创新设计2016_2017学年高中数学第2章函数2.3.2对数函数一课时作业

2．3.2 对数函数(一)
课时目标 1.掌握对数函数的概念、图象和性质.2.能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．
1．对数函数的定义：一般地，我们把______________________叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是________． 2
定义 y ＝log a x (a >0，且a ≠1)
底数 a >1 0<a <1
图象
定义域 值域
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过点______，即log a 1＝0
函数值 特点
x ∈(0,1)时， y ∈______； x ∈[1，＋∞)时，
y ∈______
x ∈(0,1)时， y ∈______； x ∈[1，＋∞)时，
y ∈______
对称性 函数y ＝log a x 与y ＝1log a
x 的图象关于______对称
3.反函数对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)和指数函数______________互为反函数．
一、填空题
1．函数y ＝log 2x －2的定义域是________．
2．设集合M ＝{y |y ＝(12
)x
，x ∈[0，＋∞)}，N ＝{y |y ＝log 2x ，x ∈(0,1]}，则集合M ∪N
＝________. 3．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (α)＝1，则α＝_____________________________. 4．函数f (x )＝|log 3x |的图象是________．(填序号)
5．已知对数函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，且过点(9,2)，f (x )的反函数记为y ＝g (x )，则g (x )的解析式是________．
6．若log a 2
3
<1，则a 的取值范围是________．
7．如果函数f (x )＝(3－a )x
，g (x )＝log a x 的增减性相同，则a 的取值范围是________． 8．已知函数y ＝log a (x －3)－1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________． 9．给出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
12
x x ≥4
f x ＋1 x <4
，则f (log 23)＝________.
二、解答题
10．求下列函数的定义域与值域： (1)y ＝log 2(x －2)；
(2)y ＝log 4(x 2
＋8)．
11．已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，(a >0，且a ≠1)． (1)设a ＝2，函数f (x )的定义域为[3,63]，求函数f (x )的最值． (2)求使f (x )－g (x )>0的x 的取值范围．
能力提升
12．已知图中曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是函数y ＝log a 1x ，y ＝log a 2x ，y ＝log a 3x ，y ＝log a 4x 的图象，则a 1，a 2，a 3，a 4的大小关系是__________．
13．若不等式x 2
－log m x <0在(0，12
)内恒成立，求实数m 的取值范围．
1．函数y ＝log m x 与y ＝log n x 中m 、n 的大小与图象的位置关系．
当0<n <m <1时，如图①；当1<n <m 时，如图②；当0<m <1<n 时，如图③.
2．由于指数函数y ＝a x
(a >0，且a ≠1)的定义域是R ，值域为(0，＋∞)，再根据对数式与指数式的互化过程知道，对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)，
值域为R ，它们互为反函数，它们的定义域和值域互换，指数函数y ＝a x
的图象过(0,1)点，故对数函数图象必过(1,0)点．
2．3.2 对数函数(一)
知识梳理
1．函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1) (0，＋∞)
2．(0，＋∞) R (1,0) (－∞，0) [0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0] x 轴
3．y ＝a x
(a >0且a ≠1) 作业设计 1．[4，＋∞)
解析 由题意得：⎩
⎪⎨
⎪⎧
log 2x －2≥0，
x >0.解得x ≥4.
2．(－∞，1]
解析 M ＝(0,1]，N ＝(－∞，0]，因此M ∪N ＝(－∞，1]． 3．1
解析 由题意知α＋1＝2，故α＝1. 4．①
解析 y ＝|log 3x |的图象是保留y ＝log 3x 的图象位于x 轴上半平面的部分(包括与x 轴的交点)，而把下半平面的部分沿x 轴翻折到上半平面而得到的．
5．g (x )＝3x
解析 由题意得：log a 9＝2，即a 2
＝9，又∵a >0，∴a ＝3.
因此f (x )＝log 3x ，所以f (x )的反函数为g (x )＝3x
.
6．(0，2
3
)∪(1，＋∞)
解析 由log a 23<1得：log a 2
3<log a a .
当a >1时，有a >2
3
，即a >1；
当0<a <1时，则有0<a <2
3
.
综上可知，a 的取值范围是(0，2
3
)∪(1，＋∞)．
7．(1,2)
解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0<3－a <1，0<a <1或⎩
⎪⎨⎪
⎧
3－a >1，a >1，解得1<a <2.
8．(4，－1)
解析 y ＝log a x 的图象恒过点(1,0)，令x －3＝1，则x ＝4； 令y ＋1＝0，则y ＝－1. 9.124
解析 ∵1<log 23<log 24＝2，∴3＋log 23∈(4,5)， ∴f (log 23)＝f (log 23＋1)＝f (log 23＋2)
＝f (log 23＋3)＝f (log 224)＝2log 24
12⎛⎫
⎪
⎝⎭
＝2log 24
2
-＝2
1log 24
2
＝124
. 10．解 (1)由x －2>0，得x >2，所以函数y ＝log 2(x －2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R .
(2)因为对任意实数x ，log 4(x 2
＋8)都有意义，
所以函数y ＝log 4(x 2
＋8)的定义域是R .
又因为x 2
＋8≥8，
所以log 4(x 2
＋8)≥log 48＝32
，
即函数y ＝log 4(x 2
＋8)的值域是[32
，＋∞)．
11．解 (1)当a ＝2时，函数f (x )＝log 2(x ＋1)为[3,63]上的增函数， 故f (x )max ＝f (63)＝log 2(63＋1)＝6， f (x )min ＝f (3)＝log 2(3＋1)＝2.
(2)f (x )－g (x )>0，即log a (1＋x )>log a (1－x )， ①当a >1时，1＋x >1－x >0，得0<x <1. ②当0<a <1时，0<1＋x <1－x ，得－1<x <0. 12．a 3<a 4<a 1<a 2
解析 作x 轴的平行线y ＝1，直线y ＝1与曲线C 1，C 2，C 3，C 4各有一个交点，则交点的横坐标分别为a 1，a 2，a 3，a 4.由图可知a 3<a 4<a 1<a 2. 13.
解 由x 2
－log m x <0，得x 2
<log m x ，在同一坐标系中作y ＝x 2
和y ＝log m x 的草图，如图所示．
要使x 2<log m x 在(0，12)内恒成立，只要y ＝log m x 在(0，12
)内的图象在y ＝x 2
的上方，于
是0<m <1.
∵x ＝12时，y ＝x 2
＝14
，
∴只要x ＝12时，y ＝log m 12≥1
4＝1
4log m m .
∴12≤1
4m ，即1
16≤m .又0<m <1， ∴1
16
≤m <1， 即实数m 的取值范围是[1
16，1)．。