正难则反——补集思想的一些简单运用

正难则反——补集思想的一些简单运用
●基本内容
在集合这一节中，我们知道了补集与全集的概念。

我们也了解到，某一个集合的补集必定是相对于某个特定的全集而言的。

而对于某一件事、某一道题，全集是特定的，在已知一个子集的条件下，我们也就有了两个选择，是选择从这个子集即正面入手，还是反过来另辟蹊径，从问题的对立面即反面入手呢？
当然，大家都会说，那个简单就选择那个；对，就是这样，反难则易，正难则反。

这个小专题我们讲的就是反面容易、正面很难的情形。

正难则反——补集思想的一些简单运用。

●案例探究
例1：已知集合2
=-++=∈，若A R-≠∅，求实
{4260,}
A x x mx m x R
数m的取值范围．
解题分析：集合A是方程
24260
-++=①
x mx m
的实数解组成的集合，A R-≠∅意味着方程①的根有：(i)两负根；(ii)一负根、一零根；(iii)一负根、一正根三种情况．分别求解相当麻烦．上述三种情况虽可概括为方程①的较小的根
<，
但求解此不等式也并不简单，如果考虑A R -≠∅的反面：A R -=∅，则可先求方程①的两根均非负时m 的取值范围，然后运用补集思想求解A R -≠∅时m 的取值范围．
解： 设全集23{168240}{1}2U m m m m m m =∆=--≥=≤-≥或
方程24260x mx m -++=的二根12,x x 均非负时的等价条件是：
2121231164(26)0,240,0260,3m m m x x m m x x m m ⎧≥≤-⎪⎧∆=-+≥⎪⎪+=≥≥⎨⎨⎪⎪=+≥≥-⎩⎪⎩
或m 即 ∴32m ≥
∴A R -=∅时，实数m 的取值范围是3{}2
m m ≥ ∴A R -≠∅时，实数m 的取值范围是3{}2
m m ≥关于U 的补集{1}m m ≤- ∴A
R -≠∅时，实数m 的取值范围是{1}m m ≤- [点评]在讨论比较复杂的情况时，可考虑先求解问题的反面，采用“正难则反”的解题策略．具体地说，就是将研究对象的全体视为全集，求出使问题反面成立的集合U ，则U 的补集即为所求．
一般地说，当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确时，宜考虑用补集的思想方法。

例2：已知三条抛物线2y x x m =--， 224y x mx =++，21y mx mx m =++-中至少有一条与x 轴相交，试求实数m 的取值范围。

解题分析：即补集分析，从全集中去掉那些不合题意的的解集，“结论”的反面，三条抛物线都不和x 轴相交相对于命题本身更简单明确，这样就转化为我们比较熟悉的二次函数根的问题。

解：从题设的反面“三条抛物线都不和x 轴相交相”出发，设三条抛物线的判别式分别为123,,∆∆∆
则有： 1222314041604(1)0
m m m m m ∆=-<⎧⎪∆=-<⎨⎪∆=--<⎩
解之得 4
23
m << ∵21y mx mx m =++- 为抛物线 ∴0m ≠
根据补集的思想 故m 的取值范围是4203m m m m ⎧⎫
≤≥≠⎨⎬⎩⎭或且 [点评]教学中发现学生在运用补集法求解一些问题时易出现一些不易觉察的错误,结果导致错解发生，特别是本题中的隐含条件0m ≠是极易被忽视的地方。

● 牛刀小试
1. 集合{}
2(,)20A x y x mx y =+-+=},集合{}(,)10B x y x y =-+=,且02x ≤≤}，又A B φ≠，求实数m 的取值范围。

2.已知关于x 的二次方程220ax bx c ++=，220bx cx a ++=，220cx ax b ++=中至少有一个有不同的实数根，试求,,a b c 满足的条件。

3.如果二次函数2(3)1y mx m x =+-+ 的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，
求m 的取值范围。

● 反思总结。