管理运筹学教学整数规划
运筹学中的整数规划问题分析
运筹学中的整数规划问题分析运筹学是运用数学和定量分析方法，通过对系统的建模和优化，来解决实际问题的学科。
其中整数规划是运筹学中的一个重要分支，它在许多实际情况中得到广泛应用。
本文将对整数规划问题进行分析，并探讨其解决方法与应用领域。
一、整数规划问题定义及特点整数规划是一类线性规划问题的扩展，其目标函数和约束条件中的变量取值限定为整数。
通常，整数规划问题可以形式化表示为：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t.a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ∈ Z其中，Z为目标函数值，x₁, x₂, ..., xₙ为待求解的整数变量，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右端常数。
整数规划问题的特点在于整数约束条件的引入，使其解空间变得有限，增加了问题的复杂性。
与线性规划问题相比，整数规划问题更接近实际情况，能够更准确地描述和解决很多实际问题。
二、整数规划问题的解决方法解决整数规划问题的方法主要有以下几种：穷举法、剪枝法、分支定界法、动态规划法等。
具体使用哪种方法需要根据问题的规模和特点来确定。
1. 穷举法是最简单直观的方法，通过枚举搜索整数解空间中的每一个可能解来寻找最优解。
然而，由于整数解空间往往非常大，这种方法在实际问题中往往是不可行的。
2. 剪枝法是一种通过对解空间进行剪枝操作，减少搜索空间的方法。
通过合理选择剪枝条件，可以避免对明显无解的解空间进行搜索，从而提高求解效率。
3. 分支定界法是一种将整数规划问题不断分解为子问题，并对子问题进行界定的方法。
通过不断缩小问题规模，并计算上下界确定最优解的位置，可以有效地求解整数规划问题。
管理运筹学讲义整数规划
管理运筹学讲义整数规划整数规划是管理运筹学中一种重要的优化技术，它在实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍整数规划的基本概念、建模方法以及解决算法，并通过实例展示其在实际问题中的应用。
一、整数规划的基本概念整数规划是线性规划的一种扩展形式，其决策变量被限制为整数。
在实际问题中，往往存在某些变量只能取整数值的约束条件，这时就需要使用整数规划方法进行求解。
与线性规划相比，整数规划的求解难度更大，但可以提供更精确的结果。
二、整数规划的建模方法在进行整数规划建模时，需要确定决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是问题中需要优化的变量，其取值决定了问题的解。
在整数规划中，决策变量通常表示为整数。
2. 目标函数目标函数是整数规划问题中需要最小化或最大化的目标。
它可以是线性函数或非线性函数，但在整数规划中，通常只考虑线性目标函数。
3. 约束条件约束条件是问题的限制条件，限制了决策变量的取值范围。
在整数规划中，约束条件可以是线性等式或线性不等式。
三、整数规划的解决算法解决整数规划问题的常见算法包括割平面法、分支定界法和动态规划法等。
这些算法通过不断对问题进行优化，逐步逼近最优解。
1. 割平面法割平面法是一种通过添加额外的约束条件来逼近最优解的方法。
它首先求解一个松弛问题，然后根据松弛问题的解加入新的约束条件，直到找到最优解。
2. 分支定界法分支定界法是一种将整数规划问题划分为多个子问题，并对每个子问题进行求解的方法。
它通过不断分支和剪枝来找到最优解。
3. 动态规划法动态规划法是一种通过将问题分解为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原始问题的方法。
它采用自底向上的求解方式，将所有可能的决策情况进行组合，得到最优解。
四、整数规划在实际问题中的应用整数规划在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一个应用整数规划解决的实际问题示例：某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
管理运筹学第四章整数规划与指派问题 ppt课件
资源
小号容器
金属板（张）
2
劳动力（个）
2
机时（小时）
1
中号容器 大号容器 资源拥有量
4
8
500
3
4
300
2
3
100
利润
4
5
6
11
解：设x1 , x2 , x3分别表示小、中、大号容器的生产数量， M为很大的正数，z表示总利润
引入逻 辑变量
yj 10,,
xj 0 xj 0
j1,2,3
m ax z 4 x1 5 x2 6 x3 100 y1 150 y2 200 y3
32
分枝的方法
max z CX
AX b
s.t.
X
0,
X为整数
m ax z CX
AX b
s .t . x r b r
X
0,
X为
整
数
m ax z CX
AX b
s .t . x r b r
X
0, X 为 整 数
33
定界的方法
当前得到的最好整数解的目标函数值 分枝后计算放松的线性规划的最优解
.t
.
X
0
如果最优解x
i中某个分量
x
0 i
非整
max z CX
AX b
s.t
.
X 0
X为整数向量
xi [ xi0 ]
max z CX
AX b
s.t
.
X 0
X为整数向量
xi [ xi0 ] 1
26
分枝定界法的两个要点：分枝和定界 ☺如何定界？ • 整数规划ILP的最优解不会优于松弛LP的最优解； • 对极大化问题来说，松弛 LP 的目标函数最优值是原
《管理运筹学》03- 整数规划
ppt课件整数规划整数规划
3
3.1 整数规划问题及其建模
例3-1背包问题
max z= 17x1 +72x +35x
s.t.
10x1 2 +42x 3 +20x ≤50
x1, 2 x2,
3 x3
≥0
x1,
x2,
x3为整数
线性规划最优解为: x1=0，x2=0，x3=2.5
而整数规划的最优解是 x1=1，x2=0，x3=2
T
5
ppt课件整数规划整数规划
22
-2x2+3x1+5x3≥5 ◎
点
条件
◎
①
②
③
④
满足条件？ 是（T）否（F）
Z
（0 1 0） 3
F
（0 1 1） 8
0
2
1
5
T
8
-2x2+3x1+5x3≥8 ◎
点
条件
◎
①
②
③
④
满足条件？ 是（T）否（F）
Z
（1 0 0） -2
F
（1 0 1） 3
F
（1 1 0） 1
工件
A
B
C
D
工人
效
甲
14
9
4
15
率
乙
11
7
9
10
矩
丙
13
2
10
5
阵
丁
17
9
15
13
ppt课件整数规划整数规划
24
设xij=1表示第 i人送j货，否则xij=0
上述问题的模型为：
44
《管理运筹学》演示(整数规划)
解：先不考虑整数约束，求相应的线性规划的最优解，用单纯 形法求解，标准型和初始单纯形表如下： 1 1 0 0
C XB B
0 0
b
1 4
x 1
-1 3 1
x2
1 1 1
x3
1 0 0
x4
0 1 0
σj
x3 x4
⋮
经过若干步迭代后，得到如下最优表及最优解：
cj
1
1
0
0
C XB B
1 1
b
3/4 7/4 -5/2
x4
1/3 0 -1 -1/3
x5
1/12 0 -1/3 -1/6
x 1 x2
σj
x3
整数最优解： x1=1 , x2=1 , x3=1 , x4= x5=0 , max
z =2
例：用隐枚举法求0 例：用隐枚举法求0－1规划
3 x1 − 2 x2 + 5 x3 ≥ 3 (0) x + 2x − x ≤ 2 x1 + 2 x2 − x3 ≤ 2 () 1 2 3 1 x + 4x + x ≤ 4 (2) 2 3 x1 + 4 x2 + x3 ≤ 4 1 ⇒ (3 ) x1 + x2 ≤ 3 x1 + x2 ≤ 3 4 x + x ≤ 6 (4) 3 4 x2 + x3 ≤ 6 2 x1 , x2 , x3 = 0, 或1 x1 , x2 , x3 = 0, 或1 解：先找出一个可行解，显然， x1 = 1, x2 = 0, x3 = 0 满足约束
管理运筹学讲义 第4章-整数规划(4学时)
• 要求部分或全部决策变量是整数的线性规划问题，则称 为整数规划(Integer Programming)。
当要求全部决策变量的取值都为非负整数的，则称为纯整数规 划或全整数规划(Pure IP) ； 仅要求部分决策变量的取值为整数，而另一部分不一定要求取 整数，则称为混合整数规划(Mixed IP)
cj CB
2 3 λj 3 2 0 0
XB x2 x1
x1
0 1 0
x2
1 0 0
x3
1/2 －1/4 －1/4
x4
－1/2 3/4 －5/4
b
5/2 13/4
最优解X=(13/4，5/2，0，0)T，x1 、x2不满足整数要求，选择x2行进行分割： 5 1 1 2 2 3 2 4 2 1 1 1 2 4 2 3 2 4 2
10 OM:SM
第一节 整数规划问题引言
三、 整数规划解的特点
3、完全枚举法
从图4-2可知，整数规划问题的可行解集是相应的线性规划 问题的可行域内的整数格子点，它是一个有限集。显然，我们 还有另一种方法，即将所有的可行解依次代入目标函数，比较 所得的目标函数的大小，从而得到最优解。这个方法称为完全 枚举法。如上例有整数可行解有７个，所以得到最优解（ 0， 2），最优值为10。 对于决策变量较少，可行的整数解又较少时，这种穷举法 有时是可行的，并且也是有效的。但对于大型的整数规划问题， 可行的整数解数量很多，用穷举法求解是不可能的。因此，如 何巧妙构造枚举过程是必须研究的问题，目前用得较多的是将 完全枚举法变成部分枚举法。常用的求解整数规划的方法有分 枝定界法和割平面法，对于特别的0-1规划问题的求解，可以采 用隐枚举法和匈牙利法。下面分别介绍。
运筹整数规划素材
OPERATIONS RESEARCH
2024/10/20
1
第四章 整数规划与分配问题
整数规划的有关概念及特点 整数规划的应用 指派问题及匈牙利解法 整数规划的求解方法：分枝定界法、割平面法
2024/10/20
2
§1 整数规划的有关概念及特点
§1.1 概念
整数规划： 要求决策变量取整数值的规划问题。 （线性整数规划、非线性整数规划等）
解：设 xij 表示学生i在周j的值班时间。
0, 学生i在周j不值班 yij 1, 学生i在周j值班
a表ij 示学生i在周j的最多可值班时间。
65
则目标函数：
min z
ci x ij
i1 j1
2024/10/20
12
约 (1) 束 条 (2) 件
(3)
(4)
(5)
(6)
6
xij 14,
15
x6 400
x5 x6 850
x4 x5 x6 1750
x3 x4 x5 x6 2450 x2 x3 x4 x5 x6 3000
x1 x2 x3 x4 x5 x6 3500 x j 0, j 1,...6
2024/10/20
16
例3（固定成本问题） 高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器， 所用资源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个 容器所需的各种资源的数量如表所示。每种容器售 出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、6万元， 可使用的金属板有500吨，劳动力有300人/月，机 器有100台/月，此外不管每种容器制造的数量是多 少，都要支付一笔固定的费用：小号是l00万元， 中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制定一 个生产计划，使获得的利润为最大。
运筹学中的线性规划与整数规划
运筹学中的线性规划与整数规划在运筹学中，线性规划和整数规划是两个常用且重要的数学模型。
它们被广泛应用于资源分配、生产调度、物流管理等问题的决策过程中。
本文将介绍线性规划和整数规划的基本概念、数学模型以及求解方法。
一、线性规划线性规划是一种通过线性关系来描述问题的数学模型。
它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最优的决策变量取值。
线性规划模型一般可以表示为如下形式：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t. a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z表示目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ表示目标函数的系数，x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁,b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数。
线性规划的求解方法主要有两类：图形法和单纯形法。
图形法适用于二维问题，通过绘制目标函数和约束条件在坐标系中的图形，找到交点来确定最优解。
而单纯形法适用于多维问题，通过迭代计算，逐步接近最优解。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种特殊情况，它要求决策变量的取值必须为整数。
整数规划模型可以表示为如下形式：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t. a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ∈ Z其中，Z表示目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ表示目标函数的系数，x₁, x₂, ..., xₙ为整数决策变量，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数。
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x2 6及x2 7，显然x2 7不可行，得到线性规划
A 10
x2 7不可行 B
maxZ 4x1 3x2
1.2x1 0.8x2 10
LP22 :
2x1 2.5x2 25 x1 4，x2 7
x1 , x2 0
6
LP21:X=(4.33,6),Z21=35.33
LP1
LP21
环
0’’ 1 .2 .3 .4 足 值
5 (1,0,0) -2
no
6 (1,0,1) 3
no
7 (1,1,0) 1
no
8 (1,1,1) 6
no
最优解(X2,X1,X3) =（0，1，1） Z=8 实际只计算了16次
分配问题与匈牙利法
• 指派问题的数学模型的标准形式：
设n 个人被分配去做n 件工作，规定每个人只做一件工作， 每件工作只有一个人去做。已知第i个人去做第j 件工作的效率 （ 时间或费用）为Cij(i=1.2…n;j=1.2…n)并假设Cij ≥0。问应 如何分配才能使总效率（ 时间或费用）最高？
设决策变量
1 指派第i个人做第j件事 xij 0 不指派第i个人做第j件事 (i, j 1,2,...,n)
分配问题与匈牙利法
• 指派问题的数学模型为：
nn
minZ
c x ij ij
i1 j1
n
xij 1
(i 1.2. .n)
j1
n
xij 1
( j 1.2. .n)
i1
x
i
j
取0或1(i
,
j
1.2.
.n)
分配问题与匈牙利法
•克尼格定理 :
例 求下列问题：
Max Z=3x1- 2x2 + 5x3
s.t. x1+2x2 - x3 2 (1)
x1+4x2 + x3 4 (2)
x1 + x2 3 (3)
4x2 + x3 6 (4)
xj 0或1
(5)
解： 容易看出(1,0,0)满足约束 条件，对应Z=3，对Max Z来说， 希望Z 3,所以增加约束条件：
x2≤6
x2≥7
LP21:X=(4.33,6) Z21=35.33
LP22 无可行解
x1≤4
x1≥5
LP211:X=(4,6) Z211=34
LP212:X=(5,5) Z212=35
小结
学习要点： • 掌握一般整数规划问题概念及模型结构 • 掌握分支定界法原理 • 能够用分支定界法求解一般整数规划问题
循 (X2,X1,X3) s.t. s.t. s.t s.t s.t 满 Z
环
0’ 1 .2 .3 .4 足 值
3 (0,1,0) 3
no
4 (0,1,1) 8 0 2 1 1 ye 8 s
改进过滤性条件Z 8 (0’’)
循 (X2,X1,X3) s.t. s.t. s.t s.t s.t 满 Z
0-1规划
隐枚举法(Implicit Enumeration)
基本上此法可以从所有变量等于零 出发（初始点），然后依次指定一些 变量取值为1，直到获得一个可行解， 于是把第一个可行解记作迄今为止最 好的可行解，再重复，依次检查变量 为0，1的各种组合，对迄今为止最好 的可行解加以改进，直到获得最优解。
C
o
34
maxZ 4x1 3x2
1.2x1 0.8x2 10
LP 21 :
2x1 2.5x2 25 x1 4，x2 6
x1 , x2 0
x1
x2
由于Z21 Z1，选择LP21进行分枝，增加约束
x1 4及x1 5，得线性规划LP211及LP212：
A 10
6 LP1
o
3
Z=3x1- 2x2 + 5x3 3 (0)
称为过滤性条件。初看起来，增 加约束条件需增加计算量，实际 减少了计算量。
最优解（1，0，1） Z=8
循环 (X1,X2,X3)
1 (0,0,0) 2 (0,0,1) 3 (0,1,0) 4 (0,1,1) 5 (1,0,0) 6 (1,0,1) 7 (1,1,0) 8 (1,1,1)
x2 A
10
1.2x1 0.8x2 10
松弛问题LP0的最优解 X=(3.57,7.14),Z0=35.7 B
2x1 2.5x2 25
C
o
10
x1
x2
增加约束x1 3及x1 4得到两个线性规划
A 10
LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8
B
maxZ 4x1 3x2
1.2x1 0.8x2 10
s.t. s.t. s.t. s.t. s.t. 满 Z 0 1 2 3 4 足值
0
no
5 -1 1 0 1 yes 5
-2
no
3 15
no
3 1 1 1 0 yes 3
8 0 2 1 1 yes 8
1
no
6 26
no
增加约束条件（0）（Z 3)后实际做了24次运 算，而原问题需要计算 23*4=32次运算（3个变 量，4个约束条件）。
LP1
:
2x1 2.5x2 x1 3
பைடு நூலகம்
25
x1 , x2 0
LP1
LP2:X=(4,6.5),Z2=35.5
LP2
max Z 4x1 3x2
1.2x1 0.8x2 10
LP2
:
2x1 2.5x2 x1 4
25
x1 , x2 0
o
34
C
①
②
x2
选择目标值最大的分枝LP2进行分枝，增加约束
注意：
➢改进过滤性条件，在计算 过程中随时调整右边常数。
➢价值系数按递增排列。
以上两种方法可减少计算量。
循 (X2,X1,X3) s.t. s.t. s.t s.t s.t 满 Z
环
0 1 .2 .3 .4 足 值
1 (0,0,0) 0
no
2 (0,0,1) 5 -1 1 0 1 ye 5 s
改进过滤性条件Z 5 (0’)
LP212
C
45
1.2 x1 0.8 x2 10
LP212 :
2x1 2.5x2 25 x1 5，x2 6
x1 , x2 0
x1
•上述分枝过程可用下图表示：
LP0:X=(3.57,7.14),Z0=35.7
x1≤3
x1≥4
LP1:X=(3,7.6) Z1=34.8
LP2:X=(4,6.5) Z2=35.5
LP211:X=(4,6),
maxZ 4x1 3x2
Z211=34
1.2x1 0.8x2 10
LP211:
2x1 2.5x x1 4，x2
2 25 6，x1
4
LP212:X=(5,5)
x1 , x2 0
,Z212=35
即x1 4,可行域是一条线段
max Z 4x1 3x2