基于单元不同方向尺度的有限元误差估计及其应用
多尺度有限元法及其应用研究进展
MsFEM) 的提出是为了求解一类在非均质复合材料、 多孔介质中控制传热和渗流等行为的椭圆 ( 抛物 ) 形 方程 , 其与传统有限元法 的本质区别在于 基函数。 传统有限元法的基函数构造一般依据单元节点数量 直接用多项式进行插值 , 所以在同一个单元内部的 材料参数( 如弹性模量 ) 必须一致。正是由于这种限 制 , 对于多尺度问题, 传统有限元法只有在微观尺度 上进行细致的离散求解才能获得有意义的结果, 这 样会导致问题的自由度数太大以致无法求解。多尺 度有限元法通过在单元上求解局部子问题进行基函 数的构造 , 这些基函数可以准确有效地反映材料的 微观非均质性 , 并可以自动地将小尺度下解的信息 代入到大尺度范围, 利用有限元格式在粗网格上组 装总刚度矩阵 , 这样就可以在宏观层次上得到准确 有效的解, 大幅度节省了计算资源和计算时间。 多尺 度 有 限 元 法 的 基 本 思 想 可 以 追 溯 到 Babuska 等
[ 9]
多尺度有限元法的计算精度有重要影响。对于最基 本的多尺度有限元法, 有两种可供选择的边界条件, 即线性边界条件和振荡边界条件。 设
i= i
e
基于粗网格的线性协调基函数和包含小尺度信
息的 bubble - like 函数 , 构造了特殊的多尺度协调有限 元空间, 数值试验表明采用该方法求解含有振荡参数 的椭圆形方程是可行的。Allaire 等[ 10] 研究了多尺度 有限元的均匀化方案, 着力整合局部细网格与全局粗 网格来获得多尺度基函数。Chu 等[ 11] 发展了基于流 动的超样本技术的多尺度有限元法 , 超样本单元被扩 展到全域, 真实的流量边界条件被用来计算超样本单 元临时多尺度基函数。结果表明, 相比常规的超样本 技术, 采用流动的超样本技术所得的计算精度得到了 大幅提高。Aarnes 等[ 12] 发展了基于混合有限元法的 分级多尺度算法, 将其用来模拟两相流问题, 将多尺 度算法的应用由均匀网格推广到非均匀网格。 Zhang 等[ 13 14] 发展了时空多尺度方法用以模拟周期性多相 材料的力学与传热特性等。
有限元误差估计
有限元误差估计有限元误差估计是计算数值模拟中一种常见的误差估计方法。
有限元方法是一种将连续物理问题离散化为有限元网格的数值方法。
在有限元方法中，通过将物理区域划分成小的单元，构造适当的插值函数来近似原始问题，然后用数值方法求解近似问题。
在有限元方法中，误差是指近似解与准确解之间的差别。
误差估计是计算近似解误差大小的方法。
有限元误差估计有以下两种类型：全局误差估计和局部误差估计。
全局误差估计是对整个求解域内的误差进行估计。
估计方法包括后验误差估计和检验方法。
后验误差估计是通过计算近似解和准确解的误差，然后根据误差的特征来估计整个求解域内的误差。
检验方法是通过对已知问题进行数值实验，比较近似解和准确解的差异，从而估计整个求解域内的误差。
局部误差估计是对每个单元内的误差进行估计。
局部误差估计方法包括超薄元法（超收敛元法）和修正残差法。
超薄元法是通过在每个单元内选择更精确的插值函数来提高近似解的精度，从而减小局部误差。
修正残差法是通过计算修正残差来估计局部误差。
修正残差是近似解和准确解的残差，通过在局部区域中适当地增加修正函数，使得修正残差的估计更加准确。
在有限元误差估计中，还存在一些困难和挑战。
首先，确定精确解是困难的，因为很多实际问题没有解析解。
其次，误差估计需要计算大量的数值积分和求解大规模的线性方程组，计算复杂度较高。
此外，误差估计还与插值函数的选取和网格的划分有关，这是通过经验和实验确定的。
有限元误差估计在工程和科学计算中有着广泛的应用。
它可以用于验证数值模拟结果的准确性，也可以用于适当地改进数值模拟方法，提高计算结果的精度。
因此，有限元误差估计在数值模拟研究中具有重要的意义。
综上所述，有限元误差估计是求解数值模拟问题中必不可少的一部分。
它通过估计近似解与准确解之间的差别，帮助我们判断数值模拟结果的精度和准确性。
有限元误差估计在解决工程和科学计算问题中起着关键的作用。
有限元误差估计
有限元误差估计
有限元误差估计是在有限元方法中用于评估数值解与真实解之间的差异的技术。
它提供了对数值解的准确性和收敛性的估计，帮助评估数值模拟的可靠性和精度。
常见的有限元误差估计方法包括：
1.后验误差估计（Posteriori Error Estimation）：在有限元计算完成后，使用一些后处理技术来估计数值解的误差。
这些技术通常基于残差的计算、解的重构、网格细化等方法。
2.可靠性误差估计（Reliable Error Estimation）：这种误差估计方法旨在提供对数值解误差的下界估计，确保数值解的准确性。
常见的方法包括最小割方法、可靠的后验估计等。
3.马尔可夫不等式（Markov's Inequality）：这是一种基本的误差估计方法，通过将数值解的误差与其范数进行比较，给出误差的上界估计。
4.差分误差估计（Difference Error Estimation）：这种方法通过将有限元离散化的问题与其连续的解进行比较，估计数值解的误差。
常见的方法包括基于差分格式的稳定性分析和收敛性分析。
这些方法的选择和应用取决于具体的数值模拟问题和有限元方法的特点。
通常，有限元误差估计是一个重要的步骤，用于指导网格适应性和误差控制策略，以提高数值解的准确性和效率。
有限元分析中单元性质特征与误差处理
有限元分析中单元性质特征与误差处理
6.5位移函数构造与收敛性要求
单元中的位移模式一般采用设有待定系数的有限多项式作为近似 函数，优先多项式的选取原则应该考虑以下几个方面： 1、待定系数是由节点位移条件确定的，因此它的个数应该与节点 位移DOF个数相等。 2、在选取多项式时，必须选择常数项和完备的一次项。单元位移 模式中的常数项和一次项可以反映单元的刚体位移合唱应变的特 性。这是因为当划分的单元数趋于无穷时，即单元缩小趋于一点， 此时单元应变趋于常数。 3、选择多项式应该由低到高，尽量选取完全多项式以提高单元的 精度。
有限元分析中单元性质特征与误差处理
以一维三节点杆单元为例
u (x ) N 1 u 1 N 2 u 2 N 3 u 3
k11 k21 k31
k12 k22 k32
k13 k23 k33
uu12 u3
pp12 p3
有限元分析中单元性质特征与误差处理
以一维三节点杆单元为例
k11 k21
有限元分析中单元性质特征与误差处理
6.3边界条件的处理与支反力的计算
位移边界条件在大多数情况下有两种类型。 1、零位移边界条件 2、给定具体数值的位移边界条件 根据上述两类边界条件，刚度方程的求解有以下几种方法： 1、直接法 2、置“1”法 3、乘大数法 4、罚函数法
有限元分析中单元性质特征与误差处理
有限元分析中单元性质特征与误差处理
因此，在构造一个单元的位移函数时，应该参考由多项式函数构 成的Pascal三角形和上述原则进行函数项次的选取与构造。
有限元分析中单元性质特征与误差处理
收敛性问题 在有限元分析中，当节点数目或单元插值函数的项数趋于无穷大时， 即单元尺寸趋于零时，最后的解答如果能够无线的逼近准确解， 那么这样的位移函数或形函数是逼近于真实的，这就称为收敛。 为使有限元分析的解答收敛，位移函数必须满足一些收敛准则，这 些准则都经过过严密的理论验证。主要包括以下三个方面。
有限元误差估计
有限元误差估计引言有限元方法（Finite Element Method，简称FEM）是一种广泛应用于工程和科学领域的数值分析方法。
它通过将一个连续问题离散化为有限个子域，然后在每个子域上构建局部近似函数来求解问题。
有限元误差估计是在使用有限元方法求解问题时评估数值解与真实解之间的误差的重要步骤。
本文将详细介绍有限元误差估计的概念、原理和常用方法，以及其在工程和科学领域中的应用。
1. 有限元误差估计概述在使用有限元方法求解偏微分方程等连续问题时，我们通常需要将问题离散化为一个由节点和单元组成的网格。
然后，在每个单元上构建近似函数，并利用这些近似函数来计算数值解。
然而，由于近似函数只是对真实解的近似，因此数值解必然存在一定的误差。
有限元误差估计就是通过对离散化后得到的数值解进行分析，评估其与真实解之间的误差大小。
它是验证数值解精度和可靠性的重要手段之一。
2. 有限元误差估计原理有限元误差估计的原理基于两个关键概念：局部近似和全局汇总。
局部近似是指在每个单元上构建的近似函数，它能够较好地逼近真实解。
全局汇总是指将每个单元上的近似函数通过加权求和等方式得到整个域上的数值解。
在有限元方法中，我们通常使用残差作为误差的度量。
残差是真实解满足偏微分方程的程度，即方程左侧减去方程右侧得到的差值。
通过对残差进行分析，我们可以推导出数值解与真实解之间的误差估计。
3. 有限元误差估计方法有限元误差估计方法可以分为两大类：直接方法和间接方法。
3.1 直接方法直接方法是通过对离散化后得到的数值解进行分析，直接给出误差估计。
其中一种常用的直接方法是基于残差平方积分技术（Residual Squares Integration Technique）。
该方法通过对残差平方进行积分，并利用一些数学技术来推导出误差估计。
3.2 间接方法间接方法是通过构造辅助问题，利用辅助问题的解与真实解之间的关系来估计误差。
其中一种常用的间接方法是基于重构技术（Recovery Technique）。
有限元方法的发展及应用
有限元方法的发展及应用1 有限元法介绍1.1 有限元法定义有限元法（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它是起源于20世纪50年代末60年代初兴起的应用数学、现代力学及计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。
有限元法的基本思想是将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。
这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。
有限元法最初应用在工程科学技术中,用于模拟并且解决工程力学、热学、电磁学等物理问题。
1.2 有限元法优缺点有限元方法是目前解决科学和工程问题最有效的数值方法，与其它数值方法相比，它具有适用于任意几何形状和边界条件、材料和几何非线性问题、容易编程、成熟的大型商用软件较多等优点。
（1）概念浅显，容易掌握，可以在不同理论层面上建立起对有限元法的理解，既可以通过非常直观的物理解释来理解，也可以建立基于严格的数学理论分析。
（2）有很强的适用性，应用范围极其广泛。
它不仅能成功地处理线性弹性力学问题、费均质材料、各向异性材料、非线性应立-应变关系、大变形问题、动力学问题已及复杂非线性边界条件等问题，而且随着其基本理论和方法的逐步完善和改进，能成功地用来求解如热传导、流体力学、电磁场等领域的各类线性、非线性问题。
他几乎适用于求解所有的连续介质和场问题，以至于目前开始向纳米量级的分子动力学渗透。
（3）有限元法采用矩阵形式表达，便于编制计算机软件。
这样，不仅可以充分利用高速计算机所提供的方便，使问题得以快速求解，而且可以使求解问题的方法规范化、软件商业化，为有限元法推广和应用奠定了良好的基础。
《高等有限元方法-张年梅》第6章误差估计及收敛new
第六章误差，误差估计及收敛在科学研究和工程计算中，需要对有限元近似解提出一定的精度要求。
因此，仅仅在初始网格上进行一次有限元计算往往是不够的，必须对计算结果进行误差估计，以判断是否满足特定精度的要求；根据上述估计控制计算过程，以最小的代价获得满足要求的结果。
以下主要针对与时间无关的线性问题进行讨论。
§1 误差源一般来说，凡用FEA计算的结果都包含误差。
此处的“误差”是指FEA结果与数学模型精确解之间的不一致。
首先，假设计算软件适合于所处理的任务而不存在缺陷；指定的几何体、边界条件、载荷以及物理模型的材质属性适合手边的问题；用户在把数据输入到软件中时没有犯任何的错误；选择了适用的一般类型的单元（比如空间比平面可能更恰当）。
因此在描述建模误差、用户误差、软件缺陷之后，再分析计算误差的来源。
可能的误差源可以按如下的方法归类。
1、建模误差建模误差指的是物理系统和它的数学模型的差别。
FEA要分析的不是实际问题，而是简化了的数学模型，建模的过程中略去了实际问题中的好多细节，保留下来的用可以接受的数学公式来描述（比如弹性力学的平面理论，薄板理论，热传导方程，等等）。
主要来自于1）几何形状的简化紧固件的细节、小孔、其它的几何不规则性，以及材料属性的微小不均匀性都可能被忽略，至少在初始的分析中是这样的。
2）载荷被简化边界条件被理想化，比如认为支撑是刚性的。
经常把问题表示为平面的而不是三维的，或线性的而不是非线性的，或静态的而不是动态的，等等。
总体来说，建模误差指的是有意的合理的和经过考虑的近似，而不是错误，常常还有载荷及边界条件实际性能方面的不确定误差。
2、用户误差用户误差指的是在理解了物理问题，决定了要分析回答的问题，以及创建了合适的数学模型之后软件用户所犯的错误。
用户误差包括1）选错一般的单元类型（可能需要壳体单元的地方选择成了平板单元）；2）选择不合适的单元尺寸和形状；3）数据输入中的直接错误以至于使所描述的模型并不是想要的模型。
有限元分析及应用第四章
则称ϕ1、ϕ２Lϕ n 线性相关；
(ii) 若 c1ϕ1 + c2ϕ 2 + L + cnϕ n ≡ 0
仅当
c1
才成立，则称
ϕ=1c、2
=L= ϕ２Lϕ
cn
n
≡0
线性无关。
（２） 线性空间的维数
若线性空间Ｅ满足
（i）任意 n+1 个元素一定线性相关。
（ii）存在着 n 个线性无关的元素。
则称线性空间Ｅ的维数为 n。
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cosα ≤ a ⋅ b
上式为 Euclid 空间的三角不等式，此式仅是 Schwarz 不等式的一个特例。 ５、收敛性与完备性 （1）收敛性
∀ 点列{xn } ∈E（赋范线性空间），若存在
lim xn − x0 = 0
n →∞
则，x0 称为点列{xn }的强极限，读作：{xn }强收敛于 x0 ，注意模的定义不同收敛的涵
c1ϕ1 + c2ϕ 2
c1ϕ1′ + c2ϕ 2′
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有限元分析与应用
霍战鹏
也在（a, b）上连续。所有函数本身及一阶导数都在（a, b）上连续的函数组成一种线性空
间，记作 C1[a, b]。 例４ Rn n 维欧氏空间是线性空间，R2（二维平面）, R3（三维空间）是 n 维欧氏空
形的项点为结点，以结点处的函数值对单元内的位移场进行分片线性插值。根据第 3-4 节的
分析可知，对于这样定义的函数 u(x,y)在Ω上连续，且积分
y
∫∫ ∫∫ ∫∫ Ω
u 2dxdy
、
Ω
∂u ∂x
2 dxdy
、
Ω
有限元法和应用总结课件
线弹性有限元
线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象旳， 所考虑旳变形建立在小变形假设旳基础上。在 此类问题中，材料旳应力与应变呈线性关系， 满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系， 线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以 只需要较少旳计算时间。假如采用高效旳代数 方程组求解措施，也有利于降低有限元分析旳 时间。
平面单元划分原则
• 1.单元形状：常用单元形状有三角形单元、矩形单元和等 参数单元。他们旳特点是单元旳节点数越多，其计算精 度越高，三角形单元与等参数单元可适应任意边界。
• 2.划分原则： • 1）划分单元旳个数，视计算机要求旳精度和计算机容量
而定，单元分得越多，块越小其精度越高，但需要旳计 算机容量越大，所以，须根据实际情况而定。 • 2）划分单元旳大小，可根据部位不同有所不同，在位 移或应力变化大旳部位取得单元要小；在位移或应力变 化小旳部位取得单元要大，在边界比较平滑旳部位，单 元可大。
移，另一部分基本未知量为节点力。
*8.有限元法分析过程（续）
• 有限元位移法计算过程旳系统性、规律性强，尤 其合适于编程求解。一般除板壳问题旳有限元应 用一定量旳混正当外，其他全部采用有限元位移 法。所以，一般不做尤其申明，有限元法指旳是 有限元位移法。
• 有限元分析旳后处理主要涉及对计算成果旳加工 处理、编辑组织和图形表达三个方面。它能够把 有限元分析得到旳数据，进一步转换为设计人员 直接需要旳信息，如应力分布状态、构造变形状 态等，而且绘成直观旳图形，从而帮助设计人员 迅速旳评价和校核设计方案。
• 虚位移原理是平衡方程和力旳边界条件旳等效积 分旳“弱”形式；
• 虚应力原理是几何方程和位移边界条件旳等效积 分“弱”形式。
3.虚功原理（续）
有限元误差估计
有限元误差估计有限元误差估计是工程领域中一项重要的技术，用于对有限元模型的精度进行评估和改进。
有限元方法是一种常用的数值求解工具，它将复杂的连续体问题离散化为有限多个简单的元素，通过对这些元素进行求解得到整个物体的行为。
然而，在实际应用中，由于物体的复杂性和数值计算的近似性，有限元模型的误差是不可避免的。
误差估计的目的是通过分析有限元模型中的误差源，预测数值解的误差大小，从而提供改进模型的指导。
误差源可以分为离散化误差和模型误差。
离散化误差是由于将连续问题离散化为有限元问题时所引入的误差，它取决于网格的精度和元素的形状。
模型误差是由于对真实物体进行建模时所引入的误差，它取决于对物体的理解和假设的准确性。
误差估计的方法有很多种。
其中一种常用的方法是后验误差估计，它通过对有限元解的局部平滑性进行分析，得到每个元素上的误差估计值。
这些误差估计值可以用来确定哪些元素的精度不够，从而指导网格的细化或者对有限元模型的改进。
另外一种方法是基于解析解的误差估计，它通过与真实解进行比较，评估数值解的误差大小。
这种方法对于已知解析解的问题特别有用。
误差估计对于工程领域来说具有重要的指导意义。
它可以帮助工程师们了解数值求解的精度和可靠性，从而减少工程设计中的风险。
此外，误差估计还可以帮助工程师判断哪些模型参数对于结果的精度影响最大，进而优化参数选择和模型设计。
通过合理地使用误差估计方法，工程师们可以在设计过程中不断提高模型的准确性和可靠性，从而提高工程质量和效率。
综上所述，有限元误差估计是一项重要的技术，它为工程师们提供了评估和改进有限元模型的方法。
通过对误差源进行分析和估计，工程师们可以优化模型的精度和可靠性，从而提高工程设计的质量和效率。
在工程实践中，我们应该始终重视误差估计，并合理运用其结果，以确保工程设计的准确性和可靠性。
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基于单元不同方向尺度的有限元误差估计及其应用王浩吴颂平圉东：十掉；最体＂字实验室北京航空航天Ｊ、学，北京１０００８３摘要牟上将传挽的基ｆ单兀整体尺度的有限兀误差估计扩展为基于单元不同方向Ｒ度的ｉ，：差竹计：根据小ｒ叫方向１关差应该同量级的思想．得到ｒ误差匹配准则．该准则可以作为网格划分的判据。
本芷根据这一匹配准则．提ｍｊ’神提高计算精度的＿了法一一单向高报插值法。
数值实验表明本项研究所得｝０的ｌＺ至１古ｉ十是于确的，ｌ是至匹配准则作为网恪划分的判据是有效的．采阡ｊ台埋的有限元插值遗近能够右设地减０、．十尊－，：差．摊岛汁辑的精度和效率。
＼ｒ关键词有限，ｄ．院差‘于折，误差匹配准则席吲用数值方法模拟流体力学问题时，精度是首先必颂考虑的问题之一。
计算精度与计算的网格尺寸有密切的关系。
为了能够正确地模拟流动的局部特征，必须在相应的尺度范甬内分布足够自≈网格。
对于边界层问题，由于物面附近物理量沿法线方向的梯度很人，勾丁Ⅱ－确臻拟物面附近流动的特征，法线方向的网格就需要加密１。
而从整个流场计算的角度考虑，流向只能采Ⅲ较如稀疏的网格，这样在边界层中就会出现大长宽比单元。
本文针对边界瑶计算中的人ｌ：宽比单元，刊嘲有限元误葺分析理论，将传统的基丁单元整体Ｒ霞的有限元ｌＺ等分忻方法变为基于不同方向网格尺度的误差分析万法：根据流向方向误著与法向方同误荸声ｊ夏同量级的思想，得到了边界层问题中法向网格和流向网格划分的判据，并在此基础上提出］’一种提高有限元计算精度的方法，数值实验表明该方法能够有效的减小计算误差。
１．基于不同方向网格尺度的有限元误差分析（１）二维传统有限元误差分析｜殳Ｑ是平面上的矩形区域，ｒ是其边界。
考虑Ｐｏｉｓｓｏｎ方程齐次边值问题』＿Ａｕ＝ｆ（ｘ，ｙ），（ｘ，ｙ）∈Ｑ‰：ｏ¨¨设该问题的广义解为ｕ∈Ｈｊ（Ｑ）ｎＨｈｌ（Ｑ），Ｔ是Ｑ的一个有限元剖分．其上的百限元近似解为ｕ。
，并记Ｆｌｕ为ｕ的分块多项式插值．根据投影定理有即在能量模的度量下，有限元的误差可由插值误差来估计【”。
根据传统的有限元误菁估计理论对问题（１１），有：ｕ。
ｈ，蔓Ｃｈ。
Ｉｌｑｌ。
（１２ｊ其中ｈ是单元的整体尺度，即囊限元误莲在§＆量模的度餐下具誊ｋ除糖度，这里ｋ楚撼值多项式包含的完全多项式的最赫次数。
（１．２）式裘明有隈元误差在能餐模的度鬃一Ｆ其套ｋ阶精度。
（２）基手荤嚣不麟方粒足麓的蠢限嚣潢差分辑对于大长宽比单元．由于不同方向网格尺度差别较大，用单元整体尺度估’十误差不能识婷爱缺每个方囱举元尺窿对整体误差豹委献，因魏，本文给出羹于不闻方向单元尺度的误差纛与计。
设ｕ（ｘ，ｙ）《ｌ｛””２∞）ｅ＝【ａ，ｂ】×【ｃ，ｄ１，ｈ。
ｓｂ－ａ，囝ｌ腰示，捶毽患为，Ｔ中的典型单元为ｈ。
ｈ。
＝ｄ—ｃ，其单元形状如［量ａ＝ｘｏ＜ｘｌ《ｘｚ《…《ｘｍ＝ｂ，ｃ＝Ｙｏ＜Ｙ｝《Ｙ２《…《Ｙｎ竺ｄ定义ｎ。
ｕ＝Ｅｕ（ｘ。
，Ｙ）ｔＰ．（ｘ）ｌ＃０其中㈣＝骢基则ｕ（ｘ，ｙ）的乘积烈Ｌａｇｒａｎｇｅ插值为ＦＩ，“＝∑“Ａ，ＦＩｕ＝ｎ。
ｎｙｕ＝“ｙ１７。
ｕ＝∑∑ｕ（ｘ㈨Ｙ）眠（ｘ）十．（ｙ）ｉ∞０ｔ＝Ｏｈｘ踅ｌ肖ｍ＝ｒｌ酵，上式裁是标准的双ｋ次Ｌａｇｒａｎｇｅ撂篷。
定义算子ｆ３ｌＲ。
Ｉ—ｎ。
，Ｒ，＝Ｉ—Ｈ。
，则误差算子为Ｒ２Ｉ—ＦＩ＝Ｉ一１７、１７ｙ＝Ｒ。
＋Ｒｙ—Ｒ。
Ｒｙ所以。
单元上的插值误差有估计ｌｕ—ｎｕｌ；≤ｌＲ、［ｕＩ，＋ｌＲ，（ｕｌ，＋！Ｒ、Ｒ，［ｕｍ设ｕ∈Ｈ”２ｆｅ），鲫横据一维赫值误麓估计，竣ｕ∈醚“＋２强’，｜Ｒ！【ｕ】ｅ≤ｅ圭ｈ；ｔｎ＋ｔ叫｛ｕ《＋。
：。
国；ｎ）至｝｜Ｒ，Ｒ，【娃１．，设ｕ∈｝｛…＋３ｔｅ），潮有（ｔ４）（１５）（１，６）（１．７）（１８）（１．９）嚣。
兀驾篇）ｙ（妒、ｌｊ２Ｘ￡译０＝＋“：ｍ娃ｋ酣ｉｈ，∑㈣Ｃ≤，ｊ＿ｌＲＲ。
Ｒ，【ｕ】ｆ≤ｃｈ：１ｈ；“每ｉ＋ｈ；】ｕＥ…：（１．１０）综合（１．８）、（１。
９）靼（１．１０），在革元上霄ｌｕ－ｒ／ｕ１．≤ｃ…封＿札，ｎ接‰２。
札Ｎ舸劲叱…：１㈦…当ｈ。
＝ｈｙ＝ｈ时，宵ｌｕ—ＦＩｕｌ；≤ｏ§‘），葵中ｒ＝ｍｉｎ（ｍ，ｎ）（ｉ，１２）波于这里绘出的黎较型攒毽多项式雹害数宠全多瑗式簸裹为ｒ次，搿以遮一结聚与栎准有漩元误蓑传计（１．４）式最阶糖隧。
２．误差避配准则上一节我们得到了基于网格不同方向尺度的有限元误燕估计，冀主项分别为ｘ方向的误差：｛Ｒ，“Ｉ≤Ｏｈ＂１７∑Ｍ：。
ｌ＝Ｏ（ｈ７）（２１）￥，＝Ｏ，．玎—＿ｙ方向的误差：Ｂ，ｕ１｝茎ｃｈ；、ｌＥＩｕ巳㈧＝ｏ（ｈ；）（２．２）ｔ＃≈”乘积项的误差：｛ＲｘＲ，（“％≤ｃｈ？ｈ；√（ｈ：十ｈ；』ｕｆ。
，＝ｏｈＸｈｖ）（２３）第三项与前两项稽比是篱阶曩，我们主要考察翦两鞭封计算的影响。
尚ｈ、＞＞ｈ。
时，单元上的误差以ｘ方向的误萋为主。
要想减小谈蓦，必颁减小ｈ：而疰～态狴囊上，也爱褥减小ｈ、，就可以撵高计算糖葭。
但是淹着ｈ、的减小，肖ｙ方向的误菱减为主矮焉，再躐，』、ｈ、瞧不能进～步躐小误差。
因疵我们认为ｘ方向的误繁与、育同的误莲虑该匝配，即它们应该在网～量级Ｅ。
为此・定义误鏊强觚予Ｙ＝筹∞４）澍７＝ｏ《１）可以俘为误蓑噬酝的攘剿。
鸯实际计冀中，可遥过漆整肇茏番方淘的Ｒ寸来ｈｘ、ｈｙ实现这一准则，也可通过改变单元各方向上的插值次数ｆｎ、ｎ使匹配准则得铡满曼：，！篓，。
堡譬！婴准则既可以作为潮稳划分的剡据，同时瞧可以作为改逑裔蒗元趱馕，提‘～‘。
高计算精魔的出发点。
３．＝维边赛屡类润题考限元误差分辛嚣为将上～节的结果应用予含边界层的问题，这里考虑禽有小参数￡＞０的奇异攒动问题。
肖￡。
ｏ‘对，盎求解区域申会形成边赛屡川。
娑－。
；＇洳－Ｔ莲边器斌中关予参鼗￡的凝经Ｃ％Ｌ’。
也：睁霄很大不同。
即毒二旦：（√土１㈦／＝０．１．二．３。
）［’、（１０■虬．７二、一运娄问题连，？：‘ｔ年仕ｌｊ引匹？驻ｉｊ过肆出一Ｅ：砸考睡这一变｛匕冬崽ｊ导．ｉ；州≮，ｅ”史万。
ｍ１Ｕ严－＋ａｅ”：Ⅱ罴≯，茂垮州洳：”史笋ｐ小坟“』（暴卜，’／厂／，、：］、触Ｒ、㈨｛：ｐ旧’ｌｌ＋㈦㈧ｌＲ３㈨＝‘ｌｌ＼占／Ｉ』”昕√．此ｊｊ误等匹配冈子市取山（／７”，∥）／２■了’章节｛力：＿、＋占一＋』？：）。
ｆ篙１３１１：曲摊（３二）（３３（３４ｌ（３５＝０（１）ｊｑ可以作为误差匹配的准则。
注意副此时误差匹配网予７是与￡有芰Ｒ≈１．算例乃ｊ。
＿＝）龟证肇ｒ不同方同单元Ｒ变有限元误差分析和误差匹配准则，考鬯如ｒ两个弹例算例１Ｃ（Ｏ．１）考睡问题Ｉ一△ｆｆ＝Ｐ卜】＋ＰⅢ，＝０其自｝ｊ奸自｝勺２，＝（Ｐ”１—１）（Ｐ’１—１）计弹匿域．如图２所示，此时边界条ｆｎ：为“ｌｄⅢ＝０孰０≤ｘ．ｖ≤１’（４．１）（４．２）Ｏ（Ｏ－０）Ａ（１．Ｏ）翻２ｅ。
’一１有限元计算采用标准的Ｇａｌｅｒｋｉｎ方法，双线性插值，单元自由度为４。
针对５种不同的曾无划分，其汁算结果见表１。
从表中可以看到随着Ｙ方向单元的细分，误差不断减小。
但随着Ｒ、【Ｕ］成为主要的误差项，这种趋势迅速减弱，以致再减小ｈ。
已经不再能提高计算精度。
事实上算例１－５与算例１－４相比，误差几乎没有减小，因为只能使Ｒ、［Ｕ］变小。
为ｒ继续减小计算误差，必须减小Ｒ。
［ｕ］。
如果因为某种因素使得ｘ方向上的单元数不能雨增加，则根据误差匹配准则．可在Ｘ方向采用高次插值，即通过增加ｘ方向插值次数１１１）Ｉ乏减小Ｒ、【Ｕ１。
尊例Ｉ－６使用与算例】＿５相同的单元划分，但在ｘ方向采ｊＬ｝孑＿＿＝≯：插值（单＿亡ｒ］由废为６），使误差匹配准则重新得到满足，从而进一步提高了计算精度，计算谡荸仅为算恻１．５的１，８。
ｆＩ洲钆一砂一Ｉ『Ⅲ塑锄学一ｌＩ优钆一西一一Ｉ单元数单元长宽比误差前后两个算例Ｉ误差匹配晤ｌ子（Ｘ＋Ｙ）（ｈ、：ｈ、）的误差比值ＩＹ算例１．１８×４ｌ：２２ｌ７８６Ｅ．２２算例１．２８×８１：】１．３７６０Ｅ．２１．５８３３１算例１．３８×１６２：１１．０８８０Ｅ，２ｌ２６４７Ｏ５算例１．４８×３２４：１ｌ００３３Ｅ．２１．０８４４０２５算例１。
５８×６４８：１９８０９７Ｅ．３１．０２２８０１２５算例１－６８×６４８：１１．２２６０Ｅ．３８００１３１表ｌ算例２考虑奇异摄动问题蛳一掣…（簖＋南）ｏｓ＝ｒｓ。
哪ｓｔ∽，，边界徘ｕｋ乩磊０１ｔｔ卜一万８ｕ卜ｅ、＋了ｅ－ｘ，塑ｉ：塑ｌ：一！！！二塑，丝１：一塑ｌ：螋ａ，Ｌ＂缸｝＂ｅ（ｅ＋ｙ）圳（Ｊ（舐ｋ￡＋ｙ其解析解为。
：。
一一！！！二丝ｆ４４１ｙ＋￡由于小参数ｓ的存在，该问题的解ｕ在，’＝０附近将出现急速变化形成边界层。
箜元剖分如｝墨｝３所示，图３的网格是根据误差匹配原则划分的。
首先，为了保证边界屠内的分辨率．＆边界层附近取ｈ．＝３．１２５ｅ一３；根据边界层内的误差匹配因子（３．５）Ａ，令Ｙ＝１，可以计算出ｈ。
；Ｏ．２５：用此ｈ、值，再根据边界层外的误差匹配因子（２４）式，计算出边界层外ｈ，为了计算方便本算例取边界层外ｈ。
＝Ｏ．１。
这样就得ｊ｝ｌｊＹ较为优化的单元划分，其计算结果址表２中的算例２．１。
为了验证此时的网格剖分是优化的，可以：格边界层中Ｙ方向的网格加密～倍，其地条『牛不变，其计算结果见算例２－２，边界层中的误差会减小，但减小幅度不犬。
如果将ｘ方向的网格加密一倍，使ｈ。
＝Ｏ．１２５，则计算结果见算例２－３，边界层中的误差也会减小，但减小幅度也不大，这两个算酬说明算酬＇２－ｌ中边界甚内误差是匹配的，网格划分是台理的，如果ｘ方向的单元数由于受其他原因限制ｆ如外流场计算的限制），达不剑误蕞匹配准｜』！【｜的要求，仍可以采崩单向高次插值方法来调整每个方向的误尊使其匹配。
算例２－４中ｈ＝Ｏ４．一’！一Ｉ＼√一爰：叫；）：ｊ画筐量ｕ二）罔吃、０ｐ．肇强参幽；ｉ最咐耍跨、：ｊ】一ｓｊ、堋“多面式，其１。
讳舅普‘叫舜帆２一ｌ基本相臣．田此可虻童｜面谬，Ｉ、ｊ击筐Ｉ注对丁边界兽类问题也造苟．：地．可以博警单同谩等健其；南已谩等匹配准＿Ｊ１１ｊ，ｔ：支。
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Ｉｈ，值璧函数基函数：‘：的：；等配冈子６－２—１的（边界层内）次数误等相比翩１刈：－１ｌ０２ｊ３１２５ｅ．３１１ｊ３３８０ｅ．２０９８营删’．１０．：５１５６３ｅ．３１１４８６９５ｅ－２０４９０．９１２２掉倒：．３０１２５３１２５ｅ．３１１ｉ５．２４４３ｅ－２２９７０９７３２嵬例２－４０４３１２５ｅ．３１５２１２７Ｅ．２０９７０９７６５表：ｊ．结论年文提出的基于单元不同方向尺受的有限元：关等分忻方法，能够对边界层中常见的ｔ、Ｋ宽比单元进行更为精细的分忻，在此基雠上瑶｝ｌｊ的误等匹配准ｌ｜１１ｊ可以作为单元划分的依据。