第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
第三节 理想流体的旋涡运动
本节主要讲述理想流体有旋运动的理论基础，重点是速度环 量及其表征环量和旋涡强度间关系的斯托克斯定理。
一、涡线、涡管、涡束和旋涡强度
涡量用来描述流体微团的旋转运动。涡量的定义为：
2 V 也称为旋度
涡量是点的坐标和时间的函数。它在直角坐标系中的投影为：
x
根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两类：
有旋流动和无旋流动。
当
1
V
0
2
无旋流动
当
1
V
0
2
有旋流动
通常以
V
是否等于零作为判别流动是否有旋或无旋的
判别条件。
在笛卡儿坐标系中：
V
vz y
v y z
i
vx z
Байду номын сангаас
w x
2020/1/30 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
（4）旋转运动 dα dβ 且符号相反
则流体微团只发生旋转，不发生角变形 大多数情况下，流体微团在发生角变形的同时，还 要发生旋转运动。
2020/1/30 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
旋转角速度： dα v dt
还是无旋流动。
【解】：由于
x
1 2
vz y
v y z
0
y
1 vx 2 z
x
vz
x
0
z
1 2
v y x
vx y
1a 2
0
所以该流动是有旋运动。
2020/1/30 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
vz x
j
v y x
vx y
k
2020/1/30 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
即当流场速度同时满足：
vz vy y z
vx vz z x
vy vx x y
时流动无旋
需要指出的是，有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是否发
ydz zdy
vEy
vy
v y y
dy
yzdz yxdx
zdx xdz
vEz
vz
vz z
dz
zxdx zydy
xdy zdx
2020/1/30 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
第二节 有旋流动和无旋流动
量计算旋涡强度的方法。
【例1】已知二维流场的速度分布为 vx 3y ，vy 4x ，试求绕圆 x2 y2 R2 的速度环量。
【解】 此题用极坐标求解比较方便，坐标变换为:
x r cos y r sin
速度变换为
vr vx cos vy sin v vy cos vx sin
vz y
vy z
y
vx z
vz x
z
v y x
vx y
2020/1/30 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
涡量是点的坐标和时间的函数。它在直角坐标系中的投影为：
x
vz y
vy z
y
vx z
vz x
z
v y x
dy
vx z
dz
vEy
vy
v y x
dx
v y y
dy
v y z
dz
vEz
vz
vz x
dx
vz y
dy
vz z
dz
第一项：平移运动 第二项：线变形运动 第三项：角变形运动 第四项：旋转运动
vEx
vx
vx x
dx
xydy xzdz
2020/1/30
v 4r cos2 3r sin 2
第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
Γ 2π ( 4r cos2 θ 3r sin 2 θ)rdθ r 2 2 (4cos2 3sin2 )d
0
0
6πr2 r2 2π cos2θdθ 7πr2 0
的涡线形成的管状曲面称作涡管。截面无限
小的涡管称为微元涡管。涡管中充满着的作
旋转运动的流体称为涡束。
3、旋涡强度（涡通量）
涡管
在涡量场中取一微元面积dA，其流体微团的涡通量为 2 ，
n 为dA的外法线方向，定义
dJ d A 2 cos( n)dA 2ndA
为任意微元面积dA上的旋涡强度，也 称涡通量。
2020/1/30 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
2、斯托克斯（Stokes）定理：在涡量场中，沿任意封闭周线的速 度环量等于通过该周线所包围曲面面积的旋涡强度，即:
v d s d A 2 ndA J
A
A
这一定理将旋涡强度与速度环量联系起来，给出了通过速度环
1、速度环量：在流场的某封闭周线上，如图，流体速度矢量沿周
线的线积分，定义为速度环量，用符号 表示，即:
v d s (vxdx vydy vzdz)
速度环量是一代数量，它的正 负与速度的方向和线积分的绕行方 向有关。对非定常流动，速度环量 是一个瞬时的概念，应根据同一瞬 时曲线上各点的速度计算。
2m / s
2020/1/30 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
第四节 有势流动 速度势和流函数
一、有势流动 速度势
1.有势流动
不可压缩流体或可压缩流体作无旋流动时，总有速度势存在， 故无旋流动也称有势流动。
0
vz vy vx vz vy vx y z z x x y
w y
v z
ωy
1 u 2 z
w x
ω ωx2 ωy2 ωz2
ω
ωxi
ωy
j
ωz k
1 2
V
2020/1/30 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
vEx
vx
vx x
dx
vx y
上式是 vxdx vydy vzdz 成为某一函数 (x, y, z,t) 的全微分 的必要且充分的条件，函数 (x, y, z,t) 称为速度势函数。
2020/1/30 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
2.速度势
d
x
dx
y
dy
z
dz
vxdx
根据涡通量矢量与涡线相切的条件， 涡线的微分方程为：
dx
dy
dz
x (x, y, z,t) y (x, y, z,t) z (x, y, z,t)
涡线
2020/1/30 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
2、涡管、涡束：在涡量场中任取一不是涡
线的封闭曲线，在同一时刻过该曲线每一点
第七章 理想不可压缩流体的 有旋流动和无旋流动
第一节 流体微团运动的分解 第二节 有旋流动和无旋流动 第三节 理想流体的旋涡运动 第四节 有势流动 速度势和流函数
2020/1/30 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
第一节 流体微团运动的分解
在一般情况下，流体微团的运动可分解为三部分：
① 以流体微团中某点的速度作整体平移运动
vx y
Ω 0 称为无旋流动
若
Ω 0 称为有旋流动
2020/1/30 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
在流场的全部或部分存在角速度的场，称为涡量场。如同在速 度场中引入了流线、流管、流束和流量一样。在涡量场中同样也引 入涡线、涡管、涡束和旋涡强度的概念。
1、涡线：涡线是在给定瞬时和涡量 矢量相切的曲线。
v y dy
vz dz
势函数 (x, y, z,t) 的微分方程
vx
x
vy
y
vz
z
3.速度势的性质
（1）速度沿三个坐标轴的分量等于速度势对于相应坐标的偏导数
vx x
vr
r
vy y vz z
v
1 r
vz
z
2020/1/30 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
线速度
② 绕通过该点轴的旋转运动 ③ 微团本身的变形运动
旋转角速度 线变形速率 剪切变形速率
2020/1/30 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
2020/1/30 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
（1）平移运动
矩形ABCD各角点具有相同的速度分量u、v。导致矩形 ABCD平移udt, 上移vdt, ABCD的形状不变。
（3）角变形运动
uD
uA
u y
dy
uC
uB
u y
dy
vC
vD
合集下载
第七章 不可压缩流体动力学基础
zz dz z
zx
应力状态：
zx dz z
xx
xy
xy x
dx
yx
xx
z
y
xz zx
yz
zz
yx
xx dx x
粘性流场中任意一点的应力有9 个分量，包括3个正应力分量和 6个切应力分量：
yx y
dy
x
切应力互等定律
恒定流或非恒定流； 理想液体或实际液体。
一维流动的连续方程
1 A1 2 A2
连续性方程是流体流动微分方程最基本的方程 之一。任何流体的连续运动均必须满足。
例：已知不可压流体速度,
u x y z , v xy yz zx
2 2 2
u v w 解： 不可压流体 V 0 0 x y z w 2x x z 0 z w 3 x z z 1 2 w z 3 xz f ( x , y , t ) 2
vD D uD C vC
v yt y
D
B A
uC
y
v A u B vB uB
u x t x
x
线变形率
u x x
x
7.1 流体微团的运动分 析 三、角变形率
1. 角变形
y
u yt y
u tg t C y
D vD D uD C uC vC
第七章
不可压缩流体动力学 基础
重点、难点内容
流体微团运动的分析 有旋流动、无旋流动 理想流体运动微分方程 涡线、涡管以及斯托克斯定理
第一节
流体微团运动的分析
分析流场中任意流体微团运动是研 究整个流场运动的基础。 流体运动要比刚体运动复杂得多， 流体微团基本运动形式有平移运动，旋 转运动和变形运动等，而变形运动又包 括线变形和角变形两种。
第七章 不可压缩流体动力学基础
当液体平衡时： 当液体平衡时：
du x du y du z = = =0 dt dt dt
则可以得到欧拉平衡微分方程。 则可以得到欧拉平衡微分方程。 欧拉平衡微分方程
1 ∂p X= ρ ∂x
1 ∂p Y= ρ ∂y
1 ∂p Z= ρ ∂z
运动方程 应力状态及切应力互等定律
σzz +
τ yz +
∂τ yz ∂y dy
速度环量
通常， 通常，涡通量是利用速度环量这个概念来 计算的。 计算的。 在流场中任取一封闭曲线s则流速沿曲线 在流场中任取一封闭曲线 则流速沿曲线 s的积分称为曲线 上的速度环量。并规定积分 的积分称为曲线s上的速度环量 的积分称为曲线 上的速度环量。 逆时针方向绕行为s的正方向 沿s逆时针方向绕行为 的正方向。 逆时针方向绕行为 的正方向。
y
ρ v y vx
ρ vz vx
x 动量在微元体表面的输入与输出
输入输出微元体的动量流量
∂ ( ρυ x 2 ) ∂ ( ρυ yυ x ) ∂ ( ρυ zυ x ) + dxdydz x方向： ∂x + 方向： 方向 ∂y ∂z ∂ ( ρυ xυ y ) ∂ ( ρυ y 2 ) ∂ ( ρυ zυ y ) + + dxdydz y方向： 方向： 方向 ∂x ∂y ∂z
平移运动、旋转运动、 平移运动、旋转运动、线变形运动 和角变形运动
右图为任意t时刻 右图为任意 时刻 在平面流场中所取的一 个正方形流体微团。 个正方形流体微团。由 于流体微团上各点的运 动速度不一致， 动速度不一致，经过微 小的时间间隔后， 小的时间间隔后，该流 体微团的形状和大小会 发生变化， 发生变化，变成了斜四 边形。 边形。
第七章不可压缩流体动力学基础
在个方向上都是 相同的可得
yz
zy
vz y
v y z
2
•
x
zx
xz
vx
z
vz x
•
2 y
流体力学
二、法应力和线变形速度的关系
在粘性流体中，由于粘性的影响，流体微团除发生角变形以外，同时也 发生线变形（对不可压缩流体推导的结果如下）。
pxx
p
2
vx x
p yy
p 2
v y y状态
流体力学
二、以应力表示的运动微分方程
第一个下标表示 应力所在平面的 法线方向。
第二个下标 表示应力本 身的方向。
pxx
dy
dz
xz xy
fz
zx
yx
yx
y
fy fx
zx dz
z
dy xz
xypxxxzdxxxypdxxxx
x
dx
yx
dx
流体力学
流体力学
第七节 理想流体的运动微分方程及其积分
一、运动微分方程 当流体为理想流体时，运动黏度
，N-S方程简化为：
fx
1
p x
dvx dt
fy
1
p y
dv y dt
fz
1
p z
dvz dt
流体力学
将加速度的表达式代入
fx
1
p x
v x t
vx
vx x
vy
v x y
vz
vx z
fy
vds
v d s (vxdx vydy vzdz)
速度环量是一代数量，它的正负与速度的方向和线积分 的绕行方向有关。对非定常流动，速度环量是一个瞬时的概 念，应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算.
工程流体力学ch4-不可压缩流体的有旋流动和二维无旋流动
第4章不可压缩流体的有旋流动和二维无旋流动主要教学内容4.1流体微团运动分析本节教学目的:1、熟悉：流体微团的运动可以分解为移动、转动和变形运动三部分。
2、掌握：移动、转动和变形的速度表达式。
线速度V x 、V y 、V 角速度3 x 、3 y 、3 线变形、角变形知识点移动、转动和变形一、流体微团运动的分解1、平移运动如图5-2 （a ）所示，平移表现为 A 点到A 点的位移，即x 方向和y 方向分别移动了 udt 、 vdt 距离，形状不变。
流体微团的平移速度为u,v,w2、线变形运动图5-2（b ）表示流体微团的平面线变形。
定义单位时间内单位长度流体线段的伸长 （或缩短）量为流体微团的线变形速率。
三个方向的线变形速率分别用；xx 、 ；yy 、 ；zz 表示，则3、角变形运动图5-2（c ）表示流体微团的角变形运动。
角变形速度：两正交微元流体边的夹角在单位时间内的变化量。
剪切变形速率：该夹角变化的平均值在单位时间内的变化量（角变形速度的平均值）。
过流体微团任一点 A 的三个正交微元流体面上的剪切变形速率分别为移动（move ） 转动（rotation ） 变形（reform ）4、旋转运动如图5-2(d)所示。
流体微团在发生角变形的同时，还要发生旋转运动。
若d 「= d 「，则流体微团只发生角变形；若d -. =- d ‘j|,即卩：：v ：x = __：u.「y ，则流体微团只发生旋转，不发生角变形旋转角速度：过流体微团上 A 点的任两条正交微元流体边在其所在平面内旋转角速度 的平均值，称作 A点流体微团的旋转角速度在垂直该平面方向的分量。
用符号••表示写成矢量形式为(a) (b)i-xyL yz；yx1 ;:u :W =—I 1 T82 :-x ry1 2。
V)图5-2 流体微团平面运动的分解、表示流体微团运动特征的速度表达式 在一般情况下，流体微团的运动总是可以分解成：平移运动、旋 转运动、线变形运动及角变形运动， 与此相对应的是平移速度、旋转角速度、线变形速率和剪切变形速率。
流体力学第七章不可压缩流体动力学基础
第七章不可压缩流体动力学基础在询面的章节中，我们学习了理想流体和粘性流体的流动分析，按照水力学的 观点，求得平均量。
但是，很多问题需要求得更加详细的信息，如流速、压强等 流动参数在二个或三个坐标轴方向上的分布情况。
本章的容介绍流体运动的基本 规律、基本方程、定解条件和解决流体问题的基本方法。
第一节流体微团的运动分析运动方式：①移动或单纯的位移（平移）②旋转③线性变形④角变形。
位移 和旋转可以完全比拟于刚体运动，至于线性变形和脚变形有时统称为变形运动则 是基于液体的易流动性而特有的运动形式，在刚体是没有的。
在直角坐标系中取微小立方体进行研究。
(b)谥.A n(d)一. 平移：如果图（a ）所示的基体各角点的质点速度向量完全相同时，则构成(c)A B(a)A了液体基体的单纯位移，其移动速度为心、®、“,。
基体在运动中可能沿直线也 可能沿曲线运动，但其方位与形状都和原来一样（立方基体各边的长度保持不 变）。
二、 线变形：从图（b ）中可以看出，由于沿y 轴的速度分量，B 点和C 点都比 A 点和D 点大了竺如 而比就代表〃y = l 时液体基体运动时，在单位时间沿勿dyy 轴方向的伸长率。
du x °"、. du : dxdydz三、 角变形（角变形速度）—BIA ■ dp -------------------------------- Jda-0 = dp + 00 =J"些+些k dz. dx四、旋转（旋转角速度）1O = —0 =—21勿du vdx—dx角变形:血 A那么，代入欧拉加速度表达式，得：du r du Tdu r八 八5=说=古叫 云+"卑+"0+-叭巴加、6仇 du Ya v = ----- = — + u v ---------- + U.0, +ii t a ）. -iLCoydt dt dy “'2 …加.du diL q 。
理想流体有旋无旋流动
运动学条件：边界上速度
固体壁面：流体既不能穿透壁面，也不能脱离壁面而形成空隙， 即流体与壁面在法线方向的相对分速度应等于零。
v n v wn
固壁是静止的 不同流体交界面上
vn 0
v1 n v 2 n
动力学条件：边界上的力（压强）
不同流体交界面或固体壁面
pamb p
8.5 欧拉积分 伯努利积分
1 v y dy 1 v z dz 2 x 2 2 x 2
v x dx 1 v x v y dy 1 v x v z dz vx [ ( ) ( ) ] x 2 2 y x 2 2 z x 2
移动 线变形运动 角变形运动
1 v x v y dy 1 v x v z dz [ ( ) ( ) ] 2 y x 2 2 z x 2
旋转运动
8.2 流体微团运动的分解
v vx x x v y vy x dx v x 2 y dx v y 2 D y dy 2 dy 2
v x vx x v y vy x A dx v x 2 y dx v y 2 y dy 2 dy 2
当地导数
迁移导数
( v x ) ( v y ) ( v z ) 0 t x y z
展开并整理，得：
v x v y v z d ( )0 dt x y z
d ( v ) 0 dt
8.1 微分形式的连续方程
8.1 微分形式的连续方程 • 单位时间内x方向净质量流量
( v x ) dxdydz x
• 同理：单位时间内y方向净质量流量
( v y ) y
• z方向：
dxdydz
( v z ) dxdydz z
第七章_理想流体二元不可压缩流动
1 1 1 vr z ( ( rv ) ) 2 r r r
代入速度分布可得
z 0
故该流动是无旋的。
20
7.3不可压缩理想流体平面势流的基本方程
工程上有许多问题可简化为理想流体的
无旋流动问题，如流体机械内的流动。利 用无旋流动的特性，可建立线性运动方程 来求解流体的速度分布，从而避开求解欧 拉方程的困难。
21
7.3.1速度势函数
对于无旋流动，速度的旋度为零，即
v 2 0
此时流体质点都要满足以下条件
vx v y vz vx v y vz , , y x x z z y
22
由数学分析，上面的三个方程是
vx dx v y dy vz dz
即单位时间内直角改变量的一半。 同理对三维空间可写出
1 vz v y x ( ) 2 y z
1 v x v z y ( ) 2 z x
剪变形角速度是流体微团中某一直角的减 小速度的一半。
10
三、平均旋转角速度
y I׳ 虚线是初始位置， C׳ I D׳ 经过∆t时间后，流体微 D C (α+β)/2 团运动到AB׳C׳D。׳由几 α 何关系 B׳
vx , vy y x
36
平面流动的流线方程为
vx dy vy dx 0
所以在流线上有
d 0或 const
在每条流线上函数ψ都有不同的值，故ψ被称 为流函数。在引出流函数时，并未涉及到流 体的粘性和是否为有势流动，只要是不可压 缩流体的平面流动，就必然存在流函数。在 三维流动中一般不存在流函数，轴对称流动 除外。
38
dq vx dy vy dx
流体力学 第7章 不可压缩流体动力学基础
i ×u = x ux
i y uy
k z uz
u z u y x = y z u x u z y = z x u y u x z = x y
u y u x u x u z u z u y =( )i + ( )j+( )k y z z x x y
与
= 2ω = x i + y j + z k
ρ u x dx ( ρ )(u x )dydzdt x x 2
dt时段从前面流出的流体质量为 时段从前面流出的流体质量为
u x dx ρ ( ρ + )(u x + )dydzdt x x 2
规定流入为正,流出为负, 时段从前后面流入 规定流入为正,流出为负, dt时段从前后面流入 流出的质量差为
( ρu x ) ( ρu y ) ( ρu z ) ρ dxdydzdt = + + dxdydzdt t y z x
可压缩流体非恒定流的连续性微分方程
ρ ( ρu x ) ( ρu y ) ( ρu z ) + + + =0 t x y z
对于不可压缩流体: 对于不可压缩流体:
= 2ω = x i + y j + z k
涡量是空间坐标和时间的矢性 函数,有涡流则构成一个矢量场, 函数,有涡流则构成一个矢量场, 也称为涡量场. 也称为涡量场.
u z u y x = y z u x u z y = z x u y u x z = x y
哈米尔顿算子 是一个矢性微分算子
速度环量符号: 速度环量符号:
Γ
Γ = lim ∑ u cos α ds = ∫ u cos αds = ∫ u cos(u , ds ) ds
第7章 不可压缩流体动力学基础
dz
ρvx dydz
∂( ρvx ) dxdydz ρvx + ∂x
＝
微元体内的 质量变化率
dx x y 微元体及其表面的质量通量
34
连续性方程
1、x方向：dt时间内沿从六面体 x 处与 x+dx 处输 、 方向 方向： 时间内沿从六面体 入与输出的质量差： 入与输出的质量差：
25
涡线
26
涡管
在涡量场中任意画一封闭曲线， 在涡量场中任意画一封闭曲线，通过这条曲线 上的每一点所作出的涡线构成一管状的曲面， 上的每一点所作出的涡线构成一管状的曲面，称为 涡管。 涡管。
27
涡通量
28
涡管强度守恒定理
涡管截面愈小的地方，流体的旋转角速度愈大。 涡管截面愈小的地方，流体的旋转角速度愈大。
31
斯托克斯定理
沿任意封闭曲线s的速度环量等于通过以该曲 沿任意封闭曲线 的速度环量等于通过以该曲 的涡通量。 线为边界的曲面 A 的涡通量。
32
33
第三节 不可压缩流体连续性微分方程
直角坐标系中的连续性方程 直角坐标系中的连续性方程
z dy
质量守恒
输入微元体 输出微元体 的质量流量－ 的质量流量
8
平移运动速度
微团上各点公有的分速度 ux 和uy ，使它们在 dt 时间内均沿 x 方向移动一距离 uxdt , 沿 y 方向移 因而，我们把中心点 动一距离 uydt 。因而，我们把中心点 M 的速度 ux 定义为流体微团的平移运动速度。 和 uy ，定义为流体微团的平移运动速度。
9
线变形运动
13
旋转角速度
y B t M^
∂u x dydt ∂y
t+dt
ρvx dydz
∂( ρvx ) dxdydz ρvx + ∂x
＝
微元体内的 质量变化率
dx x y 微元体及其表面的质量通量
34
连续性方程
1、x方向：dt时间内沿从六面体 x 处与 x+dx 处输 、 方向 方向： 时间内沿从六面体 入与输出的质量差： 入与输出的质量差：
25
涡线
26
涡管
在涡量场中任意画一封闭曲线， 在涡量场中任意画一封闭曲线，通过这条曲线 上的每一点所作出的涡线构成一管状的曲面， 上的每一点所作出的涡线构成一管状的曲面，称为 涡管。 涡管。
27
涡通量
28
涡管强度守恒定理
涡管截面愈小的地方，流体的旋转角速度愈大。 涡管截面愈小的地方，流体的旋转角速度愈大。
31
斯托克斯定理
沿任意封闭曲线s的速度环量等于通过以该曲 沿任意封闭曲线 的速度环量等于通过以该曲 的涡通量。 线为边界的曲面 A 的涡通量。
32
33
第三节 不可压缩流体连续性微分方程
直角坐标系中的连续性方程 直角坐标系中的连续性方程
z dy
质量守恒
输入微元体 输出微元体 的质量流量－ 的质量流量
8
平移运动速度
微团上各点公有的分速度 ux 和uy ，使它们在 dt 时间内均沿 x 方向移动一距离 uxdt , 沿 y 方向移 因而，我们把中心点 动一距离 uydt 。因而，我们把中心点 M 的速度 ux 定义为流体微团的平移运动速度。 和 uy ，定义为流体微团的平移运动速度。
9
线变形运动
13
旋转角速度
y B t M^
∂u x dydt ∂y
t+dt
第七章 理想不可压缩流体无旋运动PPT课件
液体，通常情况下。 气体，低速绕流运动（流速<< 声速），
例如飞机速度<100m/s时。 3）无旋运动：在以上近似下，有势体力场中流体涡旋运动性质
具有保持性，即初始无旋则永远无旋。在流体从静止开始的运 动中和无穷远均匀来流绕流物体的运动等，流动均无旋。此模 型是对一类广泛存在的流动问题的理想近似。
3
1) 流函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；
2) (x, y)常数是流线，它的切线方向和速度矢量的方向重合：
根据定义，流线方程为：
dx dy uv
vdxudy0
v u
x
y
dxdy0
x y
d 0
(x, y)常数是流线
18
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
3) 通过曲线NN0的流量等于这两点处流函数的差值：
数学表达
1) 流体运动只在与Oxy平面平行的平面内进行，w=0；
2) 在与Oz轴平行的直线上所有物理量不变，即：
0
z
8
绕无限翼展的流动(平面流动)
9
绕有限翼展的流动(三维流动)
10
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
二、速度势函数
对平面运动：w=0 0 z
i jk
rotv
x y z uv0
二、基本方程组
第一节 引言
V 0
dV dt
F
p
t
0,
V
V
r ,
p
p r
B oundary condition s
方程组求解的困难: (1) 惯性项非线性；(2) 速度v与压力p相互关 联，需要联立求解
4
若运动无旋，则： rotv0
例如飞机速度<100m/s时。 3）无旋运动：在以上近似下，有势体力场中流体涡旋运动性质
具有保持性，即初始无旋则永远无旋。在流体从静止开始的运 动中和无穷远均匀来流绕流物体的运动等，流动均无旋。此模 型是对一类广泛存在的流动问题的理想近似。
3
1) 流函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；
2) (x, y)常数是流线，它的切线方向和速度矢量的方向重合：
根据定义，流线方程为：
dx dy uv
vdxudy0
v u
x
y
dxdy0
x y
d 0
(x, y)常数是流线
18
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
3) 通过曲线NN0的流量等于这两点处流函数的差值：
数学表达
1) 流体运动只在与Oxy平面平行的平面内进行，w=0；
2) 在与Oz轴平行的直线上所有物理量不变，即：
0
z
8
绕无限翼展的流动(平面流动)
9
绕有限翼展的流动(三维流动)
10
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
二、速度势函数
对平面运动：w=0 0 z
i jk
rotv
x y z uv0
二、基本方程组
第一节 引言
V 0
dV dt
F
p
t
0,
V
V
r ,
p
p r
B oundary condition s
方程组求解的困难: (1) 惯性项非线性；(2) 速度v与压力p相互关 联，需要联立求解
4
若运动无旋，则： rotv0