线代期末复习线性代数试卷附讲解
线代复习题(含答案)
答案
八、已知3阶矩阵A的特征值为 2, -1, -2, 求行列式
A 3 2A2 3E
答案
九、求一个正交变换把二次型
f 2 x1 x 2 2 x1 x 3 2 x 2 x 3
r
1 0 0 1 0 0 2 0 1 0 1 2 0 0 1 4 / 5 1 / 5 3 / 5
r r
A 1
1 0 0 1 0 0 0 1 0 2 / 5 2 / 5 1 / 5 0 0 1 4/ 5 1/ 5 3/ 5 理学院统计系
1 1 5 6 a 1 2 , a 2 2 , a 3 2 , 4 8 3 1 7 2
理学院统计系
答案
七、l为何值时方程组有解，有解时求出通解。
x D2 x 0 0
三、计算矩阵乘积
5 1 6 1 1 1 1 1 2 1 1 6 2 3 1 1 1 1 （1） 1 （2） 1 1 1 1 3 2 1 0 1 6 2 1 1 1 1 1 1 理学院统计系
x1 1 2 2 3
x2 1 1 6 6
x3 2 1 2 9
x4 1 x1 4 1 x 2 2 x 2 2 3 7 x 4 9
Ax b
1 2 6 1 r 1 3 6 1 ( A, b) 1 2 5 l 0 1 1 l 1 2 1 7 2l 0 0 0 3(l 1)
线性代数与概率统计期末考试复习题及参考答案-高起本
《线性代数与概率统计》复习题一、填空题1． 200120122= .2. 设,A B 均为n 阶方阵，当,A B 满足 时，有222()2A B A AB B +=++．3．设,A B 为两个随机事件，且()0.7,()0.6,()0.3P A P B P A B ==-=，则(|)P A B = .4. 袋中有5个白球和3个黑球，从中任取两个球，则取得两球颜色相同的概率为 ．5．设随机变量)8.0,1(~B X ，则随机变量X 的分布函数为 ．6．已知方程组123123123202400ax x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩有非零解，则常数a = ．7. 矩阵111121242A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩为 ．8．随机变量X ，Y 的方差分别为25和36，相关系数为0.4，则Cov(X,Y)＝ ． 9. ===)(,)(),()(B P p A P B A P AB P B A 则两个事件满足、 ．10．在正态总体Ｘ～),(2σμN 中取一样本，容量为n ，样本均值为X ，样本方差为s 2，则统计量sX n )(μ-服从 分布． 二、选择题 1. 设矩阵X 满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛63354321X , 则X = ( ).(A) 73260-⎛⎫ ⎪⎝⎭; (B) 73260⎛⎫ ⎪-⎝⎭; (C) 70632-⎛⎫ ⎪⎝⎭; (D) 70632⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 2. 设ξξ１２，是AX O =的解, ,ηη１２是 AX b =的解, 则( ). (Ａ) 12ηη-是AX O =的解; (Ｂ) 12ηη+为AX b =的解; (Ｃ) 11ξη+是AX O =的解; (Ｄ) 12ξξ+是 AX b =的解.3. 若),(~p n B X ，且3E X =（），() 1.2D X =，则( ).（A ）5,0.6n p ==； （B ）10,0.3n p ==；（C ）15,0.2n p ==； （D ）20,0.15n p ==.4. 设X 的分布列为)(x F 为其分布函数，则F (2)＝（ ）． （A ）0.2 ； （B ）0.4 ； （C ）0.8 ； (D) 1．5. 设),,,(21n X X X 为总体)1,0(~N X 的一个样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则有（ ）．（A ）)1,0(~N X ； （B ）)1,0(~N X n ；（C ）)1(~/-n t S X ； （D ）)1,1(~/)1(2221--∑=n F X X n ni i . 6. 设有m 维向量组12,,,n ααα, 则（ ）．(A) 当m n <时,一定线性相关; (B) 当m n >时,一定线性相关;(C) 当m n <时,一定线性无关; (D) 当m n >时,一定线性无关. 7. 设ξξ１２，是AX O =的解, ,ηη１２是 AX b =的解,则下面不正确的是（ ）．(Ａ) 12ξξ+是AX O =的解; (Ｂ) 12ηη+为AX b =的解;。
(完整word版)线性代数经典试题4套及答案
线性代数经典试题4套及答案试卷1一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。
完整版)线性代数试卷及答案
完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。
(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。
A) r(A)。
r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。
A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。
3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。
(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。
(C) BA=O。
(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。
5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。
11；(C) -1；(D)。
(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。
A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。
1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。
(C)9.设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。
线代期末试题及答案
线代期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 在三维向量空间中，以下向量中线性无关的是：A) (1, 0, 0)B) (0, 1, 0)C) (0, 0, 1)D) (1, 1, 1)答案：D2. 设矩阵A = [a b; c d]，若行列式det(A) = 0，则以下哪个等式成立？A) ad - bc = 0B) ab - bc = 0C) ac - bd = 0D) ad - bd = 0答案：A3. 给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，则A的逆矩阵为：A) [-1/6 -1/3 1/6; -1/6 2/3 -1/6; 1/6 -1/3 1/6]B) [-1 -2 -3; -4 -5 -6; -7 -8 -9]C) [1/6 1/3 -1/6; 1/6 -2/3 1/6; -1/6 1/3 -1/6]D) [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]答案：A4. 给定矩阵A = [2 0; 0 3]，B = [1 2; 3 4]，则A与B的乘积为：A) [2 4; 6 8]B) [2 0; 0 3]C) [1 2; 9 12]D) [4 6; 6 12]答案：B5. 给定向量a = (1, 2, 3)和b = (4, 5, 6)，则a与b的内积为：A) 32B) 22C) 14D) 6答案：C6. 若向量a = (1, 2, 3)，b = (4, -2, 5)，c = (3, 1, -2)，则以下哪个等式成立？A) a × b = cB) b × c = aC) c × a = bD) a × c = b答案：B7. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，则A的特征值为：A) 1, 2B) 2, 3C) 3, 4D) 4, 5答案：A8. 设向量a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，c = (2, 1, 3)，则向量集合{a, b, c}的维数为：A) 1B) 2C) 3D) 4答案：C9. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，A的转置矩阵为：A) [1 3; 2 4]B) [4 3; 2 1]C) [1 2; 3 4]D) [3 4; 1 2]答案：A10. 设矩阵A = [2 1; 3 4]，则A的伴随矩阵为：A) [4 -1; -3 2]B) [2 -1; 3 4]C) [-4 1; 3 -2]D) [-2 1; -3 -4]答案：A二、计算题（共70分）1. 设矩阵A = [1 2; 3 4]，求A的逆矩阵。
【线代期末复习题】大学线代 考研线代第一章行列式复习题答案
4. 当( )时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=λ++=+λ+=++λ000321321321x x x x x x x x x ，有非零解(A) 1或2 (B) －1或－2 (C) 1或－2 (D) －1或25. 下列行列式计算正确的是：（A ）A 、0141030430-=-- B 、161111111111111111=------------ C 、0011111111011110=------ D 、121150202473004--=-6. 若11121321222331323312a a a a a a a a a =，则111112132121222331313233424242a a a a a a a a a a a a --=-（D ） A 、0 B 、4 C 、1 D 、-27. 设2312781239325232D -=-，则=+++42322212A A A A (C )。
A 、1B 、-1C 、0D 、28. 设2100000121000000000001210000012ΛΛΛM M M M ΛΛ=n D ，则=n D ( B ) A 、1 B 、1+n C 、1-n D 、-1 9. 设(.....)τ 表示排列的逆序数, 则(431625)τ=( B ) （A ）1 （B) 7 （C)3 (D) 2三、计算题：1..求阶n 行列式D=000x x x x x x K K L L L L K0(1)(1)(1)000x x n x n x n x x xx x D xx x xx---==K L L L L L L L L L L L L L= 111100(1)(1)(1)0n n x n xn x x---=---L LL L L L L2. 计算行列式 1111111111111111x x D y y+-=+-.原式22101000101000111100111100y x yy yx x y yyx x x=-=--=3.. 问当k 取何值时，Ax b =无解、有唯一解或有无穷多解？当有无穷多解时写出Ax b =的全部解12312312321,2,455 1.x kx x kx x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩解1 作方程组的增广矩阵M （A b ），并对它施以初等变换： ()()32213135521121121111221032103455165506540021r r r r r r r k k k A A b k k k k k k k -+-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==-−−−→+-−−−→+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭⎝⎭再 于是， （4分） 当45k =-时，原方程组无解；当41,5k k ≠≠-时，原方程组有唯一解；当1k =时，原方程组有无穷多组解，其全部解为1231,1,x x k x k ==-+=（其中k 为任意常数），（或()()()123011110TTTx x x k =+-（k 为任意常数）. （9分） 解2()()()()()232121111101115415445455405k k k c c D k k k k k k k ---+=-=--=----=-+---，当41,5k k ≠≠-时，方程组有唯一解.当1k =时，原方程组为1231231232124551x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩；()()12213124211111121112111221110333455145510999r r r r r r A A b ↔-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-−−−→-−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭2123239111210010111011100000000r r r r r +--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→--−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再，同解方程组为12311x x k x k =⎧⎪=-+⎨⎪=⎩，即()()()123011110T T Tx x x k =+-（k 为任意常数）.当45k =-时，原方程组为12312312342154254551x x x x x x x x x ⎧--=⎪⎪⎪--+=⎨⎪+-=-⎪⎪⎩，即12312312310455455104551x x x x x x x x x --=⎧⎪+-=-⎨⎪+-=-⎩，这时第二个第三个方程左边相同，而右边不等，故方程组无解.4. 计算行列式 abbb a bb b aD n ΛΛΛΛΛΛΛ=..解 abb a b b b n a a b bb a b b b aD n ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ111])1([-+==1)]()1([0001])1([---+---+=n b a b n a b a b a b b b n a ΛΛΛΛΛΛΛ5. 计算行列式 65429720199321原式65431132110012---r r 1812151224156-=++---= 6. 计算行列式11115312259141252718--解：（允许多种方法解答）该行列式为范德蒙行列式原式=11112312(35)(15)(25)(13)(23)(21)491482718-=+++----672=7.. 81278419421321111----解：（允许多种方法解答）该行列式为范德蒙行列式原式=11112313(32)(12)(32)(13)(33)(31)2404919827127-=----++-=-8．计算四阶行列式 3111131111311113的值。
南京工业大学近几年线性代数考试试卷及答案解析
南京工业大学近些年线代期末考试卷及答案包括以下六份试卷1南京工业大学线性代数课程考试试卷（A）(江浦、浦江2005-2006学年第1学期)2南京工业大学线性代数课程考试试卷（B）(江浦、浦江2005-2006学年第1学期)3南京工业大学线性代数试题（B）卷（闭）2007--2008学年第一学期使用班级江浦各专业本科生4南京工业大学线性代数试题（A）卷（闭）2008--2009学年第一学期使用班级江浦各专业本科生5南京工业大学线性代数试题（B）卷（闭）2008--2009学年第一学期使用班级江浦各专业本科生6南京工业大学线性代数试题（A）卷（闭）2008--2009学年第二学期使用班级计软0801－3南京工业大学线性代数课程考试试卷（A）(江浦、浦江2005-2006学年第1学期)所在系(院) 班级学号姓名一． 填空题(每空3分，共15分)1、 若n 阶方阵A 满足02=+-E A A (E 为单位阵)，则A 的逆矩阵=-1A ____________.2、设矩阵B 是由矩阵A 划去某一列所得, 则秩(B )________秩(A ).3、若1111320=z y x, 则=---222431111z y x ________..4、若向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0112k α 与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110k β 正交，则=k ________.5、已知三阶矩阵A 的特征值为,2,1,1-设,223A AB -=则B 的三个特征值为________.二． 单项选择题(每题3分，共15分)1、齐次线性方程组0=x A 的一个基础解系为123212131,,100010001ααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则A 的秩为 （ ）5)()(=A R A 4)()(=A R B 3)()(=A R C 2)()(=A R D 2、设有m 个n 维向量)(n m >，则 （ ）)(A 必线性相关 )(B 必线性无关 )(C 不一定 )(D 无法确定3、设A 为n 阶方阵，则下列方阵中为对称矩阵的是 （ ）()A A A '- ()B CAC ' （C 为任意n 阶方阵） ()C AA ' ()()D AA B ' （B 为任意n 阶方阵）4、设A 与B 均为n 阶方阵，若A 与B 相似，则下面论断错误的是 （ ）)(A 存在M ，且0M ≠，并有AM MB = )(B A 与B 有相同的特征值B E A EC -=-λλ)( )(D A 与B 均可对角化5、若向量组321,,ααα 线性无关，向量组421,,ααα线性相关, 则 （ ）)(A 4α 必不可由321,,ααα 线性表示 )(B 4α必可由321,,ααα 线性表示 )(C 2α 必不可由431,,ααα 线性表示 )(D 2α必可由431,,ααα 线性表示三. (12分) 求n 阶行列式:)1(10000220000111321------n n n n。
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线性代数试卷一、 （12分）单项选择题1. 如果n 阶矩阵A 满足条件,ij ij A a = 其中ij A 是元素ij a 的代数余子式，n j i ,,2,1, =,那么矩阵A 的•A 伴随矩阵等于 C()A A . ()AB -. ()T AC . ()T AD -.注：TTnn n n n n T nn n n n n A a a a a a a a a a A A A A A A A A A A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 212222111211212222111211*本题所用的知识点：1) 矩阵的转置。
P43定义5。
2) 矩阵的伴随。
P48定义3。
2. 设A 是m ⨯n 矩阵,0Ax =是非齐次线性方程组b Ax =对应的齐次方程 组，那么下列叙述正确的是 D （A ） 如果0Ax =只有零解，那么b Ax =有唯一解. （B ） 如果0Ax =有非零解，那么b Ax =有无穷多个解. （C ） 如果b Ax =有无穷多个解, 那么0Ax =只有零解. （D ） 如果b Ax =有无穷多个解, 那么0Ax =有非零解. 注： 令()b A A =~。
(A)错，当)~()(A r A r ≠时，b Ax =可能无解。
(B)错，当)~()(A r A r ≠时，b Ax =可能无解。
(C)错，b Ax =有无穷多个解nA r A r <=)~()(0=有非零解 本题所用的知识点：P80定理2及其注释。
3．，＝，秩且，阶方阵为设3)(4)(4,B r A r B A =B A 和的伴随矩阵为**B A 和，)(**B A r 则是 A (A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4注：由于4)(=A r ，因而0≠A 。
由伴随矩阵的基本性质可知： 0**≠===nA E A AA A A因而0*≠A , 于是A *可逆。
进而r(A *B *)=r(B *)。
由于BB *=|B|E=0, 因而 r(B)+r(B *)≤4.于是r(B *)≤4-r(B)=1。
由于r(B)=3，因而|B|有一个非0的余子式M ij . 由于A ij 是B *的非0元素，因而r(B *)≥1。
于是r(B *)=1。
本题所用的知识点：1）矩阵的秩之概念。
P70定义2。
2）伴随矩阵的基本性质AA *=A *A=|A|E 。
P49公式3.3。
3) |AB|=|A||B|。
P44倒数第4行行列式的运算规律。
4）用数k 乘行列式的某一行，等于用数k 乘此行列式。
P12性质3。
5）矩阵A 可逆的充分必要条件是|A|≠0。
P49定理1。
6）若A 可逆，则r(AB)=r(B)。
P73例5。
7）矩阵可逆的充分必要条件是可以表达为若干初等矩阵的积。
P66定理3。
8）初等行变换相当于左乘初等矩阵。
P64定理2。
9）A →B ⇒ r(A)=r(B)。
P71定理1。
10）常用的矩阵秩性质。
P74第8行。
4. 若3阶矩阵A 的秩r (A ) =1, 则A 的伴随矩阵A *必为 A (A)零矩阵. (B) 秩为1的矩阵. (C) 秩为2的矩阵. (D) 秩为3的矩阵.注：由于r (A ) =1，因而|A|的所有2阶子式全为0。
于是|A|的所有代数余子式也全为0，因而A *=0。
本题所用的知识点：1）矩阵的k 阶子式之概念。
P70定义1。
2）矩阵的秩之概念。
P70定义2。
5.若n 阶矩阵A 互换第一, 二行后得矩阵B , 则必有 C(A) A +B = O. (B) AB = O. (C) 0B A =+. (D) 0AB =.注：|B|=-|A|。
本题所用的知识点：1）交换两行行列式变号。
这就是P11行列式的性质2。
6. 若向量组4321,,,αααα线性无关，则下列向量组线性无关的是 B (A) 14433221,,,α+αα+αα+αα+α.(B) 14433221,,,α-αα+αα+αα+α. (C) 14433221,,,α-αα-αα+αα+α. (D) 14433221,,,α-αα-αα-αα-α. 注：由于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-+++1001110001100011),,,(),,,(432114433221αααααααααααα，且 021100110011001100111001110001100011≠=+=-，因而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001110001100011可逆，而且11443322143211001110001100011),,,(),,,(-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+++=αααααααααααα。
这说明是等价的。
和向量组向量组144332214321,,,,,,αααααααααααα-+++因而==-+++),,,(),,,(432114433221ααααααααααααr r 4。
本题所用的知识点：1）向量组t βββ,,,21 能由向量组s ααα,,,21 线性表示的充分必要条件是存在K K t s s t ),,,(),,,(2121αααβββ =⨯使得矩阵。
P89定义6和第9行。
2）行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。
P19定理1。
3）矩阵A 可逆的充分必要条件是|A|≠0。
P49定理1。
4）等价的向量组具有相同的秩。
P99推论2。
二、 （12分）填空题1.设α, β, γ, η 都是3×1矩阵, 分块矩阵()γβα=A , ()γβη=B , 若=A 2, =B 3, 则B A +.20)32(4)),,(),,((4),,(4)2,2,(=+⨯=+=+=+=γβηγβαγβηαγβηαB本题所用的知识点：1）用数k 乘行列式的某一行（列），等于用数k 乘此行列式。
P12行列式的性质3。
2）若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式能写成两个行列式之和。
P13行列式的性质4。
2.若11111111---x , 则x注： )1(2))1(2(10210102010011111111111+=+-⨯-=+⨯-=+-=---x x x x x本题所用的知识点：1）将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数k 后加到另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。
P13行列式的性质5。
2）行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。
P19定理1。
3. 当, 线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+=++-ax x x x x x x x x 321321321563,124,72无解,当a 满, (有无穷注：)b (~,17b ,563241121A A a A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=令。
由于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----50008160124131601241816056312417121a a a 因而r(A)=2, 且r(A ~)=2的充分必要条件是a=5。
于是当a ≠5时，Ax=b 无解；当a=5时，Ax=b 有无穷多解。
本题所用的知识点：1）非齐次线性方程组Ax=b 有解的充分必要条件是r(A)=r(A ~)。
P80定理2及其注释。
4.设矩阵,4032,2011⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A 则TT AB E B )(1--注：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-=---22012021)())(()(11TT T T T A B B AB E AB E B本题所用的知识点：(AB)T =B T A T 。
P43第8行。
5. 行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a注：0321321321321332313322212312111==b b b b b b b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a b a本题所用的知识点：1）用数k 乘行列式的某一行，等于用数k 乘此行列式。
P12性质3。
2）若行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式为零。
这就是P11推论1。
6.如果A 是3阶可逆矩阵矩阵，互换A 的第一，第二行得矩阵B ,且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2001023111A ，则1-B注：，因而由于A E B )2,1(=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-====-----200120311)2,1(200102311)2,1()2,1())2,1((11111E E A E A A E B本题所用的知识点：1）(AB)-1=B -1A -1。
P50第7行。
2）E(i,j)-1=E(i,j)。
P64命题1。
3）对A 实施一次初等列变换，相当于用初等矩阵右乘A 。
P64定理2。
三、 （10分）计算n ( >2 ) 阶行列式n 333333333233331. 解： n3333333332333313000333300100002---n300330000100002---n=6(n-3)!本题所用的知识点：1）将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数k 后加到另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。
P13行列式的性质5。
2）三角形行列式的值等于对角元素之积。
P7例4。
四、 （10分） x 满足什么条件时, n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x A 111111是不可逆的.解：由于x x x A111111=x n x x n x n x1)1(1)1(11)1(-+-+-+ =[(x+(n-1)]x x 1111111[(x+(n-1)]101011001--x x =[(x+(n-1)](x-1)n-1，31r r ↔ 因而A 不可逆的充分必要条件是x=1或x=1-n本题所用的知识点：1）将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数k 后加到另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。
P13行列式的性质5。
2）用数k 乘行列式的某一列，等于用数k 乘此行列式。
P12性质3。
3）三角形行列式的值等于对角元素之积。
P7例4。
4）矩阵A 可逆的充分必要条件是|A|≠0。
P49定理1。
五、 （12分）设3阶方阵B A ，满足方程 E B A B A =--2，试求矩阵B 以及行列式B ，其中 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100010001102020101E A ，解：由于(A-E E)=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10002010010001100 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-001100010010100002⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝-001100100100000121， 因而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--00101000)(211E A 。