第七章-自旋和全同粒子
第七章 电子自旋
（7.2-19）
亦即 故有
（7.2-20）
（7.2-21）
最后得到的表达式为：
因为：
（7.2-22）
利用厄密矩阵的性质及反 对易关系式得到(见附录IV)
所以：
（7.2-23）
（7.2-24）
此3 个矩 阵称为泡 利矩阵。
3. 电子波函数的归一化及几率密度
由
由波函数 定义的几率
密度为
表示的电子波函数的归 一化除了对空间坐标积 分之外,还要对自旋求和, 即：
这两个分量可以排成一个二行一列的矩阵: （7.2-15）
如果电子处于
的自旋态,则其波函数表示为:
（7.2-16）
如果电子处于的
自旋态,则其波函数表示为 （7.2-17）
由矩阵的乘法规则可知,自旋算符应当是二行二列的矩阵。
设 （7.2-18）
对应于本征值为 本征值方程为：
的
同样, 对应于本征值为
的本征值方程为：
(1) 每个电子均具有自旋角动量 只能取
,它在空间任何方向的投影 （7.1-1）
(2)每个电子具有自旋磁矩 ,它和自旋角动量 的关系为：
(SI) （7.1-2）
在空间任意方向上的投影只能取两个数值:
其中 为玻尔磁子。
(SI) （7.1-3）
(SI) （7.1-3）
这个比值称为电子自旋的回转磁比率,它等
例题: 在σz 的表象中,求σ·n 的本征态,n=(sinθcosφ,sinθ sinφ,cosθ) 是(θ,φ)方向上的单位矢。
§ 7.3 简单塞曼效应 氢原子和类氢原子的电子由于受到外磁场的作用而引起的附加 能量为:
哈密顿算符为: 其中: 则体系的定态薛定谔方程为:
《量子力学》课程19
j ( j 1),
jl
1 2
jl
,
( , , s z )
2l 1 1 1
1 2
l m 1Y lm ( , ) l m Y lm 1 ( , )
jl
1 2
,
( , , s z )
jl
(sz )
z z
1 2
z
1 2
z
1 2
1 2
z
ˆ Sz
1 2
2
1 2
ˆ Sz1
2
2
1 2
这两个函数是彼此正交的。
量子力学
3、自旋函数的矩阵形式
在 表示为：
1/ 2
z
表象中，
1 2
、
0 1
1 2
的矩阵
1 0
1 2
l m Y lm ( , ) 2 l 1 l m 1Y lm 1 ( , )
对于
,
m max l , m min ( l 1)
量子力学
m l , l 1, , 0 , , ( l 1) mj m
量子力学
§7.5 光谱的精细结构
光谱的精细结构与自旋轨道藕合有关。 下面讨论在无外场时，电子自旋对类氢原子的 能级和谱线的影响。 对于类氢原子，如果不考虑电子自旋与轨 道相互作用的能量，则类氢原子的哈密顿为
ˆ H0
2
2
U (r )
2
若不考虑核外电子对核的屏蔽，则 U ( r ) r 根据前面的讨论，若不考虑电子的自旋，电子 的能量只与 n 有关，能量为 n 度简并，现在 把电子的自旋加进去（不考虑电子自旋与轨道
自旋与全同粒子
√
电子自旋(1/2)
斯特恩-革拉赫实验
照相片 PP ，不均匀磁场，狭缝 BB ，s 态的氢原子源 K s 态的氢原子束通过狭缝 BB 和不均匀磁场， 射到照相片 PP 上，出现两条分立线 分立线：氢原子具有磁矩 两条线：磁矩只有两种取向 s 态的氢原子：角量子数 l = 0，没有轨道角 动量，磁矩是固有的(自旋磁矩)
√
小结(1/3)
电子的自旋 自旋算符： 对易关系： 平方算符：
泡利矩阵： 自旋算符函数 自旋算符函数 对自旋求平均： 对坐标和自旋求平均：
自旋波函数：
无自旋与轨道相互作用的电子波函数：
的本征函数：
√
小结(2/3)
两电子体系的自旋函数：
算符
和
在
中的本征值
简单塞曼效应：
的共同本征函数
耦合表象的基矢：
的共同本征函数
)
有自旋与轨道相互作用的哈密顿量(
√
光谱的精细结构(2/4)
微扰的自旋与轨道相互作用
耦合表象的基矢 零级近似波函数(简并情况) 矩阵元、久期方程和能量的一级修正 用到的公式
矩阵元
久期方程
√
光谱的精细结构(3/4)
能量的一级修正
对易关系
本征值
自旋角动量算符的矩阵形式 态矢量(自旋的表象)
√
电子的自旋算符和自旋函数(3/3)
自旋角动量算符的矩阵形式
(
、 和
称泡利矩阵)
其它关系 正交归一关系：
量子力学基础教程答案
量子力学基础教程答案【篇一：量子力学课后答案】class=txt>????? 第一章绪论第二章波函数和薛定谔方程第三章力学量的算符表示第四章态和力学量的表象第五章微扰理论第六章弹性散射第七章自旋和全同粒子?301.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：?mt?b,b?2.9?10m?c。
证明：由普朗克黑体辐射公式：8?h?31 ??d??d?， h3c ekt?1c c及??、d???2d?得?? 8?hc1?? ?5，hc?e?kt?1 d?hc令x?，再由??0，得?.所满足的超越方程为 ?d? ktxex 5?x e?1 hc x?4.97，即得用图解法求得?4.97，将数据代入求得?mt?b,b?2.9?10?3m?0c ?mkt1.2．在0k附近，钠的价电子能量约为3ev,求de broglie波长.0hh?10解：? ???7.09?10m?7.09a p2me # 3e?kt，求t?1k时氦原子的de broglie波长。
1.3. 氦原子的动能为 2h0hh?10??12.63?10m?12.63a 解：? ??p2me3mkt ?23?1其中m?4.003?1.66?10?27kg，k?1.38?10j?k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量。
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
绪论第一章b?10t，玻尔磁子?b?0.923?10?23j?t?1，求动能的量子化间隔?e，并与t?4k及已知外磁场t?100k 的热运动能量相比较。
p21解：（1）方法1：谐振子的能量e????2q2 2?2p2q2可以化为??1 22 ?2e?2e? ????2???2e 的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为a?2?e,b?，相空间面积为 2 ??2?eepdq??ab???nh,n?0,1,2,? ?? e?nh?,n?0,1,2,? 所以，能量方法2：一维谐振子的运动方程为q????2q?0，其解为q?asin??t??? 速度为 q??a?cos??t???，动量为p??q??a??cos??t???，则相积分为 2222tta??a??t222pdq? a??cos??t???dt?(1?cos??t???)dt??nh，n?0,1,2,? 002222a??nh e???nh?，n?0,1,2,? 2t 2?v?v evb?（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。
7第七章自旋与全同粒子
2
，所以ˆi 的本征
2 i
2 x
2 y
2 z
1
(22)
泡利矩阵：
ˆx பைடு நூலகம்10 10
ˆ y
0 i
i 0
ˆ z
1 0
01
(23)
• 考虑到自旋后，归一化形式为：
d
(1 *
2
*)
（空间量子化）
3）实验解释：
， 氢原子处于S态时，l＝0，轨道角动
量平方 L2 l(l 1) 2 0
Lz m 0(m 0,1,2,....., l)
M
e
L0
2
在此状态下，原子轨道角动量基轨道磁距均为0。 如果仍发现有磁距，必为其他磁矩。
2. 碱金属原子光谱的双向结构 钠原子光谱，2P 1S线波长589.3nm,
r
e2a
r2
(0 x 1)
这时
仍为本征波函数，但能级本征值E
nlm
nl不仅与n有
关，而且与l有关.
2
- 2 2 nlm U r nlm Enl nlm （7）
当B=0： nlm是lz的本征函数：
Lz nlm m nlm
(8)
nlm仍为方程（5）(6）的解：
第七章 自旋与全同粒子
7.1 电子自旋
一、电子自旋的实验现象 1.斯特恩-盖拉赫实验
1）
N
z
ko
S
p
N-S磁铁之间为不均匀磁场 k0:氢原子 源,H原子束经狭缝准直后,穿过不均匀B,屏 上两条黑线。
量子力学 自旋和全同粒子
ˆ2, J ˆ 2 ] 0 ，[ J ˆ2, J ˆ 2 ] 0， [J 1 2 r r ˆ ˆ2, J ˆ2 ˆ [J 1 ] 0 ，[ J , J 2 ] 0 ， ˆ ,J ˆ 2 ] 0 ，[ J ˆ ,J ˆ2] 0。 [J z 1 z 2
另，容易证明，
| j1 , j2 , j, m 组成了正交归一的完全系，以它们为基矢的表
ˆ2, J ˆ ,J ˆ2, J ˆ 2 都是对角矩阵。 象称为耦合表象， 在这个表象中 J z 1 2
第 7 章 自旋和全同粒子 7.4、 两个角动量的耦合
7.4.3、 耦合表象和非耦合表象的变换
7.4.3、 耦合表象和非耦合表象的变换 将 | j1 , j2 , j, m 按照完全系 | j1 , m1 , j2 , m2 展开，
m1 ,m2
(m m )h
1 2
m2m2 m1m1
j1 , m1 , j2 , m2 | j1 , j2 , j, m
; m2 m2 m2 时， m m1 m2 m1 当 m1 m1
所以展开式中只需对一个量子数求和即可，
第 7 章 自旋和全同粒子 7.4、 两个角动量的耦合
Hale Waihona Puke ˆ2, J ˆ 的共同本征矢，则 以 | j2 , m2 表示 J 2 2z
ˆ 2 | j , m j ( j 1)h 2 | j , m J 2 2 2 2 2 2 2 。 ˆ J 2z | j2 , m2 m2 h | j2 , m2
第 7 章 自旋和全同粒子 7.4、 两个角动量的耦合
| j1 , j2 , j, m
m1 ,m2
《量子力学教程》_课后答案
2 ( x) A sin kx B coskx
④
13
根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得
2 (0) 1 (0)
2 ( a ) 3 ( a)
⑤ ⑥ ⑥
⑤
B0 A sin ka 0
A0 s i n 0 ka ka n
《量子力学教程》 习题解答
1
《量子力学教程》
习题解答说明
• 为了满足量子力学教学和学生自学的需要，完 善精品课程建设，我们编写了周世勋先生编写 的《量子力学教程》的课后习题解答。本解答 共分七章，其中第六章为选学内容。 • 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
2
目录
• • • • • • • 第一章 绪论 第二章 波函数和薛定谔方程 第三章 力学量的算符表示 第四章 态和力学量的表象 第五章 微扰理论 第六章 弹性散射 第七章 自旋和全同粒子
(1)
J1与r 同向。表示向外传播的球面波。
i * * J1 ( 1 1 1 1 ) 2m i 1 ikr 1 ikr 1 ikr 1 ikr [ e ( e ) e ( e )]r0 2m r r r r r r i 1 1 1 1 1 1 [ ( 2 ik ) ( 2 ik )]r0 2m r r r r r r k k 2 r0 3 r mr mr
0
2
n ， n 1,2, 。 eB
1 2 1 eBR 1 2 2 n e B n B B 电子的动能为 E v 2 2 2 eB
动能间隔为 E B B 9 10 J 热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为 E kT ，所以当 T 4K 时， E 4.52 10 J ；当
《量子力学》考试知识点
《量⼦⼒学》考试知识点《量⼦⼒学》考试知识点第⼀章：绪论―经典物理学的困难考核知识点：（⼀）、经典物理学困难的实例（⼆）、微观粒⼦波－粒⼆象性考核要求：（⼀）、经典物理困难的实例1.识记：紫外灾难、能量⼦、光电效应、康普顿效应。
2.领会：微观粒⼦的波－粒⼆象性、德布罗意波。
第⼆章：波函数和薛定谔⽅程考核知识点：（⼀）、波函数及波函数的统计解释（⼆）、含时薛定谔⽅程（三）、不含时薛定谔⽅程考核要求：（⼀）、波函数及波函数的统计解释1.识记：波函数、波函数的⾃然条件、⾃由粒⼦平⾯波2.领会：微观粒⼦状态的描述、Born⼏率解释、⼏率波、态叠加原理（⼆）、含时薛定谔⽅程1.领会：薛定谔⽅程的建⽴、⼏率流密度，粒⼦数守恒定理2.简明应⽤：量⼦⼒学的初值问题（三）、不含时薛定谔⽅程1. 领会：定态、定态性质2. 简明应⽤：定态薛定谔⽅程第三章：⼀维定态问题⼀、考核知识点：（⼀）、⼀维定态的⼀般性质（⼆）、实例⼆、考核要求：1.领会：⼀维定态问题的⼀般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振2.简明应⽤：定态薛定谔⽅程的求解、第四章量⼦⼒学中的⼒学量⼀、考核知识点：（⼀）、表⽰⼒学量算符的性质（⼆）、厄密算符的本征值和本征函数（三）、连续谱本征函数“归⼀化”（四）、算符的共同本征函数（五）、⼒学量的平均值随时间的变化⼆、考核要求：（⼀）、表⽰⼒学量算符的性质1.识记：算符、⼒学量算符、对易关系2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本⼒学量算符的对易关系（⼆）、厄密算符的本征值和本征函数1.识记：本征⽅程、本征值、本征函数、正交归⼀完备性2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、⼒学量可取值及测量⼏率、⼏率振幅。
（三）、连续谱本征函数“归⼀化”1.领会：连续谱的归⼀化、箱归⼀化、本征函数的封闭性关系（四）、⼒学量的平均值随时间的变化（⼀）、表象变换，⼳正变换（⼆）、平均值，本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式（三）、量⼦态的不同描述⼆、考核要求：（⼀）、表象变换，⼳正变换1.领会：⼳正变换及其性质2.简明应⽤：表象变换（⼆）、平均值，本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式1.简明应⽤：平均值、本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式2.综合应⽤：利⽤算符矩阵表⽰求本征值和本征函数（三）、量⼦态的不同描述第六章：微扰理论⼀、考核知识点:（⼀）、定态微扰论（⼆）、变分法（三）、量⼦跃迁⼆、考核要求:（⼀）、定态微扰论1.识记：微扰2.领会：微扰论的思想3.简明应⽤：简并态能级的⼀级，⼆级修正及零级近似波函数4.综合应⽤：⾮简并定态能级的⼀级，⼆级修正、波函数的⼀级修正。
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第七章自旋和全同粒子§7 - 1 电子自旋一电子自旋的概念在非相对论量子力学中，电子自旋的概念是在原子光谱的研究中提出来的。
实验研究表明，电子不是点电荷，它除了轨道运动外还有自旋运动。
描述电子自旋运动的两个物理量：1 、自旋角动量(内禀角动量)S它在空间任一方向上的投影s z 只能取两个值21±=z s ；(7. 1)2、 自旋磁矩(内禀磁矩)μs它与自旋角动量S 间的关系是：S es m e-=μ,(7. 2)B es 2μμ±=±=m e z,(7. 3)式中(- e )：电子的电荷，m e ：电子的质量，B μ：玻尔磁子。
3、电子自旋的磁旋比（电子的自旋磁矩/自旋角动量） es e s 2m e g m e s zz=-=μ,(7. 4)g s = – 2是相应于电子自旋的g 因数,是对于轨道运动的g 因数的两倍。
强调两点：● 相对论量子力学中，按照电子的相对论性波动方程−−狄拉克方程，运动的粒子必有量子数为1/2的自旋，电子自旋本质上是一种相对论效应。
●自旋的存在标志着电子有了一个新的自由度。
实际上，除了静质量和电荷外，自旋和内禀磁矩已经成为标志各种粒子的重要的物理量。
特别是，自旋是半奇数还是整数(包括零)，决定了粒子是遵从费米统计还是玻色统计。
二 电子自旋态的描述ψ ( r , s z )：包含连续变量r 和自旋投影这两个变量， s z 只能取 ±2/ 这两个离散值。
电子波函数（两个分量排成一个二行一列的矩阵）⎪⎭⎫⎝⎛-=)2/,()2/,(),( r r r ψψψz s , (7. 5) 讨论：● 若已知电子处于/2z s =，波函数写为 (,/2)(,) 0zs ψψ⎛⎫=⎪⎝⎭r r● 若已知电子处于/2z s =-，波函数写为0(,)(,/2)z s ψψ⎛⎫= ⎪-⎝⎭r r ● 概率密度2)2/,( r ψ：电子自旋向上()2/ =z s 且位置在r 处的概率密度；2)2/,( -r ψ：电子自旋向下()2/ -=z s 且位置在r 处的概率密度。
● 归一化条件∑⎰⎰±=-+=2/22323])2/,()2/,([d ),(dz s z r s r r r r ψψψ⎰==+1d 3ψψr ,(7. 6)where())2/,(*,)2/,(*),( -=+r r r ψψψz s (7. 7)是式(7. 5)所示的电子波函数的厄米共轭。
如果某一个体系的哈密顿量可以写成空间坐标部分与自旋变量部分之和，或者不包含自旋变量，则该体系的波函数可以分离变量，即)()(),(z z s s χφψr r =. (7. 8))(z s χ:描述自旋态的波函数，其一般形式为⎪⎭⎫⎝⎛=b a s z )(χ,(7. 9)式中2a和2b ：电子的s z 等于2/ 和2/ -的概率。
归一化条件可以表示为∑±=+⎪⎭⎫⎝⎛==2/2)**,()( z s z b a b a s χχχ122=+=b a .(7. 10)其中 )**,(b a =+χ表示自旋波函数⎪⎭⎫⎝⎛=b a χ的厄米共轭。
● 自旋态空间的一组正交完备基s z 的本征态)(sz ms χ:⎪⎭⎫⎝⎛==01)(2/1z s χα, 本征值s/2m =+，⎪⎭⎫⎝⎛==-10)(2/1z s χβ， 本征值s/2m =- (7. 11)α 和β 构成了电子自旋态空间的一组正交完备基.式(7. 9)所表示的一般的电子自旋态可以用它们来展开βαχb a b a s z +=⎪⎭⎫⎝⎛=)(.(7. 12)于是，式 电子旋量波函数⎪⎭⎫⎝⎛-=)2/,()2/,(),( r r r ψψψz s 可以表示为βψαψψ)2/,()2/,(),( -+=r r r z s . (7. 13)三 自旋算符与泡利矩阵1、 自旋算符自旋角动量是一个力学量，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个变量，在量子力学中就要用一个算符S ˆ来描写。
● Sˆ的对易关系 自旋角动量Sˆ是角动量，满足轨道角动量算符Lˆ满足的对易关系 z x y y x s s s s sˆi ˆˆˆˆ =-, x y z z y s s s s s ˆi ˆˆˆˆ =-,(7. 14)y z x x z s s s s sˆi ˆˆˆˆ =-.● 2ˆS的本征值 由于自旋角动量S 在空间任意方向上的投影都只能取两个值2/ ±，所以y x s sˆ,ˆ和z s ˆ三个算符的本征值都是2/ ±，它们的平方都是4/2 ，即42222 ===zy x s s s . (7. 15)由此可得自旋角动量平方算符2ˆS的本征值是2222243 =++=zy x s s s S.(7. 16)令 22)1( +=s s S ,(7. 17)则有21=s .(7. 18)与轨道角动量平方算符的本征值 22)1( +=l l L 相比较可以看出，这里的量子数s 与角量子数l 相当，因此通常把s 称为自旋量子数。
电子的自旋量子数s 只能取一个数值s = 1/2.2 、 泡利算符σˆ（无量纲）的代数性质 σˆ2=ˆ S .(7. 19)将此式的分量形式代入式(7. 14)，得到泡利算符各分量所满足的对易关系z x y y x σσσσσˆi 2ˆˆˆˆ=-, x y z z y σσσσσˆi 2ˆˆˆˆ=-, (7. 20)y z x x z σσσσσˆi 2ˆˆˆˆ=-； 由于S 沿任何方向的投影都只能取2/ ±，所以σ 沿任何方向的投影都只能取±1. 于是，y x σσˆ,ˆ和z σˆ的本征值都是±1，而22ˆ,ˆyx σσ和2ˆz σ的本征值都是11222===zy x σσσ.(7. 21)用y σˆ左乘和右乘式(7. 20)的第二式，并利用式(7. 21)，可得：x y y z y z σσσσσσˆˆi 2ˆˆˆˆ=-, y x z y z y σσσσσσˆˆi 2ˆˆˆˆ=-. 再将以上两式相加，可得0ˆˆˆˆ=+x y y x σσσσ， 即x σˆ与y σˆ彼此反对易。
类似地可以求出其他两个式子。
概括起来，泡利算符σˆ的三个分量彼此反对易，即0ˆˆˆˆ=+x y y x σσσσ, 0ˆˆˆˆ=+y z z y σσσσ, (7. 22)0ˆˆˆˆ=+z x x z σσσσ. 把式(7. 19)和式(7. 22)联立起来，可得：z x y y x σσσσσˆi ˆˆˆˆ=-=, x y z z y σσσσσˆi ˆˆˆˆ=-=, (7. 23)y z x x z σσσσσˆi ˆˆˆˆ=-=. 式(7. 23)和式(7. 20)以及厄米性σσˆˆ=+,(7. 24)概括了泡利算符的全部代数性质。
3 、 泡利矩阵在以z sˆ的本征态α 和β 为基矢的空间中，可以把泡利算符表示成矩阵的形式。
由于z σˆ的本征值只能取±1，所以泡利算符σˆ的z 分量z σˆ可表示成 ⎪⎭⎫⎝⎛-=1001ˆz σ.这样，就有αασ=z ˆ,ββσ-=z ˆ.(7. 25)利用泡利算符的性质可以证明，在上述表象(泡利表象)中，泡利算符的三个分量可以表示成下列矩阵：⎪⎭⎫⎝⎛=0110ˆx σ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0i i 0ˆy σ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001ˆz σ.(7. 26)这些矩阵称为泡利矩阵，它们具有广泛的用途。
四 自旋轨道耦合 总角动量1、自旋轨道耦合作用对于均匀外磁场中的自由电子，哈密顿量中表示内禀磁矩μs 与外磁场B 相互作用的项为 B S B S B ⋅-=⋅=⋅-es e s 2m e g m e μ.(7. 27)从半经典的角度来看，在单电子原子中，相对于电子而言，核电荷是在绕电子运动，从而产生了所谓的内磁场B i . 电子的内禀磁矩μs 在这个内磁场中将受到用-μs ⋅B i 表示的作用。
由于B i 与L 有关，因此这一作用是与电子的轨道角动量L 有关的。
利用有心力场)(r V 中运动的电子的相对论性波动方程−−狄拉克方程可证，在二级非相对论近似下的薛定谔方程中，哈密顿量将包含有表示自旋轨道耦合能的项，即L S L S ⋅⋅rVr c r d d 121=)(22μξ.(7. 28)2、总角动量对于在有心力场中运动的电子，如果忽略自旋轨道耦合作用，则可以选用),,,(2z z s L L H 为力学量完全集，其共同本征函数可以表示为)(),,(),(z m m l n z m m l n s r s s s χϕθψψ=r ,(7. 29)其中),,(ϕθψr m l n 是),,(2z L L H 的共同本征函数。
在没有外磁场或外磁场很弱时，原子内的电子所受到的自旋轨道耦合作用会对原子能级和光谱带来不可忽略的影响，产生原子光谱的精细结构，例如碱金属原子光谱的双线结构和反常塞曼效应等。
这时，由于哈密顿量中的自旋轨道耦合项的存在，使得L,S⋅L],[≠SS,⋅L][≠,因此有H[≠L,,]S,H[≠],所以轨道角动量L和自旋S都已不再是守恒量了。
然而，如果考虑总角动量=, (7.J+SL30)则可以证明，由于S⋅LJ, (7.],[=31)因此有0],[=H J ,这时总角动量仍然是守恒量，在有心力场 中运动的电子的能量本征态可选为),,,(22z J J L H 的共同本征态j m j l φ，所对应的本征值分别为2)1( +l l ,2)1( +j j , (7. 32)j m ,其中j=,,1-, .m j-jj在l = 0的情况下，自旋轨道耦合项为零，总角动量就等于自旋, 即2/1=j,=s =j m2/1±m.=s§7 - 2 全同粒子系和原子组态一全同粒子系的交换对称性1、电荷和自旋等内禀属性完全相同的同类微观粒子例：所有电子是全同粒子；所有质子是全同粒子。
●全同粒子系的交换对称性任何可观测量，特别是哈密顿量，对于任何两个粒子的交换是不变的。
例、氦原子中两个电子所组成的体系的哈密顿量为212s 22s 12s 22212222r r -+--+=e r e r e m p m p H .(7. 33)当两个电子交换时，上式中的H显然不变。
2、 全同粒子系波函数的交换对称性全同粒子系的交换对称性对反映到波函数上在经典力学中，即使把两个粒子的固有性质看成是完全相同的，我们仍然可以区分它们，这是因为可以由跟踪每个粒子的运动轨道来分辨粒子.在量子力学中，对于全同粒子所组成的多粒子体系，任何两个粒子交换一下，按照全同粒子系的交换对称性，一切测量结果都不会因此而有所改变，所以该体系的量子态是不变的 要求全同粒子系的波函数对于粒子的交换具有一定的对称性。