成都七中高2020届高二数学下学期半期(文科)考试试卷
成都七中2019—2020学年度下期高2018级半期考试高二数学试卷(文科)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.已知复数12z i =-，则=z （ ）
（A
（B ）1+2i （C ）12+55i （D ）
1255
i - 2．在空间直角坐标系O xyz -中，点()2,1,3A -关于yOz 平面对称的点的坐标是（ ） （A ）()2,1,3 （B ） ()2,1,3-- （C ）()2,1,3- （D ）()2,1,3--
3.在极坐标系中，过点2,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
且与极轴平行的直线方程是（ ） （A ）2ρ= （B ）2
θπ
=
（C ）cos 2ρθ= （D ）sin =2ρθ 4.如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象， 则下面判断正确的是（ ） （A ）在区间()2,1-上()f x 是增函数 （B ）在区间()1,3上()f x 是减函数
（C ）在区间()4,5上()f x 是增函数 （D ）当2x =时，()f x 取到极小值
5.函数()2cos f x x x =+在 ） （A ）0 （B ）
6π （C ）3π （D ）2
π 6.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K 2
＝6.705，则所得到的统计学结论是：有________的把握认为“学生性别与支持该活动有关系” （ ）
（A ）1%
（B ）0.1%
（C ）99% （D ）99.9%
7.成都七中某社团小组需要自制实验器材，要把一段长为12cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）
（A 2 （B ）24cm （C ）2 （D ）2 8.若32
11()232
f x x x ax =-
++在(1,)+∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是（ ） （A ）(,0]-∞ （B
）(,0)-∞ （C ）[0,)+∞ （D
）(0,)+∞
9.两动直线1y kx =+与
2
1y x k
=--的交点轨迹是（ ） （
A ）椭圆的一部分 （
B ）双曲线的一部分 （
C ） 抛物线的一部分
（D ） 圆的一部分
10.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与
L ”即代表无限次重复，但原式却是个定值x x =确定=2x ，则11+
=1
1+1+L
是（ ）
（A ）
2 （B ）12 （C ）12 （D ）12
- 11.已知函数()f x 的导数()f x '满足()()()10f x x f x '++>对x R ∈恒成立，且实数,x y 满足
()()()()110x f x y f y +-+>，则下列关系式恒成立的是（ ）
（A ）
331111x y <++ （B ）x y
e e
< （C ）x y
x y e e < （D ）sin sin x y x y ->- 12.已知函数()ln 2f x m x x =-，若不等式()12x f x mx e +>-在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
（A ）2m ≥ （B ）2m ≤ （C ）0m ≤ （D ）02m ≤≤ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.1
12
z i =+
（i 为虚数单位）的虚部是 . 14.已知[]0,2x ∈，则函数()x f x x e =+的值域是 .
15.
已知曲线2cos :(0x C y y θθθ
=⎧⎪
≥⎨⎪=⎩为参数且）.若点P 在曲线C 上运动，点Q 为直线
:260l x y +-=上的动点，则PQ 的最小值为 .
16.已知函数()211,0,
2ln ,0.x e x x x e
f x x x x ⎧--+≤⎪=⎨⎪>⎩
若方程()0f x m -=恰有两个实根，则实数m 的取值范围
是 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，18—22题每小题12分 17.（本小题满分10分）已知函数311()32f x x =
+．
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点51,6P ⎛⎫
⎪⎝⎭处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（Ⅱ）求过点12,2A ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
作曲线()y f x =的切线方程．
18.（本小题满分12分）如图，五面体11A BCC B -中，41=AB ．底面是正三角形ABC ，2=AB .四边形
11BCC B 是矩形，二面角1A BC C --是直二面角.（Ⅰ）点D 在AC 上运动，当点D 在何处时，有//1AB 平
面1BDC ； （Ⅱ）求点B 到平面11AB C 的距离.
19.（本小题满分12分）已知直线l 的参数方程为()1cos 0sin x t t y t α
απα=+⎧≤<⎨
=⎩
为参数，
，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为212cos 4sin ρρθρθ+=+．（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 相交于A B 、
两点，且AB =求α的值．
C 1
B 1
D C B
20.（本小题满分12分）某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：
表1
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t ＝x －2 014，z ＝y －5得到下表2：
表2
（Ⅰ）求z 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出y 关于x 的回归方程；（III ）用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？
(附：对于线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^
＝∑n
i ＝1x i y i －nx －·y
－
∑n
i ＝1
x 2i －nx
－
2，a ^
＝y －
－b ^x －
)
21.（本小题满分12分）已知椭圆P 的中心O 在坐标原点，焦点在x 轴上，且经过点A (0，23)，离心率为12.（Ⅰ）求椭圆P 的方程；（Ⅱ）是否存在过点E (0，－4)的直线l 交椭圆P 于点R ，T ，且满足OR →·OT →＝167？ 若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
22.（本小题满分12分）已知函数()()ln f x ax x a R =-∈．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数
()f x 有两个零点12,x x ，证明：
12
11
2ln ln x x +>．。
四川省成都七中2019_2020学年高二数学下学期半期考试试题含解析
某某省某某七中2019-2020学年高二数学下学期半期考试试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知复数12z i =-，则z = ( ) A.i C.1255i + D. 1255i - 【答案】B 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义易得. 【详解】解：复数12z i =-， 则12z i =+. 故选：B.【点睛】考查共轭复数的定义，基础题.2.在空间直角坐标系O ﹣xyz 中,点A （2,﹣1,3）关于yOz 平面对称的点的坐标是( ) A. （2,1,3）B. （﹣2,﹣1,3） C. （2,1,﹣3）D. （2,﹣1,﹣3） 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间坐标对称的性质求解即可. 【详解】在空间直角坐标系O ﹣xyz 中,点A （2,﹣1,3）关于yOz 平面对称的点的坐标是（﹣2,﹣1,3）. 故选：B.【点睛】本题主要考查了空间坐标中求对称点的问题,属于基础题. 3.在极坐标系中，过点(2,)2π且与极轴平行的直线方程是（ ）A. 2ρ=B. 2πθ= C. sin 2ρθ= D. cos 2ρθ=【答案】C 【解析】点2,2π⎛⎫⎪⎝⎭对应的直角坐标为()0,2，则直线的直角坐标方程为2y =，转化为极坐标方程：sin 2ρθ=.4.如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，则下面判断正确的是( )A. 在区间()2,1-内，()y f x =是增函数B. 在()1,3内，()y f x =是减函数C. 在()4,5内，()y f x =是增函数D. 在2x =时，()y f x =取到极小值 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数大于零，函数递增；导数小于零，函数递减；先增后减，函数有极大值；先减后增，函数有极小值，对选项逐一进行判断即得答案.【详解】解：由图象知当32-＜x ＜2或x ＞4时，()0y f x '=>，函数为增函数， 当332x -<<-或2＜x ＜4时，()0y f x '=<，函数为减函数， 则当x 32=-或x ＝4函数取得极小值，在x ＝2时函数取得极大值， 故ABD 错误，正确的是C ， 故选：C.【点睛】本题考查了导函数的正负和原函数单调性关系，以及极大值极小值的判断，考查学生对于图像的理解和判断，基础题.5.函数2cos y x x =+在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上取最大值时，x 的值为（ ） A. 0B.π6C. π3D. π2【答案】B 【解析】【详解】试题分析：函数2cos y x x =+的导数为12sin y x '=-，令12sin 0y x -'==得1sin 2x =，又因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以6x π=，当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '>，当,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '<，所以函数2cos y x x =+在0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，在,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以使得函数2cos y x x =+取得最大值的x 的值为6π，故选B. 考点：利用导数研究函数在闭区间上的最值.【点晴】本题主要考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，属于基础题.函数在闭区间上的最值一般从极值点和区间端点处取得，解答的基本思路是先利用导数研究函数在给定区间上的单调性，看能否找到所需要的最值点，否则求出极值和区间端点的函数值进行比较，来找到所需要的最值点和最值,本题中只需要研究在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，就能找到极大值点也就是最大值点.6.已知实数,,x y z 满足236x y z ++=，则222x y z++的最小值是( )A.B. 3C.187D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由柯西不等式得()()()222222212323xy z x y z ++++≥++， 即可算出答案.【详解】由柯西不等式得()()()222222212323x y z x y z ++++≥++，则2222(23)361814147x y z x y z ++++≥==，当且仅当“123x y z==”时取等号.故222x y z ++的最小值是187. 故选：C【点睛】本题考查的是利用柯西不等式求最值，解答的时候要注意写上等号成立的条件，属于基础题.7.把长为12cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）A.2B. 24cmC. 2D. 2 【答案】D 【解析】设两段长分别为xcm,(12-x)cm,这两个正三角形的边长分别为x 3cm,12x3-cm,面积之和为22x x 433⎤⎛⎫⎛⎫+-⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦29x 2-8x 3+16).令S ′48x 93⎫-⎪⎝⎭=0,解得x=6.则x=6是S(x)的极小值点,也是最小值点,所以S(x)min 2. 8.若f （x ）321132x x =-++2ax 在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a 的取值X 围是( ) A. （﹣∞，0]B. （﹣∞，0）C. [0，+∞）D. （0，+∞） 【答案】D 【解析】 【分析】f (x )在(1,+∞)上存在单调递增区间,等价于()f x '>0在(1,+∞)上有解.因此结合()f x '的单调性求出其在(1,+∞)上的最值,即可得出结论. 【详解】f (x )321132x x =-++2ax 在(1,+∞)上存在单调递增区间, 只需()f x '>0在(1,+∞)上有解即可.由已知得2()2f x x x a '=-++,该函数开口向下,对称轴12x =, 故()f x '在(1,+∞)上递减,所以(1)f '=2a >0,解得a >0. 故选:D.【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用,难度不大.9.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在+中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程x=确定出来x＝2，类似地不难得到11111+++＝（）A. 12B. 12C. 12D. 12【答案】C 【解析】【分析】+的例子，令11(0)111x x+=>++，即11xx+=，解方程即可得到x的值.【详解】令11(0)111x x+=>++，即11xx+=，即210x x--=，解得x=(x=舍)，故11111+=++故选：C【点睛】本题考查归纳推理，算术和方程，读懂题中整体代换的方法、理解其解答过程是关键，属于基础题.10.二面角lαβ--为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面,αβ内，AC l⊥，BD l⊥，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为()A. 2aB. C. a D.【答案】A【解析】试题分析：根据异面直线上两点间的距离公式EF=，对于本题考试中，d a =，m a =，2n =，60θ=，故2CD a ==．考点：异面直线上两点间距离,空间想象能力．11.已知函数f （x ）的导数()f x '满足f （x ）+x ()f x '＞()f x '-对x ∈R 恒成立，且实数x ，y 满足xf （x ）﹣yf （y ）＞f （y ）﹣f （x ），则下列关系式恒成立的是( )A. 331111x y <++ B. ln （x 2+1）＞ln （y 2+1） C.x y x y e e< D. x ﹣y ＞sin x ﹣sin y 【答案】D 【解析】 【分析】由题得f （x ）+（x +1）()f x '＞0，令g （x ）=（x +1）f （x ），得到函数()g x 的单调性，由xf （x ）﹣yf （y ）＞f （y ）﹣f （x ）得到x ＞y .再逐一分析判断每一个选项的正误得解.【详解】因为f （x ）+x ()f x '＞()f x '-，所以f （x ）+（x +1）()f x '＞0，令g （x ）=（x +1）f （x ），则()g x '=f （x ）+（x +1）()f x '＞0对x ∈R 恒成立，∴g （x ）在x ∈R 时单调递增.又由题得实数x ，y 满足（x +1）f （x ）﹣（y +1）f （y ）＞0， 所以g （x ）＞g （y ）， ∴x ＞y ，取x =1，y =2-，则有331111x y >++成立，故A 选项错误； 又当x =1，y =1-时，有ln （1+x 2）=ln （1+y 2），故B 选项错误；令h （x ）xx e =，则h ′（x ）1x xe -=， 当x ＜1时，()h x '＞0，此时h （x ）单调递增，当x ＞1时，()h x '＜0，此时h （x ）单调递减，当y ＜x ＜1时，有h （x ）＞h （y ）成立，即有x yx ye e ＞成立，故C 选项错误； 令t （x ）=x -sin x ，则()t x '=1-cos x ≥0，此时t （x ）单调递增， 又∵x ＞y ，∴t （x ）＞t （y ），∴x ﹣sin x ＞y ﹣sin y ，即x ﹣y ＞sin x ﹣sin y ，故D 选项正确. 故选：D【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.设函数()xf x mπ=．若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m ⎡⎤+<⎣⎦，则m 的取值X 围是（ ） A. ()(),66,-∞-⋃∞ B. ()(),44,-∞-⋃∞ C. ()(),22,-∞-⋃∞ D. ()(),11,-∞-⋃∞ 【答案】C 【解析】由题意知：()f x 的极值为()203f x ⎡⎤=⎣⎦，因为00()0x f x m mππ='=， 所以,2x k k z mπππ=+∈，所以01,2x k k z m =+∈即01122x k m =+≥，所以02m x ≥，即2200[()]x f x +≥24m +3，而已知()22200x f x m ⎡⎤+<⎣⎦，所以224m m >+3，故2334m >，解得2m >或2m <-，故选C.考点：本小题主要考查利用导数研究的极值，考查三角函数，考查一元二次不等式的解法，考查分析问题与解决问题的能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.定积分54xdx ⎰=__________．【答案】50 【解析】 【分析】直接根据微积分基本定理即可得结果.【详解】由微积分基本定理可得52504250xdx x==⎰，故答案为50.【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，属于基础题. 14.不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣5|＜2的解集是_____. 【答案】(),4-∞ 【解析】 【分析】分1x <,15x ≤≤与5x >三种情况去绝对值进行求解即可. 【详解】当1x <时,原不等式可化为：1﹣x +x ﹣5＜2,恒成立,15x ≤≤时,原不等式可化为：x ﹣1+x ﹣5＜2,解得：1≤x ＜4,5x >时,原不等式可化为：x ﹣1﹣x +5＜2,无解.综上：原不等式的解集是(),4-∞.故答案为：(),4-∞【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解,属于基础题.15.已知函数()211020x e x x x ef x lnx x x⎧--+≤⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，，＞，若方程f （x ）﹣m =0恰有两个实根，则实数m 的取值X 围是_____.【答案】(]10e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭，【解析】 【分析】通过求导，得出分段函数各段上的单调性，从而画出图像.若要方程f （x ）﹣m =0恰有两个实根，只需y =m 与y =f （x ）恰有两个交点即可，从而得出m 的取值X 围.【详解】（1）x ≤0时，f ′（x ）=e x ﹣x ﹣1，易知f ′（0）=0，而f ″（x ）=e x ﹣1＜0， 所以f ′（x ）在（﹣∞，0]上递减，故f ′（x ）≥f ′（0）=0，故f （x ）在（﹣∞，0]上递增，且f （x ）≤f （0）11e=+，当x →﹣∞时，f （x ）→﹣∞. （2）x ＞0时，()21'lnxf x x -=，令f ′（x ）＞0，得0＜x ＜e ；f ′（x ）＜0得x ＞e ；故f （x ）在（0，e ）上递增，在（e ，+∞）递减， 故x ＞0时，()1()max f x f e e==；x →0时，f （x ）→﹣∞；x →+∞时，f （x ）→0. 由题意，若方程f （x ）﹣m =0恰有两个实根，只需y =m 与y =f （x ）恰有两个交点，同一坐标系画出它们图象如下：如图所示，当直线y =m 在图示①，②位置时，与y =f （x ）有两个交点，所以m 的X 围是：(]10e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭，.故答案为：(]10e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭，. 【点睛】本题考查了方程根的问题转化为函数图像交点问题，以及利用导数求函数单调性.考查了转化思想和数形结合，属于中档题. 16.已知函数f （x ）=x 223-ax 3（a ＞0），x ∈R .若对任意的x 1∈（2，+∞），都存在x 2∈（1，+∞），使得f （x 1）⋅f （x 2）=1，则a 的取值X 围是_____.【答案】3342⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】 【分析】由()f x '=﹣2ax 2+2x 12ax x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令()f x '=0，得10x x a ==或，根据对任意x 1∈（2，+∞），都存在x 2∈（1，+∞），使得f （x 1）⋅f （x 2）=1，分11a ≤， 112a<≤， 12a>三种情况讨论f （x 1），f （x 2）的值域即可. 【详解】因为()f x '=﹣2ax 2+2x 12ax x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令()f x '=0得10x x a==或， ①：当11a≤，即a ≥1时，()f x '＜0，在x ∈[1，+∞）恒成立，所以f （x ）在[1，+∞）递减， ∵()2113f a =-，()16243f a =-， 若对任意的x 1∈（2，+∞），都存在x 2∈（1，+∞），使得f （x 1）⋅f （x 2）=1，所以f （x 1）的值域为（1643a -∞-，），f （x 2）的值域为（213a -∞-，），由f （x 1）⋅f （x 2）=1得：()()211f x f x =. 显然，当f （x 1）→﹣∞时，()11f x →0（负数），故要满足结论，首先需满足：2103a -≥，16403a -≤，解得3342a ≤≤.所以312a ≤≤.②当112a<≤，即112a ≤<时，f （x 1）在（2，+∞）上递减，故此时f （x 1）1643a<-，f （x 2）在（1，1a）递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减，故()22113f x f a a ⎛⎫≤=> ⎪⎝⎭0. 此时只需16403a -≤即可，解得314a ≤＜. ③当12a >，即102a <＜时，f （x 1），f （x 2）的最大值都是2113f a a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭0，所以()11f x 能取到所有正实数，而()2213f x a ≤，故此时不满足题意. 综上，a 的取值X 围是[3342，].故答案为：3342⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【点睛】本题主要考查导数与函数的值域以及双变量问题，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于难题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，18-22题每小题10分 17.已知函数()31132f x x =+. （1）求曲线y =f （x ）在点516P ⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（2）求过点122A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，作曲线y =f （x ）的切线方程. 【答案】（1）172；（2）y 12=或18x ﹣2y ﹣35=0.【解析】 【分析】 （1）函数()31132f x x =+的导数为()f x '=x 2，曲线y =f （x ）在点516P ⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线的斜率为k =1，写出切线的方程，分别令x =0，y =0，得到在x ，y 轴上的截距，再利用三角形面积公式求解.（2）易得A （2，12）不在图象上，设切点为（m ，n ），则切线的斜率为m 2，切线的方程为y ﹣n =m 2（x ﹣m ），再由231221132n m m n m ⎧-⎪=⎪-⎨⎪=+⎪⎩求解.【详解】（1）因为函数()31132f x x =+， 所以()f x '=x 2， 所以()1=1f '所以曲线y =f （x ）在点516P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线的斜率为k =1， 则切线的方程为y 56-=x ﹣1，即为6x ﹣6y ﹣1=0，令x =0，可得y 16=-；y =0，可得x 16=. 则切线与坐标轴围成的三角形的面积为S 111126672=⨯⨯=； （2）由A （2，12）和()31132f x x =+，可得f （2）811322=+≠，即A 不在f （x ）的图象上，设切点为（m ，n ），则切线的斜率为m 2， 切线的方程为y ﹣n =m 2（x ﹣m ），则231221132n m m n m ⎧-⎪=⎪-⎨⎪=+⎪⎩， 解得012m n =⎧⎪⎨=⎪⎩或3192m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，故切线的方程为y 12=或18x ﹣2y ﹣35=0. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18.如图,五面体A ﹣BCC 1B 1中,AB 1＝4.底面ABC 是正三角形,AB =2.四边形BCC 1B 1是矩形,二面角A ﹣BC ﹣C 1为直二面角.（1）D 在AC 上运动,当D 在何处时,有AB 1//平面BDC 1,并且说明理由； （2）当AB 1//平面BDC 1时,求二面角C ﹣BC 1﹣D 余弦值.【答案】（1）当D 为AC 中点时,有AB 1//平面BDC 1,理由见解析；（2）313. 【解析】 【分析】(1)根据线面平行以及中位线的性质易得当D 为AC 中点时,有AB 1//平面BDC 1,再连接B 1C 交BC 1于O ,连接DO ,进而证明DO //AB 1即可.(2)以B 为原点建立空间直角坐标系,再分别求得面1CBC 与面1BC D 的法向量,继而求得二面角1C BC D --的余弦值即可.【详解】(1)当D 为AC 中点时,有AB 1//平面BDC 1, 证明：连接B 1C 交BC 1于O ,连接DO ∵四边形BCC 1B 1是矩形∴O 为B 1C 中点又D 为AC 中点,从而DO //AB 1, ∵AB 1⊄平面BDC 1,DO ⊂平面BDC 1 ∴AB 1//平面BDC 1(2)建立空间直角坐标系B ﹣xyz 如图所示,则B （0,0,0）,A 3,1,0）,C （0,2,0）,D （32,32,0）,C 1（3,所以BD =（3,32,0）,1BC =（0,2,23）. 设()1,,n x y z =为平面BDC 1的法向量,则有330222230x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,即33x z y z =⎧⎪⎨=-⎪⎩令1z =,可得平面BDC 1的一个法向量为1n =（3,3-,1）, 而平面BCC 1的一个法向量为()21,0,0n =, 所以cos 1n ＜,1221231313n n n n n ⋅===＞,故二面角C ﹣BC 1﹣D 的余弦值为31313.【点睛】本题主要考查了判断线面平行的条件,同时也考查了建立空间直角坐标系求解二面角的问题.属于中档题.19.已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为212cos 4sin ρρθρθ+=+.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且||3AB =，求α的值.【答案】（1）222410x y x y +--+=；（2）3πα=或23πα=【解析】 【分析】(1)根据极坐标和直角坐标的互化公式得到结果；（2）联立直线和圆得到24sin 0t t α-=，根据弦长公式得到AB =.【详解】（1）圆C 的直角坐标方程为222410x y x y +--+=.（2）将直线l 的参数方程代入到圆C 的直角坐标方程中，有24sin 0t t α-=，由AB=sin 2α=，所以3πα=或23πα=.【点睛】这个题目考查了极坐标方程化为普通方程的方法，考查了直线参数中t 的几何意义，一般t 的绝对值表示方程中的定点到动点的距离，故PA PB +，PA PB -，PA PB 均可用t 来表示，从而转化为韦达定理来解决.20.已知函数()ln(1),()(),0f x x g x xf x x '=+=≥，其中()f x '是()f x 的导函数.若[]*11()(),()(),n n g x g x g x g g x n +==∈N . （1）求()n g x 的表达式；（2）求证：()()()()2222211213111n g g f g n n -+-+-++-<+，其中n ∈N *. 【答案】（1）()*N 1n xg x n nx=∈+，；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件猜想()1n xg x nx=+，利用数学归纳法证得猜想成立. （2）利用放缩法，结合裂项求和法，证得不等式成立. 【详解】（1）由题意可知，()01xg x x x=≥+，， 由已知 ()()()12111x x g x g x g g x g x x ⎛⎫⎡⎤=== ⎪⎣⎦++⎝⎭， 11211xx x x x x+==+++，()313xg x x =+，，猜想()*N 1n xg x n nx=∈+，，下面用数学归纳法证明： （i ）当 n =1 时，()11xg x x=+，结论成立：假设 n =k （k ≥1，k ∈N *） 时结论成立，即()1k xg x kx=+，那么，当n =k +1（k ≥1，k ∈N *）时，()()()()()1111111k k k k xg x x kx g x g g x x g x k x kx++⎡⎤====⎣⎦+++++，即结论成立. 由（i ）（ii ）可知，结论对 n ∈N * 成立.（2）∵()01xg x x x =≥+，， ∴()()221111111x g x g n x x n==-⇒-=-++， ∴g （12﹣1）+g （22﹣1）+g （32﹣1）+…+g （n 2﹣1）222211*********n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22221111123n n ⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭()11111223341n n n ⎡⎤-++++⎢⎥⨯⨯⨯+⎢⎥⎣⎦＜11111112231n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦21111n n n n ⎛⎫=--=⎪++⎝⎭， ∴g （12﹣1）+g （22﹣1）+g （32﹣1）+…+g （n 2﹣1）21n n <+. 【点睛】本小题主要考查数学归纳法，考查不等式的证明，属于中档题. 21.已知函数f （x ）=﹣alnx+（a+1）x ﹣212x （a ＞0）． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若f （x ）≥﹣212x +ax+b 恒成立，求a 1,12⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，实数b 的最大值． 【答案】(1)见解析；(2)()1122ln + 【解析】 【分析】（1）求出()'f x 并对其因式分解，对a 与1的大小分类讨论，由()'f x 的正负情况判断()f x 的单调性．（2）把f （x ）≥﹣212x +ax+b 恒成立转化成b ≤﹣alnx+x 恒成立，令g （x ）=﹣alnx+x ，求出g ′（x ）=x ax-，判断g （x ）的单调性，从而求得g （x ）min =﹣alna+a ，令h （a ）=﹣alna+a ，求得h ′（a ）=﹣lna ＞0，即可求得h （a ）min ，问题得解． 【详解】（1）∵f （x ）=﹣alnx+（a+1）x ﹣212x （a ＞0），定义域为（0，+∞）， ∴()()()11x a x af x a x x x---=-++-='，x ＞0 令f ′（x ）=0，则x 1=a ，x 2=1①当0＜a ＜1时，令f ′（x ）＞0，则a ＜x ＜1； 令f ′（x ）＜0，则0＜x ＜a ，或x ＞1，∴f （x ）在（0，a ），（1，+∞）上单调递减；在（a ，1）上单调递增； ②当a=1时，f ′（x ）≤0，且仅在x=1时，f ′（x ）=0， ∴f （x ）在（0，+∞）单调递减； ③当a ＞1时，令f ′（x ）＞0，则1＜x ＜a ； 令f ′（x ）＜0，则0＜x ＜1，或x ＞a ，∴在（0，1 ），（a ，+∞）上单调递减；在（1，a ）上单调递增． 综上所述，当0＜a ＜1时，f （x ）在（0，a ），（1，+∞）上单调递减；在（a ，1）上单调递增； 当a=1时，f （x ）在（0，+∞）上单调递减；当a ＞1时，f （x ）在（0，1），（a ，+∞）上单调递减；在（1，a ）上单调递增． （2）∵f （x ）=﹣alnx+（a+1）x ﹣212x （a ＞0） 若()21f 2x x ax b ≥-++恒成立， ∴b ≤﹣alnx+x 恒成立 令g （x ）=﹣alnx+x ，x ＞0， 即b ≤g （x ）min ， ∵g ′（x ）=1a x a x x--=，（a ＞0）， ∴g （x ） 在（0，a ）单调递减，（a ，+∞） 单调递增； g （x ）min =g （a ）=﹣alna+a ∴b ≤﹣alna+a ，a ∈[12，1]， 令h （a ）=﹣alna+a∴h ′（a ）=﹣lna ＞0，∴h （a ）单调递增， ∴h （a ）min =h （12）=12（1+ln2）， ∴()1b 122ln ≤+ 即b 的最大值为()1122ln +【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，利用导数求函数的最值，还考查了分类讨论思想及转化思想，考查计算能力，属于难题．22.已知函数()xe f x ax lnx x=-+.（1）a =1时,求函数f （x ）的极值；（2）若21142e a ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，,求f （x ）的最小值g （a ）的取值X 围. 【答案】（1）f （x ）极小值e ﹣1,无极大值；（2）[ln 2﹣1,e ﹣1].【解析】【分析】(1)代入1a =求导可得()()'21x x f x e x x-=-,再求导分析单调性与最值可知0x e x ->,进而求得()f x 的极值点与单调区间以及极值.(2)求导后构造导函数()()'p x fx =得出()()2'222(0)x e x x x p x x x -+-=>,再根据(1)中的结论可知()'0p x >恒成立,进而可得()'f x 在定义域上单调递增.再根据零点存在定理可知'0f x 在()0,∞+上有唯一解0x ,且012x ≤≤,进而求得最小值()()00000x e g a f x ax lnx x ==-+,再根据隐零点问题消去参数a ,再构造函数关于极值点0x 的函数分析即可.【详解】(1)当a =1时,()()0xe f x x lnx x x=-+＞,则()()()'221111x x e x x f x e x x x x --=-+=-, 令h （x ）=e x ﹣x ,当x ∈（0,+∞）时,h ′（x ）=e x ﹣1＞0,∴在（0,+∞）上,h （x ）＞h （0）=1,即e x ＞x ,令f ′（x ）=0,则x =1,经检验,在（0,1）上,f ′（x ）＜0,f （x ）单调递减,在（1,+∞）上,f ′（x ）＞0,f （x ）单调递增,∴当x =1时,函数y =f （x ）取得极小值e ﹣1,无极大值；(2)()()'211(0)x e x f x a x x x -=-+>,令()()()'211(0)x e x p x f x a x x x -==-+>,则()()2'322(0)x e x x xp x x x -+-=>,由（1）知,当x ∈（0,+∞）时,e x ＞x ,e x （x 2﹣2x +2）﹣x ＞x （x 2﹣2x +2）﹣x =x （x ﹣1）2≥0,∴p ′（x ）＞0在（0,+∞）上恒成立,∴f ′（x ）在定义域上单调递增, ∵21142e a ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，, ∴()()2''11102042e f a f a =-+≤=-+≥，, ∴方程f ′（x ）=0在（0,+∞）上有唯一解,设方程f ′（x ）=0的解为x 0,则在（0,x 0）上f ′（x ）＜0,在（x 0,+∞）上f ′（x ）＞0,且1≤x 0≤2,∴f （x ）的最小值为()()00000x e g a f x ax lnx x ==-+, 由f ′（x ）=0得,()0020011x e x a x x -=+代入g （a ）得,()()[]000002112xe x g a lnx x x -=-+∈，，, 令()()[]2112x e x x lnx x x ϕ-=-+∈，，,则()()2'222x e x x xx x ϕ--+=,∵﹣x 2+2x ﹣2=﹣（x ﹣1）2﹣1≤﹣1,∴e x （﹣x 2+2x ﹣2）+x ≤x ﹣e x ＜0,∴φ（x ）在[1,2]上为减函数,∴()()()2,1x ϕϕϕ∈⎡⎤⎣⎦,∴g （a ）∈[ln 2﹣1,e ﹣1].【点睛】本题主要考查了求导分析函数单调性的问题,需要根据题意求出函数的极值点,再求出单调区间与极值.同时也考查了构造函数分析隐零点的问题,需要结合极值点满足的关系式消参,进而求导分析函数的单调性与取值X围.属于难题.。
四川省成都市第七中学高二数学文下学期期末试卷含解析
四川省成都市第七中学高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若平面α内有无数条直线与平面β平行，则α与β的位置关系是（）A．平行B．相交C．平行或相交D．重合参考答案：C【考点】平面与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】当α∥β时，平面α内有无数条直线与平面β平行；当α与β相交时，平面α内有无数条平行直线与平面β平行．【解答】解：由平面α内有无数条直线与平面β平行，知：当α∥β时，平面α内有无数条直线与平面β平行；当α与β相交时，平面α内有无数条平行直线与平面β平行．∴α与β的位置关系是平行或相交．故选：C．【点评】本题考查两平面的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．2. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）A.18B.24C.30D.36参考答案：C略3. 下列函数中，最小值为4的函数是（）A．y=x+B．y=sinx+（0＜x＜π）C．y=e x+4e﹣x D．y=log3x+4log x3参考答案：C【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的使用法则“一正二定三相等”即可判断出结论．【解答】解：A．x＜0时，y＜0，不成立；B．令sinx=t∈（0，1），则y=t+，y′=1﹣＜0，因此函数单调递减，∴y＞5，不成立．C．y=4，当且仅当x=0时取等号，成立．D．x∈（0，1）时，log3x，log x3＜0，不成立．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的使用法则“一正二定三相等”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4. 有3位同学参加某项测试，假设每位同学能通过测试的概率都是，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为A. B.C. D.参考答案：D5. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（）A. (－∞,－2]B.C. D. (－2,+∞)参考答案：D【分析】先将函数在区间内存在单调递增区间，转化为在区间上有解，再转化为，进而可求出结果.【详解】因为在区间内存在单调递增区间，所以在区间上成立，即在区间上有解，因此，只需，解得.故选D6. 点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0参考答案：C【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB的斜率k=1，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线AB的方程．【解答】解：∵AB是圆（x﹣1）2+y2=25的弦，圆心为C（1，0）∴设AB的中点是P（2，﹣1）满足AB⊥CP因此，PQ的斜率k===1可得直线PQ的方程是y+1=x﹣2，化简得x﹣y﹣3=0故选：C7. 与为同一函数的是（）.A． B. C. D. 参考答案：B8. 下列命题，正确的是（）A.若z∈C，则z2≥0B.若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋iC.若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数D.若z＝，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限参考答案：D略9. 若集合M={y|y=2x}, P={x|y=}, M∩P=（）A．B．C．D．参考答案：A10. 设，满足约束条件且的最小值为7，则（）A.-5B.3C.-5或3D.5或-3参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数．那么函数的最小正周期为参考答案：试题分析：考点：三角函数化简及性质12. 两平行线：4x+3y－1=0，8x+6y－5=0间的距离等于 .参考答案：13. 已知在上单调递减，则实数的取值范围是_________参考答案： [-2，1]14. 已知具有线性相关关系的变量x 和y ，测得一组数据如下表：若已求得它们的回归直线方程的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为 ．y=6.5x ﹣2.5【考点】BK ：线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，由回归直线的 斜率可求回归直线的方程 【解答】解：∵，∴这组数据的样本中心点是（5，30） 把样本中心点（5，30）代入回归直线方程，可得a=﹣2.5∴回归直线的方程为y=6.5x ﹣2.5 故答案为：y=6.5x ﹣2.515. 如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为 .参考答案：2416. 展开式中的系数为-___ _____.参考答案： 3 略17. 椭圆的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上,且直线PA 2斜率的取值范围是[－2,－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是___________.参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
高二数学试题成都七中高二数学文科试题学科试卷
高二数学试题成都七中高二数学文科试题学科试卷
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高二数学试题：成都七中高二数学文科试题精选
一、选择题（每小题5分，共50分。
）
1、要完成下列两项调查，①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次为（A）
A．①用分层抽样法，②用简单随机抽样法B．①用随机抽样法，②用系统抽样法
C．①用系统抽样法，②用分层抽样法D．①②都用分层抽样法
2、如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为(C)．
A．圆台、三棱柱、圆锥、三棱台B．圆台、三棱锥、圆锥、三棱台
C．圆台、四棱锥、圆锥、三棱柱D．圆台、三棱台、圆锥、三棱柱
3、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为，且它的八个顶点在同一个球面上，这个球的表面积为(B)．
A．B．C．D．
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2020-2021学年四川省成都七中高二下期中文科数学试卷
2020-2021学年四川省成都七中高二下期中文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．椭圆22125x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，则点P 到另一个焦点2F 的距离为（ ）A ．10B ．8C ．4D ．32．以下各点，在曲线2210x xy y -++=上的点为（ ） A ．(2,3)- B ．(3,10) C ．(1,0) D ．(2,2) 3．双曲线222x y -=-的离心率为（ ）A B ．2 D ． 4．焦点为(2,0)的抛物线的标准方程为（ ）A ．216y x =B ．28y x = C ．24y x = D ．22y x =5．方程22121x y m m +=++表示双曲线，则m 的取值范围是（ ） A ．(,2)(1,)-∞--+∞ B ．(2,)-+∞ C ．(,1)-∞- D ．(2,1)--6．抛物线212y x =上与焦点的距离等于9的点的坐标是（ ）A ．(6,或(6,-B ．(4,或(4,-C ．(3,6)或(3,6)-D ．或(9,- 7．短轴长等于8，离心率等于35的椭圆的标准方程为（ ） A ．22110064x y += B ．22110064x y +=或22164100x y += C ．2212516x y += D ．2212516x y +=或2211625x y += 8．若C(−2,−2)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且直线CA 交x 轴于A ，直线CB 交y 轴于B ，则线段AB 中点M 的轨迹方程是（ ） A ．x +y +2=0B ．x −y +2=0C ．x +y −2=0D ．x −y −2=09．已知集合{(,)|(,)0}C x y f x y ==，若对于任意11(,)x y C ∈，存在22(,)x y C ∈，使12120x x y y +=成立，则称集合C 是“好集合”. 给出下列4个集合：221{(,)|9}C x y x y =+=，222{(,)|9}C x y x y =-=，223{(,)|29}C x y x y =+=，24{(,)|9}C x y x y =+=，其中为“好集合”的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．设不等式221x y +≤表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则||||1x y +≥的概率是（ ）A ．1ππ- B ．2π C ．1πD ．2ππ-11．若直线10x y +-=与抛物线22y x =交于,A B 两点，则点(1,0)M 到,A B 两点的距离之积为（ ）A ．．．4 D ．212． 已知椭圆2212x y +=，过右焦点F 作一条与x 轴不垂直的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的中垂线分别交直线2x =-和AB 于,P C ，则||||PC AB 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞ B ．[1,)+∞ C ．1[,5)2 D ．3[,)2+∞二、填空题13．点M 的极坐标5(4,)6π化成直角坐标的结果是 . 14．方程sin cos 1sin 2x y θθθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）所表示曲线的准线方程是 .15．已知圆锥曲线221x ay +=的一个焦点坐标为F ，则该圆锥曲线的离心率为 .16．已知椭圆22:14x C y +=，过点(0,4)D 的直线l 与椭圆C 交于不同两点,M N （M 在,D N 之间），有以下四个结论：①若''2x x y y⎧=⎨=⎩，椭圆C 变成曲线E ，则曲线E 的面积为4π；②若A 是椭圆C 的右顶点，且MAN ∠的角平分线是x 轴，则直线l 的斜率为2-；③若以MN 为直径的圆过原点O ，则直线l 的斜率为± ④若DN DM λ=，则λ的取值范围是513λ<≤. 其中正确的序号是 .三、解答题17．甲、乙两人各掷一枚骰子，试解答下列各问： （1）列举所有不同的基本事件；（2）求事件“向上的点数之差为3”的概率； （3）求事件“向上的点数之积为6”的概率.18．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的实轴长为(0).（1）求双曲线的方程；（2）若斜率为2的直线l 交双曲线C 交于,A B 两点，且||4AB =，求直线l 的方程. 19．已知P 为抛物线26y x =上一点，点P 到直线:34260l x y -+=的距离为1d . （1）求1d 的最小值，并求此时点P 的坐标；（2）若点P 到抛物线的准线的距离为2d ，求12d d +的最小值.20．在一个盒子中装有6枚圆珠笔，其中4枚一等品，2枚二等品，从中依次抽取2枚，求下列事件的概率. （1）恰有一枚一等品； （2）有二等品.21．已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ，其图像关于y 轴对称且经过点(2,1)M . （1）求抛物线C 的方程；（2）若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线上，求该等边三角形的面积；（3）过点M 作抛物线C 的两条弦,MA MB ，设,MA MB 所在直线的斜率分别为12,k k ，当221-=+k k 时，试证明直线AB 的斜率为定值，并求出该定值.22．已知椭圆C 的一个焦点为，且经过点1(2P . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知(1,0)A ，直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，且AM AN ⊥； （ⅰ）若||||AM AN =，求直线l 的方程； （ⅱ）若AH MN ⊥于H ，求点H 的轨迹方程.参考答案1．C 【解析】试题分析：10221==+a PF PF ，所以42=PF ,故选C. 考点：椭圆的定义 2．B 【解析】试题分析：将各点代入只有01102103-32=+⨯+⨯，故选B. 考点：曲线与方程 3．A 【解析】试题分析：化简为双曲线的标准方程是12222=-x y ，为等轴双曲线，所以离心率2==ace ，故选A. 考点：双曲线的性质 4．B 【解析】试题分析：2=p ，并且焦点在x 轴，所以抛物线的标准方程是x y 82=，故选B. 考点：抛物线方程 5．D 【解析】试题分析：方程若表示双曲线，则()()012<++m m ，解得12-<<-m ，故选D. 考点：双曲线方程 6．A 【解析】试题分析：设点的横坐标为0x ，那么93200=+=+x px ，解得60=x ，代入抛物线方程得到726122=⨯=y ，解得26±=y ，故选A. 考点：抛物线的几何性质7．D 【解析】试题分析：82=b ，4=b ，53=a c ，解得162=b ，252=a ，若焦点在x 轴，那么方程是1162522=+y x ，若焦点在y 轴，那么方程是1251622=+y x ，故选D. 考点：椭圆的标准方程 8．A 【解析】 试题分析：设，那么，，，，而根据条件可得，化简为：，故选A.考点：1.轨迹法；2.向量数量积. 9．C 【解析】试题分析：将问题转化为设()11,y x A ，()22,y x B ，满足条件02121=+y y x x ，即转化为对曲线C 上的任一点A,存在点B,满足OB OA ⊥,则称集合C 是“好集合”，1C 表示圆，满足条件，2C 表示等轴双曲线，渐近线互相垂直，那么对于曲线上的任一点A,都不会存在点B,满足OB OA ⊥，3C 是椭圆，对于椭圆上的任一点A,总存在点B,满足OB OA ⊥，4C 是开口向下的抛物线，同样满足条件，故满足条件的有431,,C C C ,故选C. 考点：1.曲线与方程；2.新定义.【思路点睛】主要考察了曲线与方程，属于基础题型，这类新定义问题，是我们一部分学生的难点，满足条件02121=+y y x x ，即转化为对曲线C 上的任一点A,存在点B,满足OB OA ⊥,则称集合C 是“好集合”，明白题意后，我们只需画出方程的曲线，直接判定即可,所以对于新定义的问题，认真审题是关键. 10．D 【解析】 试题分析：如图，区域D 表示单位圆的圆形区域，面积是π，满足条件的||||1x y +≥表示中间正方形外部区域，面积是2-π，所以根据几何概型的面积比值ππ2-=P ,故选D. 考点：几何概型 11．D 【解析】试题分析：⎩⎨⎧==-+2201x y y x 联立方程得到：0122=-+x x ，解得11-=x 或212=x ，那么设()21，-A ,⎪⎭⎫⎝⎛21,21B ,根据两点间距离()()()22201122=-+--=MA ,2221021122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=MB ,那么2=MB MA ,故选D. 考点：直线与抛物线相交的基本问题【方法点睛】本题主要考察了直线与抛物线相交的问题，属于基础题型，当涉及直线与圆锥曲线相交时，如果不涉及参数时，可以直接选择求交点，然后代入两点间的距离公式，()()221221y y x x AB -+-=，如果含有参数，经常选择设而不求的方法，直线方程与圆锥曲线方程联立，根据韦达定理，计算根与系数的关系21x x +和21x x ，代入所需要的一些式子. 12．A 【解析】试题分析：有直线AB 与x 轴不垂直，设直线方程为：()1-=x k y ，()11,y x A ，()22,y x B ，将直线方程代入椭圆方程可得，()()0124212222=-+-+k x k x k ，则2221214k k x x +=+，()22212112k kx x +-=，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+22221,212k k k k C ，()()222122122112241k k x x x x k AB ++=-+⋅+=，若0=k ，则AB 的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意，若0≠k ，那么直线⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=++222212121k k x k k k y ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-222152,2k k k P ，()()222221113211k k k k x x k PC P C +++=-⋅+=，42442422231622*********k k k k k k k k k k ABPC +++=+++=++=，由()42431k k k k f ++=，令2k t =，()()03122>++=t t t t t g ，()()()()22231tt t t t g ++-='，令()0='t g ，可得1=t ，当1>t 时，()0>'t g ，()t g 单调递增，当10<<t 时，()0<'t g ，()t g 单调递减，当1=t 即1±=k 时，()t g 取得极小值，也为最小值2，()2≥k f ，所以22622=+≥ABPC ,故选A.考点：1.直线与椭圆的位置关系；2.导数与最值.【方法点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及利用导数求函数的最值，换元等综合问题的考察，属于压轴题，当以选择题的形式考察圆锥曲线时，有些侧重性质的考察，计算量会少点，而本题计算量则比较大，本题入手同样是设直线，得到弦长公式，以及韦达定理，同时根据交点得到两点间的距离，将ABPC 表示为k 的函数，再通过换元化简，根据导数求函数的最值. 13．(2)- 【解析】试题分析：2365cos 4cos -=⨯==πθρx ，265sin 4sin =⨯==πθρy，故填：(2)-.考点：极坐标与直角坐标的互化 14．14y =- 【解析】试题分析：()y x =+=+=θθθ2sin 1cos sin 22，所以曲线方程是y x =2，[]2,2-∈x ，那么准线方程是41-=y . 考点：参数方程与普通方程的互化 15【解析】试题分析：当0>a 且1≠a 时，曲线为椭圆，并且焦点在x 轴，标准方程为：1122=+ay x ，那么aa 41-1=，解得5=a ，那么离心率552=e ，当0<a 时，曲线为焦点在y 轴的双曲线，表示方程为：11--22=ay x ，那么a a 41-1-=，解得3-=a ，那么离心率332=e ，故填：552=e 或332=e . 考点：1.圆锥曲线方程；2.圆锥曲线的性质.【易错点睛】考察了圆锥曲线的性质，属于基础题型，当出现曲线方程时，会误认为其是椭圆方程，这样就会出现丢解的情况，条件出现焦点坐标F ，表示焦点落在x 轴，方程里的a 可以表示正数，也可以表示负数，引导着我们对a 进行分情况讨论，得到结果. 16．①④ 【解析】试题分析：①根据点的坐标变换，代入椭圆方程12422=⎪⎭⎫⎝⎛'+'y x ，得到422='+'y x ，为圆的方程，半径为2，那么面积就是π4=S ,正确，②根据椭圆关于x 轴对称，若角平分线是x 轴，那么N M ,关于x 轴对称，直线斜率不存在，显然错误；③设直线方程4+=kx y ，与椭圆方程联立，得到()()06032414442222=+++⇔=++kx x k kx x ，2214132k k x x +-=+，2214160kx x +=，()()()16444212122121+++=++=x x k x x k kx kx y y ，根据条件，当过原点时，满足02121=+y y x x ，代入根与系数的关系，得到19±=k ，故不正确；④根据③0>∆得到4152>k ，又根据条件可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=+=+-=+14160413212221221λλx x k x x k k x x ，代入整理为()()⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+4115256411525612222k kk λλ，整理为()1564142<+<λλ，解得3553<<λ，又1>λ，所以351<<λ，当斜率不存在时，此时35=λ，故351≤<λ故填：①④.考点：1.命题；2.圆锥曲线的综合问题.【易错点睛】主要考察了圆锥曲线的命题问题，属于中档题型，比较好判断前三个命题，而对于第四个命题考察了直线与圆锥曲线的位置关系问题，设直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理，消参后得到关于λ的不等式，计算量比较大，容易出错在忘了当斜率不存在时的情况，导致错误，所以在有限的时间判断此题时也可考虑两个临界情况，一是相切时，1=λ，因为有两个交点，所以1>λ，二是斜率不存在时，此时35=λ，能取到，这样就比较好选择此问.17．(1)详见解析；（2）61；（3）91. 【解析】试题分析：(1)每掷一个骰子有6种不同的数字，两个骰子就有3666=⨯种不同的情况组合，以()y x ,的形式列举所有的情况；（2）求3=-y x 所包含的基本事件的个数，并求其概率；（3）求6=xy 所包含的基本事件的个数，并求其概率. 试题解析：（1）共有36个不同的基本事件，列举如下：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)， (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)， (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)， (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)， (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).（2）组成事件“向上的点数之差为3”的基本事件有(1,4),(2,5),(3,6).(6,3),(5,2),(4,1)共6种.∴向上的点数之差为3的概率为61366=. （3）组成事件“向上的点数之积为6”的基本事件有(2,3),(3,2),(1,6),(6,1)共4种. ∴向上的点数之积为6的概率为41369=. 考点：1.列举法求基本事件；2.古典概型.18．（1）12322=-y x ；（2）2y x =+2y x =-【解析】试题分析：（1）根据待定系数法求双曲线方程，知道322=a ，5=c ；（2）设直线方程m x y +=2，与双曲线方程联立，得到韦达定理，根据弦长公式2121x x k AB -+=，求出直线方程.试题解析：（1）由2a =a =c =，∴2222b c a =-=，∴双曲线C 的方程为22132x y -=. （2）设直线l 的方程为2y x m =+，1122(,),(,)A x y B x y ，由222132y x m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得2210123(2)0x mx m +++=，∴224(10)0m ∆=->，得||m >，∴弦长||4AB ==，解得m =±， ∴直线l的方程为23y x =+或23y x =-. 考点：1.双曲线的定义；2.弦长公式.【方法点睛】主要考察了双曲线的基本问题，属于基础题型，尤其对于第二问，根据弦长公式求直线方程时，设直线方程，根据弦长公式2121x x k AB -+=()21221241x x x x k -++=，或是21211y y k AB-+=，这样根据直线方程与圆锥曲线方程联立，可以求参数.19．（1）当8(,4)3P 时，1min () 3.6d =；（2）12min () 6.1d d +=. 【解析】试题分析：(1)表示点P 到直线l 的距离，表示为坐标的函数，求函数的最小值，以及点P 的坐标，（2）将点P 到焦点的距离转化为点P 到准线的距离，根据图像分析，21d d +的最小值就是点F 到直线的距离.试题解析：（1）设20(,)6y P y ，则2002101|426|12|(4)36|510y y d y -+==-+，当04y =时，1min() 3.6d =，此时200863y x ==，∴当8(,4)3P 时，1min () 3.6d =.（2）设抛物线的焦点为F ，则3(,0)2F ，且2||d PF =， ∴121||d d d PF +=+，它的最小值为点F 到直线l 的距离9|26|2 6.15+=.∴12min () 6.1d d +=. 考点：抛物线的几何性质【方法点睛】主要考察了抛物线内的距离的最值，属于基础题型，当涉及直线上的点到抛物线px y 22=距离的最小值问题，法一，设点的坐标，代入点到直线的距离，转化为关于坐标的函数，根据函数特点求最值，法二，设与已知直线平行的直线，当直线与抛物线相切时，这时切点到直线的距离最小，所以可以令直线方程与抛物线方程联立，令0=∆，求出参数，即切线方程，再求切点；若是到py x 22=的距离的最小值，可以写成221x py =，设切点坐标，利用切点处的导数就是在这点处的切线的斜率，求切点坐标，对于第二问的最值问题，可以根据抛物线的几何意义转化，将到抛物线准线的距离转化为到焦点的距离. 20．(1)158;(2)53. 【解析】试题分析：法一：先将圆珠笔编号，抽取两枚，用()y x ,表示抽取的编号，（1）恰有一枚一等品，表示一枚一等品，一枚二等品，通过列举法求其基本事件的个数，最后除以总的基本事件的个数，（2）有二等品，表示有一个二等品或有两个二等品，也同样列举事件所表示的基本事件的个数，法二：也可用组合数表示以上事件包含的基本事件的个数.试题解析：解法一：把每枚圆珠笔上号码，一等品分别记作,,,A B C D ，二等品分别记作,E F .依次不放回从盒子中取出2枚圆珠笔，得到的两个标记分别为x 和y ，则(,)x y 表示一次抽取的结果，即基本事件. 由于是随机抽取，所以抽取到任何事件的概率相等.用M 表示“抽到的2枚圆珠笔中有二等品”， 1M 表示“仅第一次抽取的是二等品”， 2M 表示“仅第二次抽取的是二等品”， 3M 表示“两次抽取的都是二等品”.1M 和2M 中的基本事件个数都为8，3M 中的基本事件为2，全部基本事件的总数为30.（1）由于1M 和2M 是互斥事件，记12N M M =，∴恰有一枚一等品的概率12888()()()303015P N P A P A =+=+=. （2）由于1M ，2M 和3M 是互斥事件，且123M M M M =，∴1238823()()()()3030305P M P M P M P M =++=++=. 解法二：（1）恰有一枚一等品的概率1142126815C C P C ==. （2）有二等品的概率11242222635C C C P C +==， 或24226231155C P C =-=-=. 考点：古典概型21．(1)y x 42=；（2）348=S ；（2）3=k ，证明详见解析.【解析】试题分析：(1)根据对称轴和点的位置，设抛物线方程为)0(22>=p py x ，代入点M 的坐标，得到抛物线方程；（2）设(,),(,)p p Q Q P x y Q x y ，根据OQ OP =,可得到P 与Q 关于x 轴对称，这样得到点的横坐标和纵坐标的关系，代入抛物线方程后，得到点的坐标，并计算面积；（3）设1122(,),(,)A x y B x y ,2114x y =，2224x y =，用坐标表示221-=+k k ，再表示直线AB 的斜率，得到定值.试题解析：（1）设抛物线C 的方程为22(0)x py p =>， 由点(2,1)M 在抛物线C 上，得42p =，则2p =.∴抛物线C 的方程为24x y =.（2）设该等边三角形OPQ 的顶点,P Q 在抛物线上，且(,),(,)p p Q Q P x y Q x y ， 则24p p x y =，24Q Q x y =，由||||OP OQ =，得2222p p Q Q x y x y +=+，即()(4)0p Q p Q y y y y -++=.又0,0p Q y y >>，则p Q y y =，||||p Q x x =，即线段PQ 关于y 轴对称. ∴030poy ∠=，p p y =，代入24p p x y =，得p x =∴该等边三角形边长为POQ S ∆=（3）设1122(,),(,)A x y B x y ，则2114x y =，2224x y =，∴22121212121212111111144(22)2222216x x y y k k x x x x x x ----+=⋅=⋅=+++=-----. ∴1212x x +=-，又22212112212111144()34ABx xy y k x x x x x x --===+=---. 考点：1.抛物线方程和几何性质；2.直线与抛物线的位置关系.22．（1）1422=+x y ；（2）0y ++=0y -+=，或35x =-；（ⅱ）22116()(1)525x y x -+=≠. 【解析】试题分析：（1）根据焦点的位置设出椭圆方程，并且222c b a +=，然后代入点的坐标，解出2a 和2b ；（2）（ⅰ）当直线l 垂直于x 轴时，与椭圆交于两点N M ,；根据等腰直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，得到直线方程，当直线l 不垂直于x 轴时，再就是设直线与椭圆方程联立，得到韦达定理，根据AN AM ⊥,0=⋅AN AM ,和斜率的中线于斜边垂直，解得直线方程；（ⅱ）由上一问可得直线是过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛053-，的直线，根据数形结合可得点H 的轨迹就是以AQ 为直径的圆，但不含A 点，因为直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.试题解析：（1）设椭圆C 为：22221(0)y x a b a b+=>>，∵椭圆C过点1(2P，且一个焦点为，∴222233114a b a b ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩. ∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=. （2）（Ⅰ）当l x ⊥轴时，设:l x m =，代入椭圆得y =±，∵||2(1)MN m ==-，解得1m =（舍去）或35m =-， ∴直线l 方程为35x =-.当l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y kx m =+.由2214y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(4)240k x kmx m +++-=.222244(4)(4)0k m k m ∆=-+->，得224k m +>.设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 的中点为00(,)Q x y .则12224km x x k +=-+，212244m x x k -=+，所以024km x k =-+，00244m y kx m k=+=+， 由||||AM AN =，得AQ MN ⊥，则1AQ k k ⋅=-，化简得234km k =+（*）.由AM AN ⊥，得1212(1)(1)0AM AN x x y y ⋅=--+=， ∴1212(1)(1)()()0x x kx m kx m --+++=，化简得221212(1)(1)()10k x x km x x m ++-+++=.∴22222(1)(4)2(1)1044k m km km m k k+---++=++， 化简得225230m km k +-=，解得m k =-或35m k =. 当m k =-时，（*）式不成立.当35m k =时，代入（*）式，得25k =，k =∴直线l 的方程为y =+或y =综上所述，直线l 0y +=0y -=，或35x =-.（Ⅱ）当直线l 与x 轴不垂直时，由（Ⅰ）知，AM AN ⊥时，m k =-或35m k =.当m k =-时，直线l 为(1)y k x =-过点(1,0)A ，矛盾，故舍去.当35m k =时，直线l 为3()5y k x =+，且过定点3(,0)5Q -. 当l x ⊥轴时，直线l 的方程为35x =-，也过定点3(,0)5Q -.∴点H 的轨迹就是以AQ 为直径的圆，但不含A 点， ∴点H 的轨迹方程为22116()(1)525x y x -+=≠. 考点：1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系;3.轨迹法.。
2020-2021学年四川省成都七中高二下学期文零诊数学试题(解析版)
2020-2021学年四川省成都七中高二下学期文零诊数学试题一、单选题1．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则AB =（ ）A ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．(1,)+∞【答案】D【分析】先利用一元二次不等式及一次不等式求出集合A ，B ，然后画数轴进行并集的运算即可． 【详解】解：3{|13},{|}2A x xB x x =<<=>，(1,)AB ∴=+∞．故选：D ．【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．复数z 满足()1z i i -=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．12-B ．12C ．12iD ．12i -【答案】B【分析】根据复数的运算法则，化简得的1122z i =-+，结合复数的概念，即可求解.【详解】根据复数的运算法则，可得(1)z i i -=，可得(1)111222i i i z i i ⋅+===-+- 故复数z 的虚部为12. 故选：B.3．在极坐标系中，直线l 的方程为sin 23πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与曲线:2C ρ=的位置关系为（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定，与θ有关【答案】B【分析】首先根据极直互化得到直线和圆的直角坐标方程，根据圆心到直线的距离跟半径的大小比较判断直线与曲线的位置关系即可.【详解】因为直线l 的方程为1sin 2(sin )232πρθρθθ⎛⎫+=⇒= ⎪⎝⎭,即sin cos 4ρθθ=，因为极坐标系中：sin cos x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以直线l 的直角坐标方程为4x +=，对于曲线:2C ρ=，因为ρ22+4x y =， 所以:2C ρ=表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆， 因为圆心到直线的距离2d =， 所以直线l 与曲线C 相切. 故选：B.4．若双曲线的中心为坐标原点，焦点在y 轴上，其离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y x =C ．4y x =±D ．14y x =±【答案】B【分析】易得2c a =，再结合222c a b =+可求得223a b=，最后由双曲线的焦点在y 轴上写出渐近线方程即可. 【详解】由题得，2ca=，即2c a =， 再由222c a b =+，得2224a a b =+，即223a b =，所以223a b=，又因为双曲线的焦点在y 轴上，所以其渐近线方程为a y x b =±=. 故选：B .【点睛】易错点睛：本题求解渐近线方程是易忽略焦点在y 轴上这一条件，从而导致错解.5．ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1)b c a b sinA ==-,则A= A ．34πB ．3π C ．4π D ．6π 【答案】C【详解】试题分析：由余弦定理得：()2222222cos 22cos 21cos a b c bc A b b A b A =+-=-=-，因为()2221sin a b A =-，所以cos sin A A =，因为cos 0A ≠，所以tan 1A =，因为()0,A π∈，所以4A π=，故选C.【解析】余弦定理【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、同角三角函数的基本关系，是高考常考知识内容.本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及基本计算能力等.6．等差数列{}n a 公差为()0d d ≠，且满足3a ，5a ，8a 成等比数列，则1d a =（ ）A ．12 B ．1 C ．3 D ．2【答案】A【分析】根据等差数列的基本量的计算，结合等比中项的概念，列式化简即可得解.【详解】根据题意可得：2538a a a =⋅，所以2111(4)(2)(7)a d a d a d +=++，由0d ≠，解得12a d =， 所以112d a =. 故选：A7．在圆2216x y +=内随机取一点P ，则点P 落在不等式组40400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，表示的区域内的概率为 （ ） A ．14πB ．34πC ．1πD ．43π【答案】C【分析】首先由画出不等式表示的可行域，根据可行域的形状求出其面积，再求出圆2216x y +=的面积，最后根据几何概型公式求解即可.【详解】根据不等式组40400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，如图做出点P 的可行域:由图可知：点P 的可行域为等腰三角形ABC ， 所以1162ABCSAB OC =⨯⨯=, 圆2216x y +=的面积为16π， 由几何概型可知，圆2216x y +=内随机取一点P ，则点P 落在不等式组40400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的区域内的概率为：16116P ππ==, 故选：C【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可. 8．已知直线l 为曲线sin cos y x x x =+在2x π=处的切线，则在直线l 上方的点是（ ） A ．,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()2,0C ．(),1π-D ．()1,π-【答案】C【分析】利用导数的几何意义求得切线的方程，进而判定点与切线的位置关系即可. 【详解】'cos cos sin 2cos sin y x x x x x x x =+-=-, 22x y ππ==-',又当2x π=时，1y =，所以切线的方程为122y x ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭, 对于A,当2x π=时，1y =，故点,12π⎛⎫⎪⎝⎭在切线上； 对于B,当2x =时，2921π11 3.2502244y πππππ⎛⎫=--+=-++>-++=-> ⎪⎝⎭，故点()2,0在切线下方；对于C,当x π=时，2π91111,2512244y πππ⎛⎫=--+=-+<-+=-<- ⎪⎝⎭，故点(),1π-在切线上方；对于D,当x =1时，211122242y ππππππ⎛⎫=--+=-++>->- ⎪⎝⎭,故点()1,π-在切线下方. 故选：C.【点睛】本题考查曲线的切线方程的求法和点与直线的位置关系的判定，其中导数的运算是重点.点与直线的位置关系的判定中利用不等式的基本性质和π的过剩和不足近似值进行大小判定是需要仔细处理的.9．设(3,),(5,1)a m b ==，p ：向量a 与a b -的夹角为钝角，q ：()2,3m ∈-，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由题知()2,1a b m -=--，进而根据题意得以()0a a b ⋅-<且a 与a b -的不共线，解得23m -<<且35m ≠，再结合集合关系判断即可得答案. 【详解】由题知()2,1a b m -=--, 因为向量a 与a b -的夹角为钝角, 所以()0a a b ⋅-<且a 与a b -的不共线,所以260m m -+-<且()312m m -≠-,解得23m -<<且35m ≠ 因为332,,355m ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是()2,3m ∈-的真子集,所以p 是q 的充分不必要条件, 故选:A【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．4C ．8+D ．14+【答案】B【分析】首先根据三视图得到几何体的形状，接着利用棱锥的体积公式求解即可. 【详解】由题意可得几何体如下图所示四棱锥P ABCD -：其中2,2,3PA PB AB CD AD BC ======,且四边形ABCD 为矩形，三角形PAB 为等腰直角三角形， 且面ABCD ⊥面PAB ，所以3ABCD S ==h ==所以11433P ABCD ABCD V S h -=⨯⨯=⨯=，故选：B【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 11．已知函数f (x )满足：对任意x ∈R ，f (﹣x )=﹣f (x )，f (2﹣x )=f (2+x )，且在区间[0，2]上，f (x )=22x +cos x ﹣1，m =f ，n =f (7)，t =f (10)，则（ ）A ．m <n <tB ．n <m <tC ．m <t <nD ．n <t <m【答案】B【分析】根据题意探究得到()f x 的周期为8，将,n t 都化到[0,2]上对应的函数值，进而用单调性可得结果.【详解】∵f (﹣x )=﹣f (x )，f (2﹣x )=f (2+x )， ∴f (x )为奇函数，且关于x =2对称.将x 换成x +2，则f (2﹣(x +2))=f (2+x +2)，即f (﹣x )=f (x +4)=﹣f (x )， 将x 换成x +4，则f (x +8)=﹣f (x +4)=f (x )，即f (x )的最小正周期为8， ∴ f （7）=f (8﹣1)=f (﹣1)=﹣f （1）， f (10)=f (8+2)=f （2），当[0,2]x ∈时，f (x )=22x +cos x ﹣1，f ′(x )=x ﹣sin x ，令()()sin g x f x x x '==-，则()1cos 0g x x '=-≥， 所以()g x 在[0,2]上单调递增，则()(0)0g x g ≥=，即当[0,2]x ∈时，()0f x '≥，所以()f x 在[0,2]上单调递增， 即当[0,2]x ∈时，f (x )≥f (0)=0.∴﹣f （1）<0，0<f f （2），∴f （7）<f f (10)，即n <m <t . 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：探究得到()f x 的周期为8，将,n t 都化到[0,2]上对应的函数值.12．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右顶点分别为A 和B ，Р是椭圆上不同于A ，B 的一点．设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则当2343a b mn mn⎛⎫-+⎪⎝⎭取最小值时，椭圆C 的离心率为（ ）A B ．45C D ．15【答案】C【分析】根据椭圆方程，利用22b mn a=-为定值，代入整理可得323223234433a a a a b mn mn b b b ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，构造函数322343y t t t =-+利用导数即可得解.【详解】设(,)P x y ，222222222y y y y b mn a x a x a x a a y b=⋅===-+---， 所以3232232323444333a a a a ab mn mn b mn mn b b b⎛⎫⎛⎫-+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令at b=，1t >， 构造函数322343y t t t =-+，2264y t t '=-+，当(1,2)t ∈，0y '<，322343y t t t =-+为减函数，当(2+)t ∈∞，，0y '>，322343y t t t =-+为增函数， 所以2t =时取最小值， 此时2a b =，e =故选：C 二、填空题13．观察下列式子，1ln 23>，11ln 335>+，111ln 4357>++，……，根据上述规律，第n个不等式应该为__________． 【答案】()111ln 13521n n +>+++⨯+ 【分析】根据题意，依次分析不等式的变化规律，综合可得答案． 【详解】解：根据题意，对于第一个不等式，1ln 23>，则有()1ln 11211+>⨯+， 对于第二个不等式，11ln 335>+，则有()11ln 213221+>+⨯+，对于第三个不等式，111ln 4357>++，则有()111ln 2135231+>++⨯+，依此类推：第n 个不等式为：()111ln 13521n n +>+++⨯+， 故答案为()111ln 13521n n +>+++⨯+． 【点睛】本题考查归纳推理的应用，分析不等式的变化规律． 14．已知4sin 5β=，()5sin 13αβ+=，其中α，()0,βπ∈，则sin α的值为________． 【答案】6365或3365【分析】本题主要利用正弦的两角差公式进行计算，根据题意可知2παβπ<+<，分02πβ<<和2πβπ<<两种情况讨论即可得解.【详解】由α，()0,βπ∈可得02αβπ<+<， 又()5sin 013αβ+=>， 所以0αβ<+<π， 由()45sin sin 513βαβ=>+=，故2παβπ<+<， 所以当02πβ<<，则3cos 5β=，()12cos 13αβ+=-，此时5312463sin sin()sin()cos cos()sin 13513565ααββαββαββ=+-=+-+=⨯+⨯=， 当2πβπ<<时，3cos 5β=-，()12cos 13αβ+=-，所以5312433sin sin()sin()cos cos()sin ()13513565ααββαββαββ=+-=+-+=⨯-+⨯=. 故答案为：6365或336515．已知偶函数()f x ，对任意的x 都有()()2'6f x xf x +>，且()12f =，则不等式()2231x f x x >-的解集为_________．【答案】{1x x <-，或0x =，或}1x >【分析】由已知条件构造函数22()()31g x x f x x =-+，求导后可判断出()g x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减，由()12f =，可得(1)(1)0g g -==，由()f x 为偶函数，可判断出()g x 为偶函数，而不等式()2231x f x x >-转化为()0>g x ，偶函数的性质可得1x >，从而可求出x 的范围，再由(0)10g =>可得0x =，进而可求出不等式的解集【详解】解：令22()()31g x x f x x =-+，则'2''()2()()6[2()()6]g x xf x x f x x x f x xf x =+-=+-，因为对任意的x 都有()()2'60f x xf x -+>，所以当0x >，'()0g x >，当0x <，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减， 因为()12f =，所以(1)(1)0g g -==， 因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，所以2222()()()3()1()31()g x x f x x x f x x g x -=----+=-+=， 所以()g x 为偶函数，所以由()0>g x ，所以()(1)g x g >，所以1x >，解得1x <-或1x >， 因为(0)10g =>，所以0x =， 综上，1x <-，或1x >，或0x =，所以不等式的解集为{1x x <-，或0x =，或}1x >. 故答案为：{1x x <-，或0x =，或}1x >16．抛物线1C ：()220x py p =>与双曲线2C ：223x y λ-=有一个公共焦点F ，过2C 上一点()4P 向1C 作两条切线，切点分别为A 、B ，则AF BF ⋅=______． 【答案】49【分析】将点P 的坐标代入双曲线方程，可求得λ的值，从而可得双曲线的方程，则可得焦点坐标，可得抛物线的准线方程，由导数的几何意义可得,A B 两点处的切线的斜率，求得切点弦AB 的方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和抛物线的定义，计算即可【详解】解：由于点()4P 在曲线2C 上，所以453163λ=-⨯=-， 则双曲线的方程为2233x y -=-，即2213x y -=，则(0,2)F ，所以抛物线方程为28x y =，准线方程为2y =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2211228,8x y x y ==，由218y x =，得'14y x =，所以11(,)A x y 处的切线方程为1111()4y y x x x -=-， 即22111111844y x x x x -=-，即2111148y x x x =-，将点()4P 代入可得114160y --=，同理可得224160y --=，所以直线AB 的方程为4160y --=，联立抛物线的方程28x y =，可得2229320y y -+=， 所以121229,162y y y y +==，所以12(2)(2)AF BF y y ⋅=++1629449=++=.故答案为：49【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查切线方程的求法，考查抛物线的定义的应用，解题的关键是由导数的几何意义求出切线方程114160y --=，224160y --=，从而可得切点弦AB 的方程为4160y --=，考查计算能力，属于较难题三、解答题17．某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[)25,30，第2组[)30,35，第3组[)35,40，第4组[)40,45，第5组[]45,50，得到的频率分布直方图如图所示.（1）上表是年龄的频数分布表，求正整数,a b 的值；（2）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率.【答案】（1）200a =，50b =；（2）第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人；（3）1415. 【分析】（1）根据频率分布直方图得出[)35,40和[]45,50的频率，即可得出正整数,a b 的值；（2）利用分层抽样的性质，即可得出年龄在第1，2，3组的人数；（3）利用列举法得出6人中随机抽取2人的所有情况，根据古典概型的概率公式求解即可.【详解】解：（1）由题设可知，0.085500200a =⨯⨯=，0.02550050b =⨯⨯=. （2）因为第1，2，3组共有5050200300++=人，利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为5061300⨯=，第2组的人数为5061300⨯=，第3组的人数为20064300⨯=， 所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人.（3）设第1组的1位同学为A ，第2组的1位同学为B ，第3组的4位同学为1234,,,C C C C ，则从6位同学中抽两位同学有：()()()()()()()()()1234123412(,),,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A C A C A C B C B C B C B C C C ，()()()()()1314232434,,,,,,,,,C C C C C C C C C C 共15种可能.其中2人年龄都不在第3组的有：(),A B 共1种可能， 所以至少有1人年龄在第3组的概率为11411515-=. 【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用 ，利用古典概型概率公式计算概率，属于中档题.18．已知曲线2()ln 1f x x x ax =+-+.（1）当a =1时，求曲线在x =1处的切线方程；（2）对任意的x ∈[1，+∞)，都有()0f x ≥，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）y =2x -1；（2）a ≤2.【分析】（1）代入1a =，对函数()f x 求导后求出切线的斜率，即可求出切线方程； （2）分离参量后，构造新函数，对新函数求导计算出最值，即可得到a 的取值范围. 【详解】（1）函数f (x )的定义域为{x |x >0}，当a =1时，2()ln 1f x x x x =+-+，1()21f x x x'=+-，(1)2,(1)1f f '∴==， 所求切线方程为y -1=2(x -1)，即y =2x -1.（2）由题意对于[)1,x ∀∈+∞有2()ln 10f x x x ax =+-+≥则可得2ln 1xa x x ++≤，x ∈[1，+∞).设2ln 1()x x g x x ++=，x ∈[1，+∞)，22ln ()x x g x x '-=，x ∈[1，+∞)再设m (x )=x 2-ln x ，x ∈[1，+∞)，2121()20x m x x x x'-=-=>，m (x )在[1，十∞)上为增函数， m (x )≥m （1）=1，即g '(x )>0，g (x )在[1，+∞)上为增函数，g (x )≥g （1）=2，即a ≤2. 【点睛】思路点睛：在解答含有参量的恒成立问题时，可以选用分离参量的方法，构造新函数，运用导数知识求出新函数的最值，即可得到结果；如果不分离参量，也可以直接对函数进行求导后解答，需要注意分类讨论.19．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，ACBD O =，1A O ⊥底面ABCD ，2AB =，13AA =．（1）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ； （2）若60BAD ∠=︒，求D 点到面1B BC 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）要证面面垂直只要证明其中一个面内的一条直线垂直于另外一个平面即可； （2）利用等体积法11B D B C C B B D V V --=，根据所给条件求得各已知量，代入即可得解. 【详解】（1）∵1A O ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴1AO BD ⊥．∵ABCD 是菱形， ∴CO BD ⊥，∵1AO CO O ⋂=，∴BD ⊥平面1A CO ，∵BD ⊂平面11BB D D ， ∴平面1ACO ⊥平面11BB D D ； （2）根据题意可得13,A A AO =1AO1A D 22211119471cos 22322AA AD A D A AD AA AD +-+-∠===⋅⨯⨯，1sin A AD ∠=所以11322ADA S=⨯⨯=， 易知11B BC A AD ≅，所以1BCB S=，由BCDS1AO 设D 点到面1B BC 的距离为h ， 根据等体积法11B D B C C B B D V V --=可得111133BCC BCDSh SAO ⋅=⋅代入数据可得h =，所以D 点到面1B BC . 20．已知函数()()ln xf x mx m R x=-∈． （1）若()0f x ≤恒成立，求实数m 的最小值；（2）当0m ≥时，试确定函数()f x 的极值点个数，并说明理由．【答案】（1）12e；（2）1个，理由见解析. 【分析】（1）首先将题意转化为2ln xm x ≥恒成立，设()2ln x g x x=，再利用导数求()g x 的最大值即可得到答案.（2）首先求导得到()221ln 'x mx f x x--=，令()21ln h x x mx =--，根据函数()h x 在区间()0,∞+上单调递减，20m h e -⎛⎫> ⎪⎝⎭，()0h e <，即可得到当0m ≥时，函数()f x 有且只有一个极值点.【详解】（1）由题意可得ln x mx x≥，即2ln xm x ≥．令()2ln x g x x =，()312ln xg x x -'=，令()0g x '=，解得x =(x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；()max 12g x ge ==，所以12m e ≥，即m 的最小值为12e .（2）∵()()ln 0xf x mx m x=-≥， ∴()()2221ln 1ln '0x x mx f x m x x x ---=-=>，令()21ln h x x mx =--，∵()1'20h x mx x=--<，所以函数()h x 在区间()0,∞+上单调递减.∵me m >，∴2102m m m m h e e -⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，()20h e me =-<，∴()00,x ∃∈+∞，使得()00h x =，∴当()00,x x ∈时，()0h x >，即()'0f x >，()f x 在区间()00,x 单调递增； 当()0x x ∈+∞时，()0h x <，即()'0f x <，()f x 在区间()0,x +∞单调递减， ∴0x x =，是函数()f x 在区间()0,∞+内的极大值点， 即当0m ≥时，函数()f x 有且只有一个极值点．21．已知椭圆C ：22221x y a b+=的右焦点为)，且经过点⎛- ⎝⎭．点M 是x 轴上一点．过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点（点A 在x 轴上方）． （1）求椭圆C 的方程；（2）若2AM MB =，且直线l 与圆O ：2247x y +=相切于点N ，求MN 的长． 【答案】（1）2214x y +=；（2【分析】（1）根据题意，列出方程组，结合222a c b -=，求得,a b 的值，即可求解； （2）设直线:l x ty m =+，联立方程组，根据根与系数的关系，求得1212,y y y y +，根据2AM MB =，得出()()2222448m t t m -+=-，再结合直线与圆相切，得到22714m t =-，联立方程组求得m 的值，求得点M 的坐标，结合Rt ONM △，即可求解. 【详解】（1）由椭圆C ：22221x y a b+=的右焦点为)，且经过点⎛- ⎝⎭， 可得()2222222311a b c ab ⎧-==⎪⎪⎛⎨ ⎪-⎝⎭+=⎪⎩，解得224,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=． （2）设(),0M m ，直线:l x ty m =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 由2AM MB =，可得122y y =-，由2214x y x ty m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()2224240t y tmy m +++-=， 所以12224tm y y t +=-+，212244m y y t -=+，由21222y y y =-，122222y y y y y +=-+=-，则()()2212121222y y y y y y =--+=-+⎡⎤⎣⎦，可得222242244m tm t t -⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭，化简得()()2222448m t t m -+=-．由原点O到直线的距离d =又由直线l 与圆O ：2247x y +==22714m t =-． 由()()222222448714m t t m t m ⎧-+=-⎪⎨=-⎪⎩，整理得422116160m m --=，即()()2234740m m -+=，解得243m =， 此时243t =，满足0∆>．此时M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 在Rt ONM △中，MN ==MN【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（Ⅰ）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设点()1,0P ，直线l 与曲线C 相交于A ，B ，求11PA PB+的值． 【答案】（Ⅰ）:10l x -=，()22:24C x y -+=；（Ⅱ【分析】（Ⅰ）由112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）直接消去参数t ，可得直线的普通方程，把cos ρθ=4两边同时乘以ρ，结合222x y ρ=+，cos x ρθ=可得曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）把112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2240x y x +-=，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数t 的几何意义求解．【详解】解：（Ⅰ）由112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t，可得10x -=．∵cos ρθ=4，∴24cos ρρθ=，即2240x y x +-=． ∴曲线的直角坐标方程为()2224x y -+=；（Ⅱ）把112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2240x y x +-=，得230t +-=．设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t则12t t +=123t t =-． 不妨设10t <，20t >，∴1212121111t tPA PB t t t t ++=+===． 【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，明确直线参数方程中参数t 的几何意义是解题的关键，是中档题．。
2020年四川省成都市七中育才学校高二数学文期末试题含解析
2020年四川省成都市七中育才学校高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知命题p：直线与直线之间的距离不大于1，命题q：椭圆2x2+27y2=54与双曲线9x2﹣16y2=144有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（）A．p∧（￢q）B．（￢p）∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∧q参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．【分析】先判断命题p和命题q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案．【解答】解：对于命题p，直线与直线的距离=＞1，所以命题p为假命题，于是￢p为真命题；对于命题q，椭圆2x2+27y2=54与双曲线9x2﹣16y2=144有相同的焦点（±5，0），故q为真命题，从而（￢p）∧q为真命题．p∧（￢q），（￢p）∧（￢q），p∧q为假命题，故选：B2. 命题“，使得”的否定形式是（）A．，使得B．，使得C．，使得D．，使得参考答案：D命题“，使得”的否定形式是，使得故选：D3. 若集合A={x|x2+5x+4＜0}，集合B={x|x＜﹣2}，则A∩（?R B）等于（）A．（﹣2，﹣1）B．[﹣2，4） C．[﹣2，﹣1）D．参考答案：C4. 已知x1、x2是方程4x2﹣4mx+m+2=0的两个实根，当x12+x22取最小值时，实数m的值是（）A．2 B．C．﹣D．﹣1参考答案：D【考点】函数的零点；基本不等式．【分析】由题意可得判别式△≥0，求得m≥2，或m≤﹣1．化简x12+x22的解析式为﹣，再利用二次函数的性质可得此式取最小值时m的值．【解答】解：由题意可得 x1+x2=m，x1?x2=，△=16m2﹣16（m+2）≥0，∴m≥2，或m≤﹣1．当x12+x22=﹣2x1?x2=m2﹣=﹣取最小值时，有m=﹣1，故选D．5. 已知一组具有线性相关关系的数据，其样本点的中心为，若其回归直线的斜率的估计值为，则该回归直线的方程为( )A. B. C. D.参考答案：C略6. 直线的倾斜角是( )A．30° B．45° C．60° D ．135°参考答案：D略7. △ abc 的三个内角∠ a ，∠ b ，∠ c 所对的边分别为 a ， b ， c ， a sin a sin b + b cos 2 a ＝，则＝( )．a． b． c． d．参考答案：D由余弦定理可求得，再由正弦定理得.8. 若实数x，y满足约束条件，目标函数仅在点(1,0)处取得最小值，则实数a 的取值范围是（）A.[－6,2]B. (－6,2)C. [－3,1]D.( －3,1)参考答案：B9. 已知向量=（1，x），=（1，﹣x），若2+与垂直，则||=（）A． 4 B． 2 C．D．参考答案：B略10. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 ( )A. B．4 C．3 D．5参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若三角形内切圆的半径为，三边长为，则三角形的面积等于，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分别是，则四面体的体积．参考答案：12. 已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点作直线交椭圆于两点，且斜率存在分别为，若点关于原点对称,则的值为▲.参考答案：略13. （4分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx的最大值为_________ ．参考答案：14. 由直线x= -, x=, y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为参考答案：15. 已知，设，则与1的大小关系是．(用不等号连接)参考答案：16. 已知圆C:,过原点作圆C的弦OP，则OP的中点Q的轨迹方程为_ ．参考答案：略17. 若，则的最小值为．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
四川省成都七中高2020届高二数学(文科)测试题
成都七中高2020届高二数学(文科)练习命题人：巢中俊 审题人： 张世永（满分100分，60分钟完卷）一、选择题（共8题，每题5分，共40分.请把选项写在题后表格内） 1.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书 九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示 的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入,n x 时只记 得1,x =忘记了n 的值,但输出v 的值为56,则可推断出输入n 的值为( ) A.9 B.10 C.11 D.无法推断出2.有4本不同的书,平均分给甲、乙2人,则不同的分法种数有( ) A.3 B.6 C.12 D.243.某市要对20000多名出租车司机的年龄进行调查,现从中随机抽出1000名司机,已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁之间,根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分 布直方图如图所示,利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车 司机年龄的中位数大约是( ) A.31.6岁 B.32.6岁C.33.6岁D.36.6岁4.大学生小赵计划利用假期进行一次短期职业体验,已知小赵想去某单位体验,单位领导告知每天上班的时间(单位：小时)和工资(单位：元)如下表所示：则小赵这段时间每天工资与每天工作时间x 满足的线性回归方程为( )A.58183ˆ77yx =+ B.ˆ11.4 5.9yx =+ C.8040ˆ77y x =+ D.ˆ8.624.1yx =+5.对具有线性相关关系的两个变量,,x y 测得一组数据如下表所示：根据上表,利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为ˆ10.5 1.5,yx =+则m n +=( ) A.119B.120C.129D.130B6.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分的中位数为e,m众数为,m平均值为,x则( )A.0em m x>> B.e0m m x=<C.0em x m<< D.0em m x<<7.在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的四位数中,大于3145且小于4231的数共有( )A.27个B.28个C.29个D.30个8.如图,用四种不同的颜色给图中的,,,,,,A B C D E F G七个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法有( )A.192B.336C.600D.以上答案均不对二、填空题（共4题，每题5分，共20分）9.如果执行如图所示的程序框图,输入正整数7,3,n m==那么输出的p等于10.某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计,得到如图所示的样本茎叶图,则该样本的中位数是．11.把半椭圆221(0)43x yx+=≥与圆弧22(1)4(0)x y x-+=<合成的曲线称作“曲圆”,其中F为半椭圆的右焦点,A是圆弧22(1)4(0)x y x-+=<与x轴的交点,过点F的直线交“曲圆”于,P Q两点,则APQ∆的周长取值范围为12.4名大学生毕业到3个用人单位应聘,若每个单位至少录用其中一人,则不同的录用情况的种数是成都七中高2020届高二数学(文科)练习姓名：____________; 成绩:_____________一、选择题（共8题，每题5分，共40分）二、填空题（共4题，每题5分，共20分）9、； 10、； 11、； 12、三、解答题（共3题，第13~14题各12分，第15题16分，共40分）13.(1)作出这些数据的频率分布直方图；(2)利用频率分布直方图估计这种产品质量指标值的平均数 及中位数；(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品 符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的 80%”的规定?14.为了分析某个高三学生的学习状态.现对他前5次考试的数学成绩x ,物理成绩y 进行分析.下面是该生前5次考试的成绩．附()()()121ˆˆˆ,.niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑22121ˆ()1.()niii nii y yR y y ==-=--∑∑(1)已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的,求物理成绩y 与数学成绩x 的回归直线方程； (2)我们常用2R 来刻画回归的效果,其中2R 越接近于1,表示回归效果越好.求2.R(3)已知第6次考试该生的数学成绩达到132,请你估计第6次考试他的物理成绩大约是多少?15.如图,椭圆221:1,32x y C +=抛物线22:2(0),C y px p =>过2C 上一点P (异于原点O )作2C 的切线l 交1C 于,A B 两点,切线l 交x 轴于点.Q(1)若点P 的横坐标为1,且111,||||2AQ BQ -=求p 的值. (2)求OAB ∆的面积的最大值,并求证当OAB ∆面积取最大值时,对任意的0,p >直线l 均与一个定椭圆相切.成都七中高2020届高二数学(文科)练习(参考答案)一、选择题（共8题，每题5分，共40分）二、填空题（共4题，每题5分，共20分）9、210； 10、 46 ； 11、(6,8] ； 12、60 三、解答题（共3题，第13~14题各12分，第15题16分，共40分） 13. (1)如图(2) 这种产品质量指标值的平均数为100,中位数为1895.19(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.380.220.080.680.8.++=<故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的 产品至少要占全部产品的80%”的规定.14(1)()()()5152133ˆˆˆ,8012010.44iii i i x xy y bay bx x x ==--===-=-⨯=--∑∑于是回归直线方程为3ˆ10.4y x =-(2)215.16R =(3)当132,x =则ˆ89.y= 15(1)点(1,P 由对称性不妨设(1P于是,l px p =+于是(1,0).Q -所以点Q 是1C 的左焦点. 设.AQO α∠=焦准距为 2.m =类比抛物线的焦半径算法可得||,||.11cos cos m m AQ BQ eeαα==-+于是112cos 1cos ,||||2AQ BQ m αα-====所以 6.p = (2)设00(,).P x y 于是00:.l y y px px =+于是0(,0).Qx -令0,yt p=则0:.l x ty x =-联立222220001(23)4260.32x y t y x ty x x ty x⎧+=⎪⇒+-+-=⎨⎪=-⎩设1122(,),(,).A x y B x y 22024(23).t x ∆=-+ 120211||||||2223OAB S OQ y y x t ∆=-==+22200(23)x t x +-+≤= 当且仅当220232t x +=取等,且满足0.∆> 所以OAB ∆的面积的最大值为2 注意到220232t x +=即为2202320.t x +-=这个等式类似于22024(23).t x ∆=-+于是猜想椭圆221.322x y +=联立2201322x y x ty x⎧+=⎪⎨⎪=-⎩验证0'∆=即可.。
2019-2020学年四川省成都七中高二(下)期中数学试卷(文科)(含答案解析)
2019-2020学年四川省成都七中高二（下）期中数学试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数，则A. B. C. D.2.在空间直角坐标系中，点关于yOz平面对称的点的坐标是A. 1，B.C. 1，D.3.在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程是A. B. C. D.4.如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是A. 在区间内是增函数B. 在内是减函数C. 在内是增函数D. 在时取到极小值5.函数在上取得最大值时，x的值为A. 0B.C.D.6.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度支持与不支持的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算，则所得到的统计学结论是：有________7.成都七中某社团小组需要自制实验器材，要把一段长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是A. B. C. D.8.若在上存在单调递增区间，则a的取值范围是A. B. C. D.9.两动直线与的交点轨迹是A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分10.我国古代数学名著九章算术中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“”既代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来，类似的不难得到A. B. C. D.11.已知函数的导数满足对恒成立，且实数x，y满足，则下列关系式恒成立的是A. B.C. D.12.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.为虚数单位的虚部是______．14.已知，则函数的值域是______．15.已知曲线C：为参数且若点P在曲线C上运动，点Q为直线l：上的动点，则的最小值为______．16.已知函数若方程恰有两个实根，则实数m的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数．Ⅰ求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；Ⅱ求过点作曲线的切线方程．18.如图，五面体中，底面是正三角形ABC，四边形是矩形，二面角是直二面角．Ⅰ点D在AC上运动，当点D在何处时，有平面；Ⅱ求点B到平面的距离．19.已知直线l的参数方程为为参数，，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．求圆C的直角坐标方程；若直线l与圆C相交于A、B两点，且，求的值．20.某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，如表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款年底余额，如表1：年份x20152016201720182019储蓄存款千亿元567810表1为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，，得到如表2：时间代号t12345z01235Ⅰ求z关于t的线性回归方程；Ⅱ通过Ⅰ中的方程，求出y关于x的回归方程；Ⅲ用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？附：对于线性回归方程，其中，21.已知椭圆P的中心O在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点，离心率为求椭圆P的方程；是否存在过点的直线l交椭圆P于点R，T，且满足若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．22.已知函数．求函数的单调区间；若函数有两个零点，，，证明．答案和解析1.【答案】B{解析}解：复数，则．故选：B．利用复数的共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】B{解析}解：在空间直角坐标系中，点关于yOz平面对称的点的坐标是．故选：B．在空间直角坐标系中，点b，关于yOz平面对称的点的坐标是b，．本题考查点关于yOz平面对称的点的坐标的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D{解析}解：点在直角坐标系下的坐标为，即过点且与x轴平行的直线方程为．即为．故选：D．可将极坐标系下的坐标转化成直角坐标处理，再将结果转化成极坐标方程．极坐标是高中选修的内容，站在高考的角度，对于这方面知识的考查并不难，大多比较基础，学生只要掌握课本中基本的转换，方程，习题等就可以解决绝不多数问题．4.【答案】C{解析}【分析】根据函数单调性，极值和导数之间的关系进行判断．本题主要考查函数单调性极值和导数的关系，根据图象确定函数的单调性是解决本题的关键．【解答】解：由图象知当或时，，函数为增函数，当或时，，函数为减函数，则当或函数取得极小值，在时函数取得极大值，故A，B，D错误，正确的是C，故选C．5.【答案】B{解析}解：解得：当时，，函数在上单调递增当时，，函数在上单调递减，函数在上取得最大值时故选B．先求导函数，令导数等于0求出满足条件的x，然后讨论导数符号，从而求出何时函数取最大值．本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及利用导数研究函数的最值，属于中档题．6.【答案】C{解析}解：，有的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”，故选：C．根据K的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．7.【答案】D{解析}解：设一段长x，则另一段为，所以两个正三角形面积之和，则时，函数取得最小值，故选：D．设出两段铁丝的长度，由三角形面积公式建立函数关系，结合二次函数性质易求最小值本题考查二次函数应用题，属于基础题．8.【答案】D{解析}解：若在上存在单调递增区间，只需在上有解即可．由已知得，该函数开口向下，对称轴为，故在上递减，所以，解得．故选：D．在上存在单调递增区间，即在上有解，因为的对称轴为，所以在上递减，所以只需即可，由此求出a的范围．已知函数在某区间上存在单调增区间或减区间时，一般转化为导函数在该区间上大于零或小于零有解的问题．属于中档题．9.【答案】A{解析}解：由，得，由，得，则整理得：．两动直线与的交点轨迹是椭圆的一部分．故选：A．把两直线分离参数k，列等式求得关于x，y的函数关系式，则答案可求．本题考查轨迹方程的求法，训练了利用消参法求曲线的轨迹方程，是基础题．10.【答案】C{解析}解：可以令，由解的其值为，故选：C．由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解舍去负根，可得要求的式子本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道基础题11.【答案】D{解析}解：令，则对恒成立，在时单调递增．又由实数x，y满足，即，，故A、B选项错误；令，则，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，故C选项错误；令，则，此时单调递增，又，，，即，故D选项正确．故选：D．先构造函数，对其求导，利用题设条件判断其单调性，得出再逐个选项进行研究，选出正确答案即可．本题主要考查导数在抽象函数单调性中的应用，属于基础题．12.【答案】A{解析}解：，所以在上恒成立，等价于在上恒成立，因为时，，所以只需在上递减，即，恒成立，即时，恒成立，，所以，故选：A．问题等价于在上恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．13.【答案】{解析}解：，的虚部是．故答案为：．直接利用复数的基本概念得答案．本题考查复数的基本概念，是基础题．14.【答案】{解析}解：因为函数在R上为增函数，且，又，，所以值域为故填：判断出函数单调性，即可求解．本题主要考查了函数单调性和值域问题，考查了学生运算能力，属于基础题．15.【答案】{解析}解：曲线C：为参数且转换为直角坐标方程为：，设点，到直线的距离，由于，所以，故当时，．故答案为：首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．16.【答案】{解析}解：时，，易知，而，所以在上递减，故，故在上递增，且，当时，．时，，令，得；得；故在上递增，在递减，故时，；时，；时，．由题意，若方程恰有两个实根，只需与恰有两个交点，同一坐标系画出它们的图象如下：如图所示，当直线在图示，位置时，与有两个交点，所以m的范围是：．故答案为：．研究与时，的单调性、极值情况，画出图象，然后研究与恰有两个交点时a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性、极值等性质，进而结合图象研究函数的零点问题．属于中档题．17.【答案】解：Ⅰ函数的导数为，曲线在点处的切线的斜率为，则切线的方程为，即为，令，可得；，可得．则切线与坐标轴围成的三角形的面积为；Ⅱ由和，可得，即A不在的图象上，可设切点为，则切线的斜率为，切线的方程为，则，解得或，故切线的方程为或．{解析}Ⅰ求得的导数，可得曲线在处切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，分别令，，求得切线与坐标轴的交点，再由三角形的面积公式，计算可得所求值；Ⅱ判断A不在曲线上，设切点为，由切点既在曲线上，又在切线上，结合两点的斜率公式，可得m，n的方程组，解方程可得m，n的值，进而得到所求切线方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，注意区分在某点处的切线和过某点的切线，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：Ⅰ当D为AC中点时，平面，证明如下：连结，交于点O，连结DO，四边形是矩形，为中点，又D为AC中点，，平面，平面，平面．Ⅱ解：设点B到平面的距离为d，，A到平面的距离为：，由，知：，解得点B到平面的距离．{解析}Ⅰ当D为AC中点时，连结，交于点O，连结DO，推导出，由此能证明平面．Ⅱ设点B到平面的距离为d，由，能求出点B到平面的距离．本题考查满足线线平行的点的位置的判断与求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：圆C的极坐标方程为．圆C的直角坐标方程为．将直线l的参数方程为为参数，代入到圆C的直角坐标方程中，得到：，直线l与圆C相交于A、B两点，且，，解得或．{解析}由圆C的极坐标方程能求出圆C的直角坐标方程．将直线l的参数方程代入到圆C的直角坐标方程，得到：，由此利用直线l与圆C相交于A、B两点，且，能求出的值．本题考查圆的直角坐标方程、角的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：Ⅰ，，，，，，所以．Ⅱ将，，代入，得，即．Ⅲ因为，所以预测到2022年底，该地储蓄额可达千亿元．{解析}由表中数据计算平均数和回归系数，即可写出z关于t的线性回归方程；把，代入中得到y关于x的回归方程；由知计算时y的值即可．本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了计算能力与分析问题解决问题的能力，是中档题．21.【答案】解：设椭圆P的方程为，由题意得，，，，，，椭圆P的方程为：．假设存在满足题意的直线易知当直线的斜率不存在时，，不满足题意．故设直线l的斜率为k，，，，由可得，由，解得．，，，，，由、解得，直线l的方程为，故存在直线l：，或，满足题意．{解析}设椭圆P的方程为，由椭圆经过点，离心率为，求得a和b的值，从而求得椭圆P的方程．由可得和的值，可得的值，根据，求出，从而得到直线l的方程．本题考查求椭圆的标准方程的方法，直线和圆锥曲线的位置关系，两个向量的数量积公式，求出和的值，是解题的关键．22.【答案】解：，当时，由于，故，，所以，的单调递减区间为，当时，由，得，在区间上，，在区间上，．所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，综上，当时，的单调递减区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．函数有两个零点分别为，，不妨设，则，，，要证：，只需证：，只需证：，只需证：，只需证：，只需证：，令，即证，设，则，即函数在单调递减，则，即得．{解析}求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；表示出a，要证：，只需证：，令，即证，设，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查不等式的证明，是一道综合题．。
成都七中高2020届高二数学下学期半期(文科)考试试卷答案
成都七中2019～2020学年度下期2021届高二半期考试数学试卷（文科）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．12.解：由()ln 2f x m x x =-，故()2x x f e mx e =-由不等式()12x f x mx e +>-在()0,x ∈+∞上恒成立，则()()1x f x f e +>在()0,x ∈+∞上恒成立.11xx e <+<Q ()ln 2f x m x x ∴=-在()1,x ∈+∞上单调递减()20m f x x'∴=-≤对()1,x ∈+∞恒成立 2m x ∴≤对()1,x ∈+∞恒成立 2m ∴≤二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.12 14.21,2e ⎡⎤+⎣⎦说明：不写为集合的形式扣2分 15. 16． (]1,0e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭16.解：数形结合时注意渐近线三、解答题：（本大题共6小题，共70分.其中17题10分，18—22题每小题12分） 17.解：（Ⅰ）由函数311()32f x x =+，则2()f x x '=． 曲线()y f x =在点51,6P ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线斜率()11,k f '==故切线方程为51,6610.6y x x y -=-∴--= 故所求三角形的面积1111.26672S =⨯⨯= ………5分（Ⅱ）由点12,2A ⎛⎫⎪⎝⎭及311()32f x x =+，则811(2)322f =+≠，不妨设切点为()00,P x y ，则()()20000300000003111193222122k f x x x x y x y y y k x ⎧'⎪====⎧⎧⎪⎪⎪⎪=+⇒⎨⎨⎨==⎪⎪⎪⎩⎩⎪-=-⎪⎩或 …………8分故切线方程为1182350.2y x y =--=或 …………10分（漏解扣2分）18. 解：（Ⅰ）当D 为AC 中点时,有//1AB 平面1BDC ………2分 连结1B C 交1BC 于O ,连结DO∵四边形11BCC B 是矩形 ∴O 为1B C 中点又D 为AC 中点,从而1//DO AB ………3分 ∵1AB ⊄平面1BDC ,DO ⊂平面1BDC∴//1AB 平面1BDC ………6分 （Ⅱ）设点B 到平面11AB C 的距离为d ，则由1111B AB C A BB C V V --=知1111223232d ⨯⨯=⨯⨯⨯5d =. …………12分19.解：（Ⅰ）由圆C 的极坐标方程为212cos 4sin ρρθρθ+=+，知圆C 的直角坐标方程为222410x y x y +--+=． ……………………4分 （Ⅱ）解法1：将直线l 的参数方程代入到圆C 的直角坐标方程222410x y x y +--+=中，有24sin 0t t α-=． 设A B 、两点对应的参数分别为12,t t ，则12124sin 0t t t t α+=⎧⎨=⎩． ……………………8分由12124sin AB t t t t α=-==+==，得2sin .33ππααα=⇒==或 ……………………12分 解法2：化为直角坐标方程求解．20.解 （Ⅰ）t －＝3，z －＝2.2，∑5i ＝1t i z i ＝45，∑5i ＝1t 2i ＝55，b ^＝45－5×3×2.255－5×9＝1.2，a ^＝z －－b ^t －＝2.2－3×1.2＝－1.4，所以z ^＝1.2t －1.4. …………4分 （Ⅱ）将t ＝x －2 014，z ＝y －5，代入z ^＝1.2t －1.4，得y －5＝1.2(x －2 014)－1.4，即y ^＝1.2x －2 413.2. …………8分 （III ）因为y ^＝1.2×2 022－2 413.2＝13.2，所以预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达13.2千亿元. …………12分21.解 （Ⅰ）设椭圆P 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得b ＝23，e ＝c a ＝12，∴a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，∴c ＝2，a ＝4，∴椭圆P 的方程为x 216＋y 212＝1. …………4分（Ⅱ）假设存在满足题意的直线l ，易知当直线l 的斜率不存在时，OR →·OT →<0，不满足题意. 故可设直线l 的方程为y ＝kx －4，R (x 1，y 1)，T (x 2，y 2). ∵OR →·OT →＝167，∴x 1x 2＋y 1y 2＝167.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，x 216＋y 212＝1得(3＋4k 2)x 2－32kx ＋16＝0， 由Δ>0得(－32k )2－64(3＋4k 2)>0，解得k 2>14.①（没考虑的扣1分）…………6分∴x 1＋x 2＝32k 3＋4k 2，x 1x 2＝163＋4k 2， ∴y 1y 2＝(kx 1－4)(kx 2－4)＝k 2x 1x 2－4k (x 1＋x 2)＋16，故x 1x 2＋y 1y 2＝163＋4k 2＋16k 23＋4k 2－128k 23＋4k 2＋16＝167，解得k 2＝1.② …………10分 由①②解得k ＝±1，∴直线l 的方程为y ＝±x －4.故存在直线l ：x ＋y ＋4＝0或x －y －4＝0满足题意. …………12分22.解：（Ⅰ）由已知得()()110ax f x a x x x-'=-=>， ①当0a ≤时，()0f x '<， ()f x ∴在()0,+∞上单调递减． ………1分 ②当0a >时，令()=0f x '，则1x a=()10,0x f x a ⎛⎫'∴∈< ⎪⎝⎭当时，()f x ∴在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；()1,0x f x a ⎛⎫'∴∈+∞> ⎪⎝⎭当时，()f x ∴在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． ………4分综上所述，①当0a ≤时，函数()f x 的单调递减区间是()0,+∞，无单调递增区间； ②当0a >时，函数()f x 的单调递减区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. ………5分 （Ⅱ）证明:由函数()f x 有两个零点12,x x ，不妨设12x x <,则11ln 0,x ax -=22ln 0,x ax -=()2121ln ln ,x x a x x -=- ………6分 要证12112ln ln x x +>， 只需证12112a x x +>，即证1212+,2x x a x x >只需证12211221+ln ln ,2x x x x x x x x ->- ………7分 只需证22212121ln ,2x x xx x x ->只需证2211121ln ,2x x x x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭令211x t x =>，即证11ln ,2t t t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭设()11ln ,12t t t t t ϕ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭， 则()()2222121022t t t t t tϕ----'==< ………10分 即函数()t ϕ在()1,+∞上单调递减，则()()10t ϕϕ<=，即得12112ln ln x x +>成立. ……12分。
四川省成都七中2020-2021学年高二下学期入学数学(文科)试题
【全国百强校】四川省成都七中2020-2021学年高二下学期入学数学（文科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．抛物线24y x =的准线方程是 A ．1x =-B ．1x =C ．2x =-D ．2x =2．双曲线221412x y -=的焦距为( )A ．4B ．8C ．D ．3．过点()2,1的直线中被圆22(1)(2)5x y -++=截得的弦长最大的直线方程是()A ．350x y --=B ．370x y +-=C ．350x y +-=D ．350x y -+=4．已知p:"a =√2"，q:"直线x +y =0与圆x 2+(y −a)2=1相切"，则p 是q 的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件. C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件5．为了测试小班教学的实践效果，王老师对A 、B 两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A 、B 两班学生的平均成绩分别为A x ，B x ，A 、B 两班学生成绩的方差分别为2A s ，2B s ，则观察茎叶图可知A ．A x ＜B x ，2A s ＜2B s B ．A x ＞B x ，2A s ＜2B sC ．A x ＜B x ，2A s ＞2B sD ．A x ＞B x ，2A s ＞2B s6．某高中在校学生2000人.为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了跑步和登山比赛活动.每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如表：其中a ：b ：2c =：3：5，全校参与登山的人数占总人数的35，为了了解学生对本次活动的满意程度，现用分层抽样方式从中抽取一个100个人的样本进行调查，则高二年级参与跑步的学生中应抽取( ) A ．6人B ．12人C ．18人D ．24人7．在区间[]0,2π上随机取一个数x ，则事件“sin 0x ≤”发生的概率为( ) A ．14B ．13C ．12D ．238．如图是为了求出满足321000->n n 的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A ．1000>A 和1=+n nB ．1000>A 和2=+n nC ．1000≤A 和1=+n nD ．1000≤A 和2=+n n9．双曲线221916x y -=的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行于双曲线的一条渐近线的直线l ，则点A 到直线l 的距离为( ) A ．815B ．325C ．3215D ．8510．已知椭圆的左焦点为1F ，有一质点A 从1F 处以速度v 开始沿直线运动，经椭圆内壁反射(无论经过几次反射速率始终保持不变)，若质点第一次回到1F 时，它所用的最长时间是最短时间的7倍，则椭圆的离心率e 为( ) A ．23B ．34C ．35D ．5711．已知点E 是抛物线2:2(0)C y px p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点P 在抛物线C 上.在EFP ∆中，若sin sin EFP FEP μ∠=⋅∠，则μ的最大值为（ ） A．2BCD12．已知椭圆222:1x M y a+=，圆222:6C x y a +=-在第一象限有公共点P ，设圆C在点P 处的切线斜率为1k ，椭圆M 在点P 处的切线斜率为2k ，则12k k 的取值范围为（ ） A ．(1,6) B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)二、填空题13．若椭圆2213616x y +=的焦点分别是1F ，2F ，点P 是C 上任意一点，则12PF PF +=______．14．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.15．设双曲线22221(,0)y x a b a b -=>的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线2x =的焦点相同，则此双曲线的标准方程为______．16．已知直线l 过椭圆C ：2212x y +=的左焦点F 且交椭圆C 于A 、B 两点，O 为坐标原点.若0OA OB ⋅=，过点O 作直线AB 的垂线，垂足为H ，则点H 为______．三、解答题17．命题p ：方程22124x y m m +=+-表示椭圆；命题q ：双曲线C ：222(0)4x y l m m -=>的虚轴长大于实轴长．()1当简单命题p 为真命题时，求实数m 的取值范围； ()2当复合命题“p q ∧”为真命题时，求实数m 的取值范围．18．过抛物线28y x =的焦点作倾斜角为45的直线l ，交抛物线于A 、B 两点.求：()1被抛物线截得的弦长AB ；()2线段AB 的中点到直线20x +=的距离．19．2021年的流感来得要比往年更猛烈一些.据四川电视台4SCTV -“新闻现场”播报，近日四川省人民医院一天的最高接诊量超过了一万四千人，成都市妇女儿童中心医院接诊量每天都在九千人次以上.这些浩浩荡荡的看病大军中，有不少人都是因为感冒来的医院.某课外兴趣小组趁着寒假假期空闲，欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到成都市气象局与跳伞塔社区医院抄录了去年1到6月每月20日的昼夜温差情况与患感冒就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．()1若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2月至5月份的数据，求出y 关于x的线性回归方程y bx a =+；()2若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？(参考公式：b ()1122211()()nni i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy x x x nx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-)20．已知圆C ：22(1)(2)2x y -+-=，点P 坐标为()2,1-，过点P 作圆C 的切线，切点为A ，B ．()1求直线PA ，PB 的方程； ()2求过P 点的圆的切线长； ()3求直线AB 的方程．21．某电视台为宣传本市，随机对本市内1565岁的人群抽取了n 人，回答问题“本市内著名旅游景点有哪些” ，统计结果如图表所示.（1）分别求出,,,,n a b x y 的值；（2）根据频率分布直方图估计这组数据的中位数(保留小数点后两位)和平均数； （3）若第1组回答正确的人员中，有2名女性，其余为男性，现从中随机抽取2人，求至少抽中1名女性的概率.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2P ，两个焦点分别为12,F F .（1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，若2AF B ∆，求以2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程.参考答案1．A 【详解】试题分析：抛物线24y x =的准线方程是12px =-=-. 故选：A考点：抛物线的基本性质 2．B 【解析】 【分析】利用双曲线的标准方程及其性质即可得出． 【详解】由双曲线221412x y -=，可得4c ==，故其焦距28c =．故选：B ． 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及其性质，属于基础题． 3．A 【解析】 【分析】由题意直线经过圆心时弦长最大，由此能求出结果． 【详解】∵过点()2,1的直线中被圆22(1)(2)5x y -++=截得的弦长最大的直线方程经过圆心，∴其直线方程为过点()2,1和圆心()1,2-的直线，∴其方程为：212121y x ++=--， 整理，得350x y --=． 故选：A ． 【点睛】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与圆的位置关系的合理运用． 4．A 【解析】当p:"a =√2"时，q:"直线x +y =0与圆x 2+(y −a)2=1相切成立，而当q:"直线x +y =0与圆x 2+(y −a)2=1相切时，a =±√2，所以p:"a =√2"不一定成立，所以p 是q 的充分不必要条件。