江苏省南京市金陵中学河西分校2020-2021学年度第一学期期中八年级上册数学试题解析

2020－2021 学年度八年级（上）数学学科期中试题

（考试时间 100 分钟，试卷总分 100 分）

一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分）

1.下列图形中，是轴对称图形的是（）

【解答】C

2．下列各组数为三角形的三边长，其中不能组成直角三角形的是（）

A ．7，24，25

B ．6，6.5，2.5

C ．43，53，1

D ．23，23，1 【解答】解：A 、∵72+242≠252，∴能构成直角三角形；

B 、∵62+2.52≠6.52，∴不能构成直角三角形；

C 、∵(43)2+12≠(53)2，∴不能构成直角三角形；

D 、∵(23)2+(23)2≠12，∴不能构成直角三角形． 3．A 、B 、C 三个小区在一个三角形的三个顶点位置上，要求在它们中间建造一座公园，为使三个小区到公园距离相等，则公园最最适当的建造位置是在△ABC 的（）

A ．三边中线的交点

B ．三边垂直平分线的交点

C ．三条角平分线的交点

D ．三边上高的交点

【解答】解：∵三角形的三条边的垂直平分线的交点到中间的公园的距离相等，

∴公园应建造在△ABC 的三边垂直平分线的交点最适当．

故选：B ．

4．一个钝角三角形的两边长为3、4，则第三边可以为（）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

【解答】解：设第三边为c ，

若这个三角形为直角三角形，则第三边为

＝5，

∵钝角大于直角，

∴c ＞5，

∵三角形第三边小于其余两边和，

∴c ＜7，

故选：C ．

5．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 是CB 延长线的点，BD ＝BA ，DE ⊥AC 于E ，交AB 于点F ，

若DC=2.6，BF=1，则AF的长为（）．

A．0.6B．0.8C．1D．1.6

【解答】证明：∵EF⊥AC，

∴∠D+∠C＝90°，

∵∠A+∠C＝90°，

∴∠A＝∠D，

在△DBF和△ABC中，

∵∠D＝∠A，BD＝BA，∠DBF＝∠ABC

∴△DBF≌△ABC（ASA），

∴DB＝AB，FB=CB

∵DC=2.6，BF=1

∴AF=AB-BF=DB-BF=DC-BC-BF=2.6-1-1=0.6

故选：A．

6．如图，在正方形ABCD所在的平面内求一点P，使点P与正方形ABCD的任意两个顶点构成△P AB，△PBC，△P AD，△PCD均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数是（）．

A．8个B．9个C．10个D．11个

【解答】解：如图所示，符合性质的点P共有9个．

故答案为：9．

故选：B．

二、填空题（本大题共10 小题，每空 2 分，共20 分）

7．5的平方根是±．

【解答】解：∵（±）2＝5，

∴5的平方根是±．

故答案为：±．

8 ．南京师范大学附属中学新城初级中学总建筑面积18272 平方米，用科学计数法表示（精确到百位）约是▲ 平方米．

【解答】1.83×104

9 ．在? 1

3，2π，√4，0.5，√9

3，3.010010001 中，无理数有▲ 个．

【解答】无理数为无限不循环小数，常见含π或者根号开不出来的数，所以本题的无理数有2π，√9

3共2个

10.如图，点C 在AE 上，BC＝DC，∠BCE＝∠DCE，则根据▲ 可以判定△ABC ≌△ADC．

【解答】SAS

∵∠BCE＝∠DCE ∴∠BCA＝∠DCA

又∵BC=DC，AC=AC

∴△ABC ≌△ADC（SAS）

11.如图，以Rt△ABC 的两条直角边为边长作两个正方形，面积分别为121，3600，则斜边AC＝▲ ．

【解答】

由题意知AB2=121，BC2=3600

在Rt△ABC中

∵∠ABC=90°

∴AB2+BC2=AC2

∴AC=61

12．如图，已知△ABC ≌△ADE，E 在BC 上，∠ABC＝30°，∠AED＝65°，则∠BAE＝▲ °．

【解答】

∵△ABC ≌△ADE，∴AE=AC，∠ACE=∠AED＝65°

∴∠ACE=∠AEC=65°

又∵∠ABC＝30°

∠AEC=∠ABC+∠BAE

∴∠BAE=65°-30°=35°

13．如图，已知△ABC 中，AB＝AC，D，E 分别是边AB，AC 上两点且AD=AE，DC、EB 交于点O，下列说法中正确的序号有▲．

①图中共有4组全等三角形；② AD＝BD，AE＝CE；

③点A 在∠DOE 的角平分线上；④ 点O 在线段BC 的垂直平分线上．

【答案】③④

【解答】

①: ∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠A ＝∠A

∴△BAE ≌△CAD （SAS ）；

∴∠ABE ＝∠ACD

∵BD ＝EC ，∠DOB ＝∠EOC,∠DBO ＝∠ECO

∴△DOB ≌△EOC （AAS ）；

∵∠ABC ＝∠ACB ，∠ABE ＝∠ACD

∴∠DCB ＝∠EBC ，∠DBC ＝∠ECB ，BC ＝BC

∴△DBC ≌△ECB （ASA ）．

故图中全等三角形有3对．故①错误

②: 由①可知， AD ＝AE ，BD ＝CE ，故②错误

③: 连接AO

∵AD =AE ，DO =EO ,AO =AO

∴△DOA ≌△EOA （SSS ）

∴∠DOA=∠EOA

∴点 A 在∠DOE 的角平分线上，故③正确

④: ∵△DOB ≌△EOC

∴OB =OC

∴ 点 O 在线段 BC 的垂直平分线上，故④正确

综上所述，③④正确。

14.如图，将宽 AB 为 3cm 的长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，EG ＝5cm ,则折痕 EF 的长为 ▲ cm

．A

E O

B C

（第 13 题）

A B

【解答】

如图，过F 点作AD 的垂线交AD 于点H ，由题意得HF =3；

∵翻折，∠EFC =EFG ，

∵AD ∥BC ，∴∠AEF =∠EFC =∠EFG

∴GE =GF =5；

在 Rt △GHF 中，∵∠GHF =90°

∴GF 2=GH 2+HF 2

∴GH =4，∴HE =1

在 Rt △HEF 中，∵∠EHF =90°

∴EF 2=HE 2+HF 2

∴EF =√10

15. 我们把顶点在小正方形顶点上的三角形叫做格点三角形，在如图所示的方格纸中，除

了格点三角形ABC 外，可画出与△ABC 全等的格点三角形共有 ▲

个．

（第 15 题）【答案】15个

【解答】解：如图满足条件的三角形如图所示，有15个．

16.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，AD、BD分别是△ABC的内角，和外角角平分线，且相交于点D，则△ABD

的面积为▲．

【答案】

【解答】解：如图，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，DH⊥BC，

∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，

∴AB＝＝＝5，

∵AD、BD分别是△ABC的内角和外角角平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，DH⊥BC，

∴DE＝DF，DF＝DH，

∴DE＝DF＝DH，

∵S△ACB+S△BCD＝S△ACD+S△ABD，

∴×4×3+×3×DH＝×4×DE+×5×DF，

∴DF＝2，

∴△ABD的面积＝×5×2＝5．

故答案为：5．

17、(6分)求下列各式中的x

（1）3x2=12；（2）（x-1）3=-8

（第16 题）

【答案】(1)x 1=2,x 2=-2

(2)x =-1【解析】(1) 3x 2=12

x 2=4

x 1=2,x 2=-2

(2)（x -1）3=-8

x -1=-2

x =-1

18、(6分)计算：

（1（2）3

|3?【答案】(1)8 (2)32?

【解析】(1) =13-5

(2) 3|3?

332+= 3

19、（5的大小。

【答案】如图所示

方法二：25= 28=（5＜8 20、（6分）如图，已知△ABC ，∠ABC ＝90°，利用直尺和圆规，根据要求作图（不写作法，保留作图痕迹），并解决下面的问题．

（1）作AC 的垂直平分线，分别交AC 、BC 于点D 、E ；

（2）若AB ＝12，BE ＝5，求△ABC 的面积．

【答案】（1）见解析

（2）78

【解析】解：

（1）如图，DE 为所作；

（2）连结AE ，如图，

在Rt △ABE 中，∵BE ＝5，AB ＝12，

∴AE ＝＝13，

∵DE 垂直平分AC ，

∴EA ＝EC ＝13，

∴CE ＝EC +BE ＝13+5＝18，

∴△ABC 的面积＝?AB ?BC ＝×12×13＝78．

21.（6分）如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，AC ＝8，BC ＝6，DB ＝185

（1）求AD 的长；

（2）△ABC 是直角三角形吗？请说明理由．

【解答】解：（1）∵CD是AB边上的高，

∴∠BDC＝∠ADC＝90°．

，

∵BC＝6，DB＝18

）2＝23.04，

∴CD2＝BC2﹣DB2＝62﹣（18

在Rt△ACD中，

∵AC＝8，

∴AD＝＝6.4；

（2）△ABC是直角三角形，

理由：∵AB＝AD+BD＝6.4+18

＝10，

62+82=102

∴AC2+BC2＝AB2，

∴∠ACB＝90°，

∴△ABC是直角三角形．

22.（6分）阅读下面的文字，解答问题．

大家知道是√2无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用√2-1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？

事实上，小明的表示方法是有道理，因为√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答下列问题：

（1）你能帮我求一下√3+2的整数部分和小数部分．

（2）已知：10+√5=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请你帮我确定一下(x﹣y）的相反数．

【解答】解：（1）∵1＜3＜4，

∴√1＜√3＜√4

即1＜√2

∴√1，小数部分是√1，

∴√3+2的整数部分是1+2＝3，小数部分是√3﹣1；

（2）∵4＜5＜9

∴√4＜√5＜√9

即2＜√5＜3

∴√5的整数部分是2，小数部分是√5 -2，

∴10+√5的整数部分是10+2＝12，小数部分是√5 -2，

∴x＝12，y＝√5 -2，

∴x﹣y的相反数y﹣x＝√5 -14．

23.（7分）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D为AB边上一点．求证：BD＝AE．

【解答】证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACE+∠ACD＝∠BCD+∠ACD，

∴∠ACE＝∠BCD，

在△ACE和△BCD中，，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴BD＝AE．

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24.（9分）【生活经验】

如图，木工师傅在材料的边角处画直角时，常用一种“三弧法”.方法是：

①画线段AB，分别以点A，B 为圆心，大于1

AB 的长为半径画弧，两弧相交于点C；

②以点C 为圆心，仍以①中相同长度为半径画弧交AC 的延长线于点D；

③连接BD. 则∠ABD 就是直角.

请你就∠ABD 是直角作出合理解释.

【数学结论】

由“三弧法”我们发现判断一个三角形是直角三角形的新方法：在一个三角形中，

如果，那么这个三角形是直角三角形.

【应用结论】

两个等腰三角形的腰长相等都为a、顶角互补，底边长分别为b 和c，则a、b、c 之间

的数量关系为。

【解答】（1）由作图知，AC＝BC＝CD，

∴∠CAB=∠CBA;∠CBD=∠CDB;

∴∠CBA+∠CBD=∠CAB+∠CDB

又∵三角形内角和为180°

×180°=90°

∴∠CBA+∠CBD=∠CAB+∠CDB=1

即∠ABD=90°

（2)如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形（这条边所对的角为直角）。（3）b2+c2＝4a2．

将两个三角形的顶点重合，如图举例，△ABC和△ADC是两个顶角互补的等腰三角形

∵∠BAC+∠CAD＝180°，

∴B，A，D三点共线，

∵AB＝AC＝AD＝a，

∴∠B＝∠ACB，∠D＝∠ACD，

∵∠B+∠D+∠BCD＝180°，

∴∠ACB+∠ACD＝90°，

∴BC2+CD2＝BD2，

∴b2+c2＝4a2，

25.（8分）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：

直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得P A+PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且P A+PB的最小值为A′B．

请利用上述模型解决下列问题：

（1）几何应用：如图2，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则P A+PE的最小值为；

（2）代数应用：求代数式+（0≤x≤3）的最小值；

（3）几何拓展：如图3，△ABC中，AC＝2，∠A＝30°，若在AB、AC上各取一点M、N使CM+MN的值最小，最小值是．

【解答】解：（1）如图2，作点E关于直线BC的对称点E′，连接E′A，则E′A与直线BC的交点即为P，且P A+PE的最小值为E′A，

作E′F⊥AC交AC的延长线于F，

由题意得，E′F＝1，AF＝3，

∴P A+PE的最小值E′A＝＝，

故答案为：；

（2）构造图形如图4所示，AB＝BD＝3，AC＝1，AP＝x，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，

则PC+PD＝+，

代数式+（0≤x≤3）的最小值就是求PC+PD的值，

作点C关于AB的对称点C'，过C'作C'E⊥DB交DB的延长线于E．

则C'E＝AB＝3，DE＝3+1＝4，C'D＝＝＝5，

∴所求代数式的最小值是5；

（3）如图3，作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，

则C′A＝CA＝2，∠C′AB＝∠CAB＝30°，

∴△C′AC为等边三角形，

∴CM+MN的最小值为C′N＝，

故答案为：．

26.(9分)如图，△ABC中，BC＝3cm，AC＝4cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．

（1）求出Rt△ABC斜边上的高h.

（2）当t＝时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形．

（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，P、Q两点之间的距离为？

【解答】解：（1）如图，根据勾股定理可得，AB=5,

111

346 222

ABC

S AB h AC BC

===??=

即1

5=6 2

h ?

所以△ABC斜边上的高

5 h=

（2）如图，当点P在AC上时，CP＝CB＝3，则t＝3÷2＝1.5秒；

如图，当点P在AB上时，分两种情况：

若BP＝BC＝3，则AP＝2，

故t＝（4+2）÷2＝3秒；

若CP＝CB＝3，作CM⊥AB于M，则

×AB×MC＝×BC×AC，

×5×MC＝×3×4，

解得CM＝2.4，

∴由勾股定理可得PM＝BM＝1.8，即BP＝3.6，

∴AP＝1.4，

故t＝（4+1.4）÷2＝2.7秒．

综上所述，当t＝1.5、3或2.7 时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形．

故答案为：t＝1.5或2.7或3；

（3）①如图，当点P在AC上，点Q在BC上运动时（0≤t≤2），

由勾股定理可得：（2t）2+t2＝5，

解得t＝1；

②当点P在AB上，点Q在BC上时，PQ的长大于3且小于2，不合题意；

③当点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的右侧时（4＜t≤4.5），

由题可得：2t+t﹣12＝，

解得t＝，

∵t＝＞4.5，

∴不成立，舍去．

④如图，当点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的左侧时（3≤t＜4），

由题可得：12﹣2t﹣t＝，

解得t＝；

综上所述，当t为1秒或秒时，P、Q两点之间的距离为．