量之外， 还有集中作用在一点的量. 例如，点电荷、点热源、 质点、单位脉冲等. 下面分析在原点处的单位脉冲.
设矩形电流脉冲：
(t
)
1
/
0
0t
其它
- (t)dt 1
(t)
1/
O
t
lim
0
(
t
)
0
t 0 t 0
引进狄拉克(Dirac)的函数,
i
-
f
( ) sin w(t
-
)d
dw
1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
由
f (t) 1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
可得
f (t) 1
p
0
-
f ( ) cosw(t
-
)
d
d
w
(1.6)
傅氏积分公式的三角形式
-
)
d
d
数学分析课件 傅里叶级数
证 由定理条件, 函数 f 在 [ , ] 上连续且可积. 对 (9)式逐项积分得
π
π
f ( x )dx
π π a0 π dx (an cos nxdx bn sin nxdx ). π π 2 π n 1
由关系式(6)知, 上式右边括号内的积分都等于零. 所以
f ( x t ) f ( x 0) lim f ( x 0), t 0 t f ( x t ) f ( x 0) lim f ( x 0), t 0 t
(13)
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(iii) 在补充定义 f 在[a , b]上那些至多有限个不存在 导数的点上的值后 ( 仍记为 f ), f 在[a, b]上可积.
n 1
即
从第十三章§1 习题4知道, 由级数(9)一致收敛,可 得级数(11)也一致收敛. 于是对级数(11)逐项求积, 有
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π
π
f ( x )cos kxdx π a0 π cos kxdx (an cos nx cos kxdx π 2 π n 1 bn sin nx cos kxdx ).
π
π
cos nxdx sin nxdx 0,
π
π
(6)
cos mx cos nx d x 0 ( m n ), ππ (7) ππ sin mx sin nxdx 0 (m n), π cos mx sin nxdx 0 . 而(5)中任何一个函数的平方在 [-π, π] 上的积分都
所以
A0 An sin( nx n )
n 1
A0 ( An sin n cos nx An cos n sin nx ).
第一+二节(傅里叶级数和积分)
代入展开式: 代入展开式 g(x) = a0 + ∑(ak cosωk x + bk sin ωk x) 即可. 然后取极限 l → ∞ 即可 对于系数a 如果 对于系数 0,如果 lim
l →∞ −l
∫
l
f (ξ )dξ 有限 则有 有限,则有
1 l lim a0 = lim ∫ f (ξ )dξ = 0 l →∞ l → ∞ 2l −l
kπx kπx f (x) = a0 + ∑ak cos + bk sin l l k =1
叫做周期函数f(x)的 的 叫做周期函数
傅里叶级数展开式 展开系数称为傅里叶系数 展开式, 展开系数称为傅里叶系数
满足:(1)处处连续或者在每个周期 狄里希利定理: 若函数f(x)满足 狄里希利定理: 若函数 满足 处处连续或者在每个周期 中只有有限个第一类间断点;(2)在每个周期中只有有限个极值 在每个周期中只有有限个极值 中只有有限个第一类间断点 则级数收敛,且 点,则级数收敛 且 则级数收敛
f ( x) 级数和 = 1 2 { f ( x + 0) + f ( x − 0)} (连续点x) (间断点x )
7
(二) 奇函数及偶函数的傅里叶展开
若周期函数f(x)是奇函数 则傅里叶系数的计算公式可得 是奇函数,则傅里叶系数的计算公式可得 若周期函数 是奇函数 a0及ak都等于零 则展开式变为 都等于零,则展开式变为 则展开式变为: ∞ kπx f (x) = ∑bk sin l k=1 由于对称性,展开系数为 这里称为傅里叶正弦级数,由于对称性 展开系数为 由于对称性 展开系数为:
13
又 l →∞
∆ω k =
傅里叶级数
∫πcos nxdx = 0,
π
π
∫πsin nxdx = 0,
π
( n = 1,2,3,L)
0, m ≠ n ∫ πsin mx sin nxdx = π, m = n, 0, m ≠ n ∫ πcos mx cos nxdx = π, m = n,
π
∫π
π
sin mx cos nxdx = 0.
右端级数收敛吗?若收敛是否收敛于 右端级数收敛吗?若收敛是否收敛于f(x)?
f ( x)在 a, b]光滑: f ′( x )在[a , b]连续. [ 光滑: 连续. f ( x)在 a, b]按段光滑: [ 按段光滑:
f ( x )在[a , b]有定义,且至多有有限 个第一类 有定义, 间断点, 间断点, f ′( x )在 [a , b] 除有限个点外有定义且 连续,在这有限个点上 f ′( x ) 左右极限存在. 左右极限存在. 连续,
第, 古今往来,众多数学家一直在寻找用简单函数较好 地近似代替复杂函数的途径,除了理论上的需要外, 地近似代替复杂函数的途径,除了理论上的需要外, 它对实际应用的领域的意义更是不可估量. 它对实际应用的领域的意义更是不可估量. 在微积分发明之前,这个问题一直没有本质上的 在微积分发明之前, 突破. 突破. 熟知的简单函数:幂函数,三角函数. 熟知的简单函数:幂函数,三角函数.
π π
1 π bn = ∫π f ( x)sinnxdx π
( n = 1,2,3,L)
f(x)的傅里叶系数 的傅里叶系数
1 π ) an = π ∫π f ( x)cos nxdx, (n = 0,1,2,L 1 π bn = ∫π f ( x)sinnxdx, (n = 1,2,L) π 1 2π ) an = π ∫0 f ( x)cos nxdx, (n = 0,1,2,L 或 2 bn = 1 π f ( x)sin nxdx, (n = 1,2,L ) ∫0 π
应用高等数学-6.1 傅里叶变换
例8
试证单位阶跃函数
F () F[(t)] (t)e jt d t e jt 1
t0
显然， (t)与常数1构成了一傅氏变换对，按
逆变换公式有
(t)
F
1[F ()]
1 2π
e
jt
d
由上式可得 e jt d 2π (t)
（6-9）
这是一个关于δ函数的重要公式．
例5 证明：1和 2π ()构成傅氏变换对．
f
(t)
1, 1,
π t 0 0 t π
如何将函数展开为傅里叶级数的三角形式．
解： 由定理6.1可得 0 1，a0 0，an 0 (n 1, 2,L )
bn
1
π
f (t)sin ntdt
π
π2
π
sin ntdt
0
nπ 2 (cos
nt
π
) 0
nπ 2 (1 cos nπ)
nπ 2 [1 (1)n ]
2π ( 0 )
例7 求正弦函数 f (t) sin 0t 的傅氏变换．
解：
F() F[ f (t)]
e
jt
sin
0t
d
t
1 (e j0t e j0t )e jt d t
2 j
1 (e j(0 )t e j(0 )t ) d t
2 j
jπ[ ( 0 ) ( 0 )]
式中当t=0可得重要积分公式
sin
x
d
x
π
0x
2
例4
求单边指数衰减函数
f
(t)
0, et ,
t0 t0
( 0)
的频谱函数、振幅谱、相位谱．
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级数的基础上发展起来的。在微积分课程
中已经学习了Fourier 级数的有关 内容，
因此本节将先简单地回顾一下 Fourier
级数展开。
§1 Fourier 级数与Fourier 积分
一、周期函数的 Fourier 级数 二、非周期函数的 Fourier级数即
Fourier积分
一、周期函数的 Fourier 级数
2π 1 2 π jnt 1 jnt t e d t t de 2π 0 2nπ j 0
1 t e jnt 2nπ j
2 0
1 2 π jnt j e d t . 0 2nπ j n
fT ( t )
2
O
2
t
j jnt 解 (3) fT (t ) 的 Fourier 级数为 fT ( t ) π e . n n
数， 而在工程实际问题中， 大量遇到的是非周期函数，
那么，对一个非周期函数是否也能进行频谱分析呢?
1. 简单分析 (1) 非周期函数可以看成是一个周期为无穷大的“周期函数”。
f (t )
f ( t ) lim fT ( t )
T
fT ( t )
t
fT ( t )
t
T/ 2
T/ 2
2c n An
bn
n an O n
bn
即 cn 的模与辐角正好是振幅和相位。
定义 称 | c n | 为振幅谱，称 arg c n 为相位谱； 称 cn 为频谱，记为 F ( nω0 ) c n .
2c n
频谱图 将振幅 | c n | 、相位 arg c n 与频率 nω0 的关系画成图形。
Fourier变换是一种对连续时间函数的 积分变换,通过特定形式的积分建立函数之 间的对应关系. 它既能简化计算(如解微分 方程或化卷积为乘积等)，又具有明确的物
理意义(从频谱的角度来描述函数的特征),
因而在许多领域被广泛地应用.离散和快速
Fourier变换在计算机时代更是特别重要．
Fourier 变换是在周期函数的 Fourier
1 T 1 T /2 c0 F ( 0) fT ( t ) d t fT ( t ) d t T / 2 T 0 T
1 2π tdt π. 2π 0
fT ( t )
2
O
2
t
解 (2) 当 n 0 时,
1 T 1 T /2 jn ω0 t cn F ( nω0 ) fT ( t ) e d t fT ( t ) e jnω0 t d t T 0 T T /2
1 j t j t (D) f (t ) [ f ( t ) e d t ] e dω 2π 1 在 f (t ) 的间断处，公式的左端应为 [ f ( t 0) f ( t 0)] . 2
定义 称 (D) 式为 Fourier 积分公式。
t
(2) 当 T 时，频率特性发生了什么变化？ 分析 Fourier 级数表明周期函数仅包含离散的频率成份， 其频谱是以 ω0 2π T 为间隔离散取值的。 当 T 越来越大时，取值间隔越来越小；
当 T 趋于无穷时，取值间隔趋向于零， 即频谱将连续取值。
因此，一个非周期函数将包含所有的频率成份。
(3) 当 T 时，级数求和发生了什么变化？ 分析
f (t ) lim fT ( t ) lim cn e jnω0t T T
n
1 T /2 lim [ T /2 fT ( t ) e jnω0t d t ]e jnω0t T n T
函数给出了严格的证明。时年 24 岁。 1830年 5 月 16 日，Fourier 在巴黎去世。 启示： (1) 有价值的东西一定是真的；真的东西一定是美的。
(2) 坚持不懈的努力就一定会有收获。
附：人物介绍 —— 狄利克雷
狄利克雷
Dirichlet，Peter Gustav Lejeune (1805～1859)
/ ω
1 f (t ) lim gT (ωn ) ω 2π ω0 n
当 w 0, fT t 变成 f (t),
gT w变成 g (ω)
[
f (t ) e jω t d t e jω t ,
]
按照积分定义，在一定条件下，(C) 式可写为
n 0
n 0, π, F ( n ω ) (4) 振幅谱为 0 1 | n | , n 0.
n 0, 0, arg F ( n ω ) 相位谱为 n 0, 0 π 2, π 2 , n 0.
fT ( t )
2
O
2
t
解 (5) 频谱图如下图所示。
4. 离散频谱与频谱图 a n jbn a0 a n jbn , , c n 分析 由 c0 , cn 2 2 2
An 1 2 2 a n bn ， 得 c0 A0 , | cn | | c n | 2 2
arg cn arg c n θn , ( n 0) .
附：历史回顾—— Fourier级数
1822 年，Fourier 经过十年的努力，终于出版了专著： 《热的解析理论》
这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下使用
的三角级数方法，发展成内容丰富的一般理论，特别是在
工程应用方面显示出巨大的价值。
附：历史回顾—— Fourier级数
1829 年，德国数学家 Dirichlet 终于对一类条件较“宽”的
(A)
j nω0t e cos nω0 t j sin nω0 t , ( j 1 ) 根据 Euler 公式
可得 cos nω0 t
e jnω0t e jnω0t
2
je jnω0t je jnω0t , sin nω0 t 2
代入 (A) 式并整理得
a0 a n jbn jnω0 t a n jbn jnω0 t fT ( t ) ( e e ). 2 n 1 2 2
德国数学家
解析数论的创始人之一。 对数论、数学分析和数学物理有突出贡献。 对德国数学发展产生巨大影响。
附：人物介绍 —— 狄利克雷
1805年2月13日生于迪伦。 中学时曾受教于物理学家 G. S. 欧姆。 1822～1826年在巴黎求学。 回国后先后在布雷斯劳大学和柏林军事学院任教。 1839年任柏林大学教授。 1855年接任 C. F. 高斯在哥廷根大学的教授职位。
| F ( nω0 ) |
4 0 3 0 2 0 0
O
0
2 0 3 0
4 0
arg F ( nω0 )
4 0 3 0 2 0 0
O
0
2 0 3 0
4 0
fT ( t )
2
O
2
t
2π 1. 解 基频 ω0 T
(1) 当 n = 0 时，
将间隔 ω0 记为 ω , 节点 nω0 记为 ωn ,
2π 2π 并由 T 得 ω0 ω
/ω 1 lim [ /ω fT ( t ) e jωnt d t ]e jωnt ω f (t ) 2π ω0 n
(C)
jω t jω t 分析 记 gT (ω) [ /ω fT ( t ) e d t ]e , 则
在 fT (t ) 的间断处，上式左端为
1 fT (t 0) fT (t 0). 2
定理 ( Di nω0 t bn sin nω0 t ) , 2 n 1
2 T /2 其中, an T /2 fT ( t ) cos nω0 t d t , T 2 T/ 2 bn fT ( t ) sin nω0 t d t , T T /2 2π ω0 , 称之为基频。 T
1 j t j t f (t ) [ f ( t ) e d t ] e dω 2π
2. Fourier 积分公式 定理 设函数 f (t ) 满足 (1) 在 (, )上的任一有限区间内满足 Dirichlet 条件； (2) 绝对可积，即 | f ( t ) | dt . 则在 f (t ) 的连续点处，有
推导
a0 a n jbn jnω0 t a n jbn jnω0 t fT ( t ) ( e e ). 2 n 1 2 2
a n jbn a0 , , cn 令 c0 2 2
c n
a n jbn , 则有 2
fT ( t )
n
F ( nω0 )
arg F ( nω0 )
π
π/2
…
2 1 O 1 2
…
2 1
…
1 2
…
O
π/2
二、非周期函数的傅立叶变换
借助 Fourier 级数展开，使得人们能够完全了解一个 信号的频率特性，从而认清了一个信号的本质，这种对 信号的分析手段也称为频谱分析(或者谐波分析)。 但是，Fourier 级数要求被展开的函数必须是周期函
1. Fourier 级数的三角形式 定理 ( Dirichlet 定理)设 fT (t )是以 T 为周期的实值函数，且在 区间 [T /2 , T /2] 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)： (1) 连续或只有有限个第一类间断点；
(2) 只有有限个极值点 .
则在 fT (t ) 的连续点处有
n 1
表明 周期信号可以分解为一系列固定频率的简谐波之和， 这些简谐波的(角)频率分别为一个基频 ω0 的倍数。